Numerische Berechnung der Energieeigenwerte und Eigenfunktionen in Potentialen und Supersymmetrischen Potentialen

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Grundlagen
2.1 Numerische Verfahren zum Lösen von Differentialgleichungen
2.1.1 Allgemein
2.1.2 Streckenzugverfahren von Euler
2.1.3 Runge-Kutta
2.2 Numerisches Verfahren zur Differentiation
2.3 Numerisches Verfahren zur Integration

3 Schrödinger-Gleichung
3.1 Allgemein
3.2 Der Teilchen Welle Dualismus
3.2.1 Doppelspaltversuch mit klassischem Teilchen
3.2.2 Doppelspaltversuch mit klassischen Wellen
3.2.3 Doppelspaltversuch mit Elektronen
3.2.4 Interpretation der Doppelspaltexperimente
3.3 Das mathematische Gerüst der Quantentheorie
3.3.1 Das im unendlich hohen Potentialtopf eingesperrte Teilchen
3.3.2 Die Schrödinger-Gleichung
3.3.3 Interpretation der Wellenfunktion

4 Numerische Berechnung von Energieeigenwerten und Funktionen
4.1 Stetigkeitsbedingungen an den Potentialwänden
4.2 Unendlich hoher Potentialtopf
4.2.1 Analytische Lösung
4.2.2 Numerische Lösung
4.3 Potentialfunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (quantenmechanischer Oszillator)
4.3.1 Analytische Lösung
4.3.2 Numerische Lösung
4.4 Potentialfunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

5 Supersymmetrische Potentiale
5.1 Allgemein
5.2 Mathematische Behandlung der Supersymmetrischen Potentiale
5.2.1 Supersymmetrisches Potential im unendlich hohen Potentialtopf
5.2.2 Supersymmetrisches Potential zum Doppeltopfpotential
5.2.3 Aufsuchen der Energieeigenwerte aus höhergradigen Supersymmetrischen Potentialen

Resümee und Ausblick

Literaturverzeichnis

Anhang

Darstellungsverzeichnis

Darst. 2-1 numerische Differentiation einer Sinusfunktion

Darst. 2-2 Zerlegung der Fläche in 2n einfache Streifen

Darst. 2-3 Berechnung des ersten Doppelstreifens

Darst. 3-1 Doppelspaltversuch mit klassischem Teilchen

Darst. 3-2 Doppelspaltversuch mit klassischen Wellen

Darst. 3-3 Doppelspaltversuch mit Elektronen

Darst. 3-4 Elektroneneintritt durch eine Blende

Darst. 3-5 Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte eines Elektrons im Intervall x bis x+dx

Darst. 4-1 Potentialstufe

Darst. 4-2 Endlicher Potentialsprung

Darst. 4-3 Kräftefreier, pendelnder Massepunkt mit zugehöriger potentieller Energie U(x)

Darst. 4-4 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=1 im unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum Eigenwert=1 im unendlich hohen Potentialtopf

Darst. 4-5 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=4 im unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum Eigenwert=4 im unendlich hohen Potentialtopf

Darst. 4-6 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=9 im unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum Eigenwert=9 im unendlich hohen Potentialtopf

Darst. 4-7 Eingabemaske zur numerischen Berechnung der Energieeigenwerte und Eigenfunktionen in symmetrischen Potentiale

Darst. 4-8 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=1 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum Eigenwert=1 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf

Darst. 4-9 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=2 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum Eigenwert=2 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf

Darst. 4-10 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=3 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum Eigenwert=3 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf

Darst. 4-11 relative Fehlerwerte bei numerischer Berechnung

Darst. 4-12 lineares harmonisches Pendel mit der Masse m

Darst. 4-13 potentielle Energie U(x) des harmonischen Oszillators

Darst. 4-14 Energieeigenwerte und zugehörige Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators

Darst. 4-15 Harmonischer Oszillator u. Übergang zum klassischen Fall

Darst. 4-16 Potentialfunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Darst. 4-17 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=1 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum Eigenwert=1 (rote Linie) im quadratischen Potential

Darst. 4-18 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=2 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum Eigenwert=2 (rote Linie) im quadratischen Potential

Darst. 4-19 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=3 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum Eigenwert=3 (rote Linie) im quadratischen Potential

Darst. 4-20 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=4 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum Eigenwert=4 (rote Linie) im quadratischen Potential

Darst. 4-21 relative Fehlerwerte bei numerischer Berechnung

Darst. 4-22 Potentialfunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Darst. 4-23 Eigenfunktion im [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Potential

Darst. 5-1 [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Darst. 5-2 [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ; [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Darst. 5-3 [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ; [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Darst. 5-4 exaktes Supersymmetrisches Potential [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Darst. 5-5 relative Fehlerwerte bei numerischer Berechnung im Supersymmetrischen Potential

Darst. 5-6 Potentialfunktion: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Darst. 5-7 Supersymmetrisches Potential: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Darst. 5-8 Erste Wellenfunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bei Energieniveau [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Darst. 5-9 Potential [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

„Wenn in einer Sintflut alle wissenschaftlichen Kenntnisse zerstört würden und nur ein Satz an die nächste Generation weitergereicht würde, welche Aussage würde dann die größte Aussage in den wenigsten Worten enthalten? Ich bin überzeugt, dass dies die Atomhypothese (oder welchen Namen sie auch immer hat) wäre“ (Feynman, R. P: Vorlesungen über Physik. Bd. 1, Teil 1 München1974, S. 1-2.)

1 Einleitung

Anfang des letzten Jahrhunderts steckte die Physik in einer Krise. Die klassische Physik war im Grossen und Ganzen schon bewiesen und in der Praxis angewandt. Allerdings ergaben sich bei gewissen Experimenten und Forschungen zum Teil gravierende Unstimmigkeiten mit der klassischen Mechanik. Ein konkretes Beispiel ist zum Beispiel die Wärmestrahlung, die mit klassischen Konzepten nicht zu erklären war. Der deutsche Physiker Max Planck stellte dabei die revolutionierende Annahme einer Energiequantelung auf. Sie war für ihn zwar nicht streng beweisbar, klärte aber quantitativ korrekt den experimentellen Befund und muss als Geburtsstunde der modernen Physik angesehen werden.

Im Mittelpunkt dieser Diplomarbeit steht dabei die Schrödinger-Gleichung, die nach dem österreichischen Physiker und Nobelpreisträger Erwin Schrödinger benannt, die zentrale Bewegungsglei­chung der Quantenmechanik darstellt. Sie tritt an die Stelle der klassischen Newtonschen Bewegungsgleichungen.^[1] Damit bei der in der Schrödinger-Gleichung auftretenden Potentialfunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] auch komplexere Ausdrücke berechnet werden können, bedient man sich numerischer Lösungsmethoden. Interessant hierbei ist auch die programmtechnische Umsetzung zur Erzielung der Eigenwerte und Eigenfunktionen dieser Differentialgleichung, um die Möglichkeiten der numerischen Mathematik auszuloten.

2 Grundlagen

2.1 Numerische Verfahren zum Lösen von Differentialgleichungen

2.1.1 Allgemein

Viele in naturwissenschaftlichen, und technischen Anwendungen auftretenden Differentialgleichungen sind analytisch nicht mehr lösbar. Das heißt, es ist nicht möglich, die Lösungsfunktion der Differentialgleichung in geschlossener Form anzugeben.

In manchen Fällen ist dies zwar möglich, jedoch nur mit sehr hohem Aufwand. Glücklicherweise existieren jedoch einige sehr gute numerische Verfahren, mit denen punktweise eine Annäherung an die exakte Lösungskurve möglich ist.^[2]

2.1.2 Streckenzugverfahren von Euler

Dieses Verfahren kann zum Lösen von Differentialgleichungen erster Ordnung in der Form [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] hergenommen werden. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist die Schrittweite d.h. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Dabei wird die Anfangsbedingung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in die Taylorreihe eingesetzt:

Taylorreihe: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Falls [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] klein ist, dann sind die Terme mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]und den höheren Potenzen sehr klein, und können dann vernachlässigt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Besser geeignet ist allerdings das nachfolgend beschriebene Runge-Kutta Verfahren, da dies eine wesentlich höhere Genauigkeit bietet. Allerdings ist auch ein höherer Rechenaufwand vonnöten.

2.1.3 Runge-Kutta

Das Runge-Kutta Verfahren vierter Ordnung benutzt alle Terme bis[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und heißt deshalb bezeichnenderweise Runge-Kutta Verfahren 4. Ordnung.^[3] Auch wenn das Euler Verfahren für kleine Schrittweiten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] recht gute Ergebnisse liefert, so summieren sich die Fehler bei einer großen Zahl von Zeitschritten doch recht schnell.

Das Runge-Kutta Verfahren erweist sich in der Praxis als ein Rechenverfahren von hoher Genauigkeit. Für die Steigung der Ersatzgeraden wird eine Art mittlerer Steigung der Lösungskurve angesetzt, wodurch das Steigungsverhalten der Lösungskurve besser berücksichtigt wird.^[4]

2.1.3.1 Runge-Kutta Verfahren für Differentialgleichungen 1. Ordnung

Um eine Differentialgleichung erster Ordnung zu lösen, kann diese mit den folgenden Ausdrücken numerisch gelöst werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.1.3.2 Runge-Kutta Verfahren für Differentialgleichungen 2. Ordnung

Um eine Differentialgleichung höherer Ordnung (n-ter Ordnung) zu lösen, kann diese in

n-Differentialgleichungen erster Ordnung übergeführt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Daraus ergeben sich die benötigten Formelansätze:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Basierend auf diesem Verfahren wird ein Programm in der Delphi Entwicklungsumgebung geschrieben, das es ermöglicht, Differentialgleichu ngen 1.- und 2.-ter Ordnung zu lösen.

Die Eingabemaske besteht aus den einzelnen Edit-Komponenten, in die die Differentialgleichungen und die einzelnen Parameter (Schrittweite, Randwerte usw.) eingegeben werden. Der gewählte Datentyp für genauigkeitsrelevante Berechnungen ist durchwegs vom Typ extended, der eine 80 bit Gleitkommazahl mit einer Genauigkeit von 19-20 Stellen (der größte, der vom Mathematischen Coprozessor auf x86/32Bit CPU’s unterstützt wird) repräsentiert.

Fehler werden automatisch bei der Eingabe abgefangen, z.B. Zahlen in rein numerischen Werten werden gelöscht. Fehlende Bedingungen werden dem Benutzer ebenfalls über eine Messagebox mitgeteilt. Eine Parser Dynamik Link Library sorgt für die mathematische Umrechnung des eingegebenen Differentialgleichungsstrings. Dabei können alle gängigen mathematischen Operatoren sowie trigonometrische Funktionen, Potenzfunktionen, Konstanten usw. eingegeben werden.

Beispiel: Vergleich der analytischen und numerischen Lösung einer Differentialgleichung 2. Ordnung:

Gegeben sei folgende Differentialgleichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Lösungsweg:

Um die analytische Lösung zu bestimmen, wird zuerst die Lösung der homogenen Differentialgleichung, d.h. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]mit dem Ansatz [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bestimmt. Daran anschließend wird mit der „Methode der unbestimmten Koeffizienten“ der Ansatz:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

verwendet. Dieser Ansatz liefert die partikuläre Lösung der Differentialgleichung. Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung ist dabei die Summe der Lösungen der homogenen Differentialgleichung und der partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

analytische Lösung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Vergleich der Ergebnisse mit unterschiedlichen Schrittweiten:

Schrittweite [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]=0,5:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Graphischer Ausdruck:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei ist zu erkennen, dass die beiden Funktionskurven gut übereinstimmen, trotz recht großer Schrittweite.

Schrittweite [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]=0,1: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]Dabei ist zu erkennen, dass die beiden Funktionskurven annähernd deckungsgleich sind, bei der Wahl einer kleinen Schrittweite.

2.2 Numerisches Verfahren zur Differentiation

Des Öfteren wird eine Näherung für die Ableitung von tabellarischen Daten benötigt, wie dies zum Beispiel später im Zuge dieser Diplomarbeit für die Berechnung der Supersymmetrischen Potentiale benötigt wird. Die benötigten Formelansätze können z.B. aus der Taylor Reihe hergeleitet werden, wie im folgenden noch gezeigt wird.^[5]

Wir benutzen eine Taylor Reihe der Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für den Differentialquotient werden die nachfolgenden Abkürzungen eingeführt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und damit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erhält man

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erhält man

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eliminiert man nun die zweite Ableitung, d.h. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] aus ( 2-10 ) und ( 2-11 ), indem wir ( 2-10 ) mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]und ( 2-11 ) mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] multiplizieren und dann beide addiert, so erhält man:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei ist der Term [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für die Rechnung nicht verwendbar, da die dritte Ableitung nicht bekannt ist. Man bekommt aber anhand der Größenordnung des Terms den Fehler der gemacht wird. Die Formel (2-12) ist die Formel mit 3 Positionen des Vorwärtsdifferenzenverfahrens.

Auf ähnliche Art und Weise können Approximationen für Ableitungen höherer Ordnung hergeleitet werden.

Da beim Differenzieren von tabellarischen Datenwerten beim letzten Wert nach Formel
(2-12) die nächsten Werte, d.h. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] unbekannt sind, muss das Rückwärtsdifferenzenverfahren herangezogen werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Wert in Klammern bezeichnet den relativen Fehler, der gemacht wird.

Eigentlich würde das Vorwärtsdifferenzenverfahren für die Ableitung bis zum vorletzten Punkt der Wertetabelle, und der Zuhilfenahme des Rückwärtsdifferenzenverfahrens für die Ableitung des letzten Punktes der Wertetabelle reichen. Um aber den Fehler klein zu halten, bedient man sich des Zentraldifferenzenverfahrens, das quasi zwischen dem Vorwärtsdifferenzenverfahren und Rückwärtsdifferenzenverfahren eingesetzt wird:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Man sieht, dass der Fehlerterm in den runden Klammern von ( 2-14 ) nur halb so groß wie bei ( 2-13 ) ist, obwohl für ( 2-14 ) nur 2 Positionen benötigt werden. Natürlich existieren auch noch Differenzenverfahrensformeln, die mit mehr als nur den hier beschriebenen zwei oder drei Positionen rechnen. Dementsprechend werden die numerischen Fehler dann geringer.

Nach Darst. 2-1 wurde eine Sinusfunktion (blaue Linie) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], im Bereich von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bis [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] numerisch differenziert. Anhand einer Wertetabelle von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], die mit der Schrittweite [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] berechnet wurde, ist für die Differentiation mit den obigen Formelansätzen in der Delphi Entwicklungsumgebung ein Programm entwickelt worden. Das Programm liest dabei ein Textfile in ein Datenarray ein, berechnet aus dieser die Schrittweite [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten],und berechnet dann nacheinander mit dem Vor-, Zentral-, und Rückwärtsdifferenzenverfahren die Ableitungswerte an diesen äquidistanten Stellen. Das Ergebnis wir dann von einem Array sequentiell in ein Ergebnisfile geschrieben. Das Ergebnisfile kann dann automatisch mit einem in VBA geschriebenen Programm in einem Excel-Sheet geplottet werden. Der mittlere Fehler aller Datenpunkte im Vergleich zur exakten Lösung beträgt in diesem Beispiel[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Darst. 2-1 numerische Differentiation einer Sinusfunktion

2.3 Numerisches Verfahren zur Integration

Es ist öfter der Fall, dass die Integration in geschlossener Form nicht möglich, oder vom Aufwand her nicht vertretbar ist. Dies kann durch eine punktweise Berechnung der Stammfunktion mithilfe spezieller Näherungsverfahren erreicht werden. Es existieren einige Verfahren zur numerischen Integration wie z.B. das Romberg Extrapolationsverfahren, die Trapezregel, die Gauß Quadratur, usw. Hier soll die Simpson Regel zur numerischen Integration vorgestellt werden, da diese relativ einfach programmierbar ist und trotzdem hohe Genauigkeit erzielt. Zur Vervollständigung und zum besseren Verständnis soll die Simpson Regel hergeleitet werden.^[6]

Zuerst wird das Integrationsintervall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in eine gerade Anzahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] von Teilintervallen gleicher Länge zerlegt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Daraus folgen die [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Stützstellen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Darst. 2-2 Zerlegung der Fläche in 2n einfache Streifen

Quelle: Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2.7. überarbeitete und erweiterte Auflage: Vieweg,1994, S. 445.

Mit den Stützwerten, bzw. Funktionswerten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Anschließend werden je zwei benachbarte Streifen zu einem Doppelstreifen zusammengezogen. Mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] einfachen Streifen mit der Breite [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] entstehen genau [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Doppelstreifen mit der Breite [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Daraus folgt, dass das Integrationsintervall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]in eine gerade Anzahl von Teilintervallen zerlegt werden muss.

Nun wird näherungsweise der Flächeninhalt der [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Doppelstreifen berechnet. Im ersten Doppelstreifen nach Darst. 2-3 wird die Funktionskurve [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] durch eine Parabel die durch [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] geht, ersetzt. Diese hat die Gleichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Koeffizienten sind eindeutig bestimmbar, müssen aber, wie sich später zeigen wird, nicht berechnet werden, da sie nur indirekt in die Endformel eingehen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Darst. 2-3

Berechnung des ersten Doppelstreifens

Quelle: Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2.7. überarbeitete und erweiterte Auflage: Vieweg,1994, S. 446.

Die Fläche [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zwischen Parabel und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]-Achse im Teilintervall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] liefert dann einen Näherungswert für den exakten Flächeninhalt des ersten Doppelstreifens. Mittels elementarer Integration ist dieser berechenbar:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Ausdruck in Klammer der mithilfe der Parabelgleichung aus (2-19) berechnet wurde ergibt jedoch die Summe:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies aufgrund von :

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

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^[1] Vgl. Nolting, Wolfgang: Grundkurs: Theoretische Physik. 3. Auflage. Ulmen: Zimmerman - Neufang 1996 ,S. 1

^[2] Vgl. Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2.7. überarbeitete und erweiterte Auflage: Vieweg,1994, S. 558.

^[3] Shoup, Terry E .: Numerische Verfahren für Arbeitsplatzrechner: München, Wien: Hanser,1984,S. 129.

^[4] Vgl. Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2.7. überarbeitete und erweiterte Auflage: Vieweg,1994, S. 563.

^[5] Shoup, Terry E .: Numerische Verfahren für Arbeitsplatzrechner. München, Wien: Hanser,1984,S. 189-195.

^[6] Vgl. Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2.7. überarbeitete und erweiterte Auflage: Vieweg,1994, S. 445-448.