L'objectif de ce travail est de proposer et d'étudier des schémas numériques de type volumes finis adaptés à la simulation de certains problèmes de convection et de diffusion.
La première partie est consacrée àl'étude de la convergence des schémas numériques de type volumes finis. Par la suite, l’auteur analyse trois types de schémas, conservatifs et consistants au sens des volumes finis l'un totalement explicite, le deuxième totalement implicite, puis un nouveau θ- schéma totalement implicite. Après, l’auteur traité et analysé les schémas de type volumes finis explicite, implicite et θ-schéma implicite pour l'équation non linéaire instationnaire mono-dimensionnelle de convection-diffusion, où le terme de convection est approché par un schéma de Godunov décentré amont et le terme de diffusion par une approximation d'ordre 1. Dans la deuxième partie, l’auteur présente la simulation numérique de l'équation de la chaleur, correspondant aux schémas explicite et implicite et Crank-Nicolson, en utilisant langage de programmation matlab pour visualiser les courbes solutions.
Les phénomènes de transport, tels que les transferts de chaleur et de masse, jouent un rôle très important dans la vie humaine. Les gaz et les liquides nous entourent, les flux à l'intérieur de notre corps, et ont une influence profonde sur l'environnement dans lequel nous vivons. Lorsqu'il s'agit du phénomène de transport, on distingue généralement deux processus, la convection et la diffusion.
Table des matières
Introduction générale
I Méthode des Volumes Finis pour les Problèmes de Convection – Diffusion
1 θ – Schéma volumes finis pour l'équation de la chaleur linéaire dans le cas unidimensionnel
1.1 Introduction
1.2 Présentation du problème ; Existence et unicité de solution forte
1.3 Méthode des volumes finis - Discrétisation du problème
1.3.1 Définitions et notations
1.3.2 Construction de la méthode
1.3.3 Définitions
1.3.4 Schéma explicite
1.3.5 Schéma implicite
1.3.6 θ - Schéma complétement implicite
1.4 Existence et unicité de la solution discrète
1.5 Résultats de stabilité L∞
1.6 Résultats de convergence
1.7 Conclusion et perspective
2 L∞ et BV Stabilité du θ – schéma VF pour une classe d'équations de type convection – diffusion non linéaire le cas monodimensionnel
2.1 Introduction
2.2 Présentation du problème ; Existence et unicité de solution faible
2.3 Méthode des volumes finis - Discrétisation du problème
2.3.1 Notations
2.3.2 Construction de la méthode
2.3.3 Définitions
2.3.4 Schéma explicite
2.3.5 Schéma implicite
2.3.6 θ - Schéma complétement implicite
2.4 Existence et unicité de la solution discrète
2.5 Résultats de stabilité
2.5.1 Stabilité L∞
2.5.2 Estimation BV
2.6 Résultats de convergence
2.7 Conclusion et perspective
3 Convergence de schéma implicite de type volumes finis pour classe d'équations de convection – diffusion linéaire dans le cas multi – dimensionnel R2 ou R3
3.1 Introduction
3.2 Présentation du problème ; Existence et unicité de solution faible
3.3 Méthode des volumes finis - Discrétisation du problème
3.3.1 Définitions et notations
3.3.2 Construction de la méthode
3.3.3 Définitions
3.3.4 Schéma implicite
3.4 Existence et unicité de la solution discrète
3.5 Stabilité L∞
3.6 Résultats de convergence
3.7 Conclusion et conjecture
II Simulations numériques
4 Tests numériques dans le cas unidimensionnel
4.1 Introduction
4.2 L'équation de la chaleur
4.3 Tests numériques
4.3.1 Méthode VF explicite
4.3.2 Méthode VF implicite
4.3.3 Méthode VF Crank-Nicolson
4.4 Comparaison des temps d'exécution et de l'erreur L2
4.5 L'instabilité de SVF Explicite
4.6 Conclusion
Objectifs et thématiques de la recherche
L'objectif principal de ce travail est de proposer et d'étudier des schémas numériques basés sur la méthode des volumes finis, spécifiquement adaptés à la simulation de phénomènes de transport impliquant des processus de convection et de diffusion dans divers contextes dimensionnels.
- Analyse théorique de la convergence des schémas numériques de type volumes finis.
- Étude de stabilité L∞ et BV pour des équations de convection-diffusion linéaires et non linéaires.
- Résolution numérique des problèmes multi-dimensionnels (R2 et R3).
- Implémentation et simulation numérique sous Matlab pour l'équation de la chaleur.
- Comparaison des performances des différentes méthodes (explicite, implicite, Crank-Nicolson).
Auszug aus dem Buch
1.1 Introduction
Dans ce chapitre, on développe des schémas de type volumes finis pour l'équation linéaire instationnaire de la chaleur dans le cas unidimensionnel avec des conditions au bord de type Dirichlet, qui modélise le phénomène de conduction de la chaleur dans une barre cylindrique de 1 mètre de longueur constituée d'un matériau homogène (fer, cuivre, aluminium, béton ...), avec les deux extrémités sont maintenues à une température constante 0 Kelvin (voir Figure 1.2). Le problème est décrit par
{ ∂u/∂t (x,t) - γ ∂²u/∂x² (x,t) = f(x,t) dans [0,1] × [0, τ] u(0,t) = u(1,t) = 0 sur [0, τ]
a uel on associe la condition initiale u(x,0) = u⁰(x) dans [0,1].
où u(x,t) désigne la température (en Kelvin) dans la barre à la distance x de l'extrémité gauche et au temps t ≥ 0, f représente une source extérieure de chaleur, τ le temps de fin de mesure (en s), γ est la diffusivité thermique du matériau ( en m²s⁻¹ ), on trouvera les valeurs pour quelques matériaux dans la table suivante
Résumé des chapitres
θ – Schéma volumes finis pour l'équation de la chaleur linéaire dans le cas mono – dimensionnel: Ce chapitre développe des schémas numériques conservatifs et consistants pour l'équation de la chaleur, en analysant la stabilité et la convergence vers la solution forte.
L∞ et BV Stabilité du θ – schéma VF pour une classe d'équations de type convection – diffusion non linéaire dans le cas mono – dimensionnel: Ce chapitre étend l'analyse aux équations non linéaires en prouvant la stabilité L∞ et BV ainsi que la convergence vers la solution faible du problème.
Convergence de schéma implicite de type volumes finis pour une classe d'équations de convection – diffusion linéaire dans le cas multi – dimensionnel R2 ou R3: L'étude se généralise ici aux espaces multi-dimensionnels, avec une analyse de la convergence du schéma implicite basée sur une discrétisation adaptée.
Tests numériques dans le cas unidimensionnel: Ce chapitre présente les résultats des simulations réalisées avec Matlab, comparant les méthodes explicite, implicite et Crank-Nicolson à travers des études de cas.
Mots-clés
Volumes finis, convection-diffusion, équation de la chaleur, stabilité L∞, estimation BV, discrétisation, convergence, schéma numérique, simulation numérique, Matlab, transfert thermique, calcul scientifique, instationnaire, condition Dirichlet, analyse numérique.
Questions fréquemment posées
Quel est l'objet principal de cette étude ?
La thèse se concentre sur le développement et l'analyse de schémas numériques de type volumes finis pour simuler les problèmes de convection et de diffusion dans divers contextes physiques et dimensionnels.
Quels sont les domaines d'application abordés ?
Les principaux domaines incluent le transfert de chaleur, le transport de masse et, plus spécifiquement dans le cas non linéaire, l'écoulement diphasique en milieu poreux.
Quelle est la question de recherche fondamentale ?
Il s'agit de démontrer que les schémas volumes finis proposés garantissent la conservation, la consistance, la stabilité et la convergence vers les solutions (fortes ou faibles) des équations aux dérivées partielles étudiées.
Quelle méthodologie scientifique est privilégiée ?
L'auteur adopte une approche rigoureuse basée sur l'analyse numérique, utilisant des outils comme les espaces de Sobolev, l'analyse par point fixe de Picard et des estimations de type BV pour valider mathématiquement les schémas.
Qu'est-ce qui est examiné dans le corps du travail ?
Le corps du travail traite successivement de l'équation de la chaleur linéaire (1D), des équations de convection-diffusion non linéaires (1D), de la généralisation multi-dimensionnelle et enfin de la validation par simulations numériques.
Quels sont les mots-clés qui définissent le travail ?
Les termes centraux sont "volumes finis", "convection-diffusion", "stabilité", "convergence" et "simulation numérique".
Pourquoi utiliser la méthode des volumes finis plutôt que d'autres méthodes ?
La méthode des volumes finis est préférée pour sa capacité naturelle à assurer la conservation des flux locaux, une propriété essentielle pour les lois de conservation rencontrées dans les phénomènes de transport.
Quelle est la conclusion principale concernant le schéma de Crank-Nicolson ?
L'étude numérique révèle que le schéma de Crank-Nicolson fournit une meilleure approximation de la solution analytique par rapport aux méthodes purement explicites ou implicites dans le cas testé.
Quel rôle joue le logiciel Matlab dans ce projet ?
Matlab est l'outil d'implémentation utilisé pour transformer les modèles théoriques en simulations numériques, permettant de visualiser les solutions et de réaliser des études comparatives sur les performances.
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- Abdeslam Koubaa (Autor), 2018, La Méthode des Volumes Finis pour les Problèmes de Convection Diffusion, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/496816
