Die Herausbildung fehlender Grundvorstellungen im Mathematikunterricht. Mathematik mit Sinn erfüllen


Hausarbeit, 2017
35 Seiten, Note: 1,3

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

1. Was sind Grundvorstellungen?
1.1. Definition „Grundvorstellungen“
1.2. Die historische Entwicklung des Grundvorstellungkonzepts
1.3. Das Grundvorstellungkonzept
1.4. Primäre- vs. sekundäre Grundvorstellungen
1.5. Die Bedeutung von Grundvorstellungen für den Lernprozess

2. Der Grundvorstellungskreislauf
2.1. Der Modellierungsprozess
2.2. Der Wechsel zwischen den Darstellungsweisen

3. Grundvorstellungen als Diagnoseinstrument
3.1. Die kompetenzorientierte Diagnose
3.2. Die prozessorientierte Diagnose
3.3. Diagnose anhand des Wechsels der Darstellungsebene

4. Förderung des Aufbaus von Grundvorstellungen anhand des Vierphasenmodells

5. Anwendung des Grundvorstellungskonzepts auf die Bruchrechnung anhand von Schülerbeispielen
5.1. Grundvorstellungen zu den Brüchen
5.2. Die Bedeutung von Grundvorstellungen anhand von Schülerarbeiten zur Bruchrechnung
5.2.1. Zur Bearbeitung der Aufgaben notwendige Grundvorstellungen
5.2.2. Die Konsequenzen mangelnder Grundvorstellungen zur Bruchrechnung
5.2.3. Analyse bezüglich fehlender Grundvorstellungen
5.2.4. Entwicklung eines individuellen Fördermodells zur Bruchrechnung

6. Präventive Maßnahmen: Wie muss ein Mathematikunterricht gestaltet werden, der die Bildung von Grundvorstellungen fördert?

Fazit

Literaturverzeichnis

Anhang

„Dyskalkulie klingt nach Krankheit, für die man nichts kann - Problem mit Mathe dagegen klingt nach Arbeit“1

Einleitung

Nachdem in den letzten Jahrzehnten die Lese-Rechtschreibschwäche ein wesentlicher Bereich der schulischen Förderung war und den Schülern auch ein entsprechender Nachteilsausgleich gewährt wird, stand in den letzten Jahren die Dyskalkulie vermehrt im Fokus der Aufmerksamkeit. Der Mathematikdidaktiker Sebastian Wartha hält diese „Rechenstörung“ jedoch nicht für eine „Krankheit“, die therapiert werden muss, sondern für ein Symptom für einen nicht schüleradäquaten Mathematikunterricht, der besonders schwächere Schüler häufig scheitern lässt.2 So ist zu beobachten, dass sich bei einem Teil der Grundschüler das zählende Rechnen verfestigt. Diese Rechenmethode ist zwar im ersten Schuljahr noch angebracht, muss jedoch im weiteren Verlauf des Lernens durch heuristische Rechenstrategien abgelöst werden. Hinzu kommt dann oft ein mangelndes Stellenwertverständnis sowie unzureichende Grundvorstellungen.3 Diese Defizite beschränken sich aber nicht nur auf die Grundschule. Auch Mathematiklehrer in der Sekundarstufe I berichten immer wieder davon, dass einer Reihe von Schülern Grundvorstellungen fehlen.

Durch die schlechten Ergebnisse der internationalen Schulleistungsvergleich-Studien TIMMS, PISA und IGLU wachgerüttelt weist die aktuelle Bildungspolitik einer soliden mathematischen Grundbildung eine zentrale Rolle zu.4 Die mathematikdidaktische Forschung hebt jedoch hervor, dass es um weit mehr als nur um die Beherrschung mathematischer Fertigkeiten und Verfahren geht. Ziel ist vielmehr ein fundamentales Verständnis der Mathematik und „die Fähigkeit, mathematische Begriffe als Werkzeug in einer Vielfalt von Kontexten einzusetzen“5. Da Grundvorstellungen „die Verbindung zwischen Mathematik und realer Welt repräsentieren“6, erfüllen sie „die Mathematik mit Sinn“7. Indem sie ein mentales Modell der realen Welt erstellen, können sie diese mathematisch durchdringen und so zu Ergebnissen kommen, die durch die Erkenntnis mathematischer Strukturen helfen die Welt zu gestalten. Tobias Barwanietz führt hierzu in seiner Dissertation aus: „Flexibel anwendbare mathematische Grundvorstellungen sind die mentale Basis mathematischen Grundverständnisses und damit unabdingbare Voraussetzung für mathematische Modellbildung.“8 Da in vielen Schulen immer noch der formal-regelhafte Teil der Mathematik im Vordergrund steht und dem inhaltlich-anschauliche Teil oft nur ein kurzer Zeitraum während der Einführung eines Themas zugestanden wird, ist eine grundlegende Überarbeitung des didaktischen Konzepts erforderlich.

Ausgehend von Arbeiten der Schüler der 6. Klasse einer Gesamtschule zur Bruchrechnung9 hat die vorliegende Arbeit zum Ziel auf der Basis des Grundvorstellungskonzepts zu untersuchen, welche Grundvorstellungen bei diesen Schülern fehlen, welche Auswirkungen dies auf die mathematischen Leistungen hat und wie fehlende Grundvorstellungen gebildet werden können. Als Konsequenz hieraus wird dann der Ansatz eines Förderkonzepts erstellt, durch das die fehlenden Grundvorstellungen aufgebaut werden können. Weiterhin wird darauf eingegangen, wie der Mathematikunterricht so gestaltet werden kann, dass auch schwächere Schüler tragfähige Grundvorstellungen ausbilden können, die sie zu erfolgreichem Agieren im mathematischen Raum befähigen. Dadurch, dass das kompetenzorientierte Lernen in den Vordergrund gestellt wird, können die Schüler zu Erfolgserlebnissen kommen und so Freude an der Beschäftigung mit Mathematik gewinnen.

1. Was sind Grundvorstellungen?

1.1. Definition „Grundvorstellungen“

In der Didaktik der Mathematik unterscheidet man zwischen fundamentalen Ideen und Grundvorstellungen. Während fundamentale Ideen fachtypische Inhalte repräsentieren, resultieren „Grundvorstellungen“ aus dem individuellen Lernprozess der Schüler. Dem liegt die Annahme zu Grunde, dass „mathematische Begriffe durch den Prozess der Abstraktion und fortschreitenden Schematisierung aus Alltagsvorstellungen [...] entstehen.“10 Die Basis für die Bildung von Alltagsvorstellung ist der handelnde Umgang mit der Realität. Hierdurch entstehen innere Bilder von grundlegenden mathematischen Strukturen wie Begriffen und formalen Operationen. Diese inneren Bilder nennt man „Grundvorstellungen“ und bezeichnet sie in Anlehnung an die Kognitionspsychologie auch als mentale Modelle für mathematische Begriffe.11 Grundvorstellungen können in allen Bereichen der Mathematik gebildet werden. Insbesondere umfassen sie das Zahlenverständnis sowie das Verständnis von Rechenoperationen und -strategien.12

1.2. Die historische Entwicklung des Grundvorstellungkonzepts

Das Konzept der „Grundvorstellung“ wurde zwar von der jüngeren Mathematikdidaktik entwickelt, hat jedoch - teilweise unter anderen Bezeichnungen - seine Vorläufer bei Rousseau, der ausführte: „Die Erfahrung eilt der Belehrung voraus.“.13 Die Anschauungspädagogik des 19. Jahrhunderts, die auf Pestalozzi zurückgeführt wird, griff dies dann auf. So kritisierte Pestalozzi das einseitige Vortragen von Lerninhalten und wollte die Schüler durch Selbsttätigkeit zu aktivem Verstehen führen. Dabei legte er besonderen Wert darauf, dass die Lernenden ihre Umgebung mit allen Sinnen erfahren, damit sie später eigenständig urteilen können. Außerdem stellte er Überlegungen dazu an, wie es beim Kind zur Ausbildung von inneren Bildern

kommt, was er als „Anschauung“ bezeichnete. Fröbel, ein Schüler Pestalozzis, erweiterte dieses Konzept und entwickelte Materialien, die - insbesondere in der Mathematik - gezieltes Erfahrungslernen ermöglichen.14 Als Pionier der kognitiven Entwicklungspsychologie hat Piaget diese Theorie dann weiterentwickelt, indem er sich insbesondere damit beschäftigt hat, wie durch die Auseinandersetzung mit der Umwelt Wissen erworben und beim handelnden Umgang mit Dingen Begriffe gebildet werden. Im Rahmen der Reformpädagogik des 20. Jahrhunderts wurde dieses Thema dann in die Mathematikdidaktik eingebracht und später unter anderem von Kühnel, Oehl, Griesel und vor allem vom Hofe kontinuierlich weiterentwickelt.15 Heute sind „Grundvorstellungen“ eines der Hauptthemengebiete der Mathematikdidaktik, denn „Ziel des heutigen Mathematikunterrichts ist es, dass die Lernenden die mathematischen Inhalte „verstehen“ sollen.“16

1.3. Das Grundvorstellungkonzept

Das Grundvorstellungskonzept und das damit zusammenhängende Unterrichtskonzept wurde von dem Mathematikdidaktiker Rudolf vom Hofe entwickelt und in seiner Bedeutung für den Mathematikunterricht hervorgehoben.17 Ausgangspunkt war die Beobachtung, dass zu wenig auf die Vorstellungsebene eingegangen und zu schnell zum regelhaft-formalen Teil übergegangen wurde. Gerade für die schwächeren Schüler ist dies aber eine Überforderung. Daher hat das Grundvorstellungskonzept zum Ziel, mathematische Inhalte durch „die Möglichkeit der Klärung, Untersuchung und Förderung von „Verständnis“ “18 so zu vermitteln, dass es zur individuellen Begriffsbildung kommt. Dabei dienen Grundvorstellungen sowohl der Mathematisierung von Situationen der realen Welt als auch der lebensweltlichen Interpretation mathematischer Sachverhalte und ermöglichen so eine Beziehung zwischen realen Sachzusammenhängen, mathematischen Inhalten und individuellen Lernprozessen.19 Dies geschieht dadurch, dass im handelnden Umgang innere Bilder hervorgerufen werden, die erst ein abstraktes Denken in Strukturen möglich machen. Auf diese Weise bilden die Grundvorstellungen eine Brücke „zwischen mathematischen Inhalten und dem Phänomen der individuellen Begriffsbildung.“20

Grundvorstellungen sind nicht angeboren, sondern müssen im Mathematikunterricht schrittweise erarbeitet werden. Sie können zu Zahlen, Rechenoperationen und Strategien gebildet werden. Dabei sind Realerfahrungen ein notwendiges Fundament. Dies zeigt sich daran, dass Kindern, die infolge eines zu frühen und zu ausgedehnten Medienkonsums zu wenige Erfahrungen in ihrer Umwelt machen, die Basis für mathematische Abstraktionen fehlt. So können Schüler, die nie rückwärts gelaufen sind, nur unter großen Mühen und mit viel Training rückwärts zählen, weil ihnen diese körperliche Erfahrung fehlt. Der handelnde Umgang mit der Welt reicht jedoch nicht aus. Damit sich mentale Strukturen bilden können, muss dies von Sprache begleitet sein. Denn durch die Versprachlichung wird auf eine höhere Abstraktionsstufe übergeleitet, die eine Mathematisierung der Realerfahrungen erlaubt, wodurch sich Vorstellungen bilden können. Erst durch diese psychische Repräsentation der Realerfahrung wird der Abstraktionsvorgang möglich, der zur Ausbildung der Grundvorstellungen mit dem Ziel eines verständnisorientierten Erwerbs führt. Hierbei spricht man auch vom „verstehenden Rechnenlernen“21, durch das mentale Modelle herausgebildet werden. Die hierdurch erfassten mathematischen Strukturen können dann von einem Gebiet der Mathematik auf ein anderes übertragen werden.

Fehlen diese mentalen Modelle jedoch und werden somit die mathematischen Zusammenhänge nicht verstanden, so bleibt die Ausübung der Mathematik an der Oberfläche. Rechenoperationen werden dann ohne inhaltliches Denken und daher schematisch und kalkülhaft vollzogen, da die dahinterliegenden Strukturen nicht erfasst werden. Hierdurch kommt es dann zu schwerwiegenden mathematischen Fehlern, deren Ursachen von den Schülern aber nicht erkannt werden können.

1.4. Primäre- vs. sekundäre Grundvorstellungen

In der Mathematikdidaktik ist der Unterschied zwischen primären- und sekundären Grundvorstellungen zu beachten.

Primäre Grundvorstellungen zeichnen sich dadurch aus, dass sie „ihre Wurzeln in gegenständlichen Handlungserfahrungen“22 haben (Hinzufügen, Wegnehmen, Teilen). Sie werden meist in der Vorschulzeit gebildet und in den ersten sechs Schuljahren gefestigt.

Hierauf bauen die sekundären Grundvorstellungen auf, die eine Abstraktionsstufe höher liegen und „aus der Zeit mathematischer Unterweisung stammen.“23 Während die primären Grundvorstellungen den Charakter von konkreten Handlungsvorstellungen haben, handelt es sich bei den sekundären um Vorstellungen, die zunehmend mit Hilfe von mathematischen Darstellungsmitteln (z.B. Zahlengerade, Koordinatensystem) oder symbolischen Darstellungen repräsentiert werden.

Für den Unterrichtenden ist zu beachten, dass den Schülern die sekundären Grundvorstellungen erst vermittelt werden dürfen, wenn die primären Grundvorstellungen gefestigt sind. Geschieht dies nicht, führt dies oft zu Fehlern, die aus rein kalkülhaftem Rechnen ohne tieferes Verständnis resultieren.

1.5. Die Bedeutung von Grundvorstellungen für den Lernprozess

Grundvorstellungen bilden die Grundlage für die Begriffsbildung. Indem sie am intuitiven Begriffsverständnis ansetzen, führen sie über das inhaltliche Begriffsverständnis zu einem vertieften formalen Begriffsverständnis.24 Daher bildet die Entwicklung von Grundvorstellungen, die sich in drei Stufen vollzieht, die Basis für das Grundverständnis der Mathematik. Das Erreichen der einzelnen Stufen kann durch Rückführung auf konkrete Aufgaben überprüft werden:25

- Sinnkonstituierung durch Handlungen, die an bekannten Sachzusammenhängen anknüpfen (intuitives Begriffsverständnis)
Überprüfung: verwandte Beispiele zu einer Aufgabenstellung suchen, Versprachlichung mathematischer Handlungen
- Aufbau visueller Repräsentationen, die operatives Handeln auf der Vorstellungsebene ermöglichen (inhaltliches Begriffsverständnis) Überprüfung: Skizze zum Lösungsweg anfertigen; Transfer auf neue Sachsituationen
- Fähigkeit zur Anwendung des Inhalts auf die Wirklichkeit durch Erkennen der entsprechenden Struktur in Sachzusammenhängen oder Modellieren eines Sachproblems mit Hilfe der mathematischen Struktur. (integriertes und formales Begriffsverständnis) Überprüfung: Modellieren eines Sachproblems

Hinsichtlich des Lernprozesses können drei unterschiedliche Aspekte der Grundvorstellungen zum Tragen kommen:26

- Der normative Aspekt:
Von der Lehrkraft wird vorgegeben, welche Grundvorstellungen zur Problemlösung geeignet sind. Durch Erfahrungen in einem geeigneten Lernumfeld werden die Schüler zur Bildung dieser Grundvorstellungen angeregt.
- Der deskriptive Aspekt:
Ausgehend von den Lösungsversuchen der Schüler wird ermittelt, welche Grundvorstellungen aktiviert wurden und daher abrufbar sind.
- Der diagnostische Aspekt:
Die Schülerlösungen werden hinsichtlich fehlender bzw. mangelnder Grundvorstellungen analysiert. Gleichzeitig wird ein Förderprogramm erstellt, um die fehlenden Grundvorstellungen zu bilden. Ein gutes Diagnoseinstrument hinsichtlich des Vorhandenseins von Grundvorstellungen ist die Fähigkeit zum Übersetzen zwischen verschiedenen Repräsentationsformen.

2. Der Grundvorstellungskreislauf

2.1. Der Modellierungsprozess

Beim Aufbau von Grundvorstellungen werden mathematische Objekte inhaltlich interpretiert und mathematische Begriffe und Operationen genutzt.27 Hierdurch entsteht ein Kreislauf, der ausgehend von realweltlichen Situationen zur Bildung eines mathematischen Modells führt. Aus dem Schaubild ist zu ersehen, wie sich dabei Grundvorstellungen durch den handelnden Umgang mit der Welt entwickeln und wieder auf die Welt zurückwirken:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 128

Ausgangspunkt sind reale Situationen, die in die Sprache der Mathematik übersetzt und so mathematisiert werden. Das heißt es werden Begriffe oder Verfahren gesucht, durch die sich die Sachsituation auf mathematischer Ebene darstellen lässt. Dies ist der Ausgangspunkt für die Bildung von Grundvorstellungen, die sich durch die Übersetzung der Realerfahrung in die Sprache der Mathematik bilden. Auf diesem Fundament wird dann ein mathematisches Modell erstellt, das die Strukturen der Welt abbildet. Auf Basis dieses Modells werden nun mathematische Ergebnisse erarbeitet und auf der Grundlage der schon entwickelten Grundvorstellungen interpretiert. Die Ergebnisse haben sowohl Konsequenzen für die Weiterentwicklung der Anschauung der Welt als auch praktische Konsequenzen, indem die Welt gestaltet wird. Schließlich werden die Grundvorstellungen einer Prüfung durch die Realität unterzogen. Hierbei zeigt sich, ob das mathematische Modell der realen Welt angemessen ist, zum Beispiel indem es sich als zur Lösung einer Problemstellung geeignet erweist. Falls das Modell sich als nur teilweise geeignet erweist, müssen noch gewisse Schritte im Modellbildungsprozess verändert werden. Erweist sich das Modell jedoch als der Realität nicht angemessen, so muss der gesamte Zyklus mit dem Ziel der Bildung passender Modelle und Grundvorstellungen erneut durchlaufen werden, bis das Modell angemessen ist.

Auf der psychischen Ebene spiegelt sich dieser Verlauf in der Bildung von Grundvorstellungen wider, das heißt ein mathematisches Verständnis ist erst dann gegeben, wenn sich passende Grundvorstellungen gebildet haben.

2.2. Der Wechsel zwischen den Darstellungsweisen

Da mathematische Begriffe und Strukturen nicht physisch fassbar sind, benötigen sie immer Darstellungen. Hierzu gehören Handlungen, Bilder, sowie sprachliche und schließlich mathematische Symbole.29 Grundvorstellungen ermöglichen dabei nicht nur die Übersetzung zwischen Realität und Mathematik, sondern auch zwischen verschiedenen Darstellungsebenen, wie zum Beispiel ikonisch - symbolisch, algebraisch – geometrisch etc.. Aus diesem Grund können sie auch als gedankliche Modelle verstanden werden, die „die Darstellung mathematischer Inhalte auf verschiedenen Repräsentationsebenen ermöglichen“.30

Im Mathematikunterricht ist daher stets ein Übersetzen zwischen verschiedenen Darstellungsweisen erforderlich, wobei darauf geachtet werden sollte, dass ein flexibler Wechsel zwischen enaktiver, ikonischer und symbolischer Darstellung erfolgt.31 Daher bietet es sich an, den klassischen Modellierungskreislauf so zu verallgemeinern, dass die Übersetzung zwischen verschiedenen Darstellungsebenen verdeutlicht wird (s. Abb. 2).32

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 233

Ausgangspunkt ist die symbolische Darstellung der Subtraktionsaufgabe 9 – 4. Diese kann auf zwei Arten gelöst werden. Entweder wird das auswendig verfügbare Wissen abgerufen (4), was jedoch nur bei sehr einfachen Aufgaben gelingt und daher nicht nachhaltig ist, oder die Grundvorstellung zur Subtraktion (z.B. als Wegnehmen) wird aktiviert und in eine ikonische (oder enaktive) Darstellungsebene überführt (1). Im nächsten Schritt werden 4 von 9 Objekten entfernt (2)). Im dritten Schritt erfolgt eine Zurückübersetzung auf die symbolische Ebene. Hierzu muss eine Grundvorstellung zu den Kardinalzahlen aktiviert werden. Ist diese nicht vorhanden, kann keine Rückübersetzung erfolgen (3).

Während diese Beschreibung in Bezug auf die Aufgabe 9 – 4 vergleichsweise trivial erscheint, kann der entsprechende Prozess beispielsweise auch für die Berechnung des Terms

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

herangezogen werden.34 Da die Art der Darstellungsweise durch den Schüler dahinterliegende Vorstellungen zum Vorschein bringt, zeigt sich hierdurch auch, ob dieser ein Verständnis der Aufgabe entwickelt hat, und hilft so mögliche Fehlvorstellungen aufzudecken.

[...]


1 Wartha, Sebastian. In: Dyskalkulie - nur eine Folge schlechten Unterrichts?“. Aus: http://rechenguru.de/dyskalkulie-nur-eine-folge-schlechten-unterrichts/

2 vgl. http://rechenguru.de/dyskalkulie-nur-eine-folge-schlechten-unterrichts/

3 vgl. Streit-Lehmann, Ursula: Zusammenarbeit von Lehrkräften und Eltern bei Rechenschwäche, S. 4–7. In: http://www.sinus-an-grundschulen.de/fileadmin/uploads/Material_aus_SGS/Handreichung_Streit-Lehmann_fuer_Web.pdf

4 vgl. Barwanietz, Tobias: Förderung der Modellierfähigkeit im Mathematikunterricht der Grundschule, Regensburg 2005, S. 10. In: https://epub.uni-regensburg.de/10365/1/diss_gesamt_endfassung_neu.pdf

5 ebd. S. 11.

6 Streit-Lehmann, Ursula, a.a.O., S. 6

7 ebd.

8 Barwanietz, Tobias, a.a.O., S. 7.

9 s. Anhang. Der Einfachheit halber werden Schülerinnen und Schüler als „Schüler“ sowie Lehrerinnen und Lehrer als „Lehrer“ bezeichnet.

10 Freudenthal, H.: Didactical Phenomenology of Mathematical Structures, Dordrecht 1983. In: Leuders, Tim; Holzäpfel, Lars: Kognitive Aktivierung im Mathematikunterricht, S. 5. Aus: https://home.ph-freiburg.de/leudersfr/preprint/2011_leuders_holzaepfel_kognitive_aktivierung_im_mu_vorfassung.pdf

11 vgl. Wessel, Jan: Grundvorstellungen und Vorgehensweise bei der Subtraktion, Dortmund 2014, S.6-7. In: https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/34305/1/Dissertation.pdf

12 vgl. Bullinger, Roland: Grundvorstellungen im Mathematikunterricht, Schwäbisch Gmünd 2016. In: http://www.km-bw.de/site/pbs-bw-new/get/documents/KULTUS.Dachmandant/KULTUS/Seminare/seminar-schwaebisch-gmuend-gwhrs/Faecher/GWHS-Mathematik/Grundvorstellungen 2016-01-26.pdf

13 Rousseau, Jean-Jacques: Erfahrungslernen, In: https://wiki.studiumdigitale.uni-frankfurt.de/FB04_Grundschulwiki/index.php/Erfahrungslernen

14 vgl. ebd.

15 vgl. Sprenger, Jasmin: Operationsverständnis und Grundvorstellungen in Klasse 3, Schwäbisch Gmünd. In: https://www.mathematik.tu-dortmund.de/ieem/cms/media/BzMU/BzMU2008/BzMU2008/BzMU2008_SPRENGER_Jasmin.pdf

16 Padberg, Friedhelm; Wartha, Sebastian: Didaktik der Bruchrechnung, 5. Auflage, Bielefeld 2017, S. 1

17 vgl. Vom Hofe, Rudolf: Grundbildung durch Grundvorstellungen – Mathematik lehren, Heft 118, Seelze 2003 (Grundvorstellungen entwickeln), S. 5

18 Padberg, Friedhelm; Wartha, Sebastian, a.a.O., S. 1

19 vgl. Vincenz, Susanne: Wie viel Prozent sind das? – Grundvorstellungen zu Prozent- und Bruchrechnung, S. 10

20 Vom Hofe, Rudolf: Grundvorstellungen - Basis für inhaltliches Denken. In: Mathematik lehren, Heft 78, Seelze 1996, S. 6

21 Wartha, Sebastian/Schulz, Axel: Aufbau von Grundvorstellungen (nicht nur) bei besonderen Schwierigkeiten im Rechnen, S.3. In: http://www.sinus-an-pgrundschulen.de/fileadmin/uploads/Material_aus_SGS/Handreichung_WarthaSchulz.pdf

22 Vom Hofe, Rudolf: Primäre und sekundäre Grundvorstellungen, Bielefeld, S. 1267, In: J. Roth & J: Ames (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2014, Münster: WTM-Verlag, Aus: https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/33381/1/BzMU14-4ES-vom%20Hofe-324.pdf

23 ebd.

24 vgl. Roth, Jürgen: Didaktik der Geometrie, Kap. 2 Begriffsbildung. Stufen des Begriffsverständnisses. In: http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_2_begriffsbildung.pdf

25 vgl. Roth, Jürgen: Didaktik der Zahlenbereichserweiterung, Kapitel 4.1. Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. In: http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_zahlbereichserweiterungen/did_zahlbereichserweiterungen_4_rationale_zahlen.pdf

26 vgl. Wikipedia: Grundvorstellungen in der Mathematik. In: https://de.wikipedia.org/wiki/Grundvorstellungen_in_der_Mathematik

27 vgl. Prediger, Prof. Dr. Susanne: Verstehen durch Vorstellen – Mathe magische Momente, S.170. In: http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/09-Prediger_MaMo-Verstehen-durch- Vorstellen.pdf

28 ebd.

29 vgl. Kuhnke, K.: Unterrichtsanregungen zur Förderung des Darstellungswechsels, August 2012, S.3. In: https://pikas.dzlm.de/pikasfiles/uploads/upload/Material/Haus_3_-_Umgang_mit_Rechenschwierigkeiten/UM/H3.2_UM_DW.pdf/H3.2_Unterrichtsanregungen_DW.pdf

30 Padberg, Friedhelm; Wartha, Sebastian, a.a.O., S. 2

31 vgl. Kuhnke, K., a.a.O., S. 7

32 vgl. Wartha, Sebastian: Aufbau von Grundvorstellungen: Ein Förderkonzept, Bielefeld. In: https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/32045/1/218.pdf

33 ebd.

34 vgl. ebd.

Ende der Leseprobe aus 35 Seiten

Details

Titel
Die Herausbildung fehlender Grundvorstellungen im Mathematikunterricht. Mathematik mit Sinn erfüllen
Hochschule
Universität zu Köln  (Humanwissenschaftliche Fakultät)
Note
1,3
Autor
Jahr
2017
Seiten
35
Katalognummer
V499104
ISBN (eBook)
9783346032232
Sprache
Deutsch
Schlagworte
herausbildung, grundvorstellungen, mathematikunterricht, mathematik, sinn
Arbeit zitieren
János Petró (Autor), 2017, Die Herausbildung fehlender Grundvorstellungen im Mathematikunterricht. Mathematik mit Sinn erfüllen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/499104

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