Geometrische Verfahren nach Al-Khwarizmi zur Veranschaulichung und Lösung quadratischer Gleichungen im Mathematikunterricht


Bachelorarbeit, 2018
52 Seiten, Note: 2,0
Anonym

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1 Vorwort

2 Lernen
2.1 Definition Lernen
2.1.1 Jean Piaget
2.1.2 Jerome Bruners Theorie der Darstellungsebenen
2.1.3 Konstruktivistische Ansätze
2.2 Differenzierung und Lerntypen
2.2.1 Differenzierung
2.2.2 Lerntypen nach Vester
2.2.3 Diskussion um die Lerntypologie nach Vester
2.3 Visualisierung

3 Quadratische Gleichungen in der Geschichte
3.1 Quadratische Gleichungen in der Antike
3.1.1 Quadratische Gleichungen im Antiken Ägypten
3.1.2 Quadratische Gleichungen in Babylonien
3.1.3 Quadratische Gleichungen im antiken Griechenland
3.2 Quadratische Gleichungen im arabischen Mittelalter
3.2.1 Historischer Kontext
3.2.2 Al-Khwarizmis Leben und Werk
3.2.2.1 Algebraische Darstellungsweise
3.2.3 Das Lösen von Quadratischen Gleichungen im Werk Al-Khwarizmis „al- muhtasar fi hisab al-gabr wa-l-muqabala“
3.2.3.1 Die ersten drei Fälle
3.2.3.2 Der vierte Fall („die Quadrate und Wurzeln sind einer Zahl gleich“)
3.2.3.3 Der fünfte Fall („die Quadrate und Zahlen sind den Wurzeln gleich“)
3.2.3.4 Der sechste Fall („die Wurzeln und Zahlen sind den Quadraten gleich“)
3.3 Quadratische Gleichungen um

4 Quadratische Gleichungen im schulischen Kontext
4.1 Unterrichtsentwurf
4.1.1 Die fiktive Lerngruppe und Rahmenbedingungen
4.1.2 Einordnung in die Unterrichtsreihe und Ziel der Unterrichtssequenz
4.1.3 Stundenverlaufsplan
4.1.4 Didaktisch-methodischer Kommentar
4.2 Ergänzende Unterrichtsideen
4.2.1 Ergänzender Stundenverlaufsplan
4.2.2 Ergänzungen zum didaktisch-methodischem Kommentar

5 Schlusswort und Ausblick

Literaturverzeichnis

Anhang
Anhang A Arbeitsblatt I
Anhang B Arbeitsblatt II
Anhang C Arbeitsblatt (ERG)

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1:Wechselspiel der Darstellungsebenen Quelle: Zech (2002) S. 106

Abbildung 2: Euklid Buch II,4 Quelle: Tropfke (1937) S.57

Abbildung 3: Fall 5 A Konstruktion Quelle: Vgl. Juschkewitsch (1964), S. 208

Abbildung 4: Fall 5 B Konstruktion Quelle: Vgl. Juschkewitsch (1964), S. 208

Abbildung 5: Fall 6 Ausgangssituation, Quelle: Hermann, Dietmar (2016), S. 153

Abbildung 6: Fall 6 Winkelhacken, Quelle Hermann, Dietmar (2016), S. 153

1 Vorwort

„ W ir lösen heute quadratische Gleichungen im Prinzip genauso wie der arabische Ma- thematiker al-Khwarizmi es bereits vor mehr als 1000 Jahren getan hat. Sein Lösungs- verfahren, welches er geometrisch begründete, unterscheidet sich von unserem eigentlich nur durch eine ungewohnte sprachliche Darstellungsweise.“ 1

Der oben genannte Ausschnitt der Zeitschrift „mathematik lehren“ hat beim Lesen dieses Artikels mein Interesse geweckt, mich mit diesem Thema zu beschäftigen. Dass das Ver- fahren zum Lösen Quadratischer Gleichungen sogar auf die Zeit der Babylonier zurück- geht, stärkte mein Interesse mich mit diesem Thema zu befassen.

Al-Khwarizmi war einer derjenigen, der antikes Wissen im Haus der Weisheit in Bagdad in einem seiner Werke bündelte und dies für viele Teile der Bevölkerung veranschaulich wiedergab. Er schrieb das Werk „ al-Kitab al-muhtasar fi hisab al-gabr wa-l-muqabala“ (Ein kurzgefasstes Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen). Dieses Werk wurde auf Wunsch des Kalifen Al-Ma´mun verfasst, um zur Lösung alltäg- licher Probleme beizutragen. Darüber hinaus gab es dem heutigen Begriff „Algebra“ seine Bedeutung. Das Wort „Algebra“ ist eine Ableitung des Ausdruckes „al-gabr“, wel- ches Al-Khwarizmi verwendet. Dieser Ausdruck ist mit Ergänzen, Einrichten oder Wie- derherstellung gleichzusetzen.2

Da es sich um ein antikes Thema handelt, welches in einer leicht abgewandelten Form in den Kernlehrplänen des Gymnasiums heute wieder zu finden ist und da ein Werk zur Zeit des Mittelalters im Orient verfasst wurde, in dem quadratische Gleichungen algorith- misch gelöst und geometrisch begründet wurden, habe ich mir überlegt diese zwei Kom- ponenten in meiner Bachelorthesis verschmelzen zu lassen.

Darüber hinaus möchte ich als zukünftiger Lehrer meinen Schülerinnen und Schülern al- ternative bzw. komplementäre Erklärungsansätze bieten, sodass sie Themen- und Sach- verhalte in meinem zukünftigen Unterricht besser nachvollziehen können. Ich möchte dieses Wissen aus der Antike, welches der arabische Mathematiker Al-Khwarizmi an- schaulich rezipiert hat, mit lernpsychologischen Ansätzen verknüpfen, um auf diese Art und Weise einen möglichen Unterrichtsablauf zu bieten, der möglichst viele SuS im Rah- men des Mathematikunterrichts unterstützend fördern kann. Um dieses Thema meiner Bachelorthesis ergreifen zu können, möchte ich zunächst einen Einblick in verschiedene lernpsychologische Ansätze bieten, indem ich zunächst den komplexen und vielseitigen Begriff des Lernens durch die Forschungsansätze Piagets, Bruners etc. definiere. Dann werde ich das Lernen aus der Perspektive der Lerntypentheorie nach Vester betrachten. Nachdem ich einen multiperspektivischen Blick zum Lernbegriff dargeboten habe, werde ich im darauffolgenden Kapitel auf die Person Al-Khwarizmis und sein Werk eingehen. Dieses gebündelte und vielseitige Wissen über den Begriff des Lernens und die Erkennt- nisse Al-Khwarizmis werden die Grundlagen meiner Unterrichtssequenz sein. Die Unter- richtssequenz hätte ich gerne an einer Schule durchgeführt, um von den SuS und den entsprechenden Lehrkräften eine Rückmeldung zu erhalten. Jedoch fand sich leider keine Schule bei der ich diese Sequenz durchführen konnte.

2 Lernen

In diesem Abschnitt meiner Arbeit möchte ich über verschiedene Ansätze diskutieren, wie das Lernen definiert sein kann. Hierbei ist wichtig zu beachten, dass das Lernen ein vielseitig definierbarer Begriff ist. Der Begriff des Lernens ist mit Vorstellungen und Modellen vom menschlichen Lernen verbunden, die sich kontinuierlich durch die Fort- schritte der forschenden Wissenschaften verändern. Es werden zwar neue Erkenntnisse gewonnen und die alten Erkenntnisse werden überholt, jedoch ist dieses „überholt“ nicht immer mit „falsch“ gleichzusetzen, da uns die damaligen Erkenntnisse heute immer noch Denkanstöße bieten können. Als zukünftiger Mathematiklehrer möchte ich mich mit den verschiedenen Ansätzen auseinandersetzen, sodass ich in der Lage bin, selber entscheiden zu können, welche Aussagen der „überholten“ Forschung für mich trotz alledem sinnvoll sind. 3

2.1 Definition Lernen

In diesem Kontext definiert Regula Schräder-Naef die Lernfähigkeit als dasjenige Ver- mögen, welches Erfahrungen dazu verhilft, künftiges Verhalten speichern und verwerten zu können. Ferner kann der Lernbegriff, wie ihn H. Klippert aufteilt, in inhaltlich-fachli- ches Lernen, methodisch-strategisches Lernen, sozial-kommunikatives Lernen und affek- tives Lernen erweitert werden. 4 Dies ist eine Möglichkeit das Lernen zu definieren. Weitere Definitionen des Lernbegriffs bzw. der Denkentwicklung bieten z.B. Jean Piaget, Jerome Bruner.

2.1.1 Jean Piaget

Jean Piaget (1896 - 1980) arbeitete in seiner Theorie drei Stadien menschlichen Denkens heraus, die nach dem Abschluss des jeweiligen Stadiums durch höhere kognitive Leis- tungen charakterisiert sind. In diesem Zusammenhang nennt Jean Piaget als erstes Sta- dium das präoperatorische Stadium (2-6 Jahre), in dem das Denken an konkrete Hand- lungen und an die unmittelbare Anschauung gekoppelt ist, sodass folglich die Denkhand- lungen nicht aus der Vorstellung heraus geschehen können. Außerdem ist es in diesem Stadium nicht möglich, die durchgeführten Handlungen in Gedanken umzuwenden. Das zweite Stadium wird als das Stadium der konkreten Operationen (7-11 Jahre) be- zeichnet. Hierbei ist das Denken noch immer an konkreten Handlungen gekoppelt, wobei diese mit größerer Beweglichkeit verbunden sind. Die Aktionen, die während des Denk- prozesses geschehen, sind kompositionsfähig und reversibel. Auf diese Weise können auf der Grundlage konkreter Operationen grundlegende mathematische Begriffe aufgebaut werden. Nachdem sich ein Lernender des betrachtenden Alters einen Begriff angeeignet hat, existieren seinerseits keine Probleme mit dem bereits gelernten Begriff auch ohne konkrete Unterstützung umzugehen. Dieses Stadium hat auch seine Grenze, diese wird insbesondere deutlich, wenn „aus sprachlich formulierten Hypothesen auf formalem Wege Schlussfolgerungen gezogen werden sollen“. 5

Die letzte Stufe ist die der formalen Operationen (ab ca. 11-12 Jahren). Hierbei sind die Lernenden am Anfang eines hypothetisch-deduktiven Denkens. In der Phase der formalen Operationen sind die Kinder dazu befähigt, abstrakte Inhalte zu verstehen und aus An- nahmen Schlüsse zu folgern. 6

Jean Piaget fasst den Lernprozess in verschiedenen Phasen und gibt Altersangaben zu den jeweiligen Phasen. Diese Altersangaben können retrospektiv betrachtet relativiert wer- den, sie können auch als Durchschnittswerte angesehen werden7.

2.1.2 Jerome Bruners Theorie der Darstellungsebenen

Die Theorie Jerome Bruners kann als Modifikation der Theorie von Piaget angesehen werden und gehört zu den kognitionspsychologischen Theorien. Er definiert die Denk- entwicklung über einen Vollzug verschiedener Denkniveaus, die zeitlich nicht abgestuft sind, sondern zeitgleich auf verschiedenen sogenannten Darstellungsebenen stattfinden. Diese von Bruner aufgeführten Darstellungsebenen sind stark voneinander abhängig. In- nerhalb der verschiedenen Darstellungsebenen unterscheidet Bruner unter der sog. „en- aktiven Darstellung“, „ikonischen Darstellung“ und der „symbolischen Darstellung“.8 In der sogenannten „enaktiven Darstellung“ werden Inhalte durch eigene Handlungen er- fasst, wobei bei der „ikonischen Darstellung“ Inhalte durch Bilder oder Graphiken erfasst werden. Die „symbolische Darstellung“ beinhaltet eine Aufnahme von Inhalten durch verbale Mitteilungen bzw. eine Aufnahme im Zeichensystem. Bruner definiert hierbei ein immer besseres Wechselspiel der verschiedenen Darstellungsebenen als die Denkent- wicklung. Der Sprache wird in diesem Kontext eine besondere Rolle zugesprochen. Ein virtuoses Wechselspiel der verschiedenen Darstellungsebenen zeichnet den „intellektuel- len Erwachsenen“ aus.9

Das vorliegende Bild dient zur Erläuterung des eben genannten Wechselspiels der ver- schiedenen Darstellungsebenen.10 Die Handlung ist repräsentativ für die „enaktive Dar- stellung“, das Bild für die „ikoni- sche Darstellung“ und die Sprache sowie die Zeichen für „symbolische Darstellung, die wiederrum in „Ver- balisierung“ und „Formalisierung“ getrennt ist. Für Bruner ist es unab- dingbar für die Denkentwicklung, dass dieses Wechselspiel, welches durch die Pfeile angedeutet ist, in- nerhalb der Darstellungsebenen gepflegt wird. Die „Pflege“ der Darstellungsebenen soll nicht nur durch Abstraktionen, die durch die Pfeile von oben nach unten illustriert wer- den, sondern auch durch Konkretisierungen, die im Schaubild durch die Pfeile von unten nach oben illustriert werden, erfolgen. In diesem Zusammenhang orientiere ich mich an Zechs Werk „Grundkurs Mathematik“. Friedrich Zech beschränkt sich auf folgende An- deutungen bzgl. dieser Graphik11:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1:Wechselspiel der Darstellungsebenen

Quelle: Zech (2002 ) S. 106

Es gäbe zwölf mögliche Übergänge zwischen den einzelnen Darstellungsebenen, diese müssten nicht bei jeder Gelegenheit im schulischen Kontext durchgespielt werden. Je- doch könnte dieses Interaktionsschema vielseitige Anregungen für intellektuell fördernde Aufgabenstellungen des „Enaktivierens, Ikonisierens, Verbalisierens und Formalisie- rens“ bieten.12

Das Zusammenspiel zwischen den einzelnen Darstellungsebenen definiert nach Bruner die Denkentwicklung und folglich auch die Denkentwicklung innerhalb der Mathematik.

Für die Mathematik spielt die Darstellungsebene des „Ikonisierens“ eine besondere Rolle, denn hiermit ist eine Veranschaulichung von abstrakten Inhalten möglich. Das „Ikonisie- ren“ innerhalb der Mathematik umfasst das illustrierte geometrische Darstellen von In- halten. Auf diese Art und Weise werden wesentliche Charakteristika von mathematischen Inhalten kundgegeben.13

Ein anwendbares Bespiel bzgl. der Definition der Denkentwicklung mittels „Ikonisie- rens“ und dessen Zusammenspiel mit den anderen oben genannten Darstellungsebenen ist Al-Khwarizmis geometrische Darstellung von quadratischen Gleichungen, die mit ausführlichen Formulierungen begründet wird.

2.1.3 Konstruktivistische Ansätze

Die bisher erwähnten traditionellen Lerntheorien wurden unter dem Blickwinkel des Ler- nens als Instruktion formuliert. Demnach war die Leitfigur des Unterrichts die Lehrkraft, wobei sich die Aktivität der Lehrperson insbesondere durch Anregen, Unterstützen, Be- raten, Anleiten, Darbieten und Erklären kennzeichnete. Demnach war der Handlungs- spielraum des Lernenden begrenzt. Durch die neueren Ansätze wird der Fokus auf den Lernenden gesetzt.14

Bundschuh sieht hierbei die „bestmögliche Entfaltung der Persönlichkeit als oberste Ma- xime, denn „Lernen bedeutet aber auch Aktualisierung und Änderung von Verhalten mit dem Ziel der bestmöglichen Entfaltung der Persönlichkeit im Kontext weitgehend selbst- ständiger Konstruktion und Bewältigung des eigenen zukünftigen Lebens.“ 15

Der zentrale Begriff in dieser Definition ist die „Konstruktion“, die in der konstruktivis- tischen Erkenntnistheorie eine wichtige Rolle spielt. Im Mittelpunkt dieses Kontextes stehe die Frage nach dem subjektiven Aufbau der Erkenntnisse und des Wissens und wie die Relation zwischen Wissen und Wirklichkeit gestaltet sei.16 In diesem Kontext be- schreibt der konstruktivistische Lernbegriff das Lernen als einen aktiven, selbstgesteuer- ten, konstruierenden, emotionalen, sozialen und situativen Prozess. Dieser Definition fol- gend kann das nachhaltige Lernen von außen nur beschränkt gelenkt werden. Somit ist die Aufgabe der Lehrkraft, den Lernenden Möglichkeiten und Räume zu bieten, in denen diese Prozesse stattfinden können. Es soll die Aktivität der Schülerschaft angeregt wer- den, sodass sich die Schülerschaft die Welt selbstkonstruierend erschließen können. Vo- raussetzungen sind für selbstkonstruierende Lernerfolge der SuS im Kontext des Unter- richtens eine flexible Zeitgestaltung und eine offene Unterrichtsform. Wenn diese Vo- raussetzungen erfüllt sind, kann gewährleistet werden, dass die individuellen Vernetzun- gen des Einzelnen begünstigt werden. Das Lernen findet in einem Raum statt, der eine kooperative und solidarische Atmosphäre erlaubt und in dem die individuellen Fähigkei- ten und Bedürfnisse der Lernenden im Vordergrund stehen. Die eben genannten Voraus- setzungen sind Voraussetzungen, die die Lehrenden bei der Unterrichtsplanung berück- sichtigen sollten.17 Da jedoch ein erfolgreiches Lernen ohne eine Kooperation zwischen Lernenden und Lehrenden nicht möglich ist, müssen die Lernenden auch einige Voraus- setzungen erfüllen.

Hierbei sind methodische und soziale Fähigkeiten nötig, speziell die Selbststeuerungs- und Kooperationskompetenzen sind unabdingbar. Es kann aber auch geschehen, dass trotz der Einhaltung bzw. Beachtung dieser Voraussetzungen der individuelle Lernpro- zess durch äußere Faktoren wie z.B. Lärm, Raumnot oder Klassengröße gestört werden kann. Wenn der Lehrende diese Bedingungen berücksichtigt, kann erfolgreiches Lernen geschehen. Fernerhin bedarf es trotz der aktiven Rolle des Lernenden einen gewissen Grad an Instruktion durch den Lehrenden. Infolgedessen sollte für das erfolgreiche Ler- nen ein Gleichgewicht aus Instruktion durch den Lehrenden und Konstruktion durch den Lernenden gewährleistet sein. Ein Problem, welches sich herausstellt, wenn man die Ma- thematik betrachtet, ist, dass, weil die Mathematik auf Vereinbarungen und Axiomen be- ruht, die für den einzelnen Lernenden als relativ willkürlich erscheinen können, die Ma- thematik nur bedingt entdeckt werden kann.18

Dazu gehört z.B. die Frage weshalb man „zu einem Tetraeder nicht Viereck sagen“ darf, „ obwohl es doch vier Ecken besitzt?“ 19

In der Folge ergibt sich für den Lehrenden unter Berücksichtigung der genannten Voraus- setzungen die Rolle eines Helfers, Unterstützers und eines Moderators, der Bedingungen schafft, mit denen sich das persönliche Lernen einrichten lässt. 20

2 .2 Differenzierung und Lerntypen

In diesem Abschnitt meiner Arbeit werde ich eine von vielen Lerntypisierungen erläutern. Ich möchte jedoch, bevor ich die Lerntypenidee nach Frederic Vester einbringen werde, den Begriff der Differenzierung erläutern.

2.2.1 Differenzierung

Der Begriff der Differenzierung kann in äußere und innere Differenzierung aufgeteilt werden. Die äußere Differenzierung bezieht sich auf die Gliederung des Schulsystems in Schularten. Da jedoch durch äußere Differenzierung keine homogenen Lerngruppen ent- stehen, ist die innere Differenzierung in einem Schulsystem unabdingbar, denn durch die innere Differenzierung soll der Lehrende den individuellen Voraussetzungen der diversen SuS gerecht werden. Infolgedessen liegt „ die Grobstruktur innerer Differenzierung (…) auf der organisatorischen, die Feinstruktur auf der didaktischen Ebene“. 21

Die Mittel der Differenzierung benötigen eine akribische Planung, sodass es kaum mög- lich ist, sie spontan einzusetzen.22

Einen Denkanstoß könnte bezüglich Differenzierung die Lerntypenidee Vesters bieten.

2.2.2 Lerntypen nach Vester

Frederic Vester hat in seinem Werk „Denken, Lernen, Vergessen“ die Aufnahme von Sachinhalten über die Sinnesorgane beschrieben und diese in Lerntypen kategorisiert. Vester führt die Einteilung in Lerntypen anhand eines Beispiels aus der Physik ein. Laut Vester existieren Lernende, die sich in vier Kategorien einteilen lassen.23

Vester erläutert diese vier Kategorien mittels des physikalischen Gesetzes „Druck gleich Kraft durch Fläche“ 24 . In diesem Zusammenhang wird erklärt, dass ein erster Lernender die genannte Formel mittels abstrakter Formel lerne, also lerne er rein durch den Intellekt. Ein Zweiter lerne das Gesetz durch das Auge, durch das Beobachten, demnach lerne er optisch bzw. visuell. Der dritte Lerntyp entdecke Lerninhalte durch die eigene Handlung, durch das Anfassen und Fühlen, also haptisch. Der Vierte und Letzte erlange Kenntnis durch Interaktion. Das Lernen geschehe durch Hören und Sprechen, folglich sei es audi- tiv. Die Lernenden erhalten hiernach den selben Inhalt, die Unterschiede bestehen bei der Aufnahme eines Inhaltes durch verschiedene Wahrnehmungskanäle. Die Lerntypen las- sen sich nun nochmals wie folgt kategorisieren: 25

- Der Lerntyp, der durch den Intellekt lernt
- Der visuelle Lerntyp, der durch Beobachtung lernt
- Der haptische Lerntyp, der durch Anfassen und durch Fühlen lernt
- Der auditive Lerntyp, der durch Interaktion, durch das Hören und Sprechen lernt

Dieser Lerntypisierung folgend ist es für das Lernen fördernd, wenn möglichst viele Wahrnehmungskanäle genutzt werden. So steht der Lehrende vor der Herausforderung möglichst viele Erklärungsangebote für Inhalte zu bieten, sodass das Wissen besser an- geeignet werden kann und sich besser festigen kann. Zusätzlich kann durch die Nutzung mehrerer Eingangskanäle ein Wissensstoff besser verstanden und später auch besser er- innert werden. 26

2.2.3 Diskussion um die Lerntypologie nach Vester

Nach der Veröffentlichung der Idee der Lerntypen, erhielt diese Theorie eine erhebliche Resonanz. Diese Resonanz zeichnete sich durch eine entfachte Diskussion aus, sodass es nahezu logisch ist, dass es sowohl Zuspruch, als auch Kritik gab.

Einige Autoren, wie Regula Schräder-Naef, folgen und ergänzen die Lerntypiserungen. Sie setzte sich auch mit der Frage auseinander, welche Sinnesorgane beim Lernen im Vordergrund stehen bzw. „auf welche Art die Informationen am leichtesten aufgenom- men werden“. 27 Regula Schräder-Naef teilte die Lernytpen in visuellen, haptischen, au- ditiven, verbal-abstrakten und Gesprächstypen ein. Nach Schräder-Naef würden die Lern- typen nicht in reiner Form existieren, vielmehr begegne der Mensch den verschiedensten Lernumgebungen und muss dies kurzerhand hinnehmen. Der Lerner wird durch einer Vielzahl an Sinneseindrücken ergriffen. Hierbei bestimmt die individuelle Motivation und Lerntyp die Zuwendung und Aufnahme eines Sachverhaltes. Auf diese Art und Weise wird die Informationskundgabe gesteuert. Des Weiteren sind die Angaben, die in der Literatur bezüglich des Lernerfolgs der einzelnen Wahrnehmungskanäle aufge- führt werden, relativierbar. Schräder-Naef beschränkt sich und legt fest, dass der Lerner- folg in positiver Weise beeinflusst wird, wenn mehrere Sinne in den Prozess integriert werden („Wenn beispielsweise mündliche Erläuterungen durch Anschauungsmaterial er- gänzt werden“).28 Hinzu kommt, dass die durch Eigeninitiative, die durch eigenen Taten- drang gekennzeichnet sind, persönlich erworbenen Erfahrungen dazu beitragen, dass sich ein gewisser Lerninhalt besser adaptieren lässt. Die Motivation spielt zusätzlich auch eine zentrale Rolle, denn diese ist maßgeblich dafür, welche Aufmerksamkeit ein Lerninhalt zugeschrieben bekommt.29

Diese Modifikation der Lerntypen von Schräder-Naef war ein Beispiel für eine akzeptie- rende Meinung innerhalb der Forschungsdiskussion. Im Folgenden werde ich einige kri- tische Meinungen bzgl. Lerntypen anklingen lassen.

Maike Looß bezeichnet die Lerntypen als pädagogisches Konstrukt, das unkritisch von den Schülern, Studierenden, Pädagogen etc. als Wahr betrachtet wird. Dies wird in ihrem Artikel thematisiert.30

Vester hat in seiner Einteilung in die Lerntypen einige logische Aspekte ausgelassen. Zu- nächst könnte die Einteilung als unpassend gewertet werden, da es drei Lerntypen (audi- tiv, visuell, haptisch) gibt, die sich durch die Auswahl des Aufnahmekanals unterschei- den. Aus diesem Grund passt der letzte Lerntyp, der durch den Intellekt lernt, nicht in die Typisierung. Darüber hinaus verweigert Vester den auditiven, visuellen und haptischen Lerntypen das intellektuelle Potenzial und gewährt dies nur dem intellektuellen Lernty- pen. Des Weiteren setzt Vester das Wahrnehmen eines Inhalts mit dem Verständnis und Erklären eines Inhalts gleich, sodass das Wahrnehmen als Lernen oder gar Verstehen identifiziert wird.31

Nach Ulrike Quast existiere das Konstrukt der Lerntypen nicht, da es keine empirische Forschung gibt, die dessen Existenz bestätigt. Sie plädiert auch für eine mangelnde Logik und Stringenz der Typisierung von Lerntypen. Vester übersehe, dass zusammenhängende Prozesse abgesondert werden und als verschiedene persönliche Präferenzen für eine Lern- art umfunktioniert werden, da beim Lernen im Grunde Informationen durch die Wahr- nehmungskanäle aufgenommen werden.32 Vorgeschlagen wurde von Quast, die Lernty- pen nicht nach sogenannten sensorischen Lerntypen zu ordnen, sondern diese an erprob- ten Typisierungen festzulegen. 33 Nicht zuletzt betonen Kritiker der Lerntypentheorie, dass es sich bei den sinnlichen Lerntypen penibel betrachtet um Merkhilfen handelt.34 Die entfachte Diskussion zeigt die Popularität dieses Themas. Die Kritik dieser Lernty- pologie ist annehmbar.

2.3 Visualisierung

Die Idee, dass SuS durch Visualisierungen Mathematik besser verstehen können, ist be- rechtigt. Die Veranschaulichung mathematischer Inhalte nimmt in der didaktischen Lite- ratur einen erheblichen Platz ein. Die Geometrie kann bei der Veranschaulichung von Themen helfen, die bei zu mathematischen Teilgebieten gehören.35

Doch zunächst wird der Begriff der Visualisierung definiert. Eberhardt Hofmann und Monika Löhle charakterisieren die Visualisierung als „ein weiteres, sehr effizientes Mittel (…), Texte so zu bearbeiten, dass sie sehr gut im Langzeitgedächtnis verkankert wer- den.“ 36 Die Visualisierung beschreibt demzufolge „eine bildhafte Darstellung von Infor- mation.“ 37 Die Visualisierung erzielt hierbei auch spezielle Effekte, die in einer verbes- serten und vertiefenden Textverarbeitung erkennbar werden. Dies geschieht insbeson- dere, wenn eine Visualisierung angefertigt wird. Ein weiterer, wertvoller Effekt, der er- zielt werden kann, besteht darin, dass die erarbeitete Visualisierung Verknüpfungen her- stellen in der späteren Erinnerungsphase herstellen kann.38

Da Anregungen und Unterstützungen als Hauptaufgabe des Unterrichts in bildungsrele- vanten Lernprozessen gesehen werden können,39 können die verschiedenen lernpsycho- logischen Ansätze eine Grundlage für Ideen sein, um einen Unterricht zu gestalten. Eine Möglichkeit den Mathematikunterricht variabel zu gestalten, bietet zusätzlich die Einbettung historischer Elemente. Denn die SuS sollen erkennen, „ dass Mathematik eine historisch gewachsene Kulturleistung darstellt.“ 40 In diesem Kontext der Visualisierung und Einbettung historischer Elemente fUr einen Unterricht mochte ich im folgenden Ka­ piel Al-Khwarizmis L6sungsverfahren zur Quadratischen Gleichungen liefem.

[...]


1 Kaske, Rainer, 1998, S. 14 ff.

2 vgl. Alten, H.-W., Djafari-Naini, A. u.a., 2014, S. 171

3 Vgl. Storz, Robert, 2009, S. 18

4 Vgl. Schräder-Naef, Regula, 1996, S.11f.

5 Storz, Robert, 2009, S. 21

6 Vgl. Storz, Robert, 2009, S. 22

7 Vgl. Storz,Robert; 2009, S. 22

8 Vgl. Zech, Friedrich, S. 104

9 Vgl. Zech, Friedrich, S 104 ff.

10 Zech, Friedrich, S.106

11 Vgl. Zech,Friedrich, S.106 f.

12 Vgl. Zech,Friedrich, S.106 f.

13 Vgl. Zech, Friedrich, S. 106

14 Vgl. Storz, Robert, 2009, S. 25

15 Bundschuh, Konrad, S. 111

16 Vgl. Lutz, Stephanie, S. 66

17 Vgl. Storz, Robert, 2009, S. 26

18 Vgl. Storz, Robert, 2009, S. 26

19 Storz, Robert, 2009, S. 26

20 Vgl. Storz, Robert 2009, S. 26

21 Storz, Robert,2014, S.53

22 Vgl. Storz, Robert, 2014, S. 53

23 Vgl. Vester, Frederic, S. 52

24 Vester, Frederic, S. 52

25 Vgl. Vester, S. 53 f.

26 Vgl. Vester S. 54

27 Schräder-Naef, Regula, S. 46

28 Schräder-Naef, Regula, S. 46

29 Vgl. Schräder-Naef, Regula. S. 46

30 Vgl. Looß, Maike, S. 186

31 Vgl. Looß, Maike, S. 187

32 Vgl. Quast, Ulrike, S. 21f.

33 Vgl. Quast, Ulrike, S. 21 f.

34 Vgl. Looß, Maike, S.188 f.

35 Vgl. Hattermann, Mathias, S.208 ff.

36 Hofmann, Eberhardt, S. 55

37 Hofmann, Eberhardt, S. 55

38 Vgl. Hofmann, Eberhardt, 2016, S. 61

39 Vgl. Tulodziecki, Gerhard, S. 11

40 Kernlehrplan für das Gymnasium – Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen, S.11.

Ende der Leseprobe aus 52 Seiten

Details

Titel
Geometrische Verfahren nach Al-Khwarizmi zur Veranschaulichung und Lösung quadratischer Gleichungen im Mathematikunterricht
Hochschule
Bergische Universität Wuppertal
Note
2,0
Jahr
2018
Seiten
52
Katalognummer
V497360
ISBN (eBook)
9783346016003
ISBN (Buch)
9783346016010
Sprache
Deutsch
Anmerkungen
Anhänge/Arbeitsblätter A-C aus urheberrechtlichen Gründen nicht im Lieferumfang enthalten
Schlagworte
geometrische, verfahren, al-khwarizmi, veranschaulichung, lösung, gleichungen, mathematikunterricht, Geschichte, Geschichte der Mathematik, Arabische Mathematik, Antike, Mathematik in der Antike, Lerntypen, VesteR, Differenzieren, Didaktik, Didaktik der Mathematik, Quadratische Gleichungen, Mittelalter
Arbeit zitieren
Anonym, 2018, Geometrische Verfahren nach Al-Khwarizmi zur Veranschaulichung und Lösung quadratischer Gleichungen im Mathematikunterricht, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/497360

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