Grundlegende Methoden zur Optimierung von Multicriteria Optimierungsproblemen

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Multicriteria Entscheidungen
2.1 Charakteristische Merkmale
2.2 Klassifizierung von Multicriteria Entscheidungen

3 Multi-Objektive-Entscheidungen
3.1 Entscheidungsprozess
3.2 Klassifikation von MODM-Methoden
3.3 MODM - Problemformulierung
3.4 Pareto Optimalität

4 Lösungsmethoden
4.1 Methode der effektiven Mengen
4.2 Methode Global Criteria
4.3 Methode der additiven Nutzen

5 Anwendungen der Multicriteria Optimierung
5.1 Multi-Attribut-Entscheidungen
5.2 Multi-Objektive-Entscheidungen

6 Fazit

7 Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1 Entscheidungsprozess, (Chankong/Haimes, 1983:5)

Abbildung 2 Pareto optimale Vektoren, (Miettinen, 1999:11)

Abbildung 3 Vektoroptimierung mit Gewichtung, (Hillermeier, 2001:21)

Abbildung 4 Lösungsraum

Abbildung 5 Geometrische Darstellung der optimalen Lösungen, (Boychuk/Ovchinnikov,1973:3)

Abbildung 6 Matrix mit Kriterien und Alternativen zum Beispiel "Autokauf", (Ehrgott, 2005:1ff.)

Abbildung 7 Entscheidungsraum Autokauf, (Ehrgott, 2005:4)

1 Einleitung

Entscheidungen werden täglich getroffen, um bewusst eine von mehreren Handlungsalternativen auszuwählen. Diese Auswahl wird umso schwerer, je mehr Alternativen zu Auswahl stehen und je mehr Kriterien zu berücksichtigen sind. Komplexe Entscheidungssituationen entstehen, wenn beispielsweise die Ziele zueinander in Konflikt stehen oder die Folgen der Entscheidung nicht absehbar sind.

Komplexe Entscheidungsprobleme in der Wirtschaft sind mehrdimensional. Sie lassen sich nicht auf die Verfolgung eines einzelnen Ziels reduzieren. Diese komplexen Entscheidungsprobleme überfordern den Menschen, da diese Probleme allein intuitiv nicht effizient gelöst werden können. Für die Lösung dieser mehrkriteriellen Problemstellungen gibt es verschiedene Methoden. Die vorliegende Arbeit gibt zunächst einen Überblick über die Eigenschaften und Kennzeichen von Multicriteria Entscheidungen. Hauptgegenstand sind Multi-Objektive-Entscheidungen und deren Lösungsmöglichkeiten mittels Vektoroptimierung.

Kapitel 2 gibt einen Überblick über den Entscheidungsprozess bei Multi-Objektiven-Problemen. Hier wird außerdem der für die Lösungen entscheidende Begriff der Pareto-Optimalität erörtert. Da die Lösungsmenge bei Multicriteria-Entscheidungen nicht nur aus einer optimalen Lösung besteht, sondern aus einer Menge von optimalen Lösungen. In Kapitel 3 werden Ansätze zur Lösung von Optimierungsproblemen basierend auf der Arbeit von Boychuk und Ovchinnikov (1973) aufgezeigt. Hierbei handelt es sich zum einen um die Methode der effektiven Mengen, die Methode der Global Criteria und eine weitere Methode, die Nutzenfunktionen in die Entscheidung mit einbezieht.

Abschließend wird in Kapital 4 das Problem der Multicriteria Entscheidung an einem Beispiel für Multi-Attribut-Entscheidungen und einem Beispiel für Multi-Objektive-Entscheidungen veranschaulicht.

2 Multicriteria Entscheidungen

Entscheidungsmodelle mit mehreren Zielsetzungen beschreiben die Realität in der Regel besser als die allein an der Gewinnmaximierung oder Kostenminimierung orientierten Entscheidungsmodelle. Hauptmerkmal mehrkriterieller Entscheidungsprobleme ist die Berücksichtigung mehrer Ziele bzw. Kriterien, die häufig miteinander konkurrieren. Es treten oft Zielkonflikte auf, bei denen die Verbesserung des einen Ziels die Verschlechterung eines anderen Ziels zur Folge hat. Ein Beispiel hierfür ist ein Stellenbewerber, der folgende Anforderungen an seinen neuen Arbeitsplatz stellt: hoher Lohn, gute Aufstiegschancen, super Betriebsklima, Nähe zur derzeitigen Wohnung. In der Industrie treten Multicriteria Entscheidungen beispielsweise in der Produktionsplanung auf. Hier wird versucht geringe Gesamtkosten, hohe Kapazitätsauslastung, wenig Überstunden, geringe Lagerbestände, hohe Lieferbereitschaft und kurze Durchlaufzeiten zu realisieren. Die gleichzeitige Optimierung aller Zielfelder ist hier nur schwer möglich. Eine hohe Lieferbereitschaft geht einher mit der Notwendigkeit von Lagerbeständen, um schnell auf Bestellungen reagieren zu können. Um die hohe Kapazitätsauslastung zu gewährleisten müssen die Mitarbeiter unter Umständen Überstunden machen, die wiederum die Gesamtkosten erhöhen usw. (Zimmermann/Gutsche, 1991:21). Multicriteria Probleme treten sowohl im wirtschaftlichen, wie im privaten Bereich sehr häufig auf.

2.1 Charakteristische Merkmale

Allen Multicriteria Problemen gemein sind folgende Merkmale:

- Jedes Problem hat mehrere Ziele oder Eigenschaften, die angestrebt werden. Die jeweils relevanten Ziele werden vom Entscheidungsträger ausgewählt.
- Es herrscht ein Zielkonflikt, so dass die Verbesserung eines Zieles meist nur auf Kosten eines anderen Ziels geschehen kann.
- Die Lösung des Entscheidungsproblems erfolgt durch Berechnung oder Auswahl einer Handlungsalternative. Das ist dann die Alternative, die vom Entscheidungsträger am meisten bevorzugt wird. Eine Auswahl der besten Alternative kann erfolgen, wenn die Menge derer endlich ist. Ist die Menge hingegen unendlich oder lediglich durch Nebenbedingungen definiert, dann wird die beste Alternative berechnet.

Die Aufgabe der Multicriteria Analyse besteht darin, den Entscheidungsträger bei der Lösung von Problemen mit Zielkonflikten zu unterstützen. Hier benötigt man ein sinnvolles Kriterium, mit dessen Hilfe man die Alternativen beurteilen kann (Zimmermann/Gutsche, 1991:21f.).

Äußere Gegebenheiten, die durch den Entscheidungsträger nicht beeinflusst werden können, bezeichnet man als Umweltzustände (Dörsam, 2003:8f.). In Situationen bei Sicherheit ist der wahre Umweltzustand bekannt, in Situationen bei Risiko sind lediglich die Eintrittswahrscheinlichkeiten für das Auftreten eines bestimmten Umweltzustandes bekannt und in Situationen bei Ungewissheit sind die Umweltzustände bekannt, aber nicht deren Eintrittswahrscheinlichkeiten. Als Ergebnisse werden die Konsequenzen bezeichnet, die sich aus der Wahl einer bestimmten Handlungsalternative ergeben. Zielgrößen sind hierbei die erstrebenswerten Zustände, die mit der Wahl einer Handlungsalternative erreicht werden sollen. Hier kann es beispielsweise um die Minimierung oder Maximierung einzelner Kriterien gehen.

2.2 Klassifizierung von Multicriteria Entscheidungen

Multi Criteria Decision Making (MCDM) wird die Entscheidung bei Mehrfachzielsetzung im internationalen Sprachgebrauch genannt. Innerhalb dieses Verfahrens wird wiederum in Multi-Attribut-Entscheidungen (Multiple Attribute Decision Making, kurz MADM) mit diskreten Lösungsräumen^[1] und Multi-Objektive-Entscheidungen (Multiple Objective Decision Making, kurz MODM) mit stetigen Lösungsräumen^[2] unterteilt. Beide Klassen unterscheiden sich in der Struktur des zugrunde liegenden Problems sowie durch ihre Art der Lösung. Ein MADM-Verfahren löst das Problem durch Auswahl einer Alternative und ein MODM-Verfahren durch die Berechnung einer Alternative (Weber, 1993:1).

MADM-Verfahren beurteilen jede Alternative hinsichtlich ihrer Attribute, welche die Ziele des Entscheidungsträgers verkörpern. Die abschließende Entscheidung erfolgt durch Vergleichen der Attribute untereinander und die Ausprägungen verschiedener Alternativen bezüglich eines Attributs. Zu den MADM-Verfahren gehört beispielsweise die AHP Methode. Bei vielen MADM-Verfahren steht die Suche nach einer vollständigen Rangordnung der Alternativen im Vordergrund (Zimmermann/Gutsche, 1991:25f).

In MODM-Verfahren sind die Ziele durch klar definierbare Zielfunktionen gegeben. Folglich kann jeder Alternative ein bestimmter Wert zugeordnet werden. Die Lösung wird in einem Prozess ermittelt. Hier besteht die Möglichkeit, dass eine Alternative A im Vergleich mit Alternative B einen schlechteren Attributwert durch eine gute Ausprägung in einem anderen Attribut ausgleichen kann. Aufgrund der vorgegebenen Zielfunktionen, die zu optimieren sind, wird dieses Verfahren auch als Vektoroptimierung bezeichnet (Weber, 1993:1).

3 Multi-Objektive-Entscheidungen

3.1 Entscheidungsprozess

Nach Chankong/Haimes verläuft ein Multi-Objektiver-Entscheidungsprozess in einem fünfstufigen Prozess. Der Prozess beginnt mit einem Initiierungsschritt, indem der Entscheidungsträger die Notwendigkeit einer Änderung des Systems erkennt. Die Situation wird untersucht und es werden genauere Angaben bezüglich der Bedürfnisse und Ziele gemacht. Anschließend wird im Problem-Formulierungsschritt das Entscheidungsproblem definiert. Hier werden die jeweiligen Attribute festgelegt. Ein zugehöriges Modell wird im Modellierungsschritt konstruiert. Hier wird der notwendige Schlüssel von Variablen und deren Beziehung erstellt. Das erstellte Modell bildet die Grundlage für den Analyse- und Bewertungsschritt. Es erzeugt eine Menge aller zulässigen Handlungsalternativen, die dann durch Zielwerte Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenentsprechend den Zielen bewertet werden. Die Alternativen werden dann relativ zu den übrigen Alternativen bewertet und in einer Rangfolge angeordnet. Mit dem Durchführungsschritt endet der Entscheidungsprozess, falls eine zufrieden stellende Alternative gefunden wurde. Ansonsten beginnt der Prozess von vorn (Chankong/Haimes, 1983:4f.). Die folgende Abbildung veranschaulicht diesen Prozess.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1 Entscheidungsprozess, (Chankong/Haimes, 1983:5)

3.2 Klassifikation von MODM-Methoden

Die Verfahren zur Lösung von MODM-Problemen lassen sich danach klassifizieren, wann der Entscheidungsträger seine Präferenzvorstellungen einfließen lässt. Es lassen sich drei Typen unterscheiden: a priori, a posteriori und progressive Artikulation (Zimmermann/Gutsche, 1991:30f.).

- A Priori Artikulation von Präferenzen:
Die Festlegung der relativen Bedeutung verschiedener Zielfunktionen erfolgt vor Durchführung der Optimierung. Dabei wird beispielsweise eine Mehrziel- in eine Einzielentscheidung überführt. Diese Klasse setzt Problemwissen vor der Optimierung voraus, das nicht immer vorhanden ist. Des Weiteren werden eventuell gute Lösungen wegen falscher Präferenzen ausgelassen.
- A Posteriori Artikulation von Präferenzen:
Dies erfordert die Selektion einer einzelnen Lösung aus einer Menge mathematisch äquivalenten Lösungen nach Ablauf der Optimierung. Hier werden alle Lösungen in den Entscheidungsprozess einbezogen. Die gewählte Lösung spiegelt die Präferenz des Entscheiders wieder.
- Progressive Artikulation von Präferenzen:
Diese Methode verlangt eine kontinuierliche Interaktion des Entscheiders während des Ablaufs der Optimierung. Durch Präferenzen wird die Menge potentieller Lösungen reduziert und nur eine Teilmenge berücksichtigt, was den Rechenaufwand und die Auswertungskosten verringert, da die Anzahl der auszuwertenden Ergebnisse reduziert wird. Die Optimierung kann aber nicht unabhängig vom Anwender ablaufen, da während der Optimierung laufend Entscheidungen getroffen werden, sie ermöglicht aber die Einbeziehung von Zwischenlösungen (Marler/Arora, 2004:369ff.).

[...]

^[1] In diskreten Lösungsräumen ist die Menge der zulässigen Alternativen eine endliche, meist sehr kleine Anzahl.

^[2] In stetigen Lösungsräumen enthält die Menge der zulässigen Alternative unendlich viele Elemente. Es handelt sich oft um Teilmengen eines Raumes.