Optimale Risikoteilung bei Versicherungsverträgen unter Beachtung von Moral Hazard

Inhaltsverzeichnis

Notationsverzeichnis

1 Fragestellung

2 Grundlegendes Modell

3 Optimale Versicherungsleistung

4 Schadenminderung

5 First Best Lösung

6 Second Best Lösung

7 Diskussion und Vergleich mit der Praxis der Versicherungswirtschaft

Literaturverzeichnis

Notationsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Fragestellung

Versicherungsverträge können als Verträge über den Transfer von Risiko betrachtet werden. Dadurch kommt es zu einer Teilung des Risikos zwischen Versicherer und Versicherten. Aus volkswirtschaftlicher Sicht kommt dabei sofort die Frage nach einer paretooptimalen Verteilung des Risikos auf.

Einer der einschlägigen Artikel dazu „Unvertainty and the Welfare Economics of Medical Care“ wurde 1963 von J.K. Arrow verfasst.^[1]. Die Lösung von Arrow soll kurz dargelegt werden, da sie auch aus betriebswirtschaftlicher Sicht für konkrete Vertragsausgestaltungen von Interesse sind.

Aus Sicht der Agency Theory kann ein Versicherungsvertragsverhältnis als Agency Problem betrachtet werden. Dabei kommt dem Versicherer die Rolle der Prinzipalin und dem Versicherten die Rolle des Agenten zu.

Grundsätzlich lassen sich auf den Versicherungsvertrag die meisten klassischen Probleme der Agency Theory übertragen. Beispielsweise hat der Agent bessere Informationen über das Risiko als die Prinzipalin, wodurch ein Adverse Selection Problem entsteht.

Andererseits kann der Agent nach Vertragsabschluss Maßnahmen setzen, die die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Schadens, bzw. die Schadenhöhe beeinflussen. Diese Maßnahmen sind vom Versicherer im Normalfall nicht beobachtbar und können daher auch nicht vertraglich vereinbart werden. Dieses Problemstellung wir als Moral Hazard Problem bezeichnet.

Wir wollen uns in dieser Arbeit mit dem letzteren Problem beschäftigen. Im Blickpunkt unserer Untersuchung soll dabei liegen, welchen Effekt die dargelegte Informationsasymmetrie bezüglich der vom Versicherten gesetzten Schadenminderungsannahmen auf die optimale Verteilung von Risiko hat.

Was die Wirkung der Schadenminderungsaktivitäten auf die Schadenverteilung betrifft, so werden wir der von J.A. Mirrlees 1974 in seinem Artikel „Welfare Economics, information and uncertainy“ vorgeschlagenen Formalisierung folgen.^[2] Was die Lösung des Moral Hazard Problems betrifft, so werden wir die Lösung, die von K. Bender und A. Richter 2002 im Artikel „Optimales Vertragsdesign bei moralischem Risiko in der Rückversicherung“ im darlegen und diskutieren.^[3]

Abschließend wollen wir die Ergebnisse dieser formalen Betrachtungen mit den konkreten Praktiken der Versicherer in der Realität vergleichen.

2 Grundlegendes Modell

Wir betrachten einen Versicherungsvertrag.^[4] Der Agent (Versicherter) versichert sich vor Schäden X. X wird maßgeblich von einer Dichtefunktion f zur diskreten Zufallsvariablen x [0,T] bestimmt.

Beim Eintritt von Schäden im Ausmaß von X, erhält der Agent aufgrund des Vertrages von der Prinzipalin die vertragsmäßig vereinbarte schadensabhängige Leistung I(X). Dafür leistet der Agent bei Vertragsbeginn die Prämie P.

Der Agent hat die Möglichkeiten durch Wahl eines geeigneten Schadenverminderungsniveau s Maßnahmen zur Reduzierung des erwarteten Schadens setzen. Die genaue Wirkungsweise dieser Maßnahmen wird in Kapitel 4 besprochen.

Sowohl die Prinzipalin als auch der Agent sind riskoavers und maximieren ihren erwarteten Nutzen u1(R1 – P – X + I(X)) für den Agenten und u2(R2+P-I(X)) für die Prinzipalin, wobei R1 und R2 die Anfangsvermögen von Agent, bzw. Prinzipalin bezeichnen. Die entsprechenden Nutzenfunktionen sind streng konkav, so dass gilt.

Für das Setzen von Schadenminderungsmaßnahmen erleidet der Agent einen Disnutzen von v1(s), wobei wir strenge Separierbarkeit des Gesamtnutzenniveaus û1 wie folgt annehmen:^[5]

i. û1 = u1(R1 – P – X + I(X)) – v1(s)

Die Disnutzenfunktion soll streng konvex sein, so dass gilt.

3 Optimale Versicherungsleistung

Wir wollen nun in einem ersten Schritt untersuchen, wie das Risiko optimal auf Prinzipalin und Agenten aufgeteilt werden kann. Unter den oben genannten Annahmen, dass sowohl Prinzipalin als auch Agent risikoavers sind lässt sich in einem Beweis, der auf Arrow zurückgeht, zeigen, dass bei einem optimalen Versicherungsvertrag die Versicherungsleistung immer nur einen Teil des ereigneten Schadens deckt.^[6]

Zur Vereinfachung vernachlässigen wir für diesen Teil der Arbeit die Schadenminderung komplett.^[7] Die Prinzipalin, bzw. der Agent maximieren daher ihren erwarteten Nutzen wie folgt:^[8]

ii. max E[u1 (R1 - P - X + I(X))] Agent

i. max E[u2 (R2 +P – I(X))] Prinzipalin

Zur Rechenerleichterung definieren wir:

ii. Y(X) = R1 – P – X + I(X)

iii. Z(X) = R2 + P – I(X)

Wobei augenscheinlich gilt:

iv. δY / δI= 1

v. δZ / δI= -1

Nehmen wir nun zwei beliebige unterschiedliche Versicherungsverträge V1 und V2, die sich nur durch ihre Leistung I1(X) und I2(X) unterscheiden. Weiters können wir einen dritten Vertrag V3 als den Mittelwert der Verträge V1 und V2 definieren, so dass sich ergibt:

vi. I3(X) = ½ I1(X) + ½ I2 (X)

vii. Y3(X) = ½ Y1(X) + ½ Y2 (X)

viii. Z3(X) = ½ Z1(X) + ½ Z2 (X)

Daraus ergibt sich aufgrund der konkaven Nutzenfunktionen:

ix. u1[Y3(X)] ≥ ½ u1[Y1(X)]+ ½ u1[Y2(X)]

x. u2[Z3(X)] ≥ ½ u2[Z1(X)]+ ½ u2[Z2(X)]

Wir können nun durch Bewertung der zwei Erwartungsnutzen mit zwei beliebigen Faktoren α und β und ihre Summierung eine Kurve von paretooptimalen Versicherungsverträgen generieren. Für alle Punkte auf dieser Kurve, dass die Summe der gewichteten Erwartungsnutzen maximiert wird, also dass:

xi. max α E{u1[Y(X)}+β E{u2[Z(X)]} = E{α u1[Y(X)] + β u2[Z(X)]

Es ist leicht ersichtlich, dass es für jedes X (und jedes P) ausreicht, die folgende Formel in Hinblick auf I (X) zu maximieren, um damit auch viii. zu maximieren:

xii. max α u1[Y(X)] + β u2[Z(X)

woraus folgt:

xiii. α u1´[Y(X)] + β u2´[Z(X)] = 0

Aus iii. und iv. folgt weiters:

xiv. d Y(X) / d I(X) = 1

xv. d Z(X) / d Z(X) = -1

Wir nehmen an, dass weder α oder β den Wert Null annimmt, denn das würde zu der trivialen Lösung führen, dass ein Vertragspartner dem anderen seinen Nutzen überträgt. Wir können daher xiv. differenzieren und erhalten unter Beachtung von iii. und iv. die folgenden Zusammenhänge:

[...]

^[1] Arrow 1963. Der Artikel ist zwar eigentlich auf die Krankenversicherung zugeschnitten. Aber wie auch Arrow selbst anmerkt, lassen sich die zentralen Aussagen mühelos auch auf alle anderen Formen der Risikoversicherung umlegen.

^[2] Mirrlees 1974.

^[3] Bender/Richter 2003. In dem betreffenden Artikel geht es zwar prinzipiell um Rückversicherungsverträge aus formaler Sicht gibt sich aber kein Unterschied zu herkömmlichen Versicherungsverträgen.

^[4] Die forgestellte Formalisierung wurde mit wenig Änderungen von Bender/Richter 2003, S.7f übernommen.

^[5] Zur Annahme strenger Separierbarkeit vgl. auch Clarke/Darrough 1980, S. 307f.

^[6] Vgl. Arrow 1963, S. 971f.

^[7] Es ist aber nicht schwer zu zeigen sein, dass mögliche Schadenminderungsaktivitäten keinen Einfluss auf das Ergebnis von Arrow hat. Vgl. dazu Bender/Richter 2003, S. 7f.

^[8] Vgl. Arrow 1963, S. 971.