Prinzipien zur Prämienkalkulation bei Versicherungen


Bachelorarbeit, 2018

33 Seiten, Note: 1,3


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Einfuhrung
2.1 Risiko und Schadenverteilungen

3 Pramienkalkulation
3.3 Kollektive und individuelle Pramie

4 Prinzipien zur Pramienkalkulation
4.1 Eigenschaften von Pramienprinzipien

5 Zusammenfassung

1 Einleitung

Ein Versicherungsunternehmen tragt das Risiko des Versicherungsnehmers und be-gleicht auftretende Schaden. Als Gegenleistung zahlt der Versicherungsnehmer eine Pramie. Anhand von verschiedenen Prinzipien zur Pramienkalkulation lasst sich die Pramie berechnen. Ziel ist es ein Uberblick u¨ber die Prinzipien zu vermitteln und die Eignung der einzelnen Prinzipien zur Pramienberechnung mittels ihrer Eigenschaften festzustellen.

Abschnitt 2 fu¨hrt zunachst Grundbegriffe der Risikotheorie ein. Der 3. Abschnitt beschaftigt sich mit der Frage bei welcher Pramienhohe der Ruin eines Versicherungs-unternehmens eintritt und aus welchen Bestandteilen sich eine Pramie zusammensetzt. In Abschnitt 4 werden einige Prinzipien zur Pramienkalkulation vorgestellt und u¨ber-pru¨ft welche Eigenschaften sie erfullen.

Als Literatur dienen die Bu¨cher von Heilmann (1987), Bu¨hlmann (1996), Deelstra und Plantin (2014), Gatto (2014) und Schmidt (2006) und das Vorlesungsskript von Reitz-ner (2017).

2 Einfu¨hrung

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Zur spateren Anwendung werden die erzeugende, momenterzeugende und kumulan-tenerzeugende Funktionen mit ihren Eigenschaften eingefuhrt.

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2.1 Risiko und Schadenverteilungen

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2.1 Risiko und Schadenverteilungen

Das Versicherungsunternehmen begleicht durch die Pramie die Kosten, die bei einem Schadenfall auftreten. Die Versicherungspr ¨amie ist der Preis eines Versicherungspro-duktes und richtet sich nach der Hohe des versicherten Risikos beziehungsweise nach dem Gegenstand der Versicherung. Fur eine genauere Beschreibung der Versicherungs-pramie werden zunachst einige Grundlagen eingefuhrt.

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Der auftretende Schadenverlauf wird in Anzahl und Hohe der Schaden an Wahrschein-lichkeitsverteilungen angepasst. Die im Allgemeinen kontinuierliche Schadenhohenver-teilung kann durch absolut stetige Verteilungen und die Schadenanzahlverteilung durch diskrete Verteilungen beschrieben werden.

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2.1 Risiko und Schadenverteilungen

wird aufgrund der hohen Wahrscheinlichkeit fur Schaden von mittlerer Hohe haufig verwendet. Die Betafunktion ist gegeben durch

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2.2 Gesamtschaden-Modelle

Fur die Modellierung des Gesamtschadens wird das individuelle oder kollektive Mo-dell herangezogen. Das individuelle Modell entspricht der konkreten und natu¨rlichen Gestaltung, da sich der Gesamtschaden aus Einzelschaden der Versicherungsnehmer, also den versicherten Risiken, zusammensetzt. Die Einzelschadenhohe ist null oder echt positiv. Im kollektiven Modell werden nur die Schaden mit echt positiver Hohe betrach-tet. Daher wird nicht u¨ber die Anzahl der Risiken summiert, sondern u¨ber die zufallige Anzahl der Schaden in einem Portefeuille.

Individuelles Modell

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Kollektives Modell

Die zufallige Anzahl der echt positiven Schaden, die in einem Portefeuille auftreten, sei durch die Zufallsvariable N eN0 beschrieben. Die Folge von Zufallsvariablen (Xi) i eN sind unabhangig identisch verteilt und unabhangig von N. Jedes Xi gibt die zufallige Schadenhohen wieder und nimmt Werte in R > 0 an. Die identische Verteilung ist in einem homogenen Portefeuille insofern sinnvoll, da die Hohe des Schadens nicht mehr einem versicherten Risiko zugeordnet ist, sondern lediglich einem Schadenereignis. Bei

2.2 Gesamtschaden-Modelle

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einem homogenen Portefeuille ist ein Schaden von bestimmter Hohe fu¨r alle Versicher-ten gleich wahrscheinlich. In der Praxis ist eine Unabhangigkeit von Xi und N nicht zwangslaufig erfu¨llt, da zum Beispiel bei Extremwetterereignissen ein Zusammenhang zwischen den Schadenhohen und der Schadenanzahl erkennbar ist. Der Gesamtschaden im kollektiven Modell ist durch

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Mit Hilfe der Wald’schen Gleichungen lassen sich Erwartungswert und Varianz des Gesamtschadens im kollektiven Modell berechnen.

Satz 4: (Spezialfall der Wald ’sche Gleichungen) Sei E(N) < oo und seien Xi mit i G N identisch verteilt und X1 unabh¨angig von N. Dann gilt mit

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3 Pramienkalkulation

Die Pramienkalkulation dient der Bestimmung der Kompensation beziehungsweise ei-nes angemessenen Preises fur die Risikou¨bernahme. Zunachst wird mit Hilfe der Ruin-theorie die Frage geklart von welcher Beschaffenheit eine Pramie sein sollte und ein Uberblick u¨ber die Bestandteile einer Pramie gegeben. Außerdem wird auf die Un-terschiede einer individuellen und einer kollektiven Pramie eingegangen, bevor in Ab-schnitt 4 einzelne Prinzipien zur Pramienkalkulation naher erlautert werden.

3.1 Ruintheorie

Ein Versicherungsunternehmen verfu¨gt u¨ber eine finanzielle Reserve, dem Eigenkapi-tal, mit dem Risiken der Versicherungsnehmer ubernommen werden. Die Reserve erhalt deterministische Zuwachse in Form von Pramien, die in der Abbildung 1 als linear an-genommen werden. Tritt ein zufalliger Schaden ein, so folgt daraus eine Minderung des Kapitals des Versicherungsunternehmens. Ruin bezeichnet das Ereignis von einer ne-gativen Reserve. Ein beispielhafter Verlauf eines Risikoprozesses ist in der Abbildung 1 dargestellt. Der Zusammenhang von dem Ereignis des Ruins und der Hohe der Pramie wird im Folgenden behandelt.

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Abbildung 1: Verlauf eines Risikoprozesses mit regelm¨aßigem Zufluss und unregelm¨aßi-gen Abfluss aus Gatto (2014)

Zu Jahresbeginn entrichten die Versicherungsnehmer jahrlich Pramien der Hohe πt = π. Die Pramie entspricht in diesem Abschnitt den aufsummierten Pramien aller Versiche­rungsnehmer in einem Jahr. Die entstanden Schaden im Jahr t der Hohe

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zahlt das Versicherungsunternehmen am Jahresende. Je nachdem ob die Einnahmen oder Ausgaben des Unternehmens in einem Jahr u¨berwiegen, steigt oder fallt das Ei-genkapital. Die Reserve fur t = 0 wird mit s bezeichnet und die Verzinsung bleibt unberu¨cksichtigt.

3.1 Ruintheorie

Definition 5: Die Ruinwahrscheinlichkeit im Zeitpunkt T ist gegeben durch

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Satz 6 zeigt, dass die Pramie πt gro¨ßer als der Erwartungswert der Schaden E(St) sein muss, sonst tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von Eins der Ruin des Unternehmens ein. Ein Sicherheitszuschlag Z = πt — E(St) G R > 0 ist somit notwendig.

3.2 Bestandteile einer Pramie

Eine Risikopramie wird so kalkuliert, dass sie nur die reine Risikou¨bernahme ausgleicht, weitere Kosten, die dem Versicherungsunternehmen entstehen und ein Gewinnzuschlag werden nicht beru¨cksichtigt. Die Nettorisikopramie wird nach dem versicherungstechni-schen Aquivalenzprinzip oder auch Nettorisikoprinzip bestimmt. Das Aquivalenzprinzip fordert, dass die Pramienzahlung gleichwertig zu dem Erwartungswert der Schaden ist. Die Nettorisikopramie richtet sich demzufolge nach dem Erwartungswert des Schaden-bedarfs beziehungsweise der Schadenaufwendung. Die Bestandteile der Bruttorisiko-pr¨amie sind der oben erwahnte Sicherheitszuschlag sowie die Nettorisikopramie. Die eigentliche Bruttopramie setzt sich aus der Bruttorisikopramie und einem Kosten- und Gewinnzuschlag zusammen. Nachfolgend wird lediglich die Risikopramie betrachtet und der Kosten- und Gewinnzuschlag vernachlassigt.

Der Sicherheitszuschlag je Risiko lasst sich beispielsweise durch die Ungleichung von Cantelli bestimmen. Sei die Pramie π(X) = E(X) + Z, wobei die Schadenhohe X ein Reprasentant eines der X1,... ,Xn im individuellen Gesamtschadenmodell ist. Z ist der deterministische Sicherheitszuschlag. Dann lasst sich die Wahrscheinlichkeit eines Verlustes abschatzen durch

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3.3 Kollektive und individuelle Pramie

Aufgrund der Daten der statistischen Beobachtungen der vorangegangen Jahre, lasst sich annehmen, dass die kollektive Pramie bekannt ist. Die kollektive Pramie ist die Kollektivpramie geteilt durch die Anzahl aller Versicherungsnehmer eines Kollektivs. Ein typisches Problem bei der Berechnung der Pramie ist jedoch die Kalkulation der individuellen Pramie fu¨r ein Risiko. Die individuelle Pramie ist die faire Pramie, die pro Vertrag fallig ware. Meist ist es aber unmoglich diese Pramie zu berechnen, da fu¨r einen einzelnen Versicherungsvertrag keine ausreichende Datengrundlage vorhan-den ist. In zwei Fallen ist eine Berechnung der individuellen Pramie dennoch moglich:

i) Bei einem homogenen Portefeuille stimmen kollektive und individuelle Pramie u¨berein.
ii) Wenn der Schadenverlauf eines Versicherungsnehmers u¨ber einen langen Zeitraum betrachtet werden kann und die Bedingungen gleichbleibend sind. Damit ist zum Bei-spiel gemeint, dass sich die durchschnittliche Schadenanzahl und Schadenhohe durch technische Weiterentwicklung und teurere Ersatzteile nicht grundsatzlich andern. In diesem Fall lasst sich die individuelle Pramie durch die gesammelten Daten kalku-lieren.

4 Prinzipien zur Pramienkalkulation

Die theoretische Betrachtung im Folgenden bemu¨ht sich um die Berechnung einer in­dividuellen Pramie mit Hilfe verschiedener Pramienprinzipien. Außerdem werden die Eigenschaften der beispielhaften Prinzipien untersucht.

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Ein Pramienprinzip H ordnet jedem Risiko Xi eine Pramie π (Xi) zu. Dabei steht Xi hier als Reprasentant fu¨r ein Vertrag im Portefeuille. Mogliche Prinzipien zur Pramien­kalkulation und wu¨nschenswerte Eigenschaften werden nachfolgend vorgestellt.

4.1 Eigenschaften von Pramienprinzipien

Eine versicherbare Pramie liegt vor, falls fu¨r das Pramienprinzip H(Xi) = π (Xi) < oc gilt. Fu¨r die Teilmenge X' C X mit Xi G X soll dies stets erfu¨llt sein.

Definition 8: Ein Pramienprinzip H heißt

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Ende der Leseprobe aus 33 Seiten

Details

Titel
Prinzipien zur Prämienkalkulation bei Versicherungen
Hochschule
Universität Osnabrück
Note
1,3
Autor
Jahr
2018
Seiten
33
Katalognummer
V541248
ISBN (eBook)
9783346175618
ISBN (Buch)
9783346175625
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Versicherungsmathematik, Sachversicherung, Prämien, Versicherung, Risikotheorie, Prämienkalkulation
Arbeit zitieren
Franziska Summe (Autor), 2018, Prinzipien zur Prämienkalkulation bei Versicherungen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/541248

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