Anfang des letzten Jahrhunderts steckte die Physik in einer Krise. Die klassische Physik war im Grossen und Ganzen schon bewiesen und in der Praxis angewandt. Allerdings ergaben sich bei gewissen Experimenten und Forschungen zum Teil gravierende Un-stimmigkeiten mit der klassischen Mechanik.
In der Welt der kleinsten Teilchen, der Elektronen, herrschen andere Gesetze als in der Welt der makroskopischen Körper. Ein Elektron verhält sich nicht wie ein aus dem Alltags-leben bekanntes Teilchen, sondern hat sowohl Wellen-, als auch Teilchencharakter.
Die Quantentheorie beschreibt den physikalischen Zustand eines Teilchens durch eine Differentialgleichung, die nach dem Physiker und Nobelpreisträger Erwin Schrödinger benannt ist. Abhängig von der Komplexität einer gegebenen Potentialfunktion ist diese Differentialgleichung analytisch schwer oder gar nicht mehr lösbar.
Die vorliegende Diplomarbeit beschäftigt sich mit der Quantenphysik an sich und der numerischen Berechnung der Eigenfunktionen und Eigenwerte von beliebigen Potentialfunktionen. Die Berechnung ist mit einem am Computer programmierten, ereignisgesteuerten und mit einer Benutzeroberfläche ausgestatteten Programm möglich, ebenso wie automatische Plotfunktionen. Im weiteren Teil der Arbeit wird dann zu Supersymmetrischen Potentialen und deren numerischer Behandlung mit programmtechnischer Umsetzung für genauere Analysen übergegangen.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Grundlagen
2.1 Numerische Verfahren zum Lösen von Differentialgleichungen
2.1.1 Allgemein
2.1.2 Streckenzugverfahren von Euler
2.1.3 Runge-Kutta
2.2 Numerisches Verfahren zur Differentiation
2.3 Numerisches Verfahren zur Integration
3 Schrödinger-Gleichung
3.1 Allgemein
3.2 Der Teilchen Welle Dualismus
3.2.1 Doppelspaltversuch mit klassischem Teilchen
3.2.2 Doppelspaltversuch mit klassischen Wellen
3.2.3 Doppelspaltversuch mit Elektronen
3.2.4 Interpretation der Doppelspaltexperimente
3.3 Das mathematische Gerüst der Quantentheorie
3.3.1 Das im unendlich hohen Potentialtopf eingesperrte Teilchen
3.3.2 Die Schrödinger-Gleichung
3.3.3 Interpretation der Wellenfunktion
4 Numerische Berechnung von Energieeigenwerten und Funktionen
4.1 Stetigkeitsbedingungen an den Potentialwänden
4.2 Unendlich hoher Potentialtopf
4.2.1 Analytische Lösung
4.2.2 Numerische Lösung
4.3 Potentialfunktion x^2 (quantenmechanischer Oszillator)
4.3.1 Analytische Lösung
4.3.2 Numerische Lösung
4.4 Potentialfunktion 1 / cosh(x)^2 + 1
5 Supersymmetrische Potentiale
5.1 Allgemein
5.2 Mathematische Behandlung der Supersymmetrischen Potentiale
5.2.1 Supersymmetrisches Potential im unendlich hohen Potentialtopf
5.2.2 Supersymmetrisches Potential zum Doppeltopfpotential
5.2.3 Aufsuchen der Energieeigenwerte aus höhergradigen Supersymmetrischen Potentialen
Zielsetzung und Themen
Die vorliegende Diplomarbeit zielt darauf ab, die numerische Berechnung von Eigenfunktionen und Eigenwerten beliebiger Potentialfunktionen in der Quantenmechanik zu ermöglichen. Hierzu wird ein softwarebasiertes Programm entwickelt, das Differentialgleichungen mittels numerischer Verfahren löst und die Ergebnisse automatisiert grafisch darstellt, wobei ein besonderer Fokus auf der Untersuchung von Potentialen und supersymmetrischen Potentialen liegt.
- Entwicklung eines computergestützten Programms zur Lösung von Differentialgleichungen
- Numerische Verfahren zur Differentiation und Integration von tabellarischen Daten
- Anwendung der Schrödinger-Gleichung auf verschiedene physikalische Potentialmodelle
- Numerische Berechnung und Visualisierung von Energieeigenwerten und Eigenfunktionen
- Untersuchung von supersymmetrischen Potentialen und deren numerische Behandlung
Auszug aus dem Buch
3.2.1 Doppelspaltversuch mit klassischem Teilchen
In Darst. 3-1 werden aus einer Schrottflinte Stahlkugeln auf eine Wand gefeuert. Beim ersten und zweiten Bild von links wird je ein einzelner Spalt abgedeckt und dann die Häufigkeit als Funktion des Ortes x aufgezeichnet. Beim Bild rechts wird die Häufigkeit ohne Abdeckung aufgezeichnet.
Dabei lässt sich beobachten:
• Die Kugeln kommen immer einzeln als diskrete Masseteilchen an. Bei vielen abgefeuerten Teilchen kommen pro Zeit und Detektorfläche viele Teilchen an, bei wenigen abgefeuerten Teichen wenige pro Zeit und Detektorfläche.
• Bei einer sehr hohen Anzahl an detektierten Kugeln ergibt sich Ia(x) und Ib(x).
• Wenn beide Blenden offen sind, dann ergibt sich Ic(x), das der Summe von Ia(x) und Ib(x) entspricht.
Dieser Sachverhalt ist uns aus alltäglichen Dingen verständlich und leicht nachvollziehbar.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung führt in die physikalische Krise des frühen 20. Jahrhunderts ein und verortet die Arbeit im Bereich der Quantenmechanik sowie der numerischen Lösung der Schrödinger-Gleichung.
2 Grundlagen: In diesem Kapitel werden die notwendigen mathematischen und numerischen Grundlagen, wie das Runge-Kutta-Verfahren sowie numerische Differenzierung und Integration, erläutert.
3 Schrödinger-Gleichung: Dieses Kapitel behandelt das mathematische Fundament der Quantentheorie, ausgehend vom Teilchen-Welle-Dualismus bis hin zur Herleitung der Schrödinger-Gleichung.
4 Numerische Berechnung von Energieeigenwerten und Funktionen: Hier wird die praktische Anwendung der zuvor erarbeiteten Methoden auf spezifische Potentialfunktionen sowie die numerische Lösungsstrategie mittels Intervallschachtelung demonstriert.
5 Supersymmetrische Potentiale: Das letzte Kapitel widmet sich der Anwendung supersymmetrischer Potentiale zur Lösung numerisch komplexer Probleme bei eng beieinander liegenden Eigenwerten.
Schlüsselwörter
Quantenmechanik, Schrödinger-Gleichung, Numerische Berechnung, Eigenwerte, Eigenfunktionen, Runge-Kutta-Verfahren, Potentialfunktion, Supersymmetrische Potentiale, Wellenfunktion, Differentialgleichung, Intervallschachtelung, Quantenphysik, Simulation, Softwareentwicklung, Numerische Mathematik.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der numerischen Berechnung von Energieeigenwerten und Eigenfunktionen für verschiedene Potentialmodelle der Quantenmechanik mithilfe eines selbst entwickelten Programms.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind die mathematischen Grundlagen der numerischen Lösung von Differentialgleichungen, die quantenmechanische Schrödinger-Gleichung sowie die Anwendung supersymmetrischer Potentiale.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das Ziel ist die Erstellung einer Software, die in der Lage ist, für beliebige Potentialfunktionen die Eigenwerte und Eigenfunktionen eines Elektrons numerisch zu bestimmen und grafisch zu plotten.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden numerische Standardverfahren wie das Runge-Kutta-Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen, numerische Differenzierung und Integration sowie die Intervallschachtelung zur Eigenwertsuche eingesetzt.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die mathematischen Grundlagen, die theoretische Herleitung der Schrödinger-Gleichung, die numerische Implementierung der Berechnungen und die Untersuchung spezifischer physikalischer Systeme, inklusive supersymmetrischer Potentiale.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die wichtigsten Begriffe sind Quantenmechanik, Schrödinger-Gleichung, Numerische Berechnung, Eigenwerte, Eigenfunktionen, Runge-Kutta, Potentiale und Supersymmetrie.
Warum wurde die Intervallschachtelung für die Eigenwertsuche gewählt?
Die Intervallschachtelung wurde gewählt, weil sie ein sehr effizientes und präzises Verfahren darstellt, um Lösungen für nicht analytisch lösbare Differentialgleichungen innerhalb fester Grenzen gezielt einzugrenzen.
Welche Rolle spielen die supersymmetrischen Potentiale in der Arbeit?
Supersymmetrische Potentiale dienen dazu, numerisch schwierige Probleme zu lösen, insbesondere wenn Energieeigenwerte sehr eng beieinander liegen und mit Standardmethoden nur schwer unterscheidbar sind.
Warum wurde Delphi als Programmiersprache für diese Arbeit gewählt?
Die Wahl fiel auf Borland Delphi, da es eine leistungsfähige Entwicklungsumgebung bietet, um sowohl mathematische Berechnungen als auch die Gestaltung von Benutzeroberflächen und Plot-Funktionen effizient umzusetzen.
- Citar trabajo
- Harald Führer (Autor), 2005, Numerische Berechnung der Energieeigenwerte und Eigenfunktionen in Potentialen und Supersymmetrischen Potentialen, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/52149
