Addition und Subtraktion von Bruchzahlen. Lehrprobe im Fach Mathematik der 6. Klasse eines Gymnasiums

Inhaltsverzeichnis

1. Bedingungsanalyse

2. Didaktische Reflexion
2.1 Einbettung in den Fachlehrplan und Sachanalyse
2.2 Angestrebte Lernziele

3. Synthese
3.1 Methodisch-didaktische Planung
3.2 Stundendisposition

4. Literaturangaben

5. Anlagen

1. Bedingungsanalyse

Die Klasse 6e besteht aus 14 Schülerinnen und 13 Schülern. Insgesamt kann die Klasse als freundlich, aufgeschlossen und relativ diszipliniert beschrieben werden, wo­bei man bei genauerer Betrachtung zwischen verschiedenen Subgruppen differenzie-ren muss. Einerseits fallen einige Mädchen positiv durch gute Mitarbeit und tadelloses Verhalten auf, andererseits existiert eine Gruppe von Jungen, die mitunter den Unter­richt stören oder sich fachfremd beschäftigen. Eine führende Rolle nehmen dabei ein. Zudem besteht wohl ein Konflikt zwischen den Schülern zu nennen, die, auch aufgrund großer Lücken im Grundwissen, massive Probleme haben dem aktuellen Stoff zu folgen. Vor allem bei schüleraktiven Arbeitsphasen zeigt sich das Leistungsgefälle in Form unterschied­licher Bearbeitungsgeschwindigkeiten, was bei Art und Umfang der Aufgabenstellung berücksichtigt werden muss.¹

2. Didaktische Reflexion

2.1 Einbettung in den Fachlehrplan und Sachanalyse

Die vorliegende Unterrichtseinheit befasst sich mit der Addition und Subtraktion nicht­negativer Brüche und ist somit in M 6.2.1 „Addition und Subtraktion“² einzuordnen. Den Schülern ist die Berechnung von Anteilen, Kürzen und Erweitern sowie das Erstellen von Kreisdiagrammen aus M 6.1.1 geläufig. Der Bezug auf „ein Ganzes“ wie bei Kreis­diagrammen spielt nun auch bei der Addition und Subtraktion wieder eine zentrale Rolle. Darüber hinaus wurde im Vorfeld der Vergleich von Brüchen behandelt und in diesem Zusammenhang auch der gemeinsame Nenner und der Hauptnenner einge­führt. Indem die zu addierenden bzw. subtrahierenden Brüche gleichnamig gemacht werden, wird die Rechenoperation im Grunde auf die Addition und Subtraktion in Z zurückgeführt, die die Schüler in M 5.1.3 erlernt haben und seitdem ständig anwenden. In der Folgestunde (Doppelstunde) der Lehrprobe wird die Addition und Subtraktion an weiteren Aufgabentypen geübt und um die Addition und Subtraktion von gemisch­ten Zahlen erweitert. Im weiteren Verlauf werden die erworbenen Kenntnisse an an­spruchsvolleren Aufgabentypen, insbesondere Sachaufgaben, geübt und vertieft.

Im Zentrum der vorliegenden Unterrichtsstunde stehen die Regeln der Addition und Subtraktion von Brüchen. Sofern Brüche ungleichnamig sind, sind sie zunächst (ideal­erweise mit dem Hauptnenner) gleichnamig zu machen. Gleichnamige Brüche addiert bzw. subtrahiert man, indem man ihre Zähler addiert bzw. subtrahiert und den Nenner beibehält. Aus fachwissenschaftlicher Sicht ergibt sich die Addition und Subtraktion von Brüchen mit den entsprechenden Rechenregeln aus der algebraischen Struktur von Q. Auf der Menge <Q = (^\a,b sind die Verknüpfungen + und · wie folgt definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit sind (Q, +) und (Q,·) jeweils abelsche Gruppen und es gelten die Distributivge­setze, womit (Q, +,·) ein Körper ist. Für die Addition von Brüchen ist offensichtlich die abelsche Gruppe (Q,+) von besonderem Interesse. Die oben festgelegte Abbildung + wird bei der Definition des Körpers der rationalen Zahlen genau in dieser Form ge­wählt, da sie direkt auf alle Elemente von Q anwendbar ist. Eine Addition auf Basis des Hauptnenners würde die Definition unnötig verkomplizieren. Um die Zahlen mög­lichst klein zu halten und unnötigen Rechenaufwand zu vermeiden wählt man in der Praxis meist den Hauptnenner (also das kgV der beiden Nenner) oder einen anderen leicht ermittelbaren gemeinsamen Nenner, der kleiner als das Produkt der beiden Nen­ner ist. Es stellt sich die Frage, ob dies dann zum gleichen Ergebnis, wie die Abbildung + führt. Prinzipiell geht es um die Tatsache, dass mehrere Brüche für die gleiche Zahl stehen und Brüche, die für die gleiche Zahl stehen durch erweitern oder kürzen inei­nander überführt werden können. Dieser Zusammenhang wird durch folgende Äqui­valenzrelation beschrieben:

Satz: Das Ergebnis der Addition via Hauptnenner führt zu einem Ergebnis, das in der gleichen Äquivalenzklasse liegt wie das entsprechende Ergebnis derVerknüpfung +.

Beweis:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Man ergänze nun die beiden Primfaktorzerlegungen so, dass auch die Primfaktoren, die ausschließlich in derZerlegung des anderen Nenners vorkommen, mit dem Expo­nenten 0 enthalten sind. Die Primfaktorzerlegungen haben nun folgende Form:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Hauptnenner, also das kgV(b;d) ist damit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

QED Das Ergebnis der Verknüpfung + könnte gemäß der beschriebenen Äquivalenzrela­tion im Anschluss vollständig gekürzt werden. Dieser Schritt wird durch die Verwen­dung des Hauptnenners in die eigentliche Addition integriert und führt zu einem Ergeb­nis, dass, wie oben bewiesen, in derselben Äquivalenzklasse ist. Die weiteren Eigen­schaften der Addition in Q (z.B. die Gültigkeit des Kommutativgesetzes) lassen sich durch Anwendung der entsprechenden Eigenschaften des kommutativen Ringes Z leicht herleiten. Da diese Eigenschaften relativ offensichtlich gelten, wird an dieser Stelle auf einen formalen Beweis verzichtet.

2.2 Angestrebte Lernziele

In der vorliegenden Unterrichtseinheit werden folgende Lernziele angestrebt:

Lernziel 1: Die Schüler kennen die Regel für die Addition und Subtraktion gleichnami­ger Brüche. Sie erarbeiten die formale Regel auf Basis des intuitiven „Zusammenzäh­lens“ einfacher Bruchteile.

Lernziel 2: Die Schüler erkennen, dass ungleichnamige Brüche nicht ohne Weiteres addiert werden können.

Lernziel 3: Die Schüler verstehen mit Hilfe einer graphischen Veranschaulichung, dass die Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche durch die Erweiterung auf glei­che Nenner, auf die Addition gleichnamiger Brüche zurückgeführt werden kann.

Lernziel 4: Die Schüler kennen die Regel zur Addition und Subtraktion ungleichnami­ger Brüche.

Lernziel 5: Die Schüler können die Regel zur Addition und Subtraktion ungleichnami­ger Brüche auf Übungsaufgaben angemessener Komplexität anwenden.

Damit legt diese Unterrichtsstunde den Grundstein für den Erwerb zentralen Grund­wissens in der Jahrgangsstufe 6, nämlich der Berechnung von Termwerten in Q (vgl. Jahrgangsstufenlehrplan Mathematik 6). Insbesondere wird die Kompetenz „Mathe­matische Darstellungen verwenden“ gefördert, da die Entwicklung von Formeln und Regeln im Mittelpunkt steht. Durch die Frage, wie man zwei Bruchteile eines Kuchens addieren kann kommen die Kompetenzen „Probleme mathematisch lösen“ und „ma­thematisch modellieren“ zum Tragen, indem der Kuchen in einem matrixartigen Raster dargestellt wird und so die Notwendigkeit des Findens eines gemeinsamen Nenners veranschaulicht wird. Schließlich wird im Rahmen einer Partnerarbeit, im erarbeitenden Unterrichtsgespräch und beim Schülervortrag die Kompetenz „mathe­matisch kommunizieren“ vielfältig gefördert.

3. Synthese

3.1 Methodisch-didaktische Planung

Eingangs werden die Schüler durch einfache Beispiele anhand von Apfelspalten für das Thema motiviert und hinsichtlich der damit verbunden Probleme sensibilisiert. Ein Drittel eines Apfels und ein weiteres Drittel eines Apfels ergeben zusammen zwei Drittel eines Apfels. Dieser Zusammenhang dürfte den meisten Schülern intuitiv klar sein. Problematisch wird es hingegen, wenn man ein Drittel eines Apfels zu einem Viertel eines Apfels addieren möchte. Die Schüler erkennen, dass sich dies nicht ohne Weiteres feststellen lässt, und sehen, dass sie zwar schon einiges über die rationalen Zahlen wissen jedoch noch kaum mit ihnen rechnen können.

Das nun folgende Arbeitsblatt ist vom Typ „Neues entdecken“. Das Prinzip dieser Ar­beitsblätter ist es, dass die Schüler sich mit einem (nahezu) unbekannten Stoff oder Sachverhalt selbstständig auseinandersetzen. Arbeitsblätter dieser Art habe ich so­wohl in der Klasse 6e, als auch in anderen Jahrgangsstufen bereits häufig eingesetzt und erprobt. Gerade in Klassen mit großer Leistungsstreuung stellt diese Form der Erarbeitung eine gute Möglichkeit der Binnendifferenzierung dar. Die Schüler können in ihrem individuellen Lerntempo vorgehen und einen individuellen Zugangsweg wäh­len. Im konkreten Fall ist das Arbeitsblatt so angelegt, dass Auftrag 1 von allen Schü­lern bearbeitet werden sollte und Auftrag 2 von den schnelleren Schülern soweit wie möglich bearbeitet werden soll. Durch die Sozialform der Partnerarbeit werden zudem zu stark auseinandergehende Ergebnisse vermieden. Bei der Besprechung der Ergeb­nisse von Auftrag 1 im Unterrichtsgespräch kommt zudem Folie 1 zum Einsatz, wodurch das analoge Vorgehen bei der Subtraktion erarbeitet wird. Die Sicherung er­folgt auf Arbeitsblatt 2, das auch als Folie vorliegt. Somit ist das Arbeitsblatt 2 zugleich auch das Sicherungsblatt, das als Ganzes die Funktion des klassischen Hefteintrages einnimmt. Anschließend wird im fragend-entwickelnden Unterrichtsgespräch die Prob­lematik aus Auftrag 2 behandelt. Hierbei können die leistungsstarken Schüler ihre Er­kenntnisse aus der ersten Erarbeitungsphase einfließen lassen. Das schrittweise Vor­gehen wird auf Arbeitsblatt 2 festgehalten und graphisch veranschaulicht. Durch die parallele Entwicklung von formaler Rechnung und graphischer Veranschaulichung

[...]

¹ Aus Gründen der besseren Lesbarkeit wird auf die gleichzeitige Verwendung männlicher und weibli­cher Sprachformen verzichtet. Sämtliche Personenbezeichnungen gelten gleichwohl für beiderlei Ge­schlecht.

² SämtlicheVerweise aufden Lehrplan beziehen sich auf: BStMUK/ISB (Hrsg.): Lehrplan des achtjäh­rigen Gymnasiums in Bayern. München 2004.