Messung von Marktrisiken mithilfe der Extremwerttheorie. Eine kritische Würdigung

Inhalt

1. Einleitung

2. Grundlagen
2.1. Definition der Begriffe Risiko und Risikomanagement
2.2. Die einzelnen Bestandteile des finanziellen Risikomanagements
2.3. Definition Marktrisiken, was sind Marktrisiken und welche gibt es?
2.3.1. Währungsrisiken
2.3.2. Güterpreis- bzw. Warenpositionsrisiken
2.3.3. Zinsänderungsrisiken
2.3.4. Aktienkursrisiken
2.4. Die Messung von Risiken
2.5. Definition der klassischen Extremwerttheorie
2.6. Messung von Marktrisiken mithilfe der Extremwerttheorie
2.7. Extremwerttheorie in der Praxis – vom WM-Halbfinale bis hin zum Risikomanagement
2.8. Einsatz der Extremwerttheorie im Risikomanagement
2.9. Wahl des richtigen Ansatzes

3. Kritische Würdigung der Messung von Marktrisiken mithilfe der Extremwerttheorie
3.1. Vorteile der Extremwerttheorie
3.2. Nachteile der Extremwerttheorie
3.3 Chancen und Risiken
3.4. Grenzen der Extremwerttheorie / Limitations of the Extreme-Value-Theory
3.5. Würdigung anhand eines Anwendungsbeispiels

4. Fazit und Ausblick

Literaturverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1: Funktionen des finanzwirtschaftlichen Risikomanagements

Abb. 2: Der Prozess des Risikomanagements

Abb. 3: Verteilungsfunktionen der Standard-Extremwertverteilung

Abb. 4: Dichten der Standard-Extremwertverteilung

Abb. 5: Peaks over Theshold-Methode

Abb. 6: Q-Q-Plot, Tore Deutschland gegen Brasilien

Abb. 7: Übersicht der Indizes mit jeweiligen Messdaten

Abb. 8: Point estimates für die GEV Methode für die sechs Marktindizes

Abb. 9: Point estimates für die POT Methode der sechs Marktindizes

1. Einleitung

Japan, der 11. März 2011. Im Kernkraftwerk Fukushima kommt es nach einem Erdbeben der Stufe 9,0 und einem im Anschluss folgenden Tsunami zum atomaren Gau. In mehreren Reaktoren kommt es zur Kernschmelze. Strahlung entweicht, Menschen und Tiere in der Umgebung werden radioaktiv verstrahlt.¹ Meteorologische Extremereignisse wie dieses üben starken Einfluss auf unser Leben und unsere Umwelt aus.² Ein weiteres Beispiel für ein solches Extremereignis ist die damalige Pleite der US-Bank Lehman Brothers im Jahr 2008 sowie der damit verbundene Beginn der Finanzkrise.³ Ursache der Krise war, dass Banken Kredite an Haushalte vergaben, diese aber nicht in der Lage waren, die Kredite zurück zu zahlen. Die Banken behielten nur noch die Häuser als Sicherheit, konnten diese aber aufgrund weniger zahlungsfähiger Kunden nicht verkaufen. Der Wert der Häuser fiel daraufhin massiv, was wiederum zu einem Loch in der Bilanz der Unternehmen führte. Der Startschuss einer weltweiten Krise.⁴ Inwieweit sich die Häufigkeit von extremen und seltenen Ereignissen geändert hat, ist daher weltweit Gegenstand laufender Forschungen.⁵

Die immer stärker werdenden Unsicherheiten auf den Märkten und das vermehrte Auftreten von extremen Ereignissen in den letzten Jahren hat die Kritik an den bestehenden Methoden, wie dem Value at Risk, zur Ermittlung seltener Ereignisse immer mehr in den Fokus gerückt. Die Finanzbranche befindet sich im Umbruch und bisherige Systeme greifen augenscheinlich nicht mehr richtig, was Forscher und Risikomanager dazu veranlasst hat, sich auf die Suche nach besser geeigneten Methoden zur Bestimmung von Extremereignissen zu begeben.⁶

Die Extremwerttheorie soll genau hierzu im Stande sein. Sie liefert die Grundlagen, die notwendig sind, um besagte Ereignisse zu modellieren und extreme Risikomaße zu berechnen.⁷

Der Fokus dieser Arbeit liegt dabei auf der Messung von Marktrisiken mithilfe der Extremwerttheorie. Es stellt sich daher die Forschungsfrage: Welche Bedeutung kommt der Extremwerttheorie als mathematisches Werkzeug zur Ermittlung von Marktrisiken im Risikomanagement zu?

Ziel dieser Arbeit ist es, dem Leser einen Überblick über die wesentlichen Bestandteile des Risikomanagements und der Extremwerttheorie, im Speziellen zur Ermittlung von Marktrisiken, zu geben und die mathematische Disziplin anschließend kritisch zu würdigen. Die Arbeit ist folgendermaßen strukturiert: Nach der Einleitung folgt das Kapitel mit den wichtigsten Grundlagen und Definitionen. Es werden der Risikobegriff, die wichtigsten Bestandteile des Risikomanagements sowie die gängigen Marktrisiken definiert. Anschließend wird die klassische Extremwerttheorie, die POT-Methode, sowie der Value at Risk vorgestellt und anschließend aufgezeigt, wie mithilfe der Extremwerttheorie Marktrisiken berechnet werden können. Es folgt ein Abschnitt über die Einsatzmöglichkeiten der Theorie in der Praxis. Auf das Kapitel der Grundlagen folgt sodann der Hauptteil mit der kritischen Würdigung. Bestandteile sind hier die Vor- und Nachteile, die Limitationen sowie die Würdigung der Theorie anhand einer Studie.

Im Fazit werden erneut die wichtigsten Ergebnisse und Erkenntnisse der Arbeit gesammelt und geprüft, um die oben genannte Forschungsfrage zu beantworten.

2. Grundlagen

2.1. Definition der Begriffe Risiko und Risikomanagement

Der Begriff „Risiko“ hat sich beinahe in jeder wissenschaftlichen Disziplin etabliert. Eine einheitliche Definition des Risikobegriffs über alle Disziplinen hinweg hat sich bis heute jedoch nicht herauskristallisiert. In der ökonomischen Theorie meint der Begriff „Risiko“ eine kalkulierbare Unsicherheit. Durch die Kalkulierbarkeit lassen sich weitestgehend verlässliche Prognosen über Wahrscheinlichkeitsaussagen treffen.⁸ Den kalkulierbaren Unsicherheiten stehen nicht-kalkulierbare Unsicherheiten gegenüber, welche beispielsweise wegen unzureichender Kenntnisse nicht kalkulierbar sind.⁹ Der weitere geschichtliche Verlauf der ökonomischen Theorie fokussiert sich immer mehr auf das messbare und quantifizierbare Risiko. Sowohl die moderne Volkswirtschaftslehre als auch die bankbetriebliche Praxis wurden im zeitlichen Verlauf zunehmend von der Idee des messbaren Risikos dominiert. Die Finanzmarktkrise hat jedoch gezeigt, dass sich nicht alle Risiken quantifizieren und mit statistischen Gesetzen erklären lassen.¹⁰ Diese Nicht-Quantifizierbarkeit von Risiken muss beim Risikomanagement unbedingt berücksichtigt werden.¹¹ Zusammenfassend stellt ein negatives Risiko eine Gefahr dar, dass eine finanzwirtschaftliche Zielgröße negativ von einem Referenzwert differiert. Risiken resultieren aus der Unsicherheit über zukünftige Entwicklungen.¹² Eine Unternehmung wird laufend mit einer Vielzahl von Risiken konfrontiert. Hierzu zählen unter anderem Liquiditätsrisiken, Adressausfallrisiken, Marktpreisrisiken und Operationelle Risiken.

Um dauerhaft auf potenzielle Risikosituationen vorbereitet zu sein, sollten Unternehmen ein finanzielles Risikomanagement betreiben.¹³ Risikomanagement bedeutet im Allgemeinen die Unternehmensführung unter Beachtung von Unsicherheiten. Dem Risikomanagement wird die Funktion zugeteilt, potenzielle Risiken zu steuern und zu analysieren.¹⁴ Im Rahmen einer wertorientierten Unternehmensführung unterteilt sich das finanzielle Risikomanagement in eine interne und eine externe Perspektive. Diese Perspektiven sowie die einzelnen Bestandteile des Risikomanagements werden im folgenden Abschnitt erläutert.

2.2. Die einzelnen Bestandteile des finanziellen Risikomanagements

Das finanzielle Risikomanagement einer Unternehmung muss als Prozess verstanden werden. Um diesen Prozess zu verstehen, müssen zunächst die Funktionen des Risikomanagements genauer erläutert werden. Die Funktionen des finanziellen Risikomanagements können in der Risikoanalyse und in der Risikopolitik systematisiert werden. Zur Risikoanalyse gehören die Identifikation, die Messung und die Kontrolle von Risiken. Der Risikopolitik werden die Bewertung der festgestellten und gemessenen Risiken sowie risikopolitische Maßnahmen, wie die Steuerung im operativen und strategischen Bereich, zugeordnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Funktionen des finanzwirtschaftlichen Risikomanagements

(Quelle: Entnommen aus Oehler/Unser (2002), S. 16.)

Die strategische Risikosteuerung bezieht sich auf Risiken, welche die strategische Planung betreffen. Sie wird auf der Leistungsebene des Unternehmens wirksam, wie beispielsweise für Markteintrittsstrategien, Diversifikation und Kapitalstrukturentscheidungen. Die operative Risikosteuerung behandelt finanzielle Folgen der Unternehmensstrategie und ist allein dem Finanzbereich einer Unternehmung zuzuordnen. Aus den einzelnen Funktionen des finanziellen Risikomanagements und deren gegenseitiger Abhängigkeit, ergibt sich ein Risikomanagementprozess.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2: Der Prozess des Risikomanagements (Quelle: Entnommen aus Oehler/Unser (2002), S. 20.)

Beginnend bei der Risikoanalyse muss das Unternehmen den Risikobegriff definieren und diese Definition innerhalb des Unternehmens kommunizieren. Erst dann können potenzielle finanzwirtschaftliche Risiken festgestellt und deren Ausmaße gemessen werden. Ist die Höhe des Risikos identifiziert, folgt im Rahmen der Risikopolitik die Risikobewertung. Mit der Risikobewertung geht die Entscheidung einher, ob risikopolitische Maßnahmen zu treffen sind oder ob keine weiteren Eingriffe auf das ermittelte Risiko vonnöten sind.¹⁵ Übersteigt das ermittelte Risiko die vom Unternehmen festgelegte Grenze, werden Maßnahmen zu Steuerung des Risikos ergriffen. Diese Maßnahmen zielen auf die Meidung, Reduktion und Tragung von Risiken ab.¹⁶ Innerhalb der letzten Phase des Risikomanagementprozesses, wird der Erfolg der verwendeten Risikostrategie anhand einer Soll-Ist-Analyse kontrolliert. Hierbei wird überprüft, ob die beabsichtigten Ziele des Unternehmens erreicht werden konnten. Weichen die erreichten Ziele von den angestrebten Zielen ab, folgt eine Abweichungsanalyse. Mittels der Abweichungsanalyse werden Verbesserungsmaßnahmen getroffen, um das Risikomanagement kontinuierlich zu optimieren. Für die Abweichungsanalyse relevante Zielgrößen sind beispielsweise Zahlungsströme, Vermögensgrößen und deren absolute Veränderungen sowie Veränderungsraten von Zahlungsmittel- und Vermögensbeständen.¹⁷

2.3. Definition Marktrisiken, was sind Marktrisiken und welche gibt es?

Marktrisiken, auch (Markt-)Preisrisiken genannt, sind für das Risikomanagement eine der bedeutendsten Risikoarten. Unter dem Begriff Marktrisiken wird grundsätzlich das Risiko potenzieller Verluste, die bilanzwirksame und außerbilanzielle Positionen betreffen, verstanden.¹⁸ Ausgelöst werden diese Verluste bzw. die Wertänderungen einer Position durch Währungsschwankungen, Schwankungen von Güterpreisen, Zinssätzen, Aktienkursen oder Indizes. Weiterhin können Marktrisiken Unsicherheiten bezüglich der Preiskomponente, wie beispielsweise eine unvorhergesehene, nachteilige Entwicklung der Preise beinhalten. Auch Mengenkomponenten, wie beispielsweise eine ungünstige Mengenentwicklung durch Zuspitzung der Wettbewerbssituation, sind möglich.¹⁹

2.3.1. Währungsrisiken

Das sogenannte Währungsrisiko bezeichnet das Risiko, dass dem Unternehmen aufgrund von Wechselkursschwankungen Verluste entstehen. Sind fundamentale Geschäftsaktivitäten eines Unternehmens von Währungsschwankungen betroffen, kann das Unternehmen unrentabel werden.²⁰ Das Währungsrisiko ist folglich der Wert einer offenen Position der vom erwarteten Wert aufgrund von ungünstigen Wechselkursschwankungen negativ abweicht. Von einer offenen Position spricht man dann, wenn einer Finanzposition in einer Währung keine entgegengesetzte Finanzposition, wie beispielsweise eine Verbindlichkeit, gegenüberliegt.²¹

2.3.2. Güterpreis- bzw. Warenpositionsrisiken

Warenpositionsrisiken sind in eine Unterkategorie der Marktpreisrisiken einzuordnen. Mit Warenpositionsrisiken sind Risiken gemeint, welche sich aus den Schwankungen von Güterpreisen ergeben und für das Unternehmen einen Verlust einfahren können.²² Insbesondere Industrieunternehmen sind von Güterpreisrisiken betroffen, insofern sie Ausgangsstoffe produzieren, Waren in großen Mengen in der Produktion verwenden oder Zwischenprodukte am Markt verkaufen.²³ Zu den Gütern, die größeren Preisschwankungen ausgesetzt sind, zählen vor allem Edelmetalle, Rohwaren und Strom.²⁴

2.3.3. Zinsänderungsrisiken

Unter dem Zinsänderungsrisiko werden gegenwärtige und zukünftige Schwankungen der Zinssätze verstanden, die sich ungünstig auf die Erträge und Eigenmittel eines Unternehmens auswirken.²⁵ Der Wert eines verzinslichen Finanzkontraktes hängt vom erwarteten Marktzins ab. Sogar festverzinsliche Anleihen sind von Zinsänderungsrisiken betroffen. Die Zinserträge der Anleihe sind zwar fixiert, dennoch sind auch hier die aus der Wiederanlage der Zinsen entstehenden Cashflows vom erwarteten Marktzins abhängig.²⁶

2.3.4. Aktienkursrisiken

Bei Aktienkursrisiken wird grundsätzlich zwischen allgemeinen bzw. systematischen und spezifischen bzw. unsystematischen Risiken unterschieden. Das allgemeine Risiko umfasst Risiken, die den Gesamtmarkt betreffen, wie beispielsweise Wertänderungen von Zinsen, Wertpapierkursen und Wechselkursen.²⁷ Das spezifische Risiko wiederum, bezieht sich auf Risiken, welche nicht von den Bewegungen des Marktes abhängig sind. Sie beziehen sich vielmehr auf sogenannte bonitätsinduzierte Wertänderungen einer Position. Auftreten kann das spezifische Risiko unter anderem, wenn Änderungen der Bonität des Emittenten eines Wertpapiers auftreten.²⁸

2.4. Die Messung von Risiken

Bevor im weiteren Verlauf dieser Arbeit auf die Messung von Marktrisiken mithilfe der Extremwerttheorie eingegangen wird, erfolgt in diesem Abschnitt eine allgemeine Darstellung der Messung von Marktrisiken. Um den Anforderungen des finanziellen Risikomanagements gerecht zu werden, gilt es Risiken im Vorfeld möglichst zuverlässig zu identifizieren und zu messen. Die Messung von Risiken dient dazu, eine mögliche Unterschreitung finanzwirtschaftlicher (Ziel-) Größen zu vermeiden. Im Zusammenhang mit der Risikomessung stehen auch die Messung und Bewertung von Abhängigkeiten zwischen den einzelnen Risiken sowie die Steuerung des Gesamtrisikos. Das Gesamtrisiko ergibt sich aus der Aggregation der einzelnen Risiken.²⁹ Die Steuerung und Messung des aggregierten Gesamtrisikos orientiert sich am sogenannten Risikoappetit. Der Risikoappetit bezeichnet das Gesamtrisiko, welches das Unternehmen bewusst eingeht, um seine gesetzten Ziele zu erreichen.³⁰ Die im klassischen Risikomanagement dominierende Steuerung unabhängiger Teilrisiken lässt nichts über das Gesamtrisiko schlussfolgern. Sie führt daher zu ineffizienten Entscheidungen bezüglich der zu treffenden Maßnahmen des Risikomanagements. Neben den finanzwirtschaftlichen Risiken analysiert der moderne Risikomanagement- Ansatz operative Risiken, strategische Risiken, Compliance-Risiken und Risiken der finanziellen Berichterstattung. Das Risikomanagement ist folglich strategisch ausgelegt und versteht sich als umfangreiches Managementkonzept. Die Risikosteuerung und Risikobeurteilung ist ein fundamentales Element der Unternehmensführung.³¹ Darüber hinaus umfasst die Risikomessung neben den Risikopotenzialen auch Chancenpotenziale. Das vordergründige Ziel des Risikomanagements ist es daher nicht, Risiken vollständig zu eliminieren, sondern vielmehr ein ausgeglichenes Chancen-Risiko-Profil zu erstellen. Außerdem sollte das Chancen-Risiko-Profil mit dem Risikoappetit des Unternehmens übereinstimmen.³²

Grundsätzlich hat ein Unternehmen vor der Messung von Risiken festzulegen, welche Zielgröße in die Messung einfließen soll und welche Abweichungstoleranz das Unternehmen dieser Zielgröße gibt. Es gilt, dass mit Anstieg der Risikoaversion auch die Höhe der Zielgröße sowie das Gewicht der Abweichung steigen. Nach der Risikomessung steht jedes Unternehmen vor der Herausforderung zu entscheiden, wie mit dem identifizierten Risiko zu verfahren ist. Hierbei muss geprüft werden, welche Kombination aus Rendite und Risiko sich für das Unternehmen am sinnvollsten erweist.³³ Zur Risikomessung stehen Unternehmen grundsätzlich verschiedene Verfahren zur Verfügung. Diese Verfahren weisen verschiedene Komplexitätsgrade auf. Sie erstrecken sich von überschaubaren Klassifizierungsverfahren, wie beispielsweise dem sogenannten Ampelsystem oder der ABC-Analyse, über Ranking-, Rating-, und Kennzahlenverfahren bis hin zu mathematisch- statistischen Methoden, wie beispielsweise dem Value at Risk-Modell.³⁴

2.5. Definition der klassischen Extremwerttheorie

Dieses Unterkapitel setzt sich intensiv mit der Extremwerttheorie auseinander und beschreibt die Grundlagen aus einer mathematischen Perspektive heraus. Dabei wird zunächst die reale Mathematik hinter der Theorie näher definiert und erläutert. Darauf aufbauend, wird die Anwendung der Theorie und deren Relevanz in der fachlichen Praxis erklärt.

Die Extremwerttheorie beschreibt ein komplexes mathematisches Werkzeug zur Darstellung und Auswertung von Risiken des Kapitalmarktes. Sie ist darauf ausgelegt, das extreme Verhalten von Daten innerhalb einer Zeitreihe zu modellieren, sodass ebenfalls die äußeren und unwahrscheinlichen Ränder eines Verteilungsbereiches erfasst und ausgewertet werden können. Dazu werden zunächst nach Abschluss der Messung eines bestimmten Sachverhaltes über die Zeitreihe alle lokalen Extrema betrachtet.

Dabei wird der klassischen Extremwerttheorie der Satz von Fisher und Tippett zugrunde gelegt. Borkovec und Klüppelberg greifen dieses Theorem in einem wissenschaftlichen Paper auf. Für gilt ebenfalls:

„(Xn)n ≥1 sei eine Folge von iid [independent and identically distributed] Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion F.

Falls es normierende Konstanten an > 0, bn ∈ ℝ und eine nicht-degenerierte Verteilungsfunktion H gibt, so dass:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

dann ist H eine der folgenden Verteilungsfunktionen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten³⁵

Aus diesen drei Verteilungsfunktionen ergeben sich drei verschiedene Dichtefunktionen. Sie beschreiben mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable eine bestimmte Ausprägung nicht überschreitet.

[...]

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¹ Vgl. Döring (2012).

² Vgl. ZAMG (2010).

³ Vgl. Brost (2018).

⁴ Vgl. Ruhs (2018).

⁵ Vgl. ZAMG (2010).

⁶ Vgl. Schauerte (2016); Romeike (2007); Embrechts/Resnick/Samorodnitsky (1999), S.30.

⁷ Vgl. Gilli/Këllezi (2006), S. 1.; Borkovec/Klüppelberg (2000), S. 3.

⁸ Vgl. Hannemann/Steinbrecher/Weigl (2019), S. 156.

⁹ Vgl. Knight (1921), S. 170.

¹⁰ Vgl. Hannemann/Steinbrecher/Weigl (2019), S. 156.

¹¹ Vgl. Sanio (2009), S. 22.

¹² Vgl. Bitz (1993), S. 642.

¹³ Vgl. Hannemann/Steinbrecher/Weigl (2019), S. 6.

¹⁴ Vgl. Oehler/Unser (2002), S. 15.

¹⁵ Vgl. Oehler/Unser (2002), S. 20.

¹⁶ Vgl. Bühler (1998), S. 211.

¹⁷ Vgl. Oehler/Unser (2002), S. 21.

¹⁸ Vgl. Caps/Tretter (2004), S. 125.

¹⁹ Vgl. Oehler/Unser (2002), S. 14.

²⁰ Vgl. Hannemann/Steinbrecher/Weigl (2019), S. 1297.

²¹ Vgl. Oehler/Unser (2002), S. 141.

²² Vgl. European Banking Authority (2018), S. 93.

²³ Vgl. Pfennig/Schäfer (1999), S. 569.

²⁴ Vgl. Hannemann/Steinbrecher/Weigl (2019), S. 1298.

²⁵ Vgl. Hannemann/Steinbrecher/Weigl (2019), S. 1300.

²⁶ Vgl. Oehler/Unser (2002), S. 130.

²⁷ Vgl. Schulte-Mattler/Gaumert (2006), S. 210.

²⁸ Vgl. Hannemann/Steinbrecher (2019), S. 1295.

²⁹ Vgl. Romeike (2003), S. 150.

³⁰ Vgl. Diederichs (2012), S. 12.

³¹ Vgl. Hunziker/Meissner (2017), S. 4.

³² Vgl. Strohmeier (2006), S. 45.

³³ Vgl. Oehler/Unser (2002), S. 29.

³⁴ Vgl. Hannemann/Steinbrecher/Weigl (2019), S. 1587.

³⁵ Borkovec/Klüppelberg (2000), S. 5.