Anlagestrategien. Gibt es den Cost-Average-Effekt?

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

1. Einleitung

2. Der Cost Average Effekt in der Literatur
2.1 Definition
2.2 Aussagen in der Fachliteratur
2.3. Mathematischer Blick auf den Cost Average Effekt

4. Erklärungsansätze der Popularität
4.1 Prospect Theory und Bezugsrahmen
4.2 Verlustaversion (Aversion To Regret)
4.3 Denkfehler und Selbstbeherrschung
4.4 Informationsasymmetrie und Realitätsbezug

5. Empirische Analyse
5.1 Datenherkunft
5.2 DAX Cost Average Sparplan vs. Einmalanlage
5.3 Dow Jones Industrial Average Cost Average Sparplan vs. Einmalanlage
5.4 Nikkei 225 Cost Average Sparplan vs. Einmalanlage

6. Conclusio

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Einmalinvestment vs. Sparplan: Mittlerer Wert des Endvermögens;

Abbildung 2: Einmalinvestment vs. Sparplan: Volatilität;

Abbildung 3: Nutzenfunktion der Prospect Theory;

Abbildung 4: Kursverlauf DAX 30 Total Return Index; S.16, eigene Abb

Abbildung 5: Risikoloser monatlicher Zinssatz anhand deutscher Staatsanleihen, S.17, eigene Abb

Abbildung 6: Prozentuale Performance Einmalanlage versus Sparplan DAX, S.18, eigene Abb

Abbildung 7: Annualisierte Volatilität Einmalanlage versus Sparplan DAX, S.18, eigene Abb

Abbildung 8: Sharpe Ratios Einmalanlage vs. Sparplan DAX, S.19, eigene Abb

Abbildung 9: Kursverlauf DIJA Total Return Index, S.19, eigene Abb

Abbildung 10: Risikoloser monatlicher Zinssatz anhand US-Staatsanleihen, S.20, eigene Abb

Abbildung 11: Prozentuale Performance Einmalanlage versus Sparplan DJIA, S.21, eigene Abb

Abbildung 12: Annualisierte Volatilität Einmalanlage versus Sparplan DJIA, S.22, eigene Abb

Abbildung 13: Sharpe Ratios Einmalanlage vs. Sparplan DJIA, S.22, eigene Abb

Abbildung 14: Kursverlauf Nikkei 225 Total Return Index, S.23, eigene Abb

Abbildung 15: Risikoloser monatlicher Zinssatz anhand japanischer Staatsanleihen, S.24, eigene Abb

Abbildung 16: Prozentuale Performance Einmalanlage versus Sparplan NI225, S.25, eigene Abb

Abbildung 17: Annualisierte Volatilität Einmalanlage versus Sparplan NI225, S.25, eigene Abb

Abbildung 18: Sharpe Ratios Einmalanlage vs. Sparplan NI225, S.26, eigene Abb

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Arithmetisches und harmonisches Mittel beim mathematischen Durchschnittskosteneffekt;

Time in the market beats timing the market – almost always

- Ken Fisher -

Those who hesitate, lose.

- Michael Rozeff -

1. Einleitung

Wer sich am Finanzmarkt umhört, kommt am Cost Average Effekt wohl kaum vorbei. Er ist einer der bekanntesten Phänomene am globalen Finanzmarkt. Anleger rund um den Globus kennen ihn und berufen sich bei ihren Anlagen auf diesen Effekt. In der aktuellen Niedrigzinsphase werben Banken ebenso wie Fondsgesellschaften auf Ihren Websites verstärkt für Cost Average Sparpläne in allerlei Anlageformen, wie Aktien oder ETFs. Um die angebliche Überlegenheit der Cost Average Strategie zu untermauern, sind die dort benutzen Fallbeispiele so simpel, wie sie auch intuitiv für jedermann auf den ersten Blick nachvollziehbar sind: In einem kleinen Zeitabschnitt wird ein immer gleichbleibender Geldbetrag in regelmäßigen Abständen in eine bestimmte Aktie angelegt, deren Kurs zuerst fällt und dann wieder steigt. Folgt man der Argumentationskette dieser Werbeanzeigen, so profitiert der Anleger durch eingetretene Kursschwankungen, da bei niedrigen Kursen relativ gesehen mehr Anteile und bei hohen Kursen weniger Anteile einer Aktie erworben werden. Auch „die schwierige Frage nach dem richtigen Einstiegszeitpunkt“¹ wird umgangen und so das Risiko des Anlegers angeblich gesenkt. Verglichen wird ein solcher Sparplan in den Werbeanzeigen wahlweise mit einer Einmalanlage² oder der identischen Stückzahlen Strategie³, bei der zu jedem Zeitpunkt die gleiche Anzahl Aktien gekauft wird. Gemein ist diesen Berechnungen jedoch, dass sie immer nur einen sehr kleinen Zeitabschnitt eines Aktienkurses betrachten und in jedem Fall zu einer Überrendite beim Cost Average Sparplan führen. So soll der potenzielle Investor zu einer Anlageentscheidung in diese Produkte verleitet werden. Doch was ist eigentlich dran an diesem Cost Average Effekt? Ist die Werbung irreführend? In dieser Seminararbeit wird die Literatur zu dem Thema aufgearbeitet, als auch anhand empirischer Auswertungen gezeigt, ob es den Cost Average Effekt überhaupt gibt.

2. Der Cost Average Effekt in der Literatur

Der Cost Average Effekt ist ein sehr gut erforschtes Phänomen in der wissenschaftlichen Literatur. Eine Vielzahl von Arbeiten beschäftigt sich entweder mit der tatsächlichen Wirksamkeit oder Erklärungen für die Popularität der Cost Average Strategie. Doch was genau verbirgt sich hinter dem Cost Average Effekt und zu welchen Ergebnissen kommen die Wissenschaftler?

2.1 Definition

Es gibt in der Literatur keine wirklich einheitliche Definition des Cost Average Effekts, jedoch trifft Burton Malkiel mit einer Aussage in seinem Buch „A random walk down Wall Street“ den eigentlichen zentralen Kern dieses Effekts:

„Periodic investments of equal dollar amounts in common stocks can substantially reduce (but not avoid) the risks of equity investment by insuring that the entire portfolio of stocks will not be purchased at temporarily inflated prices. The investor who makes equal dollar investments will buy fewer shares when prices are high and more shares wen prices are low.”⁴

Mit dieser Aussage entwirft Malkiel die Definition des Cost Average Effekts:

Der Cost Average Effekt hilft also einem Investor durch die regelmäßige Anlage (Monat, Quartal, Jahr) eines fixen Geldbetrags in eine bestimmte Anlageform (Aktien, Fonds, ETFs) sein Risiko zu minimieren und er erhält zugleich eine höhere Rendite durch die auftretenden Kursschwankungen.

2.2 Aussagen in der Fachliteratur

Die überwältigende Mehrheit der Fachliteratur widerspricht den Aussagen der obigen Definition und findet, dass „dollar-averaging, or spreading a risky investment out over time, is mean-variance inefficient compared with a lump-sum investment policy that simply makes a once-and-for-all lump-sum initial commitment.“⁵ Jedoch ist die Literatur zum Thema Cost Averaging sehr inhomogen und so thematisieren einige weitere wissenschaftliche Veröffentlichungen eine Portfolioumschichtung, also die sukzessive Umschichtung von Vermögen aus anderen Anlageklassen in eine neue. Auch bleiben manche Aussagen der Befürworter vage und liefern selten eine wissenschaftliche Begründung, warum der Cost Average Effekt eine höhere Rendite hervorbringen soll und was mit dem verwendeten Risikobegriff eigentlich gemeint ist.

Constantinides kritisiert bereits 1979 in seiner Veröffentlichung „A note on the suboptimality of dollar-cost averaging as an investment policy“, dass das Cost Averaging keine optimale Investmentstrategie darstellen kann, da wichtige und neue Informationen, welche erst in der Zukunft verfügbar sind, keine Berücksichtigung finden. Darum seien andere Stratgien, welche zukünftige Informationen miteinbeziehen, sogar unter Beachtung höherer Transaktionskosten und Steuern vorteilhafter als die Cost Average Strategie. Die Cost Average Strategie ist nach Constantinides eine nicht sequenzielle Anlagestrategie, welche von optimalen sequenziellen als auch nicht sequenziellen Strategien dominiert wird.⁶

Auch Michael Rozeff konkludiert im Journal of Portfolio Management nach seiner Analyse eines Einmalinvest und Cost Average Sparplan in den S&P500 und in kleine Firmen: „Dollar-averaging, or spreading a risky investment out over time, is mean-variance inefficient compared with a lump-sum investment policy […]. A delay investing in the risky asset is to in invite an overlooked penalty, namely, a loss of that diversification that is achieved by having one’s funds exposed to as many independent return realizations as possible. We conclude that those who hesitate, lose.”⁷ Rozeff postuliert hier eine Art Random-Walk-Hypothese, da ein Einmalinvestment einer größeren Anzahl von unabhängigen Realisationen unterliegt als der Cost Average Sparplan und damit einen höheren Ertrag bringt. „The major investment implication is that any investor with funds to put to work in risky assets should not, as long as the expected risk premium is positive, hesitate to invest immediately. To spread one’s investment out over time simply invites higher standard deviation of return without an increase in expected return”⁸ Er untersucht in seiner Arbeit zwei verschiedene Szenarien: So wird in einem Fall die Standardabweichung ex-post angepasst, sodass das Einmalinvestment als auch die Cost Average Strategie das gleiche Risiko aufweisen. Im zweiten Test wird dies nicht gemacht. Beim risikoadjustierten Beispiel kommt Rozeff zu dem Ergebnis, dass das Einmalinvestment zu einem höheren mittleren Endvermögen führt. Im nicht risikoadjustierten Fall weist das Einmalinvestment ebenfalls eine höheres mittleres Endvermögen, jedoch auch eine höhere Standardabweichung auf. Zusammenfassend findet er heraus, dass ein Einmalinvest in den S&P500 in über 40 von 65 untersuchten Jahren einen höheren Gewinn erzielt als ein Cost Average Sparplan und bei einem Investment in kleine Firmen sogar in 45 von 65 Jahren.

Die Autoren Langer und Nauhauser beschäftigen sich in ihrer Arbeit „Gibt es einen Cost-Average-Effekt“ zum einen mit Cost Averaging bei Portfolioumschichtungen als auch mit Cost Averaging bei Sparplänen im Vergleich zur Identischen Stückzahlen Strategie. Bei der Analyse von Einzahlungsplänen beschäftigen sie sich hier zudem nicht nur mit einer ex-post Analyse von eingetretenen Kursverläufen, sondern entwerfen ein Modell, welches die ex-ante Unsicherheit über die zukünftigen Kursverläufe miteinbezieht. Hierbei wird ein Cost Average Sparplan mit Identischen Stückzahlen Strategie mit mehreren wahrscheinlichen Kursverläufen betrachtet. Im Ergebnis finden die Verfasser, dass durch die Cost Average Strategie zwar „eine höhere Rendite auf das ingesamt eingesetzte Kapital erwirtschaftet wird als mit einer IS-Strategie […aber] nichtsdestotrotz erzielt die IS-Strategie im Erwartungswert den höheren Gewinn […]. Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass auch auf Basis einer Erwartungswertbetrachtung keinerlei positive Rendite-Effekte einer CA-Strategie zu beobachten sind.“⁹ Zudem äußern sie sich in ihrem Arbeitspapier zur Volatilität beim Cost Average Effekt. Laut der Cost Average Definition von Malkiel sollte die Volatilität und somit das Risiko beim Coast Averaging kleiner werden. „Der Glaube an ein solches Phänomen könnte Anleger dazu verleiten, im Rahmen von Einzahlungsplänen auf die sonst übliche Diversifikation zu verzichten. […] In der Tat würde sich ein CA-Anleger zu jedem Zeitpunkt wünschen, das derzeit aktuelle Preisniveau wäre durch einen stärker schwankenden Kursverlauf erreicht worden.“¹⁰ Diese Erkenntnis steht der Aussage von Markiel diametral gegenüber. Zusätzlich zur Analyse zwischen CA-Sparplan und IS-Strategie ergänzen die Autoren ihr Werk noch um die Problematik von Portfolioumschichtungen. Langer und Nauhauser erklären hier, dass die verschiedenen Ergebnisse zum Cost Average Effekt durch falsch verwendete Risikomaße zustande kommen. „Bei einem Teil der Studien wird der erwartet interne Zinsfuss (return on investment, ROI) als Vergleichsmaßstab verwendet, beim anderen Teil das erwartete Endvermögen gegenübergestellt.“¹¹ Der ROI wird von ihnen hierbei aus mathematischer Sicht als ungeeignetes Renditemaß klassifiziert.

Zu ähnlichen Ergebnissen gelangen auch Albrecht et al. in ihrem Beitrag „Cost Average-Effekt: Fakt oder Mythos?“¹². In ihrer Arbeit vergleichen sie, ausgehend von einer Random-Walk-Hypothese („unabhängig und identisch normalverteilte kontinuierliche Jahresrenditen“¹³ ) in Bezug auf den zukünftigen Kursverlauf des DAX von 1970 bis 2000, ein Einmalinvestment mit einem jährlich vorschüssigen Sparplan.

Dabei kommen sie zu dem Ergebnis, dass der Erwartungswert des mittleren zu erwartenden Endvermögens bei einem Einmalinvestment umso größer wird, je länger der Zeithorizont der Anlage ist. Der Anlagezins des nicht investierten Vermögens bei der Sparplanvariante wird hierbei mit 0% angegeben.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Einmalinvestment vs. Sparplan: Mittlerer Wert des Endvermögens. Die Abbildung zeigt das mittlere Endvermögen eines Sparplans und eines Einmalinvestments über einen Zeithorizont von 30 Jahren¹⁴

Zudem berechnen sie die Volatilität des Endvermögens bei einem Sparplan beziehungsweise eines Einmalinvestments und stellen fest, dass die Differenz der Volatilität bei zunehmenden Anlagehorizont zwischen einem Cost Average Sparplan und einem Einmalinvestment immer größer wird. Das Einmalinvestment weist zudem durchgehend eine höhere Volatilität auf. Es wird hier argumentiert, dass die Kapitalbindung bei der Volatilität eine zentrale Rolle spielt: Je länger der Anlagehorizont, desto mehr Kapital ist zu Beginn in sicheren Anlageformen mit fast risikolosem Zins investiert und drückt somit die Volatilität.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2: Einmalinvestment vs. Sparplan: Volatilität. Die Abbildung zeigt das mittlere Endvermögen eines Sparplans und eines Einmalinvestments über einen Zeithorizont von 30 Jahren¹⁵

Die Autoren Brennan, Li und Torous zeichnen in ihrer Arbeit „Dollar Cost Averaging“ ein gemischtes Bild. Sie haben den Nutzen von Dollar Coast Averaging von Januar 1926 bis Dezember 2003 analysiert, indem sie eine große Anzahl an Käufen von zufällig ausgewählten Portfolios und Wertpapieren simuliert haben.

Sie betrachten hierbei einen Investor, welcher entweder eine Buy & Hold Strategie (Einmalinvestment) oder einen Cost Average Sparplan einsetzt. „When DCA is applied to purchases of the market portfolio, the results are heavily dependent on the assumed risk aversion of the investor. DCA is superior to BH for more risk averse investors, but only because such investors should not be investing the whole of their wealth in the market portfolio. DCA is dominated by a BH strategy in which the investor invests a fraction of his wealth in the market portfolio that is optimal given his risk aversion […].”¹⁶

Auch wenn kein bestimmtes Portfolio oder ein Index gekauft wird, sondern nur ein einziges Wertpapier, so dominiert laut den Autoren die Cost Average Strategie, da es inneffizient ist nur ein einzelnes Wertpapier zu halten und der Sparplan dann weniger stark investiert ist.

Sie merken weiterhin an, dass die Cost Average Strategie immer dominiert, wenn einem bereits bestehenden, diversifizierten Marktportfolio (egal ob gleichgewichtet oder kapitalisierungsgewichtet) ein weiteres Wertpapier hinzugefügt werden soll (Ausführungszeitraum 48 Monate). Die Cost Average Strategie besitzt hier immer Gültigkeit, unabhängig vom Level der Risikoaversion des Investors.

Jedoch gibt es in der Fachliteratur nicht nur eine ablehnende oder eine eher unentschiedene Haltung wie bei Brennan et al. gegenüber dem Cost Average Effekt. So beschreiben die Autoren Black und Scholes, dass die erste Strategie [Cost Average Sparplan] besser sei als die zweite Strategie [Einmalinvestment], da diese mehr zeitliche Diversifikation mit sich bringt.¹⁷

Eine ebenfalls positive Wirkung wird dem Cost Average Effekt im Buch „Investments“ von Alan Stephens, Richard Smith und Dennis Proffitt zugeschrieben: „For investors who are gradually acquiring a portfolio of common stocks over a period of years […], the risk [of] poor timing can be minimized by investing equal amounts at frequent, regular intervals.”¹⁸

Auch die Autoren Stephan und Telöken weisen in ihrem Paper eine höhere Rendite für einen Cost Average Sparplan als für eine Einmalinvestition nach und befinden ihn für zum Großteil bestätigt.¹⁹

Es gibt also unter den Ökonomen sowohl Befürworter als auch Gegner des Cost Average Effekts, wobei ein Großteil der Literatur gegen den Cost Average Effekt argumentiert.

2.3. Mathematischer Blick auf den Cost Average Effekt

Aller berechtigten Kritik zum Trotz gibt es den sogenannten Durchschnittskosteneffekt in der Mathematik aber sehr wohl. Dieser bildet das eigentliche Herzstück der Cost Average Argumentation.²⁰

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Durchschnittspreis pro Anteil ist somit das harmonische Mittel zu den verschiedenen Zeitpunkten und liegt bei schwankenden Preisen stehts unter dem arithmetischen Mittel .

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zusammenfassend lässt sich hier sagen, dass „der Investor […] also mit der konstanten Sparrate im Durchschnitt günstiger [kauft], als wenn er zu allen Investitionszeitpunkten jeweils eine feste Anzahl von Anteilen erwerben würde“²¹

Diese mathematische Aussage ist ein wissenschaftlicher Fakt und wird deswegen oft mit dem Cost Average Effekt gleichgesetzt. Hierbei sollte man aber beachten, dass der Vergleich mit der identischen Stückzahlen Strategie hinkt und immer eine ex-post Betrachtung vorausgesetzt wird, da ex-ante der eintretende Preis je Anteil bei effizienten Märkten nicht bestimmt werden kann. Es kann also vorher nicht bestimmt werden, welche Anzahl an Anteilen pro Monat bei der Identischen Stückzahlen Strategie gekauft werden muss, um am Ende des Betrachtungszeitraums auf die gleiche Anzahl wie bei einem Cost Average Sparplan zu kommen. Ebenfalls ist ein Vergleich zur Einmalanlage nicht sinnvoll, da es hier kein Durchschnittspreis relevant ist, sondern nur der Einstandskurs zum Zeitpunkt abhängt.

Nachfolgend noch ein Beispiel für den mathematischen Durchschnittskosteneffekt:

Tab. 1: Arithmetisches und harmonisches Mittel beim mathematischen Durchschnittskosteneffekt

Die Tabelle zeigt einen beispielhaften Vergleich eines CA-Sparplan mit der IS-Strategie über 4 Zeitpunkte, welche ex-post angeglichen wurden, um den Kauf von gleich vielen Anteilen zu simulieren und die Ergebnisse so vergleichbar zu machen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei diesem Beispiel dominiert ganz klar die Cost Average Strategie, wäre der Preis jedoch im Zeitablauf nur gesunken, dann hätte die Identische Stückzahlen Strategie die Oberhand. Dieses simple Beispiel zeigt, dass des den mathematischen Durchschnittskosteneffekt tatsächlich gibt, aber auch welche Probleme eine ex-post Betrachtung immer mit sich bringt: Es kann ex-ante nicht definiert, wie viele Anteile bei der Identischen Stückzahlen Strategie erworben werden müssen, um an Ende des Betrachtungszeitraums ebenfalls 40 Stück (wie bei der Cost Average Strategie) zu halten.

4. Erklärungsansätze der Popularität

Obwohl also der Großteil der wissenschaftlichen Literatur und die darin enthaltenen Beispiele und Fakten gegen die Optimalität des Cost Average Sparplans sprechen, so erfreut er sich trotzdem ungebrochener Beliebtheit. Die nachfolgenden Argumente sollen auf die möglichen Erklärungsansätze für die Popularität des Cost Average Sparplans eingehen. Die einzelnen Abschnitte sind aber nicht unabhängig voneinander zu betrachten, sondern greifen ineinander.

4.1 Prospect Theory und Bezugsrahmen

In dem Artikel „Prospect Theory: An analysis of decision under risk“ der Psychologen D. Kahneman und A. Tversky von 1979 stellen die Autoren ihre Theorie zum Verhalten von Individuen unter Risiko vor.²² Investoren, welche nach dieser Theorie handeln, bewerten ihre Chancen und Risiken relativ zu ihren individuellen Referenzpunkten beziehungsweise ihrem eigenen Bezugsrahmen, während der rationale homo oeconomicus rein nach Erwartungswert der zu erwartender Auszahlung entscheiden würde.

Das Modell der beiden Psychologen beschreibt eine völlig neue Nutzenfunktion von Individuen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3: Nutzenfunktion der Prospect Theory. Die Abbildung zeigt die Nutzenfunktion von Individuen im Bereich von Gewinnen (konkav) und Verlusten (konvex).²³

Wie aus der Grafik ersichtlich wird, ist die Nutzenfunktion der Prospect Theorie S-förmig gebogen. Dies heißt, dass sich Individuen im Bereich der Gewinne und somit im konkaven Bereich eher risikoavers verhalten. Im konvexen Verlustbereich verläuft die Funktion zudem steiler und die Individuen werden risikoaffiner. Subjektiv wird also ein Gewinn von 20 auf 40 „besser“ bewertet als ein Sprung von 220 auf 240.

Zur Veranschaulichung verschiedener Bezugsrahmen und der Prospect Theorie soll nachfolgendes Beispiel dienen:

Investor A besitzt 1000€ in bar, welches seinen Bezugsrahmen darstellt, an den er sich angepasst hat. A hat nun zwei Optionen:

1) Das Bargeld halten mit einem sicheren Gewinn von 0
2) Aktien kaufen mit 50% Wahrscheinlichkeit 200€ zu gewinnen und 50% Wahrscheinlichkeit 100€ zu verlieren

Investor B hingegen hat 1000€ in Aktien als individuellen Bezugsrahmen. Er steht deswegen vor folgender Entscheidung:

1) Aktien verkaufen und somit einen 50% Chance auf einen Opportunitätsgewinn von 100€ und eine 50% Wahrscheinlichkeit einen Opportunitätsverlust von 200€ zu erleiden
2) Aktien halten und einen sicheren Opportunitätserlös von 0

Jeder Investor sieht das vor ihm liegende Problem von einem anderen Standpunkt aus. Obwohl die Optionen für beide Investoren im Grunde dieselben sind, werden aber deswegen die Entscheidungen voneinander abweichen. Investor A wird daher, bedingt durch die S-förmige Nutzenfunktion, mit großer Wahrscheinlichkeit weiter sein Bargeld halten, während B weiterhin seine Aktien behalten wird.

„Framed in the standard finance way, a dollar-cost averaging investor only replaces one major gamble, embedded in a lump-sum investment, with a number of smaller gambles, embedded in dollar-cost averaging. But frames are important, and they affect choice.”²⁴

4.2 Verlustaversion (Aversion To Regret)

Ein weiterer Bestandteil der Prospect Theorie von Kahnemann und Tversky ist die sogenannte Verlustaversion.

Eine Entscheidung in ein bestimmtes Finanzmarktprodukt zu investieren, wird nicht nur auf Basis von erwartetem Gewinn oder Verlust getroffen, sondern das menschliche Gehirn bezieht die möglichen „Schmerzen“ eines auftretenden Verlustes, als auch die Freude über auftretende Gewinne in die Entscheidungsfindung mit ein.

Wie aus dem S-förmigen Graphen in Abbildung 3 hervorgeht, ist die Nutzenfunktion im Bereich der Verluste steiler als im Bereich der Gewinne. Dies bedeutet, dass Verluste durch die Individuen stärker gewichtet werden, also eine Stärkere Emotion des Bedauerns hervorgerufen wird, als dies im Bereich der Gewinne der Fall ist.

Man ärgert sich also sich also über einen Verlust stärker als über einen Gewinn in derselben Höhe. Dieser psychologische Effekt führt dazu, dass also Investoren möglichst lange versuchen ihr Geld in bar zu halten, um den Ärger über fallende Kurse zu vermeiden. Aus diesem Grund legen sie es dann sukzessive durch einen Cost Average Sparplan am Finanzmarkt an, da dies eine Risikominimierung verspricht.

4.3 Denkfehler und Selbstbeherrschung

Der menschliche Verstand spielt uns bei Finanzmarktthemen oft einen Streich, da diese Komplexitäten nicht unbedingt intuitiv begreifbar sind. So gibt es eine Tendenz der Investoren den zukünftigen Aktienkurs durch vorangegangene Kursverläufe zu extrapolieren und zu glauben, dass sich aktuelle Trends fortsetzen.²⁵ Auch werden Investoren zu optimistisch nach einer längeren Periode steigender Kurse und zu pessimistisch bei fallenden Kursen.²⁶ Angenommen zu Beginn des Cost Average Sparplan Investments sieht der Käufer die Chancen für steigende Kurse bei 50% und das Risiko für fallende Kurse ebenfalls bei 50%. Daraufhin fällt der Kurs mehrere Perioden und der Investor revidiert seine Annahmen zur Wahrscheinlichkeit, sodass für ihn nun ein weiterer Kursverlust glaubhafter ist. Der Sparplan war also am Anfang attraktiv, aber ist es nun nicht mehr. Obwohl sich aber die tatsächliche Wahrscheinlichkeit (ausgehend von einer Random-Walk Theorie) für einen weiteren Kursverlust oder etwaige Gewinne nicht geändert hat, wird der Investor durch seine individuellen Annahmen womöglich dazu verleitet, den Sparplan aufzugeben und keine Anteile mehr zu kaufen.

Um dies zu verhindern, kommen hier die fixen Regeln eines Cost Average Sparplans ins Spiel. Laut Wörterbuch ist eine Regel eine „aus bestimmten Gesetzmäßigkeiten abgeleitete, aus Erfahrung und Erkenntnissen gewonnene, in Übereinkunft festgelegte, für einen jeweiligen Bereich als verbindlich geltende Richtlinie.“²⁷ Diese Richtlinien nehmen uns psychologisch einen Teil der Verantwortung ab, da wir uns nicht mehr mit dem ursprünglich zu Grunde liegenden Problem auseinandersetzen müssen und darauf vertrauen, dass die Vorschrift sinnhaft ist. „[…] there is a close association between regret and the level of responsibility. Actions taken under duress entail little responsibility and bring little regret. Following a [cost averaging] rule is one way to reduce responsibility.”²⁸

Und da beim Cost Average Sparplan das oberste Gebot wie folgt lautet, hilft es den Investoren auf psychologischem Weg auch in schlechten Marktphasen weiterhin Anteile zu erwerben:

„The important thing is to stick to your schedule to buy, even though the price keeps falling, which, psychologically, is usually hard to do. This brings your average cost down, and any subsequent rise will yield a significant capital gain. To engage in dollar-cost averaging successfully, you must have both the funds and the courage to continue buying in a declining market when prospects may seem bleak.”²⁹

4.4 Informationsasymmetrie und Realitätsbezug

Alle genannten mathematischen als auch psychologischen Effekte mögen tatsächlich so stimmen, doch es gibt weitere und bei weitem stichhaltigere, wenn auch simple Argumente, warum die Popularität der Cost Average Sparpläne ungebrochen ist.

Da viele Anleger sich nicht beruflich mit Aktienmärkten oder Finanzmathematik beschäftigen, ist es nur logisch, dass diesen Investoren weniger Informationen zur Verfügung stehen. Aus diesem Grund treten Informationsasymmetrien zwischen gut informierten und weniger gut informierten Anlegern auf. Da diese uninformierten Anleger nun also mit begrenztem Wissen und geringem Zeitaufwand zu einer praktikablen Lösung gelangen wollen, ist Cost Averaging für sie eine „[…] heuristic […] which is suboptimal under standard assupmtions about capital markets. Despite this, the strategy appears to have value for uninformed investors purchasing an additional stock for the portfolio in real world capital markets.”³⁰

Zusätzlich dazu stellt sich in der Realität schlicht für die meisten Anleger und Sparer überhaupt nicht die Frage, ob ein Einmalinvestment oder die Strategie der gleichen Stückzahlen besser ist. Einem Angestellten bleibt meist nur als einzige Option einen festgelegten und konstanten Teil seines monatlichen Nettoeinkommens zu investieren und entscheidet sich aus diesem Grund für einen langfristigen Sparplan. Diese „Optionslosigkeit“ privater Haushalte dient natürlich der Popularität ungemein und wird sich wohl auch in absehbarer Zukunft nicht ändern.

5. Empirische Analyse

5.1 Datenherkunft

In der nachfolgenden empirischen Betrachtung sollen die Kernaussagen zum Cost Average Effekt analysiert werden. So wird die monatliche Anlage eines gleichbleibenden Geldbetrages über einen Zeitraum von 20, 10 beziehungsweise 5 Jahren einer Einmalanlage am Anfang eines jeden Zeithorizonts gegenübergestellt und beobachtet, ob eine Überperformance und/oder eine Risikominimierung gegenüber einer Einmalanlage feststellen lässt.

Hierzu werden die Datensätze des DAX, Dow Jones Industrial Average und Nikkei 225 als Total Return Indizes von 01.01.2000 bis zum 1.12.2019 in der Originärwährung von Thomson Reuters geladen. Der Indexstand wird bei Total Return Indizes inklusive einer Reinvestition aller Dividenden der enthaltenen Aktien im jeweiligen Index angezeigt. Der Nikkei 225 Total Return Index bildet hier eine Ausnahme, da hier nur Total Return Daten ab dem 04.01.2002 verfügbar sind. Aus diesem Grund wurde im Zeitraum der „normale“ Nikkei 225 herangezogen und berechnet um wie viel höher die Rendite des Return Index im Jahr 2002 war. Die Differenz ist somit die auftretende Dividendenrendite:

Die errechnete Dividendenrendite im Jahr 2002 wird dann im Zeitraum vom 01.01.2000 bis zum 31.12.2001 auf den monatlichen Punktestand des „normalen“ Nikkei 225 addiert, um den Return Index in diesem fehlenden Zeitraum zu simulieren.

Zudem werden die Zinssätze der 10-, 5- beziehungsweise 2-jähriger Staatsanleihen von Deutschland, den Vereinigten Staaten von Amerika und Japan abgerufen, um daraus eine individuelle Zinskurve zu erstellen, welche dem Anlagehorizont angepasst ist. Das heißt, dass von 01.01.2000 bis zum 01.12.2009 die jeweiligen 10-jährigen Bonds, vom 01.01.2010 bis zum 01.12.2014 die 5-jährigen Bonds und vom 01.01.2015 bis zum 01.12.2019 die 2-jährigen Bonds für die individuelle Zinskurve berücksichtigt werden.

Die Annahme, welche dieser empirischen Analyse zu Grunde liegt, ist folgendermaßen: Ein Investor A besitzt zum Zeitpunkt 0 einen fixen Geldbetrag X. Er kann sich entscheiden den kompletten Betrag X am Startzeitpunkt in einen der Indizes (DAX, Dow Jones Industrial Average oder Nikkei 225) zu investieren, oder aber den Geldbetrag X in 60, 120 oder 240 (bei 5, 10 oder 20 Jahren Anlagehorizont) monatlich gleichbleibende Beträge M zu splitten und dafür monatlich Anteile an einem der Indizes zu erwerben. Entscheidet sich der Investor für die letztere Option, so verbleibt zu Zeitpunkt 1 der Betrag von , zu Zeitpunkt 2 verbleibt und zu Zeitpunkt t verbleibt auf seinem Konto. Der verbleibende Betrag wird dann mit den zu diesem Zeitpunkt gültigem Zinssatz (risikoloser Zins) der individuellen Zinskurve verzinst. Es werden entweder die Zinssätze der 10-, 5- oder der 2-jährigen Staatsanleihen berücksichtigt je nachdem wie nah der Endzeitpunkt rückt, um eine Verzerrung durch höhere Zinssätze bei längerfristigen Staatsanleihen zu vermeiden.

Der monatliche Anlagebetrag M wird jeweils mit der Performance des Index ab diesem Datum bis zum Endzeitpunkt verzinst. Der verbleibende Restbetrag, welcher in den Staatsanleihen investiert ist, wird mit der individuellen Zinskurve verzinst. Beide Zahlungsströme werden aufaddiert und so ein monatlicher Endbetrag des Cost Average Sparplans gebildet. Die Summe aller monatlichen Endbeträge ergibt den absoluten Endbetrag des Cost Average Sparplans. Auch der Zinseszinseffekt wird bei der Anlage in Staatsanleihen als auch bei der Anlage im Index mitberücksichtigt.

Um die These der Überschussrendite eines Cost Average Sparplans zu testen wird der Sharpe-Quotient beider Anlageformen errechnet und verglichen. Dazu werden die Überrenditen der Einmalanlage ( ), als auch die des Sparplans ( ) berechnet und der Mittelwert ebendieser Überrenditen durch die Standardabweichung der Überrenditen dividiert.

Als Risikomaß wird die annualisierte Volatilität ( ) der monatlichen Renditen gewählt. Hiermit soll die These validiert werden, dass bei Cost Average Sparplänen das Risiko gesenkt wird.

5.2 DAX Cost Average Sparplan vs. Einmalanlage

Betrachtet man den Kursverlauf des DAX 30 Total Return Index 20 Jahre rückwirkend, so erkennt man folgendes: Der deutsche Leitindex stieg von 6750 am 01.01.2000 bis auf 12964 Punkte zum 01.12.2019. Dies bedeutet ein Kursgewinn von ~92% innerhalb des betrachteten Zeitraums. Eine Einmalanlage in Höhe von 24.000 EUR zu Beginn hätte sich also bis zum Ende auf 46.091,45 EUR fast verdoppelt.

Hätte man vor 10 Jahren investiert, also vom 01.01.2010 bis zum 01.12.2019, so wäre die Performance des DAX bei 117,62% von 5957 auf 12964 Punkte. Das Einmalinvestment wäre also auf 52.229,29 EUR angewachsen.

Mit 32,22% tritt bei einem Zeithorizont von nur 5 Jahren (ab dem 01.01.2015) eine ebenfalls beachtliche Kurssteigerung von durchschnittlich 6,44% p.a. ein. Das Endvermögen bei Einmalanlage wäre in diesem Fall bei 31.723,27 EUR.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 4: Kursverlauf DAX 30 Total Return Index. Die Abbildung zeigt den Kursverlauf des DAX 30 Total Return Index vom 01.01.2000 bis zum 01.12.2019.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 5: Risikoloser monatlicher Zinssatz anhand deutscher Staatsanleihen. Die Abbildung zeigt die Kurve des risikolosen Zinssatzes vom 01.01.2000 bis zum 01.12.2019. Vom 01.01.2000 bis 01.12.2009 wurden hierbei die 10-jährigen Staatsanleihen herangezogen. Ab dem 01.12.2009 bis zum 01.12.2014 die 5-jährigen und danach die Zinssätze der 2-jährigen Staatsanleihen der BRD.

Folgt man einem 20-jährigen Sparplan mit oben dargestellter Zinskurve, so kumulieren sich die Zinserträge durch die Staatsanleihen und der Ertrag des DAX bis zum 01.12.2019 auf 59.416,29 EUR. Dies entspricht einer prozentualen Performance von 147,57%. Die Erklärung für diese bessere Performance des Sparplans ist in diesem Fall leicht gefunden: Durch den dramatischen Absturz des DAX Anfang der 2000er Jahre, bedingt durch die Dotcom Blase, kommt der mathematische Effekt des Durchschnittskosten Arguments sehr gut zu tragen. Der DAX erreicht erst kurz vor der Finanzkrise 2007/2008 wieder das Niveau zu Beginn des Einmalinvestments, um danach sofort wieder zu fallen und die Kursverluste erst Mitte 2011 wieder wett zu machen. Nebst den beiden Krisen helfen die sehr hohen Verzinsungen deutscher Staatsanleihen am Anfang dem Sparplan enorm.

Im Fall der 10-jährigen Anlage liefert der Sparplan hingegen nur eine Performance von 49,46% und das Endvermögen wäre bei 35.870,35 EUR. Wohingegen die Einmalinvestition einen Endbetrag von 52.229,29 EUR bringt.

Auch beim 5-jährigen Anlagehorizont hat der Cost Average Sparplan das Nachsehen und liefert nur eine Performance von 11,72% versus 32,22% bei der Einmalinvestition.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 6: Prozentuale Performance Einmalanlage versus Sparplan DAX.

Vergleicht man die Volatilität beider Anlageformen so stellt man fest, dass sie Einmalinvestition immer eine höhere Volatilität besitzt als der Cost Average Sparplan und mit zunehmender Zeitspanne auch eine größere Differenz aufweist. Die Erklärung ist hierfür eine unterschiedliche Kapitalbindung beider Anlageformen: Während bei der Einmalanlage das ganze Kapital ab dem Startzeitpunkt immer mit dem Index schwankt, so ist beim Sparplan ständig ein Teil des Kapitals in sicheren Staatsanleihen investiert beziehungsweise gebunden, welche die Volatilität durch ihre beständigen Zinsen senken.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 7: Annualisierte Volatilität Einmalanlage versus Sparplan DAX.

Bei jedem Anlagehorizont liegen die Sharpe Ratios zwischen null und eins. Dies bedeutet, dass die Anlageform zwar einen Überschuss bezüglich der normalen Marktverzinsung liefert, dieser Überschuss jedoch nicht dem eingegangenen Risiko entspricht.

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Abb. 8: Sharpe Ratios Einmalanlage versus Sparplan DAX.

5.3 Dow Jones Industrial Average Cost Average Sparplan vs. Einmalanlage

Der Dow Jones Industrial Average ist wohl einer der bekanntesten und meistbeachteten Indizes der Welt. Nicht ohne Grund, wie man an der Performance im nachfolgenden Chart ablesen kann:

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Abb. 9: Kursverlauf DIJA Total Return Index.

Das Kapital, welches noch nicht in den Sparplan geflossen ist, wird mit dem Zinssatz der US-Treasury Bonds verzinst. Ein entscheidendes Merkmal dieser Staatsanleihen ist, dass sie über die gesamte Laufzeit keine negativen Zinsen aufweisen. Während ihr deutsches oder japanisches Pendant sehr wohl über längeren Zeitraum negativ rentieren. Diese negativen Zinsen „fressen“ sozusagen das noch nicht angelegte Kapital auf, jedoch ist dies in den USA nicht der Fall.

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Abb. 10: Risikoloser monatlicher Zinssatz anhand US-Staatsanleihen.

Bei der Performance Vergleich zwischen Einmalanlage und Cost Average Sparplan liegt die Einmalanlage beim DJIA immer vorn. Bei 10-jährigen Anlagehorizont ist der Spread zwischen den beiden Renditen am größten.

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Abb. 11: Prozentuale Performance Einmalanlage versus Sparplan DJIA.

Beim 20-jährigen Zeithorizont wären bei der Einmalanlage aus 24.000 USD bis zum 01.12.2019 unglaubliche 94.534,55 USD geworden. Bei der Cost Average Strategie nur 84.298,90 USD.

Hätte ein Investor sein Kapital innerhalb der letzten 10 Jahre angelegt, so hätte er nun 82.094,46 USD durch die Einmalinvestition in seinem Depot. Mit dem Sparplan könnte er nur 49.651,19 USD vorweisen.

Auch bei einer 5-jährigen Anlage liegt die Einmalinvestition vorne. So erhält ein Investor am Ende 42.221,72 USD, falls er direkt zu Beginn sein komplettes Kapital investiert, aber nur 34.572,97 USD, wenn er sich für einen Cost Average Sparplan entscheidet.

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Abb. 12: Annualisierte Volatilität Einmalanlage versus Sparplan DJIA.

Bei den Volatilitäten zeigt sich dasselbe Muster wie beim DAX: Je länger der Anlagehorizont, desto größer der Unterschied zwischen den beiden Volatilitäten aufgrund der unterschiedlichen Kapitalbindungsformen.

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Abb. 13: Sharpe Ratios Einmalanlage versus Sparplan DJIA.

Wie beim DAX auch, bewegen sich die Sharpe Ratios aller Anlagehorizonte und -strategien zwischen null und eins. Sie haben somit zwar einen Überschuss zur risikolosen Verzinsung erwirtschaftet, aber nicht mit adäquatem Risiko. Erst bei Sharpe Ratios >1 erwirtschaftet eine Anlage einen Überschuss, die das eingegangenem Risiko kompensiert.

5.4 Nikkei 225 Cost Average Sparplan vs. Einmalanlage

Der Nikkei 225 ähnelt in seinem Kursverlauf stark dem DAX. In Summe ist ein Anstieg von 69,73% über 20 Jahre zu verzeichnen, was einer sehr mageren durchschnittlichen Performance von ~ 3,49% p.a. bedeutet.

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Abb. 14: Kursverlauf Nikkei 225 Total Return Index.

Auch die Zinskurve verläuft in Japan ähnlich flach wie in Deutschland und pendelt seit längerer Zeit um die Nulllinie oder sogar darunter.

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Abb. 15: Risikoloser monatlicher Zinssatz anhand japanischer Staatsanleihen.

Deswegen erstaunt es nicht, dass beim Vergleich der Performance zwischen Einmalanlage und Cost Average Sparplan dasselbe Ergebnis resultiert wie beim DAX:

Bei 20-jähriger Laufzeit bringt der Sparplan mit einer Endsumme von 55.858,90 JPY (+133%) versus 40.736,04 JPY (+69,73%) den besseren Ertrag. Bei den 10 bzw. 5-jährigen Laufzeiten ist jedoch das Einmalinvestment die eindeutig bessere Anlagestrategie mit +169,44% und +48,28% respektive +88,31% und +24,90% beim Sparplan.

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Abb. 16: Prozentuale Performance Einmalanlage versus Sparplan NI225.

Auch bei der Volatilität zeigt sich das exakt gleiche Muster wie bei DAX und Dow Jones: Längerer Anlagehorizont = höhere Differenz zwischen den Volatilitäten der beiden Anlageformen.

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Abb. 17: Annualisierte Volatilität Einmalanlage versus Sparplan NI225.

Gleiches gilt auch für die Sharpe Ratios:

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Abb. 18: Sharpe Ratios Einmalanlage versus Sparplan NI225.

6. Conclusio

Auch wenn das Ergebnis aus der empirischen Analyse nicht immer eindeutig zu Gunsten des Einmalinvestments ausfällt, so wird trotzdem ersichtlich, dass eine Cost Average Sparplan Strategie in den meisten Fällen einer Einmalanlage unterlegen ist. Es lässt sich konkludieren, dass es den Cost Average Effekt mit Risikominimierung und höheren Erträgen aus rein rationaler ökonomischer Sichtweise nicht gibt. Dies würde ebenfalls dem Credo des Marktes widersprechen, welches besagt, dass höhere Erträge mit einem höheren Risiko einhergehen. Aus der Analyse lässt sich aber ablesen, dass das Risiko bei einem Sparplan tatsächlich gesenkt werden kann. Das mathematische Durchschnittskostengesetz gibt es jedoch sehr wohl und so kann, abhängig vom Zeitpunkt der Investition, mal der Sparplan oder die Einmalinvestition die bessere Anlagevariante sein. Zinsen unterhalb der Nulllinie (für die risikolose Geldanlage) wirken sich beim Cost Average Sparplan stark negativ aus und schmälern die Aussicht auf eine bessere Performance eines Sparplans verglichen mit einer Einmalanlage enorm. Aufgrund der derzeitigen angespannten wirtschaftlichen Lage, der Signale der EZB und vieler anderer Unwägbarkeiten, wie etwa den Handelskrieg zwischen den USA und China oder den Brexit, halte ich negative Zinsen in Europa für die nächsten Jahre weiterhin durchaus für sehr wahrscheinlich. Es empfiehlt sich daher nach Möglichkeit sein Kapital zu investieren, anstatt es auf dem Girokonto oder dem Sparbuch durch die Inflation und negative Zinsen „auffressen“ zu lassen. Hierbei sei jedoch noch erwähnt, dass vielen privaten Haushalten schlicht keine andere Option bleibt als monatlich einen Teil ihres Einkommens zu investieren. Bei ihnen existiert der Cost Average Effekt zumindest auf einer wirtschaftspsychologischen Ebene und hilft ihnen auch in Krisenzeiten weiterhin am Aktienmarkt zu partizipieren. So werden wohl Banken und Fondsgesellschaften weiterhin für ihre Produkte mit dem Cost Average Effekt um Kunden werben. Als Schlusswort schließe ich mich der Aussage von Meir Statman an: „The practice of […] cost averaging will persist.“³¹

Literaturverzeichnis

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Black, Fischer / Scholes, Myron (1973): From Theory to a New Financial Product, The Journal of Finance Vol. 29, No. 2, S. 399 – 412

Brennan, Michael J. / Li, Feifei / Torous, Walter N. (2005): Dollar Cost Averaging, Review of Finance 9, S. 509 -535

Cohen, Jerome B. / Zinbarg, Edward D. / Zeikel, Arthur (1977): Investment Analysis and Portfolio Management, Irwin

Constantinides, George M. (1979): A Note on the Suboptimality of Dollar-Cost Averaging as an Investment Policy, Journal of Financial and Quantitative Analysis Vol. XIV, No. 2, S. 443 – 450

Ebertz, Thomas / Scherer, Bernhard (1998): Cost-Averaging – Fakt oder Fiktion?, Die Bank: Zeitschrift für Bankpolitik und Praxis, Heft. 2, S. 84 - 87

Hofmann, Bernd / Richter, Matthias / Thießen, Friedrich / Wunderlich, Ralf (2004): Der Cost Average Effekt in der Anlageberatung – Einsatzmöglichkeiten und Grenzen sowie deren mathematische Hintergründe, Working Paper, Technische Universität Chemnitz

Kahneman, Daniel / Tversky, Amos (1979): Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk, Econometrica, Vol. 47, No. 2, S. 263 -291

Langer, Thomas / Nauhauser, Niels (2003): Gibt es einen Cost-Average-Effekt?, Working Paper, Universität Mannheim

Malkiel, Burton G. (1975): A Random Walk Down Wall Street, Norton & Company

Rozeff, Michael S. (1994): Lump-Sum Investing versus Dollar-Averaging, The Journal of Portfolio Management, Vol. 20, Issue 2, S. 45 – 50

Smith, Richard K. / Stephens, Alan A. / Proffitt Dennis (1992): Investments, West Group

Statman, Meir (1995): A Behavioral Framework for Dollar-Cost Averaging, The Journal of Portfolio Management 22 (1), S. 70 – 78

Solt, Michael / Statman Meir (1988): How Useful is the Sentiment Index?, Financial Analysts Journal 44 (5), S. 45 – 55

Stephan, Thomas G. / Telöken, Klaus (1997): Sparplan versus Einmalanlage: Der Cost-Average-Effekt, Die Bank: Zeitschrift für Bankpolitik und Praxis, Heft 10, S. 616 - 619

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¹ https://www.deutsche-bank.de/pfb/content/marktinformationen/maerkte-fonds-hintergrund-sparplan.html, aufgerufen am 27.12.2019.

² https://www.ing.de/ueber-uns/wissenswert/wertpapier-sparplaene-nutzen/, aufgerufen am 27.12.2019.

³ https://www.commerzbank.de/portal/de/privatkunden/sparen-anlegen/produkte/etf-fonds-sparplan/etf-fonds-sparplan.html, aufgerufen am 27.12.2019.

⁴ Malkiel (1975), S. 242.

⁵ Rozeff (1994), S.49.

⁶ Vgl Constantinides (1979), S.444.

⁷ Rozeff (1994), S.49.

⁸ Rozeff (1994), S.48.

⁹ Langer, Nauhauser (2003), S.7.

¹⁰ Langer, Nauhauser (2003), S.8.

¹¹ Langer, Nauhauser (2003), S.10.

¹² Vgl. Albrecht et al. (2002).

¹³ Albrecht et al. (2002), S.6.

¹⁴ Albrecht et al. (2002), S.8.

¹⁵ Albrecht et al. (2002), S.9.

¹⁶ Brennan et al. (2005), S.532.

¹⁷ Vgl. Black, Scholes (1973).

¹⁸ Smith, Proffitt, Stephens (1992), S.613.

¹⁹ Vgl. Stephan, Telöken (1997).

²⁰ Vgl. Ebertz, Scherer (1998).

²¹ Hofmann et al (2004), S.10.

²² Vgl. Kahneman, Tversky (1979).

²³ Abbildung aus https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Die_Wertefunktion_der_Prospect_Theory.png, abgerufen am 04.01.2020.

²⁴ Statman (1995), S.74.

²⁵ Vgl. Statman (1995), S.75.

²⁶ Vgl. Solt, Statman (1988).

²⁷ Duden, Stichwort „Regel“.

²⁸ Statman (1995), S.74.

²⁹ Cohen, Zinbarg, Zeikel (1977), S.48.

³⁰ Brennan et al. (2005), S.533.

³¹ Statman (1995), S.77.