Volatilität als Asset-Klasse

Inhaltsverzeichnis

Eidesstattliche Erklärung

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungen

1 Einleitung

2 Volatilität – Definition und Betrachtung als eigenständiges Asset
2.1 Was ist Volatilität?
2.2 Historische (realisierte) Volatilität
2.3 Implizite Volatilität
2.4 Betrachtung der Volatilität als eigenständiges Asset

3 Bestimmung und Eigenschaften der Volatilität
3.1 Methoden zur Bestimmung von Optionspreisen
3.1.1 Die Black&Scholes Optionspreisformeln
3.1.2 Der Trinomialbaum
3.2 Numerische Iterationsverfahren
3.2.1 Bisektionsverfahren
3.2.2 Van Wijngaarden–Dekker–Brent Algorithmus
3.2.3 Brents Verfahren zur Minimierung
3.2.4 Konvergenzeigenschaften von ableitungsfreien Iterationsverfahren
3.3 Die Volatilitätsoberfläche
3.4 Vorhersagen der Volatilität
3.4.1 Historische Volatilität
3.4.2 Implizite Volatilität
3.4.3 ARCH und GARCH Modelle
3.4.3.1 ARCH und GARCH Modelle im Überblick
3.4.3.2 Vorhersagen mit einem GARCH(1,1) Modell
3.4.3.3 Vorhersagen mit einem GJR-GARCH(1,1) Modell
3.4.4 Vergleich der Vorhersagegüte verschiedener Schätzer

4 Volatilitätsindizes und Instrumente zum Handeln der Volatilität
4.1 Volatilitätsindizes
4.2 Instrumente zum Handeln der Volatilität
4.2.1 Straddles
4.2.2 Volatility- und Variance-Swaps
4.2.2.1 Theoretische Replikation eines Variance-Swaps
4.2.2.2 Replikation eines Variance-Swaps in der Praxis
4.3 Futures und Zertifikate auf Volatilitätsindizes

5 Investieren in Volatilität – Empirische Untersuchungen
5.1 Studien mit fiktiven Indexzertifikaten
5.2 Studien zur Risikodiversifikation mit Variance-Swaps
5.3 Studie zum systematischen Verkauf von Volatilität
5.4 Studie zum systematischen Verkauf von Variance-Swaps

6 Zusammenfassung

Anhang

A Weitere Iterationsverfahren

A.1 Newton-Raphson Algorithmus

A.2 Das Sekantenverfahren

A.3 Ridders’ Algorithmus

A.4 The Worlds Best Root Finder (TWBRF)

B Beweise zur Vorhersage der Volatilität mit GARCH Modellen

B.1 Vorhersage mit einem GARCH(1,1) Modell

B.2 Vorhersage mit einem GJR-GARCH(1,1) Modell

C Kenngrößen von Optionen und Optionsportfolios

C.1 Delta

C.2 Gamma

C.3 Theta

C.4 Rho

C.5 Vega

D Hedgen von Optionsportfolios

E Ergänzung zur Replikation von Variance-Swaps

Literaturverzeichnis

Eidesstattliche Erklärung

Ich versichere an Eides statt, dass ich die Diplomarbeit selbständig und nur unter Verwendung der angegebenen Hilfsmittel angefertigt und die aus den benutzten Quellen wörtlich oder inhaltlich entnommenen Stellen als solche kenntlich gemacht habe.

Die Arbeit hat in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner anderen Prüfungsbehörde vorgelegen und wurde auch noch nicht veröffentlicht.

Freiberg, den Unterschrift:.

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 2-1: Vergleich der Payoff-Struktur von Volatilität und Put-Option

Abbildung 3-1: Knoten eines Trinomialbaumes

Abbildung 3-2: Nicht rekombinierender Baum bei Dividendenzahlungen

Abbildung 3-3: Trinomialbaum des Prozesses S

Abbildung 3-4: Volatility Smiles

Abbildung 3-5: Volatility Term Structure

Abbildung 3-6: Simuliertes weißes Rauschen (a) und zwei Finanzzeitreihen (b) und (c).

Abbildung 4-1: Payoff-Struktur eines Straddles

Abbildung 4-2: Payoff-Struktur von Strangle und Butterfly

Abbildung 5-1: VDAX-NEW Partizipationszertifikat vs. VDAX-NEW

Tabellenverzeichnis

Tabelle 3-1: Ergebnisse von vergleichenden Studien zur Volatilitätsvorhersage

Tabelle 5-1: Renditen einer Long-Position in Variance-Swaps

Tabelle 5-2: Renditen beim unbedingten Verkauf von Straddles

Tabelle 5-3: Renditen beim bedingten Verkauf von Straddles

Tabelle 5-4: Payoff der Short-Positionen bei Vorhersage mit der historischen Volatilität der vorhergehenden 21 Handelstage

Tabelle 5-5: Payoff der Short-Positionen bei Vorhersage mit der historischen Volatilität der vorhergehenden 63 Handelstage

Tabelle 5-6: Payoff der Short-Positionen bei Vorhersage mit einem GJR-Garch(1,1) Modell

Tabelle D-1: Wert des Portfolios am darauf folgenden Tag

Abkürzungen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

Investieren in Volatilität ist derzeit ein viel diskutiertes Thema. Artikel über Vorzüge und Nachteile der Volatilität und über die Möglichkeiten in Volatilität zu investieren, sind dabei nicht nur in einschlägigen Finanzzeitschriften und -zeitungen, sondern auch in bekannten Tageszeitungen zu finden. Schon seit langem ist bekannt, dass die Volatilität der Renditen des Aktienmarktes negativ mit den Renditen selbst korreliert ist. Bei steigendem Aktienmarkt wird die Volatilität in der Regel geringer; fällt der Aktienmarkt, so steigt die Volatilität in der Regel an. Vor allem große Kurseinbrüche des Aktienmarktes führen zu einem sprunghaften Anstieg der Volatilität. Aus diesem Grund interessiert man sich schon seit langem für die Investition in Volatilität zur Diversifikation und Absicherung von Wertpapierportfolios. Bis vor wenigen Jahren war eine solche Investition in Volatilität jedoch nur mittels Optionsportfolios möglich, die zudem aufwendig und kostenintensiv gehedgt werden müssen, um sie unabhängig vom Wert des Underlyings zu machen und um ein reines Exposure gegenüber der Volatilität zu erhalten. Eine direkte Investition in Volatilität wurde mit OTC-Produkten wie Volatility- und Variance-Swaps, deren Payoff nur von der realisierten Volatilität abhängt, ermöglicht. Heutzutage werden vor allem Variance-Swaps, deren Payoff sich theoretisch perfekt durch ein Portfolio aus Optionen und Futurekontrakten auf das Underlying replizieren lässt, recht liquide gehandelt. Die neuen Berechnungsmethoden von Volatilitätsindizes wie dem VIX und dem VDAX-NEW, die auf einem Portfolio von real gehandelten Optionen beruhen, ermöglichen es die Indizes nachzubilden. Dies führte zu einem Angebot an börsennotierten Futurekontrakten und Zertifikaten auf diese Volatilitätsindizes, wodurch es einer breiten Anlegerschicht bis hin zum Privatanleger ermöglicht wird, in Volatilität zu investieren. Immer mehr Broker bieten solche Zertifikate an, was die große Resonanz in Finanzzeitschriften und -zeitungen sowie allgemeinen Tageszeitungen erklärt. Bedenklich ist, dass gerade in den Tageszeitungen über die Investition in Volatilität wenig kritisch berichtet wird, wodurch gerade Privatanlegern, die häufig keine Finanzzeitungen und -zeitschriften lesen, eine Investition in solche Volatilitätszertifikate schmackhaft gemacht wird. So wird etwa in dem in der WELT erschienenen Artikel „Privatanleger können jetzt vom VDAX profitieren“ von Nando Sommerfeldt^[1] angegeben, dass es mehrere Studien gibt die belegen, dass eine kombinierte Anlage in den DAX und VDAX im Verhältnis 90:10 von 1992 bis 2003 eine um 2,2% höhere Rendite erzielt hätte als eine reine Investition in den DAX und das bei deutlich reduziertem Risiko. Des Weiteren wird durch ein Zitat des Leiters des Indexgeschäfts der Deutschen Börse der Eindruck erweckt mit den neuen Zertifikaten wäre eine 1:1 Partizipation am VDAX-NEW möglich:

„Anders als bislang können auf den VDAX-NEW Produkte aufgelegt werden, die sich direkt am Index orientieren. Bisher konnte dessen Entwicklung nicht eins zu eins nachgebildet werden.“

Vermutlich bezieht sich Sommerfeldt in seinem Artikel unter anderem auf eine Studie von Merrill Lynch,^[2] in der davon ausgegangen wurde, man könne 1:1 am VDAX partizipieren. In dieser Studie wird mit einem 90:10 Mischportfolio aus DAX und VDAX eine 2,13% höhere Rendite bei gleichzeitig deutlich reduziertem Risiko erzielt. Allerdings wird in dieser Studie darauf hingewiesen, dass die angenommene 1:1 Partizipation am VDAX nicht möglich ist. Das Problem besteht darin, dass in VDAX-NEW Zertifikaten die erwartete Entwicklung der Volatilität bereits eingepreist ist. Ein Anleger profitiert also nicht durch jeden Anstieg des VDAX-NEW, sondern erst dann, wenn der Anstieg höher ausfällt als vom Markt erwartet wurde. Ein in der FAZ erschienener Artikel „Investieren in Volatilität“ von Sigrid Müller und Carmen Weber^[3] ist nur wenig kritischer. Es muss eingeräumt werden, dass beide Artikel bereits vor der Emission der Zertifikate erschienen sind. Mittlerweile finden sich in der Presse auch kritischere Töne. So weist Ralf Andreß^[4] in dem in der WELT erschienenen Artikel „Spekulation auf VDAX hat Tücken“ darauf hin, dass mit den VDAX Zertifikaten keine 1:1 Partizipation am VDAX möglich ist – wie sonst bei Index Zertifikaten üblich – und führt weiter aus, dass eine Investition in die angebotenen VDAX Zertifikate bisher trotz steigendem VDAX zu Verlusten führte.

Zudem gibt es Studien, die belegen, dass eine Investition in Volatilität mit Variance-Swaps oder Straddles zur Diversifikation nicht lohnend ist, sondern es vielmehr lukrativ ist die Volatilität zu verkaufen, indem man Short-Positionen in Straddles oder Variance-Swaps einnimmt. Dennoch zeigen unter anderem die Studien von Merrill Lynch, dass in der Volatilität großes Diversifikationspotential steckt. Gut möglich, dass künftige Volatilitätsprodukte mit günstigeren Eigenschaften als die derzeit emittierten Zertifikate erscheinen, welche dann eine Diversifikation mit Volatilität lukrativer machen. Überdies scheint es profitabel zu sein, Short-Positionen in Volatilität einzunehmen. Es gibt daher genügend Gründe sich eingehender mit der Thematik zu befassen.

In dieser Arbeit werden die unterschiedlichen Volatilitätsbegriffe erläutert, verschiedene Verfahren zu ihrer Berechnung vorgestellt, wird illustriert, warum Volatilität als Assetklasse interessant ist und auf Chancen und Risiken bei der Investition in Volatilität hingewiesen. Hierzu werden zunächst im zweiten Kapitel die Begriffe historische und implizite Volatilität definiert. Anschließend wird erörtert, inwiefern man Volatilität als Assetklasse betrachten kann und welche Eigenschaften der Volatilität diese als Assetklasse interessant machen. Im dritten Kapitel wird auf die Berechnung und die Eigenschaften der Volatilität eingegangen. Es werden Verfahren zur Berechnung der impliziten Volatilität beschrieben und besondere Eigenschaften der impliziten Volatilität erläutert. Des Weiteren werden verschiedene Schätzverfahren zur Vorhersage der Volatilität vorgestellt und deren Vorhersagegüte diskutiert. Volatilitätsindizes, die zum einen ein beliebtes Maß für die erwartete Entwicklung der Volatilität darstellen, zum anderen Basis für zahlreiche neue Volatilitätsprodukte sind, werden im vierten Kapitel beschrieben. Darüber hinaus werden die populärsten Instrumente zum Handeln von Volatilität erläutert. Den Inhalt des fünften Kapitels bilden empirische Studien zum Handeln von Volatilität. Im sechsten Kapitel schließlich werden die wesentlichen Punkte noch einmal zusammengefasst.

2 Volatilität – Definition und Betrachtung als eigenständiges Asset

2.1 Was ist Volatilität?

Der Begriff Volatilität ist aus dem Lateinischen abgeleitet: lateinisch volare – fliegen bzw. volaticus – fliegend, flatterhaft, unbeständig. Im Börsenlexikon der ARD^[5] findet sich folgende Definition:

„Die Volatilität ist ein Risikomaß und zeigt die Schwankungsintensität des Preises eines Basiswertes innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Je höher die Volatilität, um so stärker schlägt der Kurs nach oben und unten aus und desto riskanter aber auch chancenreicher ist eine Investition in das Basisobjekt. Es werden historische und implizite Volatilität unterschieden.“

Die Volatilität ist folglich ein Maß für die Größe der Schwankungen des Preises eines bestimmten Basiswertes – z.B. Zinsen, Aktienrenditen, Rohstoffpreise oder Wechselkurse. Die Volatilität ist jedoch kein ideales Risikomaß, da sie nur Auskunft über die Schwankungsbreite des Basiswertes und keine weitere Information über den Verlauf der Verteilungsfunktion der Kursausschläge gibt.^[6] So bleibt zum Beispiel völlig unklar, ob große Kursveränderungen nach unten wahrscheinlicher sind als große Kursveränderungen nach oben. In den beiden nächsten Abschnitten werden die zu unterscheidenden Begriffe historische und implizite Volatilität näher erläutert.

2.2 Historische (realisierte) Volatilität

Der Begriff historische Volatilität bezeichnet die tatsächliche Schwankungsintensität eines Basiswertes über einen bestimmten Zeitraum. In der Regel wird er als Standardabweichung des Basiswertes über diesen Zeitraum definiert. Im Folgenden werden Aktienrenditen als Basiswerte betrachtet. Da man die Volatilität üblicherweise annualisiert angibt, ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 2-1

mit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Viele Volatilitätsderivate basieren auf der Volatilität von Tagesrenditen. Da der Erwartungswert von Tagesrenditen relativ klein ist, wird in diesen Kontrakten die realisierte Volatilität häufig folgendermaßen definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 2-2

Zu beachten ist hierbei, dass das System in Gleichung 2-2 einen Freiheitsgrad mehr hat als in Gleichung 2-1^[7], weshalb durch n und nicht etwa durch n -1 dividiert werden muss.^[8] Ein gebräuchlicher Wert für den Annualisierungsfaktor A bei der Verwendung von Tagesrenditen ist 252.^[9] Die Renditen Ri werden entweder als diskrete oder kontinuierliche Renditen berechnet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 2-3

mit:

Si Aktienkurs am Tag i.

Da es keine allgemein gültige Definition des Berechnungsverfahrens der historischen (realisierten) Volatilität gibt, muss stets angegeben werden auf welche Weise die historische (realisierte) Volatilität zu berechnen ist.

2.3 Implizite Volatilität

Im Gegensatz zur historischen Volatilität werden zur Berechnung der impliziten Volatilität keine historischen Daten des Basiswertes herangezogen. Sie beruht vielmehr auf den aktuellen Preisen der Optionen auf den Basiswert. Aus einem Optionspreismodell kann man, sofern alle Parameter mit Ausnahme der Volatilität bekannt sind, die implizite Volatilität bestimmen. Dabei bezeichnet die implizite Volatilität denjenigen Wert für die Volatilität, für den das Optionspreismodell für die Option einen mit dem am Markt gehandelten Preis identischen Preis liefert. In der Regel wird als Optionspreismodell das Black&Scholes Modell herangezogen. Als Eingabeparameter benötigt man in diesem Fall den Preis, den Strike und die Restlaufzeit der Option sowie den aktuellen Kurs des Basiswertes und den risikofreien Zins für die Restlaufzeit. Aus den Black&Scholes Formeln kann man dann mit Hilfe dieser Parameter die implizite Volatilität bestimmen. Da die Black&Scholes Formeln nicht analytisch nach der Volatilität aufgelöst werden können,^[10] kann die implizite Volatilität nur mit Hilfe von Iterationsverfahren bestimmt werden, indem man die Volatilität solange variiert bis der mit dem Modell berechnete Optionspreis gleich dem Marktpreis der Option ist, wobei alle sonstigen Parameter konstant gehalten werden. In Kapitel 3 wird die Methodik zur Bestimmung der impliziten Volatilität im Detail erläutert.

Häufig wird postuliert, die implizite Volatilität sei der vom Markt erwartete Wert der zukünftigen Volatilität.^[11] Dies trifft jedoch nur bedingt zu, da, wie in Abschnitt 3.3 erörtert, auch noch andere Faktoren – wie etwa Nachfrage und Angebot an Optionen – den Wert der impliziten Volatilität beeinflussen. Eine interessante Anwendung der impliziten Volatilität ist der Vergleich von Optionspreisen. Die Optionspreise von Optionen über verschiedene Strike-Preise lassen sich nicht direkt vergleichen. Daher ist es nicht möglich anhand des Optionspreises zu entscheiden, welche Option eher günstig und welche eher teuer ist. Bestimmt man jedoch die implizite Volatilität der Optionen, so kann man die Optionen mit einer höheren impliziten Volatilität als eindeutig teurer identifizieren.^[12]

2.4 Betrachtung der Volatilität als eigenständiges Asset

In den vorigen Abschnitten ist die Volatilität als statistische Größe – im Falle der historischen (realisierten) Volatilität – beziehungsweise als Parameter eines Optionspreismodells – im Falle der impliziten Volatilität – vorgestellt worden. In diesem Abschnitt wird nun geklärt, inwiefern eine statistische Größe oder ein Modell-Parameter als eigenständige Assetklasse betrachtet werden kann. Des Weiteren wird erläutert, welche Eigenschaften der Volatilität diese als Assetklasse besonders interessant machen.

Wie kann man in Volatilität investieren? Zunächst einmal hat jeder, der eine Long- oder Short-Position in Optionen hält, auch in Volatilität investiert, da die Optionspreise nicht nur vom Wert des Underlyings, sondern auch von der Volatilität abhängen.^[13] Steigt die Volatilität, so steigt auch der Wert von Optionen; fällt die Volatilität, so sinkt der Wert der Optionen. Zwar hängt der Payoff einer einfachen Long- oder Short-Position wesentlich vom Wert des Underlyings ab; es gibt jedoch einfach zu konstruierende Portfolios aus Optionen – wie etwa Straddles oder Butterflies^[14] – deren Payoff kaum oder gar nicht vom Wert des Underlyings beeinflusst, sondern im Wesentlichen von der Höhe der Volatilität bestimmt wird. Des Weiteren werden Over-The-Counter Produkte gehandelt, deren Payoff völlig unabhängig vom Wert des Underlyings ist und nur von der Volatilität abhängt. Die bekanntesten OTC-Produkte, welche am liquidesten gehandelt werden, sind die sogenannten Variance-Swaps. Der Payoff eines Variance-Swaps ist die Differenz zwischen der während der Laufzeit des Produkts realisierten Varianz^[15] und einem zu Beginn des Kontraktes festgelegten Referenzwert für die Varianz, und ist damit nur von der realisierten Varianz und nicht vom Wert des Underlyings abhängig.^[16] Zudem gibt es mittlerweile börsennotierte Futures und Zertifikate auf Volatilitätsindizes. So hat die Chicago Board Options Exchange (CBOE) im März 2004 den Handel von VIX Future Kontrakten eröffnet.^[17] Darüber hinaus plant die CBOE mit VIX Optionen ein weiteres börsennotiertes Volatilitätsprodukt einzuführen. Zertifikate für den im Dezember 2004 von der Deutschen Börse eingeführten VDAX-NEW werden ebenfalls gehandelt. So bietet etwa Goldman & Sachs seit Juni 2005 Partizipationszertifikate auf den VDAX-NEW an. Auch Merrill Lynch und die Société Général bieten ähnliche Produkte an.^[18] Es gibt also zahlreiche Möglichkeiten direkt und indirekt in Volatilität zu investieren. Im Folgenden soll nun geklärt werden, welche Eigenschaften der Volatilität sie als Assetklasse für Anleger besonders reizvoll machen.

Zur Attraktivität von Volatilität als Assetklasse tragen vor allem folgende Eigenschaften bei:

Volatilität kann nicht auf Null zurückgehen und nicht beliebig ansteigen.

Volatilität ist im Allgemeinen negativ mit den Renditen des Underlyings korreliert.

Insbesondere sind hohe Wertverluste des Underlyings verbunden mit einem starken Anstieg der Volatilität.

Volatilität hat die Eigenschaft gegen einen langfristigen Mittelwert zu streben.

Volatilität hat eine Tendenz zur Clusterbildung. Hohen Volatilitätswerten folgen meist hohe Volatilitätswerte in der unmittelbaren Zukunft, niedrigen Volatilitätswerten folgen meist auch niedrige Volatilitätswerte in der unmittelbaren Zukunft.

Volatilität hat eine negative Risikoprämie.

Da Volatilität nicht auf Null zurückgehen kann, kann eine Investition in einen Volatilitätsindex nicht zu einem totalen Verlust der Investition führen. Durch negative Korrelation mit den Renditen des Underlyings kann durch Beimischen von Volatilität in ein Portfolio ein großer Diversifikationseffekt erzielt werden.^[19] Dass hohe Wertverluste des Underlyings mit einem großen Anstieg der Volatilität verbunden sind, machen Long-Positionen in Volatilität zu einem interessanten Instrument um Portfolios vor Wertverlusten im Falle eines Crashes abzusichern. In diesem Zusammenhang ist zu erwähnen, dass die Payoff-Struktur einer Long-Position in Volatilität der Payoff-Struktur einer Long-Position in at-the-money Puts sehr ähnlich ist, was in Abbildung 2-1 deutlich wird.^[20] Investitionen in Volatilität stellen daher eine Alternative zur Portfolio-Insurance mit Put-Optionen dar.

Das Streben nach einem langfristigen Mittelwert und die Neigung zur Clusterbildung führen dazu, dass sich Volatilität weitaus besser vorhersagen lässt als Aktienrenditen, was Volatilität als Assetklasse zusätzlich interessant macht.^[21] Es ist allerdings allgemeiner Konsens, dass Volatilität eine negative Risikoprämie hat, d.h. Verkäufer von Volatilität werden für das Bereitstellen einer Absicherung mit einer Prämie belohnt.^[22] Es hängt von der Höhe dieser Prämie ab, ob eine Beimischung von Volatilität zu einem Portfolio lohnend ist; ist die Prämie zu hoch, so wird der Diversifikationseffekt durch Beimischen von Volatilität in das Portfolio teuer erkauft und erscheint unrentabel. In diesem Fall allerdings würde eine Strategie, die systematisch Volatilität verkauft, Profite abwerfen. Es wäre also profitabel, ständig Short-Positionen in Volatilität einzunehmen.^[23]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2-1: Vergleich der Payoff-Struktur von Volatilität und Put-Option^[24]

3 Bestimmung und Eigenschaften der Volatilität

Wie bereits erwähnt, gibt es keine Möglichkeit, die implizite Volatilität direkt zu bestimmen. Um die implizite Volatilität berechnen zu können, benötigt man zunächst Verfahren mit denen sich der Optionspreis bei gegebenen Parametern (Spot-Preis des Underlyings, Strike-Preis der Option, Restlaufzeit der Option, risikofreier Zinssatz und Volatilität) bestimmen lässt. Deshalb werden im nächsten Abschnitt zwei solcher Verfahren vorgestellt. Die Berechnung der impliziten Volatilität erfolgt dann iterativ. Bezeichnet V (s) den Optionspreis bei gegebenem s^[25], dann bestimmt man iterativ den Wert der impliziten Volatilität s im p, für den V (s imp) gleich dem am Markt beobachteten Preis der Option VMarkt ist. Weil V (s) theoretisch eine streng monoton steigende Funktion ist, hat die Funktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-1

genau eine Nullstelle und die Funktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-2

genau ein Minimum. Für die iterative Bestimmung der impliziten Volatilität können daher sowohl numerische Verfahren zur Nullstellensuche als auch numerische Verfahren zur Minimierung^[26] einer Funktion eingesetzt werden. In Abschnitt 3.2 werden einige solcher Verfahren beschrieben und ihre Konvergenzgeschwindigkeit verglichen.

3.1 Methoden zur Bestimmung von Optionspreisen

3.1.1 Die Black&Scholes Optionspreisformeln

Das von Black und Scholes 1973 entwickelte Modell gilt als Meilenstein in der Optionspreistheorie. Obwohl das Black&Scholes Modell bei der Erklärung von Optionspreisen sehr erfolgreich ist, gibt es einige Kritikpunkte. So wird vor allem die Annahme einer konstanten Volatilität und eines konstanten risikofreien Zinssatzes in Frage gestellt. Um den Unzulänglichkeiten des Black&Scholes Modells Rechnung zu tragen, sind in der Literatur zahlreiche erweiterte Modelle^[27], wie etwa die Jump Diffusion Modelle^[28] oder Stochastic-Volatility^[29] Modelle, vorgeschlagen worden; dennoch wird auch heutzutage häufig bei der Berechnung von Optionspreisen auf das Black&Scholes Modell zurückgegriffen.

Für die Herleitung ihrer Optionspreisformeln haben Black und Scholes folgende Annahmen getroffen:

Der risikofreie Zins r ist konstant und gleich für alle Restlaufzeiten.

Der Aktienpreis S folgt folgendem Prozess:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-3

Es werden keine Dividenden auf die Aktie ausgeschüttet.

Es finden weder Kapitalerhöhungen noch Kapitalherabsetzungen statt.

Es handelt sich um europäische Optionen.

Es gibt keine Transaktionskosten und Steuern.

Der Handel erfolgt kontinuierlich und sowohl Aktien als auch Optionen sind beliebig teilbar.

Unter diesen Annahmen ergeben sich folgende Optionspreisformeln:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-4

mit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-5

Dabei bezeichnet S 0 den Aktienkurs zum Zeitpunkt t = 0, K den Strike-Preis, r den risikofreien Zins, T die Restlaufzeit der Option, s die konstante Volatilität und N (.) die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Für eine detaillierte Herleitung dieser Formeln sei auf das Paper von Black und Scholes^[30] verwiesen.

3.1.2 Der Trinomialbaum

Da amerikanische Optionen jederzeit ausgeübt werden können und daher die Restlaufzeit unbekannt ist, ist es nicht möglich, eine analytische Formel für die Optionspreise amerikanischer Optionen abzuleiten. Zur Bestimmung des Wertes von amerikanischen Optionen müssen daher iterative Modelle herangezogen werden. Dies gilt auch für europäische Optionen, falls während der Restlaufzeit der Option Dividenden ausgeschüttet werden. Ein einfaches und bekanntes iteratives Modell zur Bestimmung von Optionspreisen ist das Binomialmodell. Hierbei wird die zukünftige Entwicklung des Aktienkurses in einem Binomialbaum abgebildet. Auf diese Weise lässt sich der Erwartungswert des Optionspreises bei Fälligkeit zum Zeitpunkt T einfach bestimmen. Durch Diskontierung mit dem Zinssatz r einer risikolosen Anlage mit gleicher Laufzeit lässt sich dann der faire Preis der Option zum Zeitpunkt t berechnen.^[31]

Ein Nachteil des Binomialbaum-Ansatzes ist jedoch, dass sehr große Baumtiefen nötig sind, um exakte und korrekte Optionspreise zu erhalten. Tian^[32] hat gezeigt, dass man bei Verwendung eines Trinomialbaumes mit geringeren Baumtiefen auskommt. Beim Trinomialbaum wird der Binomialbaum-Ansatz erweitert, indem man dem Aktienkurs neben einer Aufwärts- und Abwärtsbewegung zusätzlich die Möglichkeit einer seitlichen Bewegung einräumt. Im Trinomialmodell erhöht sich der Aktienkurs S innerhalb eines Zeitintervalls D t mit der Wahrscheinlichkeit pu um den Faktor u, er fällt um den Faktor d mit der Wahrscheinlichkeit pd oder bewegt sich mit der Wahrscheinlichkeit pm seitwärts. Zum Zeitpunkt t +D t beträgt der Aktienkurs demnach Su, Sm oder Sd. Ein Trinomialbaum hat also folgende Struktur:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3-1: Knoten eines Trinomialbaumes

Die Parameter u, d, m, pu, pm, und pd sind dabei so zu wählen, dass Erwartungswert und Standardabweichung des Aktienkursprozesses durch den Trinomialprozess generiert werden. Ein solcher Parametersatz wird von Hull^[33] vorgeschlagen und in Gleichung 3-6 wiedergegeben. Wegen d =1/ u und m =1 ist klar, dass der Baum mit diesen Parametern ein sogenannter rekombinierender Baum ist, denn die Pfade u - d, d - u und m - m erreichen alle denselben Knoten Sud = Sdu = Smm = S. Der Baum wächst also mit jeder Stufe um lediglich 2 Knoten, sodass der Baum auf Stufe i gerade i +2 Knoten besitzt, was den Rechenaufwand in Grenzen hält.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-6

Probleme treten auf, wenn während der Restlaufzeit der Option Dividenden auf die der Option zu Grunde liegenden Aktien gezahlt werden. Wird zu einem Zeitpunkt t eine Dividende D ausgeschüttet, so rekombiniert der zuvor beschriebene Trinomialbaum im nächsten Zeitschritt nicht mehr. Besitzt der Baum zu diesem Zeitpunkt t i Knoten, so splittet er zum Zeitpunkt t +D t in 3 i (statt i +2) Knoten auf, was in Abbildung 3-2 verdeutlicht wird. Dies führt insbesondere bei mehreren Dividendenzahlungen zu sehr großen Bäumen, wodurch der Rechenaufwand sehr groß wird.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3-2: Nicht rekombinierender Baum bei Dividendenzahlungen

Dieses Problem kann umgangen werden, indem der Aktienpreisprozess in einen deterministischen Dividendenprozess und einen risikobehafteten Aktienprozess zerlegt wird:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-7

Mit dem Barwert PV der Dividendenzahlungen innerhalb der Restlaufzeit der Option:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-8

Dabei ist anzumerken, dass die Volatilität s des Prozesses S theoretisch etwas größer als die Volatilität s des Prozesses S ist, was in der Praxis jedoch vernachlässigt wird.^[34] Der risikohafte Prozess S hat nun wieder die Struktur eines rekombinierenden Trinomialbaumes:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3-3: Trinomialbaum des Prozesses S

Der Aktienkurs für einen Knoten S m, n (indiziert gemäß Abbildung 3-3) ergibt sich zu:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-9

Bei Fälligkeit beträgt der Optionswert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-10

Mit der Payoff-Funktion g m, n:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-11

Der Optionspreis zu früheren Zeitpunkten kann nun rekursiv berechnet werden. Für europäische Optionen gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-12

Für amerikanische Optionen erhält man:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-13

Die rekursive Berechnung des Baumes ergibt dann den Optionspreis V:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-14

3.2 Numerische Iterationsverfahren

Wie bereits erläutert, können für die iterative Bestimmung der impliziten Volatilität sowohl Verfahren zur Nullstellenbestimmung als auch Verfahren zur Minimierung von Funktionen eingesetzt werden. Werden im Falle von europäischen Optionen keine Dividenden während der Restlaufzeit der Option ausgeschüttet, so kann der Optionspreis mit Hilfe der analytischen Black&Scholes Formeln bestimmt werden. Diese lassen sich nach der Volatilität differenzieren, daher kann der sehr schnelle Newton-Raphson Algorithmus, welcher die 1. Ableitung der Funktion erfordert, zur Nullstellenbestimmung verwendet werden. Wenn Dividenden gezahlt werden oder wenn es sich um amerikanische Optionen handelt, müssen iterative Methoden, etwa der zuvor beschriebene Trinomialbaum, zur Bestimmung des Optionspreises eingesetzt werden. In diesem Fall können nur numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung bzw. Minimierung verwendet werden, die ohne Ableitung der Funktion auskommen – sogenannte ableitungsfreie Verfahren. Im Folgenden werden nun einige Iterationsverfahren vorgestellt.

3.2.1 Bisektionsverfahren

Das Bisektionsverfahren ist ein sehr einfaches Iterationsverfahren, welches mit Sicherheit konvergiert. Einzige Voraussetzung für die eindeutige Konvergenz ist, dass die Funktion f (x) im Startintervall [ a 0, b 0] genau eine Nullstelle besitzt. In jedem Iterationsschritt wird dieses Intervall halbiert:^[35]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-15

gilt dann:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-16

so liegt die Nullstelle im Intervall [ ak, xk ]: daher setzt man ak +1= ak und bk +1= xk; andernfalls liegt die Nullstelle im Intervall [ xk, bk ] und man setzt ak +1= xk und bk +1= bk. Dieser Vorgang wird so oft wiederholt bis die gewünschte Genauigkeit erreicht wird.

3.2.2 Van Wijngaarden–Dekker–Brent Algorithmus

Beim Van Wijngaarden–Dekker–Brent Algorithmus bleibt die Nullstelle – wie auch beim Bisektionsverfahren – ständig durch ein Intervall eingeschlossen. Durch drei vorhergehende Iterationspunkte wird eine inverse Parabel^[36] gelegt. Als neuer Iterationspunkt wird die Nullstelle dieser inversen Parabel verwendet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-17

mit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-18

Liegt der so bestimmte Punkt außerhalb des die Nullstelle umschließenden Intervalls oder wird das Intervall nicht schnell genug verkleinert, so wird ein Bisektionsschritt durchgeführt. Auf diese Weise wird die Konvergenz sichergestellt. Zu genaueren Details sei auf die angegebene Literatur^[37] verwiesen.

3.2.3 Brents Verfahren zur Minimierung

Beim Verfahren zur Minimierung nach Brent handelt es sich um die Kombination eines Goldenen-Schnitt-Verfahrens^[38] und dem Fitt einer Parabel durch drei vorangegangene Iterationspunkte. Als Startpunkte dienen die Randpunkte des Startintervalls [a,b], welches das Minimum umschließt, sowie ein zu wählender Startwert für das Minimum innerhalb dieses Intervalls. Als neuer Iterationspunkt wird dann die Abszisse des Minimums dieser Parabel gewählt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-19

Der genaue Ablauf des Algorithmus, insbesondere der Entscheidungsprozess, ob nun die gefittete Parabel für die Iteration verwendet oder ein Iterationsschritt gemäß des Goldenen-Schnitt-Verfahrens durchgeführt wird, ist sehr komplex und soll hier nicht näher ausgeführt werden. Eine detailliertere Darstellung kann bei Brent^[39] nachgelesen werden.

3.2.4 Konvergenzeigenschaften von ableitungsfreien Iterationsverfahren

Da die Berechnung des Trinomialbaumes sehr zeitintensiv ist, ist es von großer Bedeutung, dass das eingesetzte Iterationsverfahren sehr schnell konvergiert und möglichst wenige Funktionsauswertungen (Trinomialbaumberechnungen) benötigt. Aus diesem Grund werden mehrere ableitungsfreie Iterationsverfahren auf ihr Kovergenzverhalten untersucht. Als Maß für die Konvergenzgeschwindigkeit wird dabei nicht etwa die Anzahl der Iterationsschritte, sondern die Anzahl der notwendigen Funktionsauswertungen herangezogen. Getestet werden das Minimierungsverfahren nach Brent sowie die Verfahren zur Nullstellensuche Van Wijngaarden–Dekker–Brent Algorithmus, The World’s Best Root Finder (TWBRF)‚ Bisektionsverfahren, Sekantenverfahren, False-Position-Verfahren und Riddlers’ Algorithmus. Diejenigen Verfahren, die nicht in den vorangegangenen Abschnitten vorgestellt worden sind, werden im Anhang A erläutert.

Am langsamsten konvergiert das False-Position-Verfahren. Das Bisektionsverfahren konvergiert zwar ebenfalls langsam, dafür konvergiert es aber mit Sicherheit und konstanter Geschwindigkeit. Das Sekantenverfahren konvergiert bisweilen sehr schnell, konvergiert jedoch nicht immer und führt bisweilen wegen einer Division durch Null zu einem Fehler. Riddlers’ Algorithmus und TWBRF bilden das Mittelfeld. In seltenen Fällen gelang es TWBRF sogar die beiden schnellsten Algorithmen, Brents Verfahren zur Minimierung und Van Wijngaarden–Dekker–Brent Algorithmus, zu schlagen. Zwischen diesen beiden Algorithmen konnte kein eindeutiger Sieger ermittelt werden. Lag der Wert der zu bestimmenden impliziten Volatilität nahe (19-25%) an dem für Brents Minimierungsroutine vorgegebenen Startwert von 20%, so war sie die schnellste Routine; lag die zu bestimmende implizite Volatilität außerhalb dieses Bereiches, so war der Wijngaarden–Dekker–Brent Algorithmus schneller.

Zu beachten ist, dass die hier gemachten Aussagen über die Konvergenzgeschwindigkeit keineswegs allgemein gültig und nur für die hier untersuchten Funktionen gemäß Gleichung 3-1 und Gleichung 3-2 gesichert sind.

3.3 Die Volatilitätsoberfläche

Das Black&Scholes Modell geht von einer konstanten Volatilität aus. Dies bedeutet insbesondere, dass die implizite Volatilität sowohl für verschiedene Strike-Preise als auch für verschiedene Restlaufzeiten gleich sein muss:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-20

Vor dem Crash im Oktober 1987 war das tatsächlich weitestgehend der Fall: das Black&Scholes Modell konnte die Optionspreise mit guter Näherung erklären. Über die Strike-Spanne von –9% bis +9% variierte die implizite Volatilität um lediglich 1,5 %. Nach dem Crash änderten sich die Verhältnisse jedoch. Out-of-the-money Put und damit auch in-the-money Call-Optionen wurden wesentlich teurer, so dass 1992 die implizite Volatilität über die Strike-Spanne von –9% bis + 9% um 6,5% variierte.^[40] Je nach Verlauf der impliziten Volatilität bei konstanter Restlaufzeit über verschiedene Strike-Preise spricht man von Volatility Smile oder Volatility Skew. Auch Derman sieht den Volatility Smile bzw. Skew als Post-Crash Phänomen.^[41] In Abbildung 3-4 ist der Verlauf des Smiles/Skews für die an der EUREX am 18.7.2005 gehandelten DAX Optionen dargestellt. Dabei wurden nur Strike-Preise berücksichtigt, welche an diesem Tag auch tatsächlich gehandelt wurden. Die für die Bestimmung der impliziten Volatilitäten notwendigen Optionspreise sind als Mittelwert zwischen Tageshöchst- und Tagestiefstpreis berechnet worden. Auch der Preis des Underlyings (DAX) am 18.7.2005 wird als Mittelwert aus Höchst- und Tiefststand mit 4719,025 Punkten ermittelt. Die Zinsen für die jeweilige Restlaufzeit werden aus der Kapitalmarktstatistik Stand 18.7.2005 der Deutschen Bundesbank entnommen. Da die Statistik nur Zinssätze für Laufzeiten von einem Jahr bis zu zehn Jahren in Einjahresschritten liefert, wird angenommen, dass der Zinssatz für Laufzeiten kürzer als einem Jahr gleich dem Zinssatz für einjährige Laufzeit ist. Bei Laufzeiten länger als einem Jahr wird der Zinssatz zwischen den die Laufzeit umschließenden Zinssätzen linear interpoliert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3-4: Volatility Smiles

Die impliziten Volatilitäten werden jedoch nicht über die Strike-Preise, sondern über die Moneyness^[42] aufgetragen. Die Moneyness ist dabei wie folgt definiert:^[43]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-21

Hierbei bezeichnet K den Strike-Preis, S den Underlying-Preis, r den risikofreien Zins und T die Restlaufzeit der Option.

Bei den roten Kurven handelt es sich um OLS^[44] Fitts, als Fittfunktion wird eine von Hafner und Wallmeier^[45] vorgeschlagene kubische Funktion verwendet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-22

mit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-23

Bei den Optionen mit kurzer Laufzeit, den August 2005 Optionen, weist die Kurve eine Smile-Form auf, während bei längerer Laufzeit, etwa bei den Dezember 2006 Optionen, eher von einem Skew gesprochen werden kann. Als Ursache für den Smile nennt Rubinstein eine am Aktienmarkt seit dem Crash vorhandene „Crashophobia“^[46]. Auch Derman^[47] führt den Smile bzw. Skew darauf zurück, dass der Crash die Marktteilnehmer dafür sensibilisiert hat, dass es auch innerhalb eines Tages zu sehr großen Verlusten kommen kann. Zudem wird angemerkt, dass vor allem institutionelle Anleger out-of-the-money Puts in großer Zahl zur Absicherung ihrer Wertpapierportfolios gegen große Kursverluste kaufen, was zu einer hohen Nachfrage nach diesen Optionen und somit zu höheren Preisen führt.^[48] Des Weiteren wird die Existenz des Volatility Smiles damit begründet, dass die Kursverläufe nicht kontinuierlich sind – wie im Black&Scholes Modell angenommen – sondern auch Kurssprünge auftreten können. Ein weiterer Grund für den Volatility Smile wird darin gesehen, dass die Verteilung der Aktienrenditen nicht der im Black&Scholes Modell unterstellten log-normalen Verteilung entspricht. Vor allem in den Randbereichen weicht die tatsächliche Verteilung von der log-normalen Verteilung ab. Abhängig davon, ob solche extremen Kurseinbrüche oder Kurssteigerungen wahrscheinlicher oder unwahrscheinlicher als bei einer log-normalen Verteilung sind, spricht man von sogenannten „thick“ bzw. „thin tails“. Im Falle von Aktienrenditen zeigen empirische Untersuchungen, dass extrem hohe Aktienkursgewinne und Verluste wahrscheinlicher sind als durch eine log-normale Verteilung prognostiziert wird (Leptokurtosis).^[49] Zudem sind die Verteilungen häufig asymmetrisch; aus diesem Grund ist auch in Gleichung 3-22 ein asymmetrischer Term eingeführt worden. Der konkrete Verlauf der Verteilung hängt vom betrachteten Asset ab: während einzelne Aktien Kurssprünge nach oben und unten in etwa gleichem Maße erfahren, sind bei Aktienindizes große Sprünge nach unten weitaus häufiger als Sprünge nach oben. Deshalb zeigen die Volatility Smiles für Optionen auf einzelne Aktien häufig einen symmetrischeren Verlauf als bei Aktienindizes.^[50]

Ebenso wie für verschiedene Strike-Preise sind die am Markt beobachtbaren impliziten Volatilitäten für gleiche Strike-Preise über verschiedene Restlaufzeiten der Optionen verschieden. Den Verlauf der impliziten Volatilität über verschiedene Restlaufzeiten bezeichnet man als „Volatility Term Structure“. Die Term Structure wird auf die empirische Erkenntnis zurückgeführt, dass die Volatilität des zu Grunde liegenden Assets (Index, Aktie, usw.) mit der Zeit variiert.^[51] Der Verlauf der Term Structure wird dadurch geprägt, dass die Volatilität dazu tendiert, zu einem langfristigen Mittelwert zurückzustreben. Ist das aktuelle Volatilitätsniveau im historischen Vergleich eher niedrig, so zeigt die Term Structure einen tendenziell steigenden Verlauf, ist das Niveau dagegen hoch, zeigt sie einen tendenziell fallenden Verlauf. In Abbildung 3-5 ist die Term Structure der an der EUREX gehandelten Call Optionen auf den DAX mit einem Strike von 4750 Punkten dargestellt.

Am 18.7 2005 betrug die historische annualisierte Volatilität^[52] 12,35%, was im historischen Vergleich ein sehr niedriger Wert ist. Die Term Structure vom 18.7.2005 zeigt erwartungsgemäß einen steigenden Verlauf, da man auf Grund des sehr niedrigen Volatilitätsniveaus ein Steigen der Volatilität in der Zukunft erwartet. Die Term Structure weist jedoch nicht immer einen einfachen und monotonen Verlauf wie in Abbildung 3-5 auf.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3-5: Volatility Term Structure

Trägt man die implizite Volatilität über die Restlaufzeiten und Strike-Preise in einem 3d-Diagramm auf, so erhält man eine Fläche, das sogenannte „Volatility Surface“. Da am Markt nur Optionen mit bestimmten diskreten Restlaufzeiten gehandelt werden, muss man, um auch zwischen diesen diskreten Restlaufzeiten die impliziten Volatilitäten angeben zu können, interpolieren. Hierfür sind zwei Verfahren gebräuchlich. Zum einen kann man zwischen den impliziten Volatilitäten für zwei Restlaufzeiten, welche die gewünschte Restlaufzeit umschließen, linear interpolieren:^[53]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-24

Hierbei bezeichnen T die gewünschte Restlaufzeit und T 1und T 2 am Markt gehandelte Restlaufzeiten, die T direkt umschließen. Zum anderen kann man an alle impliziten Volatilitäten aller am Markt gehandelten Optionen (über alle Restlaufzeiten und alle Strike-Preise) eine Flächenfunktion anfitten. Eine solche Funktion wird z. B. von Dumas, Fleming und Whaley^[54] sowie von Ané und Geman^[55] vorgeschlagen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-25

Bei dieser Vorgehensweise muss die gewählte Fittfunktion den tatsächlichen Verlauf der impliziten Volatilitäten mit guter Näherung abbilden können. Insbesondere der funktionale Zusammenhang zwischen Restlaufzeit und impliziter Volatilität – die Term Structure – bereitet dabei jedoch Probleme.^[56] Aus diesem Grund wird es häufig vorgezogen, die Smile-Funktionen für die am Markt gehandelten Restlaufzeiten zu fitten und zwischen diesen, wie schon beschrieben, linear zu interpolieren.

Zusammenfassend ist festzuhalten, dass der Markt mit den verschiedenen impliziten Volatilitäten für verschiedene Strike-Preise und für verschiedene Restlaufzeiten summarisch den Abweichungen der Realität von den Annahmen des Black&Scholes Modells Rechnung trägt. Die impliziten Volatilitäten entsprechen daher nicht nur der Markterwartung über die zukünftige realisierte Volatilität.

Um den Smile bzw. die Term Structure modellinhärent erklären zu können, sind zahlreiche erweiterte Modelle vorgeschlagen worden. Bei den Local Volatility Modellen^[57] hält man die Annahmen des Black&Scholes Modells weitgehend aufrecht. Man ersetzt die konstante Volatilität des dem Black&Scholes Modell zu Grunde liegenden Aktienkursprozesses durch eine Volatilität, die sowohl vom Aktienkurs als auch von der Zeit abhängig ist. Berechnen lässt sich ein solches Modell mit sogenannten Implied Trees, einer Erweiterung von Binomial- und Trinomialbäumen mit variabler Volatilität. Bei Stochastic Volatility Modellen^[58] wird sowohl der Aktienkursprozess als auch dessen Volatilität als stochastischer Prozess modelliert. Die Jump Diffusion Modelle^[59] werden dadurch inspiriert, dass sich Aktienkurse nicht immer kontinuierlich entwickeln, sondern auch Sprünge erfahren. Bei den Jump Diffusion Modellen wird daher der Aktienkursprozess um Aktienkurssprünge erweitert. Des Weiteren sind sehr ausgefeilte Modelle publiziert worden, welche Ansätze aus den vorgenannten Modellklassen kombinieren.^[60] Dennoch gibt es bis heute keinen Konsens über das „richtige“ Modell. Eine der wesentlichen Anwendungen von Optionspreismodellen ist die Berechnung von Hedge-Ratios zum Hedgen von Optionspositionen. Doch gerade hier befindet man sich in einem Dilemma. Während Local Volatility Modelle zu geringeren Hedge-Ratios führen als das Black&Scholes Modell, führen Stochastic Volatility Modelle in der Regel zu größeren Hedge Ratios als das Black&Scholes Modell.^[61] Zudem weisen die mit dem einfachen Black&Scholes Modell berechneten Replikationsportfolios bisweilen geringere Replikationsfehler auf als solche, die mit komplizierteren Modellen berechnet worden sind. Aus diesen Gründen, und nicht zuletzt wegen seiner Einfachheit, erfreut sich das Black&Scholes Modell trotz zahlreicher Alternativen immer noch größter Beliebtheit im Handel mit Finanzderivaten.^[62]

3.4 Vorhersagen der Volatilität

In Abschnitt 2.4 ist bereits darauf hingewiesen worden, dass sich die zukünftige Volatilität besser vorhersagen lässt als zukünftige Werte des Underlyings. In diesem Abschnitt werden nun zunächst die gebräuchlichsten Schätzer für die zukünftige Volatilität in separaten Abschnitten vorgestellt. Anschließend wird die Vorhersagegüte der verschiedenen Schätzer diskutiert.

3.4.1 Historische Volatilität

Sehr nahe liegend ist es, die historische Volatilität für die Schätzung der zukünftigen Volatilität heranzuziehen. Die historische Volatilität wird dabei gemäß den Gleichungen 2-1 bzw. 2-2 definiert. Dabei ist es üblich, einfach die historische Volatilität als Schätzer zu verwenden. Allerdings werden auch gleitende Durchschnitte zum Schätzen der zukünftigen Volatilität herangezogen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-26

mit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-27

Sehr populär sind exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitte:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-28

mit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-29

3.4.2 Implizite Volatilität

Auch wenn – wie in Abschnitt 2.3 bereits erwähnt – die implizite Volatilität nicht allein die vom Markt erwartete zukünftige Volatilität widerspiegelt, wird sie dennoch häufig als die Markterwartung der zukünftigen Volatilität interpretiert. Aus diesem Grund wird sie auch oft als Schätzer für die zukünftige Volatilität herangezogen. Die implizite Volatilität ist jedoch abhängig vom Strike-Preis der Optionen.^[63] Da at-the-money Optionen am liquidesten gehandelt werden, schreibt man ihnen die korrektesten Preise zu. Deshalb wird im Allgemeinen die implizite Volatilität von at-the-money Optionen als Schätzer für die zukünftige Volatilität verwendet. Für einen Zeitpunkt t + T in der Zukunft schätzt man die zukünftige Volatilität mit der Volatilität von at-the-money Optionen mit einer Restlaufzeit von T:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 3-30

Werden keine Optionen mit einer Restlaufzeit T gehandelt, so wird zwischen gehandelten Restlaufzeiten linear interpoliert.^[64] Die Parameter ω und α werden zuvor mittels Regression anhand historischer Daten bestimmt.

3.4.3 ARCH und GARCH Modelle

3.4.3.1 ARCH und GARCH Modelle im Überblick

Die von Engle 1982 eingeführten und von Bollerslev 1986 verallgemeinerten ARCH und GARCH Modelle sind zur Modellierung von Finanzzeitreihen entwickelt worden. Traditionell wurden Finanzzeitreihen – wie etwa Aktienrenditen – mit ARMA^[65] -Prozessen modelliert:

[...]

---

^[1] Siehe Sommerfeldt (2005).

^[2] Siehe Reiss/Amanti/Schneider/Maras (2004).

^[3] Siehe Müller/Weber (2005).

^[4] Siehe Andreß (2005).

^[5] ARD o.V. (2005).

^[6] Poon (2005) Kap. 1.

^[7] In Gleichung 2-1 geht ein Freiheitsgrad für die Bestimmung des Mittelwertes verloren.

^[8] Siehe Windcliff/Forsyth,/Vetzal (2003).

^[9] Es gibt in etwa 252 Handelstage pro Jahr.

^[10] Dies gilt auch für andere Optionspreismodelle; die meisten Modelle besitzen keine analytische Darstellung, weshalb eine analytische Bestimmung der impliziten Volatilität ohnehin nicht möglich ist.

^[11] Siehe z.B. Christensen/Hansen (2002).

^[12] Siehe Chance (2003).

^[13] Siehe Kapitel 3.

^[14] Siehe Kapitel 4.

^[15] Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung bzw. der Volatilität.

^[16] Für eine detaillierte Beschreibung von Variance-Swaps siehe Kapitel 4.

^[17] Für weitere Informationen siehe Abschnitt 4.3.

^[18] Für weitere Informationen siehe Abschnitt 4.3.

^[19] Siehe Bowler/ Ebens/Davi/Kolanovi c (2003).

^[20] Siehe Bowler/ Ebens/Davi/Kolanovi c (2003), Hafner/Wallmeier (2005), Toikka/ Tom/Chadwick/Bolt-Christmas (2004) und Reiss/Amanti/Schneider/Maras (2004).

^[21] Siehe Toikka/ Tom/Chadwick/Bolt-Christmas (2004).

^[22] Siehe Bakshi/Kapadia (2001), Carr/Wu (2005), Moise (2005) und Reiss/Amanti/Schneider/Maras

(2004).

^[23] Für eine ausführliche Diskussion siehe Kapitel 5.

^[24] Abbildung aus Reiss/Amanti/Schneider/Maras (2004).

^[25] Alle anderen Parameter sind fix und entsprechen den Werten der am Markt beobachteten Option.

^[26] Auch Verfahren zur Maximierung können eingesetzt werden, indem man – fmin maximiert.

^[27] Siehe auch Abschnitt 3.3.

^[28] Siehe Merton (1978).

^[29] Siehe z.B. Hull/White (1988), Stein/Stein (1991) und Heston (1993).

^[30] Siehe Black/Scholes (1973).

^[31] Siehe Cox/Ross/Rubinstein (1979).

^[32] Siehe Tian (1993).

^[33] Siehe Hull (2000).

^[34] Siehe Hull (2000).

^[35] Siehe Press/Teucholsky/Vetterling (1992) Kap. 9.1.

^[36] x als quadratische Funktion von y.

^[37] Siehe Brent (1973) Kap. 3 und 4 oder Press/Teucholsky/Vetterling (1992) Kap. 9.3.

^[38] Hierbei wird das Iterationsintervall nicht halbiert wie beim Bisektionsverfahren, sondern im Goldenen Schnitt geteilt (vgl. Press/Teucholsky/Vetterling (1992) Kap. 10.1).

^[39] Siehe Brent (1973) Kap. 5 oder Press/Teucholsky/Vetterling (1992) Kap. 10.2.

^[40] Siehe Rubinstein (1994).

^[41] Siehe Derman (2003).

^[42] Meist wird die Moneyness einfach als Verhältnis zwischen Strike-Preis und Underlying-Preis K / S definiert. In dieser Form auch als Simple Moneyness bezeichnet.

^[43] Siehe Natenberg (1994).

^[44] Ordinary Least Squares.

^[45] Hafner/Wallmeier (2005).

^[46] Siehe Rubinstein (1994).

^[47] Siehe Derman (2003).

^[48] Siehe Chance (2004).

^[49] Siehe z.B. Jackewerth/Rubinstein (1996) und Eberlein/Keller/Prause (1998).

^[50] Siehe Derman (2003).

^[51] Siehe z.B. Schwert (1989), Dupire (1994), Rubinstein (1994) und Derman/Kani (1994).

^[52] Berechnet gemäß Gleichung 2-2 auf Basis der vorhergehenden 22 Tage.

^[53] Siehe z. B. Hafner/Wallmeier (2000).

^[54] Siehe Dumas/Fleming/Whaley (1998).

^[55] Siehe Ané/Geman (1999).

^[56] Siehe Hafner/Wallmeier 2000.

^[57] Siehe z.B. Dupire (1994), Rubinstein (1994) und Derman/Kani (1994).

^[58] Siehe z.B. Hull/White (1988), Stein/Stein (1991) und Heston (1993).

^[59] Siehe Merton (1978).

^[60] Siehe z.B. Bates (1996) für eine Kombination aus Jump Diffusion und Stochastic Volatility sowie Alexander/Noguiera (2004) für eine Kombination aus Local Volatility und Stochastic Volatility.

^[61] Vgl. Derman (2003).

^[62] Siehe Nandi/Waggoner (2000).

^[63] Siehe Abschnitt 3.3.

^[64] Analog zur Interpolation von Volatility Smiles für nicht gehandelte Restlaufzeiten in Abschnitt 3.3.

^[65] Autoregressive Moving Average.