Legespiele im Mathematikunterricht der Grundschule unter besonderer Berücksichtigung des Tangrams

1. Einleitung

Der Geometrieunterricht in der Grundschule wird bis heute noch vernachlässigt. Als Grund geben die Lehrerinnen und Lehrer^[1] häufig an, dass der Unterrichtsstoff der Arithmetik durchgearbeitet werden müsse und für geometrische Themen deshalb zu wenig Zeit übrig bleibe oder aber die Erstellung und Bereitstellung von geeigneten Materialien erfordere einen zu hohen Aufwand.^[2]

Diese Einstellung schlägt sich auch in den in NRW zugelassenen Lehrbüchern für Mathematik nieder. So enthalten im Durchschnitt nicht mehr als 11,8 % der Seiten eines Mathematikbuchs geometrische Aufgabenstellungen.^[3] Bedenkt man die Tatsache, dass Geometrieaufgaben flächenmäßig wesentlich mehr Platz in Anspruch nehmen als beispielsweise Additionsaufgaben, so macht der in Mathematikbüchern für die Grundschule behandelte Lehrstoff der Geometrie nur einen kleinen Bruchteil aus.

Dabei ist Geometrie im Unterricht mindestens genauso wichtig wie die Vermittlung von arithmetischen Rechenfertigkeiten, da die Schüler im Alltag immer wieder mit geometrischen Sachverhalten konfrontiert werden (z.B. Verkehrsschilder, Straßenkarten, etc). „Speziell mit der Geometrie werden die Herausbildung des logischen Denkens und des Vorstellungsvermögens […] in Zusammenhang gebracht.“^[4] Auch bedient sich der Arithmetikunterricht häufig geometrischer Veranschaulichungen, z.B. Punktbilder beim Darstellen verschiedener Mengen^[5] oder Säulendiagramme^[6]. Dieses Anschauungsmaterial ist für den Schüler wertlos, wenn er nicht über das notwendige geometrische Verständnis verfügt.

Der Geometrieunterricht sollte deshalb das Fundament des Mathematikunterrichts bilden, denn „geometrische Erfahrungen sind Vorraussetzung und Bestandteil des Denkens, sie sind eine Komponente der menschlichen Intelligenz.“^[7]

Vielfach wird Spielen im Unterricht immer noch mit Spielerei gleichgesetzt und als Zeitverschwendung und bloße Auflockerung des Unterrichts abgetan. Dabei lassen sich gerade im Spiel wichtige Lernziele erreichen, die die oben genannte „menschliche Intelligenz“ fördern.

Das LBS- Kinderbarometer hält fest, dass nicht nur die Erwachsenen, sondern auch die Kinder zwischen neun und vierzehn Jahren das Fach Mathematik als sehr wichtig für ihre Zukunft einschätzen.^[8] Warum sollte man dann nicht auch die Methoden zur Erarbeitung des Stoffes wählen, die den Schülern aller Voraussicht nach Spaß machen, wie z. B. das Spiel?

Eine Möglichkeit geometrische Erfahrungen zu machen, bieten die sogenannten Legespiele. Absicht dieser Arbeit ist es deshalb die Ziele, die mit Legespielen verfolgt werden, aufzuzeigen und einen möglichen Einsatz in der Grundschule darzulegen.

Dazu soll in Kapitel 2 zunächst erläutert werden, warum Spiele im Unterricht eingesetzt werden können und sollten.

Eine Klassifizierung von Legespielen wird in Kapitel 4 vorgenommen, um die Vielzahl der Möglichkeiten aufzuzeigen. Zuvor wird auf die Parkettierungen als Vorraussetzung für Legespiele eingegangen (Kapitel 3). In Kapitel 5 werden allgemeine Ziele von Legespielen und deren Einsatz im Mathematikunterricht angesprochen und einige speziellere Beispiele gegeben.

Kapitel 6 ist dem Tangram gewidmet. An dieser Stelle wird ausführlich sowohl auf die Geschichte, als auch auf das Spiel selbst und seine Einsatzmöglichkeiten im Unterricht eingegangen. Diese Auflistung stellt keinerlei Ansprüche auf Vollständigkeit, sondern soll lediglich einen Einblick in die Vielzahl der Verwendungsmöglichkeiten gewähren.

Am Schluss dieser Arbeit befindet sich ein Fazit (Kapitel 7), das die gewonnenen Erkenntnisse zusammenfasst.

Weil Anschaulichkeit zum Mathematikunterricht der Grundschule unbedingt dazu gehört, werde auch ich zum besseren Verständnis manche Beschreibungen mit einer Abbildung versehen. Sofern die Abbildungen nicht von mir stammen, sind die Quellen im Bildnachweis einzusehen.

2. Warum sollten Spiele im Unterricht eingesetzt werden? Eine didaktisch- methodische Begründung

2.1 Das Spiel - Versuch einer allgemeinen Begriffsbestimmung

„Wenn Mark Twain […] erklärt: ‚Arbeit ist das, was man tun muß, und Spiel ist das, was man nicht tun muß’ […]“^[9], so ist es verständlich, dass dem Spiel in der Schule immer noch das Image des bloßen Zeitvertreibs und der Beliebigkeit anhaftet. Oftmals wird das Spiel auch als Belohnung am Ende einer Stunde eingesetzt.

Der englische Philosoph und Politiker John Locke stellt die wichtige Bedeutung des Spiels für Kinder heraus: „Die größte Kunst ist, den Kindern alles, was sie tun oder lernen sollen, zum Spiel zu machen.“^[10]

Damit stellt sich zunächst einmal die Frage, was überhaupt unter einem Spiel zu verstehen ist.

Landläufig versteht man unter ‚Spiel’ eine Aktivität, die zweckfrei und lediglich zur Zerstreuung unternommen wird.

Eine sehr prägnante und konkretere Definition für das Spiel hat der Niederländer Johan Huizinga formuliert:

Spiel ist eine freiwillige Handlung oder Beschäftigung, die innerhalb gewisser festgesetzter Grenzen von Zeit und Raum nach freiwillig angenommenen, aber unbedingt bindenden Regeln verrichtet wird, ihr Ziel in sich selber hat und begleitet wird von einem Gefühl der Spannung und Freude und einem Bewusstsein des 'Andersseins' als das 'gewöhnliche Leben'.^[11]

Dies entspricht weitestgehend der Spielpraxis im Unterricht der Grundschule. Jedoch sind die Persönlichkeit und der momentane Zustand des Schülers bzw. der Schülerin Faktoren, die das Spiel beeinflussen. Was für den einen noch ungezwungenes Spiel ist, kann für den anderen bereits eine anstrengende Tätigkeit sein, die das „Gefühl der […] Freude“^[12] vermissen lässt. „Wie bei jeder kreativen Tätigkeit gilt die triviale Feststellung: man nimmt sie freiwillig an, erzwungenes Spiel oder verordnete Mathematikbeschäftigung gibt es nicht.“^[13]

Ein ganzer Teilbereich der Mathematik beschäftigt sich mit dem Spiel: die Spieltheorie. Dieses mathematische Modell analysiert Handlungs-strategien, die in einem durch Regeln ausgezeichneten System angewandt werden.^[14] Nach dem Begründer John von Neumann (*1903, †1957)^[15] wird ein Spiel durch die „Gesamtheit aller Regeln, die es beschreiben“^[16], definiert. Dazu zählen neben der Anzahl der Spieler auch der Verlauf des Spiels ebenso wie das Ergebnis, welches die einzelnen Spieler erreichen (Gewinner, Verlierer, Platzierung).^[17]

In dieser Arbeit werde ich den Begriff des Spiels im Sinne Johan Huizingas verwenden, jedoch soll das „Bewusstsein des 'Andersseins' als das 'gewöhnliche Leben'“^[18] nur im Hinblick darauf bestehen, dass das Spiel eine Abwechslung zum gewöhnlichen Alltag darstellt. Ergänzt werden soll die Begrifflichkeit aber durch die lebenspraktische Anwendung, bei der Wissen, Fähigkeiten und Fertigkeiten auf eine ungezwungene Weise vermittelt werden.

2.2 Didaktisch- methodische Begründung

2.2.1 Spiele im Unterricht

Spiele sind in den verschiedensten Bereichen zu finden, z. B. auch in der Spieltherapie, einem psychotherapeutischen Teilbereich. Dort wurden auch die theoretischen Grundlagen für pädagogische Spiele entwickelt.^[19]

Diese zur Förderung spezieller Fähigkeiten dienenden Spiele kommen schon seit langem im Kindergarten zum Einsatz (z. B. verschiedenste Kreisspiele oder Fingerspiele). In der Schule wurden jedoch die sich durch Spiele anbietenden Möglichkeiten lange Zeit nicht in Anspruch genommen.

Während die Spiele in der Grundschule jedoch allmählich wiederentdeckt werden, hält man sie in den weiterführenden Schulen für abkömmlich und überflüssig.

Versteht man unter ‚Spiel’ wie oben erwähnt eine Aktivität, die zweckfrei und lediglich zur Erholung und zum Vergnügen ausgeübt wird, so liegt allerdings die Vermutung nahe, dass im Spiel nur unbedacht und teilweise gedankenlos gehandelt wird und das Spiel damit überflüssig wird. Aber gerade „im Spiel eines Kindes liegt oft eine tiefere Bedeutung“^[20].

Diese Bedeutung soll im Folgenden erläutert und die Möglichkeiten, die das Spiel bietet, aufgezeigt werden.

Kinder lernen schon von klein auf im Spiel. Das beginnt schon bei den entwicklungspsychologischen Rollenspielen, beispielsweise dem „Vater-Mutter-Kind“- Spiel. Aus diesem Grund ist für sie der Begriff des Spiels im Gegensatz zum Begriff des Lernens nicht negativ belastet.

Zudem werden im Spiel allgemeine Fähigkeiten erworben, die sowohl die fachliche wie auch soziale Kompetenz betreffen. Im Spiel lernen die Kinder aufeinander Rücksicht zu nehmen, sich an aufgestellte Regeln zu halten, mit den Mitspielern zu kommunizieren und ihnen ihr Vorgehen gegebenenfalls zu begründen. Keiner ist im Spiel nur auf sich gestellt, sondern es findet immer eine gemeinsame Auseinandersetzung statt, in der das Kind auch sein eigenes Agieren reflektieren muss. Kurz gesagt geht es um Teamfähigkeit, die im späteren (Berufs-) Leben eine immer größere Rolle einnimmt und deshalb frühzeitig eingeübt werden sollte.

Dabei bietet das Spiel einen Schutzraum, in dem das Kind seine Fähigkeiten ausprobieren und einüben kann. Der Schüler lernt mit Fehlern umzugehen und sie konstruktiv zu nutzen: Fehler ziehen nicht unweigerlich negative Konsequenzen nach sich. Im schlimmsten Fall verliert man zwar das Spiel, aber eben weil es nur ein Spiel ist, kann man von vorne anfangen und es wiederholen. Experimentieren ist ohne Angst vor Sanktionen möglich. Auch die Auswirkung auf die Persönlichkeits-entwicklung/ Psyche ist zu berücksichtigen. Verliert man ein Spiel, so hat dies nicht zwangsläufig mit den eigenen Fähigkeiten zu tun, sondern kann auch an der Struktur des Spiels liegen. Denn vielfach tritt in Spielen auch die Komponente des Zufalls auf, wie z. B. im Mensch-ärgere-dich-nicht durch das Würfeln.

Abbildung in ieser Leseprobe nicht enthalten

In Fächern der Grundschule, wie z. B. dem Sport- oder Sachunterricht, haben Spiele wichtige Funktionen im Lernprozess der Schüler übernommen. Der Mathematikunterricht sollte hier keine Ausnahme bilden. Gerade das Spiel kann dazu verhelfen, die Schülerinnen und Schüler zum Unterricht zu motivieren und damit das Erreichen von Zielen des Faches zu unterstützen. Spiele erhöhen auch die Attraktivität des Faches, obwohl Mathematikunterricht in der Grundschule – im Gegensatz zu den weiterführenden Schulen – noch zu den Lieblingsfächern gehört. Im LBS Kinderbarometer NRW von 2000 – der letzte Bericht in dem auch nach Lieblingsfächern gefragt wurde – liegt Mathematik mit 22% auf Platz zwei bei Kindern im Alter von 9-14 Jahren (4. bis 7. Klasse). Bei den befragten Grundschülern ist es noch deutlicher: Der Prozentsatz liegt hier bei 28%.^[21] Jedoch nimmt die Beliebtheit des Faches nach dem vierten Schuljahr rapide ab: in der siebten Klasse macht Mathematik als Lieblingsfach nur noch 18% aus.^[22]

2.2.2 Spiele im Mathematikunterricht

Spiele sollen als „[…] lohnenswerte Bereicherung im mathematischen Lernprozess verstanden werden“^[23]. Sie sollten nicht unbedacht, sondern immer den Inhalten des Mathematikunterrichts und den angestrebten mathematischen Ziele entsprechend eingesetzt werden. So übernehmen sie verschiedene Funktionen, die Bobrowski und Forthaus beschreiben mit

1. Grundlagen schaffen
2. Fertigkeiten produktiv üben
3. Neues Entdecken
und
4. Fähigkeiten erproben.^[24]

Spiele sind eine Möglichkeit, das Interesse an mathematikhaltigen Fragestellungen zu wecken und zur Beschäftigung mit denselben zu motivieren. Das Spiel „fördert Freude an der Mathematik und eine positive Einstellung zum Mathematiklernen“^[25], wie es laut Lehrplan eine allgemeine Aufgabe des Mathematikunterrichts sein soll. Selbst in höheren Jahrgängen kann mit Spielen die Freude an der Mathematik wieder geweckt oder erhalten werden. Auch durch Spiele erleben Schülerinnen und Schüler die Freude beim Entdecken von Sachverhalten und Zusammenhängen.

Kinder brauchen grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, um darauf aufbauend weitere Erfahrungen und Einblicke erwerben zu können. Sie müssen versuchen bekannte Strukturen in neuen Situationen anzuwenden. Nur wenn sie ohne weiteres auf diese Grundlage zurückgreifen, d.h. ihr Wissen nutzbar machen können, sind sie in der Lage, zu neuen Erkenntnissen zu gelangen.

Deshalb muss am Ende eines Lernprozesses immer die Automatisierung der grundlegenden Wissensbestände und Fähigkeiten angestrebt werden, die dann wiederum für weitere Lernprozesse zur Verfügung stehen.^[26] „Die Kernideen [...] und die dazugehörenden Inhalte werden im Unterricht nach dem Spiralprinzip immer wieder aufgegriffen und zunehmend umfassender behandelt.“^[27]

So kann z. B. auch das Legespiel Tangram zunächst auf einem niedrigeren Niveau eingeführt werden, später kommen komplexere Aufgaben hinzu, die aber auf den schon erworbenen Kenntnissen aufbauen.

Das Tangram fördert z. B. geometrische Grundlagen wie das Erkennen und Benennen von Grundformen, ebene Figuren legen, zerlegen oder zusammensetzen zu können. Ausführlicher wird dies in Kapitel 6 behandelt.

Besonders für leistungsschwache Kinder bietet das Spiel ein breites Feld zum Üben von Fertigkeiten.

Ein Spiel kann immer wieder gespielt werden, es verliert selten seinen Reiz, da immer wieder andere Spielsituationen auftauchen, die es zu bewältigen gilt. Andererseits sind sie immer ähnlich und bieten so die Möglichkeit bereits erworbene Fertigkeiten (z. B. Strategien) anzuwenden oder einzubeziehen. So kann im Unterricht bereits erworbenes Wissen nachhaltig geübt und gesichert werden. Das Üben soll „[…] im Sinne einer produktiven Auseinandersetzung mit einem [...] Problem immanent geleistet werden“^[28] und nicht als ein bloßes Anwenden von eingeübten Schemata erfolgen.

„Ein anderer Weg, Kenntnisse zu vertiefen und sicher beherrschen zu lassen, ist die Durchführung von Übungen, die auf eine Vertiefung der Einsicht in den Sinnzusammenhang abzielen.“^[29] So kann die Vertiefung bei Legespielen in einer sorgfältigen Betrachtung und Untersuchung der Beziehungen zwischen den einzelnen Spielsteinen liegen, die z. B. in der Aufgabe eine bestimmte Figur zu legen, immanent geleistet wird.

Radatz und Schipper erläuterten in ihrem Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen, dass mit „[…] mathematischen Lernspielen […] in neue Inhalte des Mathematikunterrichts der Grundschule eingeführt werden“^[30] kann.

Dabei können die Spiele als Einstieg dienen, mit denen die Schüler zur weiteren Auseinandersetzung mit dem Thema motiviert werden.

Mit der Bereitschaft ein bisschen Einsatz zu zeigen, müssen die Schüler dabei in der Lage sein, die Aufgaben mit Überlegung und ein wenig Anstrengung zu lösen. Die Aufgaben sollten also von einem mittleren Schwierigkeitsgrad sein, so dass jeder Mitspieler die Möglichkeit hat, mit Erfolg am Spiel teilzunehmen, denn „zu schwere und zu leichte Anforderungen zerstören jeden Spielreiz“^[31].

Haben sie aber einmal die Erfahrung gemacht, dass die Beschäftigung mit einem Problem zum Erfolg führt, werden sie vermutlich auch Mut zum Nachdenken haben, wenn der Lösungsweg nicht offensichtlich ist. Durch Spiele kann also eine positive Einstellung zur eigenen Leistungsfähigkeit gefördert werden.

Auch wenn Spiele meistens eine Vereinfachung eines bestimmten Sachverhalts darstellen, wird mit ihnen nicht nur ein bestimmtes Lernziel verfolgt. Sogar einfache Spiele bedürfen der Einbeziehung unterschiedlichster Fähigkeiten und Fertigkeiten. Neben „[…] inhaltlichen Aspekten spielen fast immer verschiedene geistige Grundtechniken und Fähigkeiten hinein“^[32].

Es gibt relativ wenig empirische Untersuchungen zur Effektivität des Spiels. Die meisten beziehen sich nur auf die verschiedenen Typen von Spielern. Dabei hat man allerdings festgestellt, „[…] daß Kinder, die gerne spielen, bei Kreativitätsaufgaben besser abschneiden als Kinder, die nicht so gerne spielen“^[33]. Dies allein ist schon ein Grund, Spiele in den Mathematikunterricht mit einzubeziehen, da viele mathematikhaltige Probleme das Finden von Problemlösestrategien erfordern.

Auch wenn Spiele als Motivation dienen, sollte man ihren Einsatz im Unterricht zwar optimal ausnutzen, aber nicht übertreiben! Denn sowohl die „Inflation des Spielens“^[34], als auch jedwede unterrichtliche Aktivität als ‚Spiel’ zu bezeichnen, kann zu einem Überdruss führen.

„Wichtiger als jede Einführung, Erarbeitung und Übung in Spielform umzusetzen, ist die schon erwähnte „spielerische Atmosphäre“, in der auch die Arbeit Spaß machen kann, wenn sie abwechslungsreich gestaltet wird. Spiele sollten ein regelmäßiger, aber nicht überstrapazierter Bestandteil des Mathematikunterrichts sein.“^[35]

Den Kindern ist durchaus bewusst, dass sie in die Schule gehen, um zu lernen und nicht, um zu spielen. Man kann ihnen das Lernen aber mit der Methode des Spiels erleichtern.

3. Parkettierungen

Um die Legespiele ausführlich vorstellen zu können, muss zuvor auf Parkettierungen eingegangen werden, da ein Kennzeichen von Legespielen deren parkettierfähige Spielsteine sind.^[36]

Zunächst soll der Begriff der Parkettierung geklärt werden, um dann einen möglichen Einsatz der Parkettierungen im Unterricht der Grundschule zu skizzieren.

3.1 Begriffsbestimmung und parkettierfähige Formen

Eine einheitliche mathematische Definition des Begriffs „Parkettieren“ gibt es nicht. Grundsätzlich versteht man aber unter dem Begriff des Parkettierens „[…] eine lückenlose und überlappungsfreie Überdeckung der Ebene […]“^[37]. Dabei finden sich die Unterschiede der verschiedenen Definitionen hauptsächlich in der Voraussetzung, mit wie vielen verschiedenen Formen eine Fläche parkettiert werden darf.

Während Lauter Parkettierungen nur für deckungsgleiche Figuren definiert^[38], können bei Besuden^[39] auch verschiedene Figuren zum Parkettieren einer Fläche verwendet werden, solange ein wiederkehrendes Muster entsteht.

Ein weiteres Kennzeichen von Parkettierungen, welches in der Bedingung von Besuden schon anklingt, liegt in der Möglichkeit, das beim Auslegen der Fläche entstehende Muster an allen Rändern beliebig weit fortführen zu können.

Parkettierungen sind aber keine Erfindung der Mathematik, sondern kommen schon in der Natur vor. Ein sehr eindrückliches Beispiel sind die regelmäßigen sechseckigen Basaltsäulen an der Küste Nordirlands, die beim Abkühlen der heißen Basalt- Lava entstanden sind.^[40] Ein dem Lebensraum eines Grundschulkindes näheres Beispiel dürften aber die ebenfalls aus regelmäßigen Sechsecken bestehenden Bienenwaben sein.

Die in der Natur vorkommenden Parkettierungen wurden von den Menschen in verschiedenen Bereichen übernommen, so z. B. beim Pflastern von Plätzen oder Gehwegen, wie auch in der Kunst.

Die vielfältigsten Parkettierungen wurden von dem Niederländer Maurits Cornelis Escher in seinen Kunstwerken umgesetzt. Dass die Figur, mit der eine Fläche parkettiert wird, nicht nur eine einfache Grundform sein muss, sondern in ihrer Komplexität durchaus variieren kann, zeigt er sehr eindrucksvoll. Dabei findet man auch bei ihm Parkettierungen, die mit nur einer Form auskommen (Reptilien, Abb. 6), aber auch solche, bei denen eine Fläche mit zwei oder mehreren Parkettierformen ausgelegt wird (Fische und Vögel (Symmetriezeichnung C), Abb. 2).

Dies führt zu der Frage, welche Formen überhaupt parkettierfähig sind. Bei der Beantwortung dieser Frage beschränke ich mich auf Vielecke, welche gradlinig begrenzt sind, da die Spielsteine der meisten Legespiele diese Gestalt haben. Krummlinig begrenzte Parkettierungsformen, wie M. C. Escher sie fast ausschließlich verwendet, und sie auch in vielen Bildpuzzles vorkommen, sollen nur am Rande betrachtet werden, da sie im Mathematikunterricht der Grundschule weniger Beachtung finden. Allerdings wird Escher im Mathematikbuch „Leonardo“ erwähnt, wenn auch seine Parkettierungen nicht in ihrer ganzen Komplexität behandelt werden.^[41]

Abbildung in ieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei soll es in diesem Fall nur um Parkettierungen gehen, bei der die gesamte Fläche mit kongruenten Formen ausgelegt wird. Bei Formen, mit denen dies nicht möglich ist, könnten die entstandenen Lücken mit einer weiteren Form gefüllt werden. Die Auslegung der Fläche wäre damit wieder lückenlos und es gäbe in der Parkettierung nur Doppelkonturen – also Konturen, die sowohl zu der einen, wie auch zu der anderen Parkettierungsform gehören. Diese Doppelkonturen stellen ein Kennzeichen der Parkettierung dar.

Das Dreieck ist unabhängig von seinen Winkeln grundsätzlich parkettierfähig. An der Stelle, an der die Dreiecke beim Parkettieren zusammenstoßen, dem sogenannten Knotenpunkt^[42], ist jeder der drei Innenwinkel zweimal vertreten. Da die Innenwinkelsumme des Dreiecks genau 180° beträgt, ist ein lückenloses Auslegen der Fläche möglich. Beim Parkettieren müssen dann die einzelnen Kantenlängen des Dreiecks berücksichtigt werden.

Ähnlich verhält es sich mit jedem beliebigen Viereck. Jeder der vier Innenwinkel stößt genau einmal an einem Knotenpunkt (vgl. Abb. 3) zusammen, da die Innenwinkelsumme doppelt so groß wie in einem Dreieck ist. Mit 360° ist deshalb jedes beliebige Viereck parkettierfähig.^[43] Eine Ausnahme bildet nur das überschlagene Viereck (Abb. 4), da bei diesem keine Innen- oder Außenwinkel definiert werden können.

Abbildung in ieser Leseprobe nicht enthalten

Aber schon das Fünfeck ist nicht mehr bedingungslos parkettierfähig. Es gibt zwar beliebig viele Fünfecke, mit denen eine Fläche mit nur einer Form parkettiert werden kann, das „Fünfeck muß dann aber verschiedene Innenwinkel haben“^[44].

Abbildung in ieser Leseprobe nicht enthalten

Hat es z. B. „2 rechte Winkel, 2 Winkel von 114,3° und einen Winkel von 131,4° (zusammen 3 · 180°)“^[45], so lassen sich diese gleichseitigen Fünfecke so zusammenlegen, dass sich je drei (2 · 114,3°+ 1 · 131,4°) oder vier Winkel (4 · 90°) an einem Knotenpunkt zu 360° ergänzen.

Jeweils vier jener Fünfecke lassen sich zu einem Sechseck vereinigen. Das entstehende Muster enthält ein Zerrbild der Parkettierung mit einem regelmäßigen Sechseck.

Alle regelmäßigen konvexen Vielecke mit einer höheren Eckenanzahl (n) als sechs sind nicht parkettierfähig. Dies kann man mit Hilfe der Innenwinkelsumme beweisen.

Bezeichnet man die Winkel eines regelmäßigen Polygons mit α, so ergänzen sich diese Winkel im Knotenpunkt einer Parkettierung zu 360°. Nimmt man jetzt an, dass genau k Ecken in diesem Punkt aneinander liegen, so gilt k·α = 360°. Mit der Innenwinkelsumme eines Polygons kann man die Gleichung n·α = (n-2)180° aufstellen. Daraus ergibt sich die Gleichung 2n = k(n-2), die nur für n = 3, n = 4 und n = 6 lösbar ist.^[46]

Nicht- konvexe Vielecke stellen aber z. B. die Polyominos dar. Die durch Zusammenfügung von Quadraten gleicher Größe entstandenen Formen sind ebenfalls parkettierfähig, was ja auch die Grundaufgabe bei den Polyominos ist.^[47] Dabei können isomorphe Polyomino- Steine oder aber auch – wie bei dem Legespiel – unterschiedlich gestaltete Spielsteine zur Parkettierung verwendet werden.

Krummlinig begrenzte Parkettierungsformen entstehen meist aus den oben erwähnten Formen mit Hilfe verschiedener Techniken, die die Parkettierfähigkeit der Form berücksichtigen und beibehalten.

Als Beispiel kann man hier wiederum die Reptilien von M. C. Escher heranziehen. In diesem Ausschnitt der Zeichnung kann man sehr gut erkennen, dass die Parkettierform der Echse aus einem regelmäßigen Sechseck entstanden ist. Die in dieser Parkettierform ausgesparten Stücke (Fuß, Schnauze, Schwanz) wurden an die entsprechenden Außenkanten des Sechsecks wieder angesetzt, so dass die entstehende Figur parkettierfähig bleibt. Das ursprüngliche Bienenwaben-muster ist in der Abbildung aber ebenfalls noch zu erkennen.

Abbildung in ieser Leseprobe nicht enthalten

3.2 Einsatz von Parkettierungen im Unterricht

Parkettierungen ermöglichen einen intensiven Umgang mit unterschiedlichen Flächenformen. Vor allem die geometrischen Grundformen wie das Dreieck, Rechteck und Quadrat werden mit ihren Eigenschaften (Kantenlängen, Winkeln, Symmetrien) beim Parkettieren „begriffen“. Parkettieren ist also eine gute Möglichkeit, geometrisches Wissen über diese Formen zu wiederholen und zu vertiefen.

Beim Parkettieren müssen die Kinder die Eigenschaften ihrer Parkettierungsform beachten und können dadurch Erfahrungen mit der Deckungsgleichheit von Flächen machen, die eine Vorbereitung auf Kongruenzabbildungen in höheren Klassen darstellt.

Durch den handelnden Umgang mit den Formen beim Parkettieren lassen sich aber nicht nur Erfahrungen zur Deckungsgleichheit von Figuren machen, sondern auch zur Symmetrie, da die Figuren beim Versuch der Flächenauslegung auch gedreht oder umgeklappt werden können.

Den Kindern sollten dabei sowohl einfache als auch komplexere Formen zur Verfügung stehen. Durch das Verwenden einer einfachen Parkettierform wird gewährleistet, dass das Kind früher oder später ein Erfolgserlebnis hat und dadurch motiviert ist, weitere und auch schwierigere Formen auszuprobieren. Beim Auslegen einer Fläche mit komplexen Formen sind Fehler, also falsches Aneinanderlegen einer parkettierfähigen Form, so dass eine Fläche nicht mehr lückenlos ausgelegt werden kann, sehr viel wahrscheinlicher. Diese Fehlversuche sollte man nicht nur nicht verhindern, sondern sogar versuchen sie zu ermöglichen, da gerade sie dafür sorgen, sich intensiv mit den Eigenschaften der Form auseinander zu setzen und die Regeln der Parkettierung zu verstehen. Auf diese Art wird „ein konstruktiver Umgang mit Fehlern und Schwierigkeiten“^[48] ausgebildet, wie er im Lehrplan gefordert ist. Die Schülerinnen und Schüler erfahren, wie eine Fläche beschaffen sein muss und wie man sie bewegt, um eine Parkettierung zu erhalten.

Parkettierungen erfüllen damit eine Vielzahl der Aufgaben, die im Lehrplan für das Fach Mathematik formuliert sind. Das lückenlose Auslegen der Fläche „entwickelt einen verständigen Umgang mit Formen, Maßen, Lagebeziehungen und mit geometrischen Grundoperationen“^[49]. Zudem ermöglichen sie erste Erfahrungen mit dem Winkelbegriff, auch wenn dieser in der Grundschule dabei nicht explizit geäußert wird, sondern in Formulierungen wie z. B. „ …,weil die Ecke spitzer ist“ oder „…, weil die Ecke nicht mehr da rein passt“ enthalten ist.

Die Schüler und Schülerinnen sind durch das Parkettieren mit kongruenten Formen in der Lage, die verschiedenen Formen zu untersuchen, zu beschreiben, den Inhalt der Flächen miteinander in Beziehung zu setzen und mit Hilfe der Zerlegung oder Ergänzung zu vergleichen. Dabei stehen vor allem die Grundformen Rechteck, Quadrat und Dreieck im Mittelpunkt.^[50]

„Durch das Auslegen von Vielecken mit Plättchen und das […] Zerlegen von Vielecken in kongruente Teilvielecke lernt der Schüler, verschiedene Vielecke bezüglich ihres Flächeninhalts zu vergleichen.“^[51] Dieser Prozess dauert über die Grundschulzeit hinaus an und reicht bis ins 5. Schuljahr hinein. Im Lehrplan wird nicht nur das Handeln mit den Formen erwähnt, sondern auch ausdrücklich Wert auf das Herstellen dieser Formen gelegt. Dies geschieht in Form des Bauens, Modellierens (z. B. mit Ton) oder – wie hier – des Legens.

Die Parkettierungen tragen auch dem Spiralprinzip Rechnung. Unterrichtsgegenstand der Klassen 1 und 2 ist das Legen, Zerlegen, Zusammensetzen, Fortsetzen und Beschreiben ebener Figuren und Muster. In den Klassen 3 und 4 kommt das Umstrukturieren und Zeichnen derselben hinzu. Außerdem sollen Grundvorstellungen zum Flächeninhalt – in Form von Einheitsquadraten – und Umfang entwickelt werden.^[52]

[...]

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^[1] Teilweise wird in dieser Arbeit anstatt der längeren Schreibweise Lehrerinnen und Lehrer, bzw. Schülerinnen und Schüler nur die Bezeichnung Lehrer oder Schüler verwendet. Diese Titulierung beinhaltet keinerlei Wertung, sondern wird lediglich zur besseren Lesbarkeit der Arbeit benutzt.

^[2] Vgl. Backe-Neuwald, D.: Über den Geometrieunterricht in der Grundschule, S. 9.

^[3] Eine Übersicht der untersuchten Mathematikbücher für die Grundschule befindet sich im Anhang.

^[4] Becker, G.: Geometrieunterricht, S. 22.

^[5] Vgl. z.B. Rinkens, H.-D./ Hönisch, K. (Hrsg.): Welt der Zahl 1, S. 2.

^[6] Vgl. z.B. Rinkens, H.-D./ Hönisch, K. (Hrsg.): Welt der Zahl 2, S. 16.

^[7] Franke, M.: Didaktik der Geometrie, S. 1.

^[8] Vgl. LBS- Kinderbarometer NRW 2003/ 2004, S. 36.

^[9] Thiele, R.: Spielend denken, denkend spielen, S. 56.

^[10] Zitat von John Locke (1632 – 1704), http://www.aphorismen.de.

^[11] Huizinga, Johan: Homo ludens. Vom Ursprung der Kultur im Spiegel (1938). Reinbek: Rowohlt, 1991, S. 37; zitiert nach http://de.wikipedia.org/wiki/Spiel.

^[12] Huizinga, Johan: Homo ludens. Vom Ursprung der Kultur im Spiegel (1938). Reinbek: Rowohlt, 1991, S. 37; zitiert nach http://de.wikipedia.org/wiki/Spiel.

^[13] Thiele, R.: Spielend denken, denkend spielen, S. 56.

^[14] Vgl. „Spieltheorie“. In: http://de.wikipedia.org/wiki/Spieltheorie.

^[15] Das Werk „The Theory of Games and Economic Behavior“ schrieb der in Budapest geborene Mathematiker mit dem Co- Autor Oskar Morgenstern 1944. (Vgl. „John von Neumann“. In: http://de.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann).

^[16] „Spiel (Spieltheorie)“. In: http://de.wikipedia.org/wiki/Spiel_(Spieltheorie).

^[17] Vgl. ebd.

^[18] Huizinga, Johan: Homo ludens. Vom Ursprung der Kultur im Spiegel (1938). Reinbek: Rowohlt, 1991, S. 37; zitiert nach http://de.wikipedia.org/wiki/Spiel.

^[19] Vgl. „Spiel (Pädagogik)“. In: http://de.wikipedia.org/wiki/Spiel_%28P%C3%A4dagogik%29.

^[20] Zitat von Johann Christoph Friedrich von Schiller (1759 - 1805), http://www.aphorismen.de.

^[21] Im LBS- Kinderbarometer NRW von 1998/ 1999 war sogar bei 34% der befragten Viertklässler Mathematik das Lieblingsfach, welches damit auf der Rangliste Platz 1 belegte.

^[22] Vgl. LBS-Kinderbarometer NRW 1999/ 2000, S. 79.

^[23] Bobrowski, S./ Forthaus, R.: Lernspiele im Mathematikunterricht, S. 7.

^[24] Ebd.

^[25] Ministerium für Schule, Jugend und Kinder des Landes Nordrhein-Westfalen: Richtlinien und Lehrpläne zur Erprobung für die Grundschule in NRW, S. 71.

^[26] Vgl. Wittmann, E. Ch.: Aktiv- entdeckendes und soziales Lernen im Rechenunterricht, S. 20.

^[27] Franke, M.: Didaktik der Geometrie, S. 26.

^[28] Bobrowski, S./ Forthaus, R.: Lernspiele im Mathematikunterricht, S. 34.

^[29] Radatz, H./ Schipper, W.: Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen, S. 169.

^[30] Radatz, H./ Schipper, W.: Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen, S. 172.

^[31] Ebd., S. 165.

^[32] Ebd., S. 177.

^[33] Radatz, H./ Schipper, W.: Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen, S. 166.

^[34] Ebd., S. 172.

^[35] Ebd., S. 172.

^[36] Vgl. Kapitel 4: Was sind Legespiele?, S. 24.

^[37] „Parkettierungen“. In: http://de.wikipedia.org/wiki/Parkettierung.

^[38] Vgl. Lauter, J.: Methodik der Grundschulmathematik, S. 195.

^[39] Vgl. Besuden, H.: Thema: Winkelplättchen, 11.11.

^[40] Vgl. Stobbe, M./ Grässle, W.: Parkettieren, S. 35.

^[41] Vgl. Stein, M. u. a.: Leonardo 3, S. 60f.

^[42] Vgl. Hestermeyer, W. u. G.: Inhaltsberechnung ist mehr als eine Formel, S. 203.

^[43] Vgl. ebd.

^[44] Ebd.

^[45] Hestermeyer, W. u. G.: Inhaltsberechnung ist mehr als eine Formel, S. 203.

^[46] Vgl. Scheid, H.: Elemente der Geometrie, S. 39 u. 226.

^[47] Vgl. Kapitel 4.2.2 Analytograme, S. 43.

^[48] Ministerium für Schule, Jugend und Kinder des Landes Nordrhein-Westfalen: Richtlinien und Lehrpläne zur Erprobung für die Grundschule in NRW, S. 72.

^[49] Ebd., S. 71.

^[50] Vgl. ebd., S. 80.

^[51] Holland, G.: Geometrie für Lehrer und Studenten, S. 121.

^[52] Vgl. Ministerium für Schule, Jugend und Kinder des Landes Nordrhein-Westfalen: Richtlinien und Lehrpläne zur Erprobung für die Grundschule in NRW, S. 80.