„Wir lösen heute quadratische Gleichungen im Prinzip genauso wie der arabische Mathematiker al-Khwarizmi es bereits vor mehr als 1000 Jahren getan hat. Sein Lösungsverfahren, welches er geometrisch begründete, unterscheidet sich von unserem eigentlich nur durch eine ungewohnte sprachliche Darstellungsweise.“
Der oben genannte Ausschnitt der Zeitschrift „mathematik lehren“ hat beim Lesen dieses Artikels mein Interesse geweckt, mich mit diesem Thema zu beschäftigen. Dass das Verfahren zum Lösen Quadratischer Gleichungen sogar auf die Zeit der Babylonier zurückgeht, stärkte mein Interesse mich mit diesem Thema zu befassen. Al-Khwarizmi war einer derjenigen, der antikes Wissen im Haus der Weisheit in Bagdad in einem seiner Werke bündelte und dies für viele Teile der Bevölkerung veranschaulich wiedergab. Er schrieb das Werk „al-Kitab al-muhtasar fi hisab al-gabr wa-l-muqabala“ (Ein kurzgefasstes Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen). Dieses Werk wurde auf Wunsch des Kalifen Al-Ma´mun verfasst, um zur Lösung alltäglicher Probleme beizutragen. Darüber hinaus gab es dem heutigen Begriff „Algebra“ seine Bedeutung. Das Wort „Algebra“ ist eine Ableitung des Ausdruckes „al-gabr“, welches Al-Khwarizmi verwendet. Dieser Ausdruck ist mit Ergänzen, Einrichten oder Wiederherstellung gleichzusetzen. Da es sich um ein antikes Thema handelt, welches in einer leicht abgewandelten Form in den Kernlehrplänen des Gymnasiums heute wieder zu finden ist und da ein Werk zur Zeit des Mittelalters im Orient verfasst wurde, in dem quadratische Gleichungen algorithmisch gelöst und geometrisch begründet wurden, habe ich mir überlegt diese zwei Komponenten in meiner Bachelorthesis verschmelzen zu lassen.
Inhaltsverzeichnis
1 Vorwort
2 Lernen
2.1 Definition Lernen
2.1.1 Jean Piaget
2.1.2 Jerome Bruners Theorie der Darstellungsebenen
2.1.3 Konstruktivistische Ansätze
2.2 Differenzierung und Lerntypen
2.2.1 Differenzierung
2.2.2 Lerntypen nach Vester
2.2.3 Diskussion um die Lerntypologie nach Vester
2.3 Visualisierung
3 Quadratische Gleichungen in der Geschichte
3.1 Quadratische Gleichungen in der Antike
3.1.1 Quadratische Gleichungen im Antiken Ägypten
3.1.2 Quadratische Gleichungen in Babylonien
3.1.3 Quadratische Gleichungen im antiken Griechenland
3.2 Quadratische Gleichungen im arabischen Mittelalter
3.2.1 Historischer Kontext
3.2.2 Al-Khwarizmis Leben und Werk
3.2.2.1 Algebraische Darstellungsweise
3.2.3 Das Lösen von Quadratischen Gleichungen im Werk Al-Khwarizmis „al-muhtasar fi hisab al-gabr wa-l-muqabala“
3.2.3.1 Die ersten drei Fälle
3.2.3.2 Der vierte Fall („die Quadrate und Wurzeln sind einer Zahl gleich“)
3.2.3.3 Der fünfte Fall („die Quadrate und Zahlen sind den Wurzeln gleich“)
3.2.3.4 Der sechste Fall („die Wurzeln und Zahlen sind den Quadraten gleich“)
3.3 Quadratische Gleichungen um 1500
4 Quadratische Gleichungen im schulischen Kontext
4.1 Unterrichtsentwurf
4.1.1 Die fiktive Lerngruppe und Rahmenbedingungen
4.1.2 Einordnung in die Unterrichtsreihe und Ziel der Unterrichtssequenz
4.1.3 Stundenverlaufsplan
4.1.4 Didaktisch-methodischer Kommentar
4.2 Ergänzende Unterrichtsideen
4.2.1 Ergänzender Stundenverlaufsplan
4.2.2 Ergänzungen zum didaktisch-methodischem Kommentar
5 Schlusswort und Ausblick
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit zielt darauf ab, historisch-mathematische Lösungsverfahren von Al-Khwarizmi für quadratische Gleichungen mit modernen lernpsychologischen Ansätzen zu verknüpfen, um Schülern im Mathematikunterricht alternative und komplementäre Zugangsweisen zu abstrakten Themen zu ermöglichen.
- Grundlagen des Lernens nach Piaget, Bruner und Vester
- Historische Entwicklung quadratischer Gleichungen von der Antike bis zum arabischen Mittelalter
- Analyse der Algebra Al-Khwarizmis und seiner geometrischen Lösungsbegründungen
- Entwurf einer Unterrichtssequenz zur Veranschaulichung algorithmischer Prozesse
- Reflexion über Mathematik als historisch gewachsene Kulturleistung
Auszug aus dem Buch
3.2.3.2 Der vierte Fall („die Quadrate und Wurzeln sind einer Zahl gleich“)
Für diesen vierten Fall werde ich eine deutsche Übersetzung der englischen Übersetzung verwenden, die in einer Zeitschrift erschienen ist. Nicht zuletzt wird dieser Fall aufgrund der besonderen Anschaulichkeit der Quadratischen Ergänzung die Grundlage meiner Unterrichtsstunde bieten. Dort heißt es in einer deutschen Übersetzung: „ein Quadrat, und zehn Wurzeln desselben, ergeben neununddreißig Dirhems;" das heißt, wie groß muss das Quadrat sein, welches, wenn es um zehn seiner eigenen Wurzeln ergänzt wird, neununddreißig ergibt?“ 95
Anachronistisch und die heutige Konvention beachtend sieht die Aufgabenstellung Al-Khwarizmis folgendermaßen aus96 x² + 10x = 39
Die gestellte Aufgabe wird im Anschluss unmittelbar gelöst. „Die Lösung ist dies: du halbierst die Anzahl der Wurzeln, was in dem vorliegenden Beispiel fünf liefert.“ Dies multiplizierst du mit sich selbst; das Produkt ist fünfundzwanzig. Addiere dies zu neununddreißig; die Summe ist vierundsechzig. Nun nimm die Wurzel von diesem, welche acht ist, und subtrahiere davon die Hälfte der Anzahl der Wurzeln, was fünf ist; der Rest ist drei. Dies ist die Wurzel des Quadrats, nach welcher du gesucht hast; das Quadrat selbst ist neun.“ 97
Diese ausformulierte Aufgabenstellung mit Lösungsweg ist charakteristischfür diese Epoche. Hinzu kommt jedoch, dass diese Lösungsvorgabe, in der eine konkrete Gleichung gelöst wird, zusätzlich geometrisch begründet und somit möglichst allgemein gefasst wird. Die dazugehörige geometrische Begründung ist wie folgt überliefert:
Zusammenfassung der Kapitel
1 Vorwort: Der Autor motiviert die Wahl des Themas durch die Verbindung von historischen Lösungsverfahren Al-Khwarizmis mit dem Ziel, den Schülern alternative Erklärungsansätze für quadratische Gleichungen zu bieten.
2 Lernen: Es werden zentrale Lerntheorien (Piaget, Bruner, Vester) und der Begriff der Differenzierung sowie die Rolle der Visualisierung für den Mathematikunterricht diskutiert.
3 Quadratische Gleichungen in der Geschichte: Dieser Abschnitt bietet einen Abriss über die Entwicklung der Algebra von der Antike (Ägypten, Babylonien, Griechenland) bis hin zu den geometrischen Lösungsverfahren von Al-Khwarizmi.
4 Quadratische Gleichungen im schulischen Kontext: Hier wird ein konkreter Unterrichtsentwurf vorgestellt, der die historischen Methoden Al-Khwarizmis nutzt, um Schülern das Verständnis für quadratische Gleichungen und Algorithmen zu erleichtern.
5 Schlusswort und Ausblick: Der Autor resümiert, dass die geometrische Veranschaulichung von Al-Khwarizmi eine wertvolle Brücke zwischen Anschauung und Abstraktion schlägt und plant die praktische Umsetzung im Rahmen seines Praxissemesters.
Schlüsselwörter
Mathematikunterricht, Quadratische Gleichungen, Al-Khwarizmi, Algebra, Geometrische Begründung, Didaktik, Visualisierung, Lernpsychologie, Unterrichtsentwurf, Quadratische Ergänzung, Geschichte der Mathematik, Algorithmen, Darstellungsebenen, Konstruktivismus, Mittelschule
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Bachelor-Thesis grundsätzlich?
Die Arbeit untersucht, wie historische geometrische Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen, speziell die von Al-Khwarizmi, im heutigen Mathematikunterricht zur Veranschaulichung und Vertiefung des Verständnisses genutzt werden können.
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Die zentralen Themenfelder umfassen die Lernpsychologie (u.a. Darstellungsebenen), die historische Entwicklung der Algebra sowie deren didaktische Implementierung in einer neunten Klasse am Gymnasium.
Was ist das primäre Ziel der Forschungsarbeit?
Das Ziel ist die Fusion von historischem Wissen über Al-Khwarizmis Werk mit lernpsychologischen Ansätzen, um Schülern ein tieferes Verständnis algorithmischer Lösungswege zu ermöglichen.
Welche wissenschaftliche Methode verwendet der Autor?
Der Autor führt eine theoretische Aufarbeitung durch, die historische Quellen (wie das Werk von Al-Khwarizmi) mit fachdidaktischer Literatur verknüpft, um daraus einen Unterrichtsentwurf abzuleiten.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil behandelt theoretische Lerngrundlagen, einen historischen Abriss von der Antike bis zum arabischen Mittelalter sowie eine detaillierte didaktische Planung einer Unterrichtssequenz.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit am besten?
Die wichtigsten Schlagworte sind Al-Khwarizmi, Algebra, Quadratische Gleichungen, Mathematikdidaktik, Visualisierung und Unterrichtsentwurf.
Warum ist Al-Khwarizmis geometrische Methode für Schüler relevant?
Sie dient als Brücke zwischen der abstrakten symbolischen Schreibweise und der visuellen Anschauung, wodurch der algorithmische Charakter der quadratischen Ergänzung nachvollziehbarer wird.
Wie geht die Arbeit mit dem Problem der heterogenen Lerngruppen um?
Durch Konzepte wie innere Differenzierung, das Angebot von Hilfestellungen (wie Tabellen in algebraischer Schreibweise) und kooperative Arbeitsformen wird auf die unterschiedlichen Vorkenntnisse der Schüler eingegangen.
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- Anonym (Autor), 2018, Geometrische Verfahren nach Al-Khwarizmi zur Veranschaulichung und Lösung quadratischer Gleichungen im Mathematikunterricht, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/497360
