Portfoliooptimierung nach dem Black-Litterman-Ansatz


Hausarbeit, 2018

20 Seiten


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Anlagenverzeichnis

Symbolverzeichnis

1 Einleitung

2 Der Black-Litterman-Ansatz
2.1 Gründe für die Entwicklung des Black-Litterman-Ansatzes
2.2 Aufbau des Black-Litterman-Ansatzes
2.3 Mathematische Konzeption des
Black-Litterman-Ansatzes
2.3.1 Bestimmung der Referenzrenditen
2.3.2 Formulierung der Prognosemeinungen
2.3.3 Kombination der Prognosen mit den Referenzrenditen
2.3.4 Portfolio mit Black-Litterman-Renditen

3 Umsetzung des Black-Litterman-Ansatzes mit Excel

4 Analyse des Black-Litterman-Ansatzes

5 Fazit

Literatur- und Quellenverzeichnis

Anhang

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Renditeerwartungen im Black-Litterman-Ansatz

Abbildung 2: Portfoliogewichte im Black-Litterman-Ansatz

Abbildung 3: Effizientes Portfolio

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Anlagenverzeichnis

Anlage 1: Korrelationsmatrix

Anlage 2: Portfoliooptimierung mit dem Black-Litterman-Modell

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

Die wissenschaftliche Studie von Fischer Black und Robert Litterman mit dem Titel „Global Portfolio Optimization“, welche im Jahr 1992 im „Financial Analyst Journal“ veröffentlicht wurde, stellt den Black-Litterman-Ansatz vor, welcher die moderne Portfoliotheorie weiterentwickeln will.1

Die Grundlage für die moderne Portfoliotheorie wurde bereits in den 1950er Jahren durch die „Portfolio Selection Theory“ von Harry M. Markowitz gelegt,2 welche durch Diversifikation3 zwei Ziele verfolgt: eine maximale Portfoliorendite bei einem gleichzeitig minimalen Portfolio-risiko4.5 Dieser wissenschaftlich anerkannte Ansatz genügt den finanzwirtschaftlichen Ansprüchen nicht, denn die „Portfolio Selection Theory“ reagiert bei kleinen Änderungen der Eingabeparameter Risiko und Rendite äußerst sensibel und führt zu extremen Portfoliogewichten.6

In der Praxis gab es zahlreiche Diskussionen zwischen qualitativ fundamental geprägten Portfoliomanagement und quantitativen Methoden, denn die Anwendung quantitativer Methoden ist mit Problemen verbunden.7 Black und Litterman entwickelten mit ihrer Modifikation für Goldman Sachs8 ein robustes Optimierungsverfahren,9 welches das Verhalten der Manager realistisch einbezieht.10 Sie wollen mit ihrem Ansatz, der die Kombination von Referenzrenditen mit subjektiven Prognosen ermöglicht, die quantitativen Methoden für den praktischen Einsatz anwendbar machen.11

Ziel dieser Arbeit ist, den Black-Littermann-Ansatz vorzustellen und zu analysieren, ob es sich bei dem quantitativen Ansatz von Black und Litterman um eine Portfoliooptimierung handelt. In Kapitel 2.1 werden als Basis die Gründe für die Entwicklung des Ansatzes herausgearbeitet. Anschließend wird der BL-Ansatz formal und mathematisch in den Kapiteln 2.2 und 2.3 vorgestellt. Die Umsetzung mit Excel erfolgt in Kapitel 3. In Kapitel 4 erfolgt eine Analyse des BL-Ansatzes unter Einbeziehung des Excel-Beispiels. Abschließend wird ein Fazit gezogen.

2 Der Black-Litterman-Ansatz

2.1 Gründe für die Entwicklung des Black-Litterman-Ansatzes

In diesem Kapitel wird auf die Gründe für die Entwicklung des BL-Modells eingegangen.

Bedeutung quantitativer Modelle

Black und Litterman führen auf, dass quantitative Modelle nicht die Position im globalen Portfoliomanagement haben, welche sie einnehmen sollten. Es müsste erwartet werden, dass quantitative Modelle hinsichtlich der vielen Korrelationen, die zwischen den einzelnen Assets bestehen, eine dominante Rolle spielen sollten,12 um das komplizierte Beziehungsgeflecht zwischen den Anlageklassen zu erfassen.13 Manager, welche quantitative Modelle nutzen, um die kritische Allokationsentscheidung der Vermögensaufteilung zu optimieren, haben jedoch nicht den gewünschten Erfolg erzielt. Bisherige Modelle sind schwer anwendbar und resultieren in Portfolios, die schlecht performen. Black und Litterman führen dies auf folgende Probleme zurück:14

Problem der extremen Portfolioallokation15

Black und Litterman erläutern, dass quantitative Modelle zu großen Short-Positionen16 in vielen Assets führen, wenn der Manager keine Restriktionen vorgibt.17 Short-Positionen können aus institutionellen, rechtlichen oder auch marketingtechnischen Gründen meist nicht realisiert werden.18 Werden Short-Positionen durch Restriktionen ausgeschlossen, führen die Modelle zu großen Gewichten in Assets mit kleiner Marktkapitalisierung oder zu sogenannten „Corner“-Lösungen, bei welchen viele Assets mit „Null“ gewichtet werden.19

Probleme der Informationsaggregation und der Schätzfehler in den Eingabegrößen20

Erwartete Renditen sind schwer abzuschätzen. Manager verfügen in der Regel nur in wenigen Märkten über fundiertes Wissen bezüglich absoluter oder relativer Renditen. Ein Standardoptimierungsmodell erfordert jedoch, dass Manager für alle Assets erwartete Renditen schätzen müssen. Dementsprechend erweitern Manager ihre Prognosen mit zusätzlichen Renditeannahmen. Dabei greifen sie oft auf historische Renditen zurück.21 Dies erweist sich jedoch als problematisch, da Prognosen auf Basis historischer Daten aufgrund der hohen Volatilitäten mit erheblichen Schätzfehlern22 verbunden sind.23 Zudem wird die Nutzung von Daten aus der Vergangenheit als „Blick in den Rückspiegel“ gewertet. Inwieweit historische Daten für Prognosen genutzt werden können, ist fraglich.24

Problem der Sensitivität der Portfoliogewichte

Ein weiteres Problem ist die hohe Sensitivität der Portfoliogewichte hinsichtlich der Renditeannahme.25 Bereits marginale Veränderungen in den Renditeannahmen können zu großen Veränderungen in den Portfoliogewichten führen.26

Problem der fehlenden Unterscheidung zwischen

sicheren Renditeannahmen und Renditeeinschätzungen

Black und Litterman führen weiterhin auf, dass es Standardmodellen nicht gelingt, „sichere“ Renditeeinschätzungen von Renditeannahmen zu unterscheiden. Die „optimalen“ Portfolios, welche durch die bisherigen Modelle generiert werden, haben außerdem nur einen geringen oder keinen Bezug zu den Renditeeinschätzungen, die der Manager einbringen will.

Diese Schwierigkeiten führen dazu, dass, trotz der konzeptionellen Attraktivität von quantitativen Modellen, nur wenige Manager erlauben, diese in ihre Investmententscheidung einzubringen.27 Der innovative Ansatz von Black und Litterman setzt sich zum Ziel, eine intuitive Lösung zu den o. g. Probleme zu bieten.

2.2 Aufbau des Black-Litterman-Ansatzes

In diesem Kapitel folgt ein formaler Überblick über den Aufbau des Black-Litterman-Modells.

Die Ermittlung der Black-Litterman-Renditen erfolgt in drei Schritten:

[1] Bestimmung von Referenzrenditen
[2] Formulierung von subjektiven Renditeprognosen
[3] Kombination der Referenzrenditen mit den subjektiven Prognosen

Im ersten Schritt erfolgt die Ermittlung der Referenzrenditen.28 Diese Referenzrenditen werden auf Basis eines Referenzportfolios erstellt, welches das „normale“ Anlageverhalten des Portfoliomanagers widerspiegelt. Als Referenzrenditen können zum einen langfristige Renditeerwartungen herangezogen werden, die sich aus der strategischen Asset Allokation29 eines Managers ableiten. Zum anderen eignen sich auch Gleichgewichtsrenditen eines CAPM30 als Basis. Diese Gleichgewichtsrenditen werden auf Grundlage des Marktportfolios ermittelt. Es kann auch eine Benchmark verwendet werden, um die Referenzrenditen zu berechnen.31

Black und Litterman nutzen als neutralen Ausgangspunkt die Gleichgewichtsrenditen, welche sich aus dem Marktportfolio ergeben.32

Diese Renditen können, wenn die aktuelle Marktkapitalisierung der Anlageklassen bekannt ist, mittels der sog. Umkehroptimierung („Reverse Optimization“) bestimmt werden.

Im zweiten Schritt kommt es zur Formulierung der subjektiven Renditeprognosen eines Portfoliomanagers bzw. Analysten.

Im BL-Modell wird die zentrale Annahme des CAPM zugrunde gelegt, dass jeder Manager das kapitalisierungsgewichtete Portfolio (Marktportfolio) langfristig halten möchte und somit der Kapitalmarkt geräumt ist („clear the market“33 ).34 Black und Litterman gehen nicht davon aus, dass das CAPM grundsätzlich gilt. Sie nehmen an, dass es Abweichungen der Renditen vom Gleichgewicht geben kann. Diese Abweichungen sind nicht von langer Dauer, da der Markt die Renditen wieder zum Gleichgewicht zurückzwingt.35 Im Rahmen der taktischen Asset Allokation ist es im BL-Modell durch die Einbeziehung der subjektiven Renditeprognosen eines Managers möglich, diese Abweichungen zur Gewinnerzielung auszunutzen.36

Bei der Formulierung subjektiver Renditeeinschätzungen bilden die Referenzrenditen die Grundlage. Davon ausgehend bringen Manager eigene Renditeerwartungen ein, die auf öffentlichen und privaten Informationen basieren.37 Dies kann dazu führen, dass diese Renditeerwartungen von den Referenzrenditen abweichen.38

Manager können ihre Meinung über die Entwicklung einzelner Assets in absoluter oder relativer Form einfließen lassen.39 Eine absolute Einschätzung könnte folgendermaßen lauten: „Es wird erwartet, dass Unternehmen A eine Rendite von X % erwirtschaftet.“ Eine relative Prognose könnte wie folgt formuliert werden: „Es wird erwartet, dass Unternehmen A um X % die Rendite des Unternehmens B übertreffen wird.“40

Der Ansatz von Back und Litterman erfordert nicht, dass ein Manager für alle Assets „Views“41 abgeben muss.42 Sofern der Manager keine Views abgibt, entsprechen die Renditen den Referenzrenditen und das optimale Portfolio ohne Restriktionen entspricht somit dem Marktportfolio.

Die Modifikation, dass der Manager auf Referenzrenditen zurückgreifen kann, wenn er keine eigenen Views hat, vermindert das Problem der Informationsaggregation.43

Wenn der Manager einen oder mehrere Views abgibt, weicht das optimale Portfolio vom Marktportfolio ab. Der Grad der Abweichung hängt von der Richtung der abgegebenen Views ab.44

Bei der Implementierung der subjektiven Renditeprognosen besteht jedoch die Schwierigkeit, dass der Manager nicht nur die Richtung und Höhe seiner Renditeprognose bestimmen muss, sondern auch die Güte der Prognosefähigkeit quantifizieren muss,45 da der Eintritt der formulierten Prognosen unweigerlich mit Unsicherheit behaftet ist.46 Idzorek spricht hierbei von einem der kompliziertesten Aspekte des BL-Ansatzes.47

Im dritten Schritt wird die Kombination der subjektiven Prognosen mit den ermittelten Renditen des Referenzportfolios vorgenommen. Hieraus resultieren die BL-Renditen, die auch revidierte Renditeerwartungen genannt werden. Dies ist das wichtigste Merkmal des BL-Ansatzes. Die Kombination führt zu ökonomisch besser abgestützten und stabileren Portfoliogewichten.

Anschließend können die BL-Renditen an eine klassische Mittelwert-Varianz-Optimierungsroutine weitergegeben werden.48

2.3 Mathematische Konzeption des Black-Litterman-Ansatzes

In diesem Kapital wird die mathematische Konzeption des BL-Ansatzes erklärt. Aufgrund der besseren Darstellung und Verständlichkeit der Formeln und Gleichungen wird auf Matrizenschreibweise abgestellt. Im Folgenden beschreibt n die Anzahl der Anlageklassen.

2.3.1 Bestimmung der Referenzrenditen

Die Wahl des optimalen Portfolios ohne Restriktionen erfolgt, indem die sog. Mittelwert-Varianz-Bewertungsfunktion maximiert wird:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten49

Die Lösung für den optimalen Gewichtungsvektor stellt sich wie folgt dar:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten50

wobei w* für den zu optimierenden Vektor der optimalen

Portfoliogewichte steht.

Dabei wird der Gewichtungsvektor w* so festgesetzt, dass die Funktion in Gleichung (1) maximiert wird. Dadurch wird die optimale Ausprägung der Portfoliogewichte erreicht.51 Diese Formel wird in Kapitel 3 zur Berechnung von optimalen Portfoliogewichten verwendet, da dadurch wichtige Einblicke in das Black-Litterman-Modell gegeben werden.52

Die Vorgehensweise ist bei der Umkehroptimierung entgegengesetzt. Die Renditen sind gesucht und die Portfoliogewichte liegen als relative Marktkapitalisierung (wmkt) vor. Wird Gleichung (2) nach den Renditen aufgelöst, ergibt sich folgende Gleichung für die Gleichgewichts-renditen Π:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Gleichgewichtsrenditen sind die Referenzrenditen, von denen im Rahmen der subjektiven Renditeprognose abgewichen werden kann.53

Black und Litterman nehmen eine Normalverteilung der Gleichgewichts-renditen an, die folgendermaßen beschrieben werden kann:54

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es wird angenommen, dass die Varianz-Kovarianz-Matrix der erwarteten Renditen und die historische Varianz-Kovarianz-Matrix proportional zueinander ist. Der Proportionalitätsfaktor wird mit τ bezeichnet. Er misst das Vertrauen, welches ein Portfoliomanager in sein Referenzportfolio hat. Ein niedriges τ kann als hohes Vertrauen des Managers in das Referenzportfolio gesehen werden.55 Black und Litterman sagen diesbezüglich, dass τ nahe bei Null liegen sollte.56

2.3.2 Formulierung der Prognosemeinungen

Der Ansatz von Black und Litterman ist, individuelle Renditeprognosen mit den Gleichgewichts- bzw. Referenzrenditen zu kombinieren.57

Renditeprognosen können, wie bereits in Kapitel 2.2 erwähnt, sowohl in absoluter als auch in relativer Form abgegeben werden. Im BL-Ansatz wird die Aufnahme der absoluten bzw. relativen Einschätzungen in die Portfoliooptimierung gleichermaßen einbezogen.58 Die subjektiven Renditeprognosen werden als normalverteilt angenommen.59

Black und Litterman legen zugrunde, dass die Prognosen als unterschiedliche Linearkombinationen verschiedener Anlagekategorien dargestellt werden können.60 Dies erfolgt durch nachstehende Gleichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit k werden die Prognosen bezeichnet.61 Im Rahmen des BL-Modells kann die Anzahl der Prognosen k ˂ n, k = n, k˃ n als die Anzahl der Anlageklasseklassen sein.62

Es folgt eine kurze Erläuterung der Matrix P, des Erwartungsvektors Q und des Störgrößenvektors ε.

Die Matrix P bildet die Grundlage für die Ausgestaltung der einzelnen Einschätzungen und ist wie folgt aufgebaut:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der Ausgestaltung der Matrix P muss zwischen absoluten und relativen Prognosen unterschieden werden.

Bei relativen Prognosen erhalten diejenigen Anlageklassen, die eine schwächere erwartete Rendite haben, eine negative Gewichtung, während renditestärkere Anlageklassen ein positives Gewicht erhalten. Im Rahmen dieser Arbeit wird das Prinzip der Gleichgewichtung angewendet. Es erfolgt eine proportionale Gleichgewichtung der renditeschwächeren bzw. renditestärkeren Anlageklassen. Bei einer relativen Prognose gleichen sich die einzelnen Therme einer Zeile aus.

Bei der Implementierung einer absoluten Prognose gibt es nur eine Darstellung. An der Stelle des betroffenen Wertpapiers steht die Zahl 1, was dazu führt, dass die Zeilensumme 1 ergibt.63

Der Vektor Q, welcher ein Spaltenvektor ist, stellt die individuellen Prognosen eines Managers quantifiziert dar. Die Prognosen eines Managers sind jedoch mit Unsicherheit verbunden. Dies wird durch den Vektor ε dargestellt. Er enthält für die einzelnen Prognosen die dazugehörigen Schätzfehler.64 Es wird vereinfacht angenommen, dass der Vektor gemäß ε ~ N (0, Ω) normalverteilt ist und dass die Prognosen und deren Schätzfehler voneinander unabhängig sind. Die Matrix Ω nimmt diesen Sachverhalt auf.65 Ω ist eine diagonale Varianz-Kovarianz-Matrix, deren diagonalen Elemente die Varianzen der Schätzfehler darstellen und in den nicht-diagonalen Zellen die Zahl 0 beinhalten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Diagonalmatrix erlaubt somit eine Aussage über die Prognosegüte des Managers, denn je kleiner (größer) die Varianz ω ist, desto besser (schlechter) ist die Prognose des Managers66 und desto größer (kleiner) sind die Abweichungen der revidierten Portfoliogewichte vom Referenzportfolio.67 Bei der Bestimmung der Varianzen ω gibt es in der Fachliteratur diverse Ansätze. In dieser Seminararbeit wird auf den Ansatz von He und Litterman zurückgegriffen. Sie nehmen an, dass sich die Varianzen der Prognosen proportional zu den Varianzen der Assets entwickeln und demnach der Varianz der Verteilung der Gleichgewichtsrenditen entspricht. Die Varianzen ω bestimmen sich wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]


1 Vgl. Black/Litterman (1992), S. 28 – 43.

2 Vgl. Ernst/Schurer (2015), S. 205.

3 Kombination risikotragender Assets zur Verbesserung des Gesamtrisikoprofils eines Portfolios, vgl. Bruns/Meyer-Bullerdiek (2003), S. 621.

4 Portfoliorisiko: Risiko ist in diesem Zusammenhang die Standardabweichung (Volatilität) der Renditen, vgl. Drobetz (2003), S. 204.

5 Vgl. Drobetz (2003), S. 204.

6 Vgl. Michaud (1989), S. 31- 41.

7 Vgl. Dichtl/Podding (2002), S. 742.

8 Vgl. Bernstein (2009), S. 231 f.

9 Vgl. Ernst/Schurer (2015), S. 495.

10 Vgl. Drobetz (2003), S. 213.

11 Vgl. Black/Litterman (1992), S. 42.

12 Vgl. Black/Litterman (1992), S. 28.

13 Vgl. Drobetz (2002), S. 207.

14 Vgl. Black/Litterman (1992), S. 28.

15 Vgl. Drobetz (2003), S. 207.

16 Verkauf von Wertpapieren ohne entsprechende physische Deckung (= Leerverkauf), vgl. Bruns/Meyer-Bullerdiek (2003), S. 626.

17 Vgl. Black/Litterman (1992), S. 28.

18 Vgl. Drobetz (2003), S. 207

19 Vgl. Black/Litterman (1992), S. 28.

20 Vgl. Drobetz (2003), S. 206 -213.

21 Vgl. Black/Litterman (1992), S. 28.

22 Schätzfehler: Die Ausprägungen der geschätzten Parameter weichen von den tatsächlichen (aber unbeobachtbaren) Werten ab, vgl. Drobetz (2003), S. 211.

23 Vgl. Drobetz (2003), S. 211.

24 Vgl. Sauer (2002), S. 176.

25 Vgl. Black/Litterman (1992), S. 28.

26 Vgl. Drobetz (2003), S. 209.

27 Vgl. Black/Litterman (1992), S. 28.

28 Vgl. Ernst/Schurer (2015), S. 500.

29 Asset Allokation: Gewichtung von Vermögenswerten auf Anlageklassen, vgl. Sharpe (1992), S. 7.

30 Modell der Kapitalmarkttheorie, welches einen linearen Zusammenhang zwischen der erwarteten Rendite und dem systematischen Risiko annimmt, vgl. Bruns/Meyer-Bullerdiek (2003), S. 618.

31 Vgl. Drobetz (2003), S. 213 - 217.

32 Black und Litterman diskutieren bei der Auswahl geeigneter Referenzrenditen auch historische erwartete Renditen, gleiche erwartete Renditen sowie risikoadju- stierte erwartete Renditen, vgl. Black/Litterman (1992), S. 30 – 33.

33 Vgl. Black/Litterman (1992), S. 32.

34 Vgl. Drobetz (2003), S. 213 f.

35 Vgl. Black/Litterman (1992), S. 29.

36 Vgl. Drobetz (2003), S. 214.

37 Vgl. Ernst/Schurer (2015), S. 501.

38 Vgl. Drobetz (2003), S. 217.

39 Vgl. Black/Litterman (1992), S.29

40 Vgl. Ernst/Schurer (2015), S. 509.

41 Die Prognosen und Einschätzungen werden bei Black/Litterman und in der Fachliteratur auch als „Views“ bezeichnet.

42 Vgl. Black/Litterman (1992), S. 28.

43 Vgl. Black/Litterman (1992), S. 28.

44 Vgl. He/Litterman (1999), S. 6.

45 Vgl. Drobetz (2003), S. 218.

46 Vgl. Ernst/Schurer (2015), S. 502.

47 Vgl. Idzorek (2004), S. 11.

48 Vgl. Drobetz (2003), S. 213 und S. 217.

49 Vgl. Drobetz (2003), S. 214.

50 Vgl. Ernst/Schurer (2015), S. 505.

51 Vgl. Drobetz (2003), S. 214 f.

52 Vgl. He/Litterman (2002), S. 5 f.

53 Vgl. Drobetz (2003), S. 214 f.

54 Vgl. Black/Litterman (1992), S. 35.

55 Vgl. Drobetz (2003), S. 219.

56 Vgl. Black/Litterman (1992), S. 34.

57 Vgl. Black/Litterman (1992), S.34.

58 Vgl. Ernst/Schurer (2015), S. 509.

59 Vgl. Drobetz (2003), S. 219.

60 Vgl. Black/Litterman (1992), S. 35.

61 Vgl. Ernst/Schurer (2015), S. 509.

62 Vgl. Drobetz (2003), S. 221.

63 Vgl. Ernst/Schurer (2015), S. 510 – 513.

64 Vgl. Drobetz (2003), S. 220.

65 Vgl. Black/Litterman (1992), S. 35.

66 Vgl. Idzorek (2005), S. 10 f.

67 Vgl. Drobetz (2003), S. 218.

Ende der Leseprobe aus 20 Seiten

Details

Titel
Portfoliooptimierung nach dem Black-Litterman-Ansatz
Autor
Jahr
2018
Seiten
20
Katalognummer
V505988
ISBN (eBook)
9783346067494
ISBN (Buch)
9783346067500
Sprache
Deutsch
Schlagworte
portfoliooptimierung, black-litterman-ansatz
Arbeit zitieren
Jan Ehinger (Autor), 2018, Portfoliooptimierung nach dem Black-Litterman-Ansatz, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/505988

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