Rohstoffe und Rohstoffderivate im Portfoliomanagement. Bewertung als Investmentmöglichkeit

INHALTSVERZEICHNIS

INHALTSVERZEICHNIS

ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS

SYMBOLVERZEICHNIS

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

TABELLENVERZEICHNIS

1. Einleitung

2. Grundlagen des Portfoliomanagements
2.1 Einführung in die Performancemaße
2.2 Einführung in die Portfoliotheorie
2.2.1 Die Portfolio-Selection-Theorie
2.2.2 Zusammenstellung eines vielseitigen Portfolios
2.3 Die Kapitalmarkttheorien
2.3.1 Das Tobin-Separationstheorem
2.3.2 Das Capital Asset Pricing Model
2.4 Die Performancemessung

3 Rohstoffe und Rohstoffderivate im Anlagekontext
3.1 Rohstoffbegriff und Kategorisierung
3.2 Rohstoffe als eigene Anlageklasse
3.3 Rohstoffhandel mithilfe von Rohstoffderivaten
3.3.1 Derivatbegriff und Einsatzmöglichkeiten
3.3.2 Eigenschaften eines Futures
3.3.4 Rohstoffterminbörsen im historischen Kontext
3.3.5 Händlerprofile auf den Rohstoffterminmärkten
3.4 Rohstoffindizes zur Aggregation des Marktes

4. Portfoliooptimierung durch die Berücksichtigung von Rohstoffen
4.1 Fundamentale Analyse historischer Rohstoffpreise
4.1.1 Chancen, Risiken und Treiber der Rohstoffpreisentwicklung
4.1.2 Zusammenhang und Vergleich der Rohstoffpreis- und Aktienkursentwicklung
4.3 Auswirkungen des Beimischens von Rohstoffen in ein Aktien und Anleihen Portfolio

5. Fazit

LITERATURVERZEICHNIS

ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

SYMBOLVERZEICHNIS

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Abb. 1: Rendite und Risiko eines zwei Anlagen Portfolios

Abb. 2: Die Effizienzkurve von Portfolien mit mehreren Anlagen

Abb. 3: Die Capital Market Line

Abb. 4: Die Wertpapierlinie

Abb. 5: Kategorisierung von Rohstoffen

Abb. 6: Gewinne und Verluste des Optionshändlers in Bezug auf den Underlyingpreis

Abb. 7: Historische Kurse des S&P GSCI

Abb. 8: Historische Kurse des S&P GSCI und die weltweite Inflationsentwicklung

Abb. 9: Historische Kurse des S&P GSCI und MSCI World

Abb. 10: Portfolios der S&P GSCI Subindizes

Abb. 11: Kursentwicklung des S&P GSCI und des Marktportfolios

Abb. 12: Die Performance verschiedener Portfolien auf 20 Jahres Sicht

Abb. 13: Die Performance verschiedener Portfolien auf 10 Jahres Sicht

Abb. 14: Die Performance verschiedener Portfolien auf 1 Jahres Sicht

TABELLENVERZEICHNIS

Tabelle 1: Die Varianz-Kovarianz-Matrix

Tabelle 2: Ausgewählte Warenterminbörsen mit ihren bedeutendsten Futures-Kontrakten Tabelle 3: Ausgewählte Kennzahlen verschiedener Indizes

1. Einleitung

Die globalen Rohstoffmärkte befinden sich in den letzten Jahren wieder in einem Aufwärtstrend. Laut Schätzung nimmt der Anteil der gehandelten Rohstoffe derzeit mehr als ein Drittel aller Güter im Welthandel ein.¹ Neben der Endlichkeit nicht nachwachsender Rohstoffe auf der ei-nen Seite führen strukturelle Veränderungen auf der realen Nachfrageseite, wie die wirtschaftli-che Entwicklung weltweit, die voranschreitende Industrialisierung in den meisten Schwellenlän-dern, die wachsende Weltbevölkerung und Veränderungen von Ernährungsgewohnheiten ten-denziell zu steigenden Rohstoffpreisen.² Auch schwer kalkulierbare Einflussfaktoren, wie in etwa die durch klimatische Veränderungen bedingte Verknappung von Rohstoffen im Agrarsek-tor oder geopolitische Faktoren wie jüngst die Einführung von Schutzzöllen für Rohstoffimporte in die USA oder der Austritt der USA aus dem Atomabkommen mit dem Iran können erhebli-chen Einfluss auf die Preisentwicklung einzelner Rohstoffklassen nehmen.³

Ziel vieler Anleger ist es, die aus der Volatilität der Rohstoffpreise resultierenden Risiken zu minimieren. Bei anderen Anlegern steigt aus Renditegesichtspunkten die Nachfrage nach Roh-stoffinvestments. Deren Ziel ist es, aus der Prognose künftiger Preisentwicklungen an mögli-chen Renditechancen zu partizipieren.⁴ Wie die Vergangenheit zeigte und gleichfalls wissen-schaftlich belegt wurde, ist es allerdings unter dem Gesichtspunkt der Risiko- und Ertragsopti-mierung sinnvoll, nicht nur in eine Anlageklasse, sondern in ein diversifiziertes Portfolio aus mehreren Anlageklassen zu investieren:

„ Don ’ t put all your eggs in one basket “ ⁵

Diese Börsenregel fand im Jahr 1990 wissenschaftliche Anerkennung: Harry Markowitz und William F. Sharpe bewiesen im Rahmen der modernen Portfoliotheorie deren Gültigkeit und erhielten dafür den Wirtschafts-Nobelpreis.⁶ Begründet wird der Tatbestand mit der Erkenntnis, dass eine breite Streuung des Vermögens in verschiedene Anlageklassen wie Rohstoffe, Aktien und Anleihen bei Preisverfall einer Assetklasse die Chance besteht, dass die Preise einer ande-ren Assetklasse stabil bleiben bzw. eventuell sogar die Kurse steigen und damit im Gesamtport-folio hohe Verluste vermieden werden können. Belegt wird diese Regel mithilfe von Daten der Vergangenheit: So verzeichneten Rohstoffe tendenziell einen Wertzuwachs, wenn traditionelle Assetklassen wie Aktien an Wert verloren.⁷ Zum gleichen Ergebnis führten in der Vergangen-heit durchgeführte Studien in Bezug auf die Preisentwicklung in Inflationszeiten: Während im Ergebnis Rohstoffe tendenziell eine positive Korrelation zur Inflation aufweisen, führte eine In­flation in der Vergangenheit zu negativen Aktien- und Anleihemärkte.⁸

Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es zu analysieren, inwieweit Rohstoffe als vorteilhafte In-vestmentmöglichkeit bewertet werden können und ob das Beimischen dieser Anlageklasse zu einer Performanceoptimierung eines klassische Portfolios bestehend aus Aktien und Anleihen führen kann. Dazu werden in dem 2. Kapitel dieser Arbeit die Grundlagen des Portfoliomana-gements präsentiert. In diesem wird zunächst der Begriff der Performance und die dafür wichti-gen Rendite- und Risikomaße definiert, die in nachfolgenden Berechnungen berücksichtigt wer-den. Im Anschluss wird die Portfolio-Selection-Theorie von Harry Markowitz vorgestellt und die daraus resultierenden Erkenntnisse über die Vorteile der Portfoliobildung durch weiterführende Ergebnisse des Separationstheorems von James Tobin ergänzt. Letztere stützt sich dabei auf Beobachtungen des Kapitalmarktes, welche anschließend durch das Capital Asset Pricing Mo­del (CAPM) fortgesetzt und erweitert werden. In dem letzten Abschnitt dieses Kapitels werden die Benchmark und die Sharpe Ratio als Möglichkeiten zu der Performancemessung vorge-stellt.

In dem dritten Kapitel dieser Arbeit werden zur Zielerreichung Rohstoffe im Anlagekontext theo-retisch abgehandelt. Dazu wird nach der Definition und Kategorisierung des Rohstoffbegriffs die Charakterisierung von Rohstoffen als Anlageklasse vorgenommen. Aufgrund der hohen Wich-tigkeit von Derivaten als Möglichkeit zur Nachbildung der Rohstoffpreisentwicklung und ihrer Bedeutsamkeit für Spekulations- oder Absicherungsgeschäfte, werden anschließend diese Finanzinstrumente erklärt. Dabei wird insbesondere auf Futures und Optionen eingegangen, welche ausgehend vom Volumen die wichtigsten Derivate für Rohstoffe darstellen. Darauffol-gend werden die Rohstoffterminbörsen und die unterschiedlichen Beweggründe für ein Invest­ment in Derivate auf Rohstoffe gezeigt. Als letzter Punkt dieses Kapitels kann die Funktionswei-se beispielhafter Rohstoffindizes nachvollzogen werden.

Die gewonnenen Erkenntnisse der vorherigen Kapitel werden im vierten Kapitel aufgegriffen um die Frage zu klären, ob ein Investment in Rohstoffe vorteilhaft ist und sich positiv auf ein Aktien und Anleihen Portfolio ausüben kann. Dafür werden zuallererst die vergangenen Preisentwick-lungen von Rohstoffen auf Grundlage verschiedener Zeiträume analysiert und mögliche Gründe für die Entwicklung genannt. Mithilfe dieser Vorgehensweise soll die Anlageklasse der Rohstof- fe auch in Bezug auf die Preisentwicklung detaillierter beleuchtet werden, um eine Aussage über die Chancen und Risiken treffen zu können. Danach werden diese mit den Aktienkursent-wicklungen verglichen um eventuelle Zusammenhänge herauszustellen. In dem nachfolgenden Unterkapitel werden einzelne Rohstoffklassen voneinander abgegrenzt betrachtet um mithilfe von den im zweiten Kapitel vorgestellten Modellen ein optimales Rohstoffportfolio zu bilden. Dieses Portfolio und ein Rohstoffindex repräsentieren im letzten Unterkapitel den Rohstoff-markt. Diese werden einem Portfolio bestehend aus Aktien und Anleihen beigemischt um zu analysieren, ob diese Anlageklasse zu einer besseren Performance des Portfolios verhelfen kann.

2. Grundlagen des Portfoliomanagements

2.1 Einführung in die Performancemaße

Die Performance beschreibt im Kontext des Portfoliomanagements das angestrebte Ziel eines Investors. Dabei wird in den meisten Fällen die Höhe der Rendite als vorrangige Zielgröße be-trachtet. Als zweite Komponente wird, je nach Risikopräferenz des Investors, das Portfoliorisiko bei der Zielfestlegung berücksichtigt.⁹ Weitergehend wird der Bewertungszeitraum mit einbezo-gen, der z.B. eine Woche, einen Monat oder auch ein Jahr betragen kann.¹⁰

Als Rendite bezeichnet man die Wertänderung einer Anlage zwischen ihrem Anfangswert und einem zeitlich nachfolgenden Wert.¹¹ Diese wird in Prozent angegeben und ermöglicht damit den Vergleich zu anderen Anlagen. Je höher die Rendite, desto höher ist demnach der relative Wertanstieg des Investments vice versa.¹² Neben der Preisentwicklung können zuzüglich anla-genspezifische, periodische Einnahmen wie Dividenden- oder Couponzahlungen bei der Rendi-teberechnung berücksichtigt werden. Dieses wird in folgender Formel vorgenommen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der Formel 1 werden dementsprechend die periodischen Einnahmen am Ende der Periode ausgezahlt. Würde ein Anleger diese innerhalb des Anlagenzeitraums erhalten, müssten Zins-einnahmen resultierend aus der Wiederanlage der Einnahmen hinzugezogen werden.¹³

Aus der vorherrschenden Ungewissheit bezüglich der Wertentwicklung einer Anlage ergibt sich das oben genannte Risiko eines Investors. Entwickeln sich die Preise dabei entgegengesetzt zu seinen Erwartungen, werden Verluste eingefahren. Zur Beurteilung des Risikos werden bei-spielsweise die Volatilität oder der Value-at-Risk (VaR) herangezogen.¹⁴

Die Volatilität beschreibt dabei ein Risikomaß der Finanz, welches grundlegend auf der soge-nannten Varianz aufbaut. Die Varianz ist ein statistisches Maß zur Bestimmung der durch-schnittlichen quadratischen Abweichung einzelner Werte von ihrem Mittelwert.¹⁵ Bezogen auf das Portfoliomanagement beschreibt die Varianz demnach die quadrierte Differenz der einzel-nen realisierten Renditen von der erwarteten Rendite einer Anlage. Diese wird in der folgenden Formel berechnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wird aus der Varianz die Wurzel gezogen, erhält man die Standardabweichung. Diese besitzt gegenüber der Varianz den Vorteil, dass ihre Dimension der des Mittelwertes gleicht.¹⁶ Wird die Standardabweichung einer Anlage pro Zeiteinheit bemessen, entspricht dies der Volatilität.¹⁷

Als zweites Risikomaß wurde aufgrund der hohen praktischen Relevanz der Value-at-Risk ge-nannt. Dieser wird eingesetzt, um das Marktrisiko von Positionen oder Portfolios zu messen.¹⁸ Dazu gibt der VaR den in Geldeinheiten ausgedrückten, unter einer gegebenen Wahrschein-lichkeit maximal möglichen Verlust innerhalb eines vorher bestimmten Zeithorizontes an. Das bedeutet in anderen Worten, dass ein Anleger beispielsweise zu 95% sicher sein kann, dass der Wertverlust der Position oder des Portfolios innerhalb der nächsten 10 Tage nicht höher als 100.000€ sein wird.¹⁹ Bei dem genannten Beispiel liegt der Verlust demnach in 5% der Fälle höher als 100.000€.²⁰ Der maximal mögliche Verlust über diese Verlustgrenzen hinaus wird von diesem Risikomaß jedoch nicht beschrieben. Über die kumulierte Wahrscheinlichkeit bis zu der 5% Grenze kann der relative VaR ermittelt werden. Wird dieser mit dem Marktwert der Position oder des Portfolios multipliziert, ergibt sich der absolute Wert. Darüber hinaus existieren viele verschiedene andere Berechnungsmethoden für dieses Risikomaß.²¹ Konkrete Berechnungen des VaR werden im Rahmen dieser Arbeit nicht vorgenommen, da dieses Risikomaß bei der Portfoliooptimierung in dem 4. Kapitel keine Verwendung findet.

2.2 Einführung in die Portfoliotheorie

2.2.1 Die Portfolio-Selection-Theorie

Bei der traditionellen Zusammenstellung eines Portfolios wurden vorwiegend einzelne Anlage-möglichkeiten betrachtet, die den speziellen Zielen eines Investors gerecht wurden. Dabei galt die Rendite als einziges quantitatives Kriterium, während die qualitative Abschätzung als zent-rales Werkzeug eingesetzt wurde. Der Anleger hat zur Zusammenstellung seines Depots zu-nächst sein Ziel festgelegt, daraufhin das passende Investment gewählt und als letzten Schritt den günstigsten Zeitpunkt für den Kauf- oder Verkauf bestimmt. Dieses Vorgehen war nur teil-weise systematisch und stützte sich i.d.R. mehr auf die eigenen Erfahrungen und Schätzungen eines Anlegers. Darüber hinaus schieden durch den Auswahlprozess Anlagen aus, die zwar nicht unmittelbar zu der Zielerfüllung führten, jedoch in Kombination mit anderen Anlagen das Erreichen des Ziels hätten begünstigen können.²²

Harry Markowitz veröffentlichte auf dieser Thematik aufbauend 1952 seine Portfolio-Selection-Theorie, bei der er neben der erwarteten Rendite auch erstmals die Varianz als zu berücksichti-gendes Kriterium bei der Portfoliokonstruktion identifizierte.²³ Diese Veröffentlichung gilt heute als Meilenstein und Ursprung der modernen Portfolio Theorie.²⁴ Bei der Portfolio-Selection-Theorie stellt Markowitz, H. (1952) Grundsätze auf, nach denen ein Investor handeln sollte. In Abkehr von dem bislang vorherrschenden eindimensionalen Ziel der Anleger ihren Gewinn zu maximieren werden nunmehr die Risiken der Anlage mit in die Betrachtung einbezogen. Zur Minimierung der Risiken sollen dem Ansatz entsprechend nicht nur eine Anlage, sondern meh-rere Anlagen in ein diversifiziertes Portfolio aufgenommen werden.²⁵

Als Erklärung der Diversifikation nach Markowitz wird die Berechnung der erwarteten Rendite und der Varianz eines Portfolios wie folgt vorgenommen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Rendite eines Portfolios ergibt sich somit aus der Summe der Mittelwerte aus den in der Vergangenheit realisierten Renditen der einzelnen Portfoliotitel unter Berücksichtigung des je-weiligen Gewichtungsfaktors. Die Varianz wird folgendermaßen berechnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus dieser Formel wird ersichtlich, dass bei der Bestimmung des Portfoliorisikos die Kovarian-zen der Renditen untereinander mit einbezogen werden müssen.²⁶ Die Kovarianz gibt dabei den Zusammenhang zwischen zwei Variablen an. Eine positive Kovarianz bedeutet, dass sich die zwei Variablen in die gleiche Richtung entwickeln, während eine negative Kovarianz die konträ-re Entwicklung der Variablen aufzeigt. Diese wird folgendermaßen bestimmt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

at: Standardabweichung der vergangenen Renditen der Anlage i Oj: Standardabweichung der vergangenen Renditen der Anlage j ktj: Korrelation der Renditen der Anlage i und j Die Korrelation kann dabei gleichermaßen interpretiert werden wie die Kovarianz, da sie die gleiche Aussage über den Zusammenhang der Variablen trifft. Als einziger Unterschied gilt die Skalierung, da der Wert des Korrelationskoeffizienten immer zwischen -1 und +1 liegt.²⁷ Die Standardabweichung ergibt sich wie oben bereits beschreiben aus der Quadratwurzel der Vari­anz. Dadurch kann sie im Fall eines zwei Anlagen Portfolios folgendermaßen bestimmt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Folglich kann bei der richtigen Auswahl und Gewichtung von Anlagen mit niedriger Korrelation ein Zustand erreicht werden, bei dem das Risiko des Portfolios unter dem Risiko jedes einzel- nen Portfoliotitels bei gleicher Rendite liegt. Dieser Effekt wird in der folgenden Abbildung dar-gestellt. Dazu werden die erwarteten Renditen und Varianzen von sechs verschiedenen Portfo-liozusammenstellungen gezeigt. Die Beispielportfolios beinhalten demnach immer die gleichen zwei Anlagen unter verschiedenen Gewichtungsansätzen. Als Mittelwert der Renditen aus den vergangenen 5 Jahren wird für die Anlage i 5% und für die Anlage j 6% unterstellt. Die Stan-dardabweichung der Anlage i beträgt 3,1623% und die der Anlage j 4,6043%. Die Korrelation zwischen den beiden Anlagen beträgt 0,4808. Zur Vereinfachung werden die Gewichtungen in 20% Schritten dargestellt und es wird die Standardabweichung anstatt der Varianz als Risiko-maß genutzt. ²⁸ Die Abkürzung MVP steht für das varianzminimale Portfolio.²⁹

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Rendite und Risiko bei einem zwei Anlagen Portfolio

Quellen: Eigene Darstellung in Anlehnung an Bruns, C. / Meyer-Bullerdiek, F. (2013) S. 79, Alb-recht, P. / Maurer, R. (2016), S. 32.

Aus der Abbildung 1 geht hervor, dass aus der Diversifikation bei der richtigen Kombination der Anlagen ein positiver Effekt resultiert. Das Portfolio 2 bietet dabei dem Anleger ein niedrigeres Risiko als beide einzeln betrachteten Anlagen. Darüber hinaus ist die erwartete Rendite des Portfolios höher als die der Anlage i.³⁰ Portfolio 1 gilt somit als ineffizientes Portfolio, da es zu 100% die Anlage i beinhaltet. Ineffizient bedeutet in diesem Zusammenhang, dass ein anderes Portfolio existiert, welches sowohl ein niedrigeres Risiko als auch eine höhere erwartete Rendi-te aufweist. Die Portfolios zwei bis sechs gelten dagegen als effizient.³¹ Dieser Umstand führt zu einem Problem im Entscheidungsprozess des Investors, da ihm fünf potentielle Portfolios zur Auswahl stehen. Um dieses Problem zu beheben, muss neben den Rendite-Risiko-Eigenschaften auch die individuelle Risikoeinstellung eines Anlegers als Kriterium bei der Aus-wahl des optimalen Portfolios berücksichtigt werden.³² Wie man in Abb. 1 erkennen kann, hat ein Investor die Möglichkeit, das Risiko zu Lasten der Rendite durch andere Gewichtungsansät-ze zu schmälern vice versa.³³

Im Folgenden soll detaillierter auf die Wichtigkeit einer möglichst niedrigen Korrelation der An-lagen bei dem Aufbau eines optimalen Portfolios eingegangen werden. In der Abb. 1 wurde von einer Korrelation von 0,4808 ausgegangen. Würden die einzelnen realisierten Renditen der letz-ten fünf Jahre bei gleichem Mittelwert weniger stark korrelieren, wäre die Risikoreduktion nach Formel 2 und 4 erfolgreicher.³⁴ Zur Überprüfung wurde in Anlage 2 ein Alternativportfolio zu-sammengestellt, für das die genannten Voraussetzungen zutreffen. Dafür wurden lediglich die realisierten Renditen neu gemischt. Folglich betragen die durchschnittlichen Renditen der Anla-gen 1 und 2 weiterhin 5% und 6% und die Standardabweichungen 3,1623% und 4,6043%, wäh-rend ihre Korrelation untereinander nun bei 0,06868 liegt. Dadurch beträgt die Standardabwei-chung des MVP bei sonst gleichbleibenden Bedingungen nun nur noch 2,7335% bei einer hö-heren erwarteten Rendite von 5,4%. Folglich sollte ein Anleger in der Praxis also nicht wahllos eine große Anzahl an Anlagen in sein Portfolio aufnehmen. Entscheidend ist vor Allem die rich-tige Auswahl der Anlagen. Dabei ist ein Portfolio i.d.R. diversifizierter aufgestellt, wenn Invest­ments aus verschiedenen Branchen gewählt werden, die so wenig wie möglich voneinander abhängig sind. Denn für gewöhnlich korrelieren diese weniger stark miteinander, als Anlagen aus gleichen Wirtschaftszweigen.³⁵ Bei einer vollständigen Korrelation würde der Diversifikati-onseffekt sogar ausbleiben, da alle Anlagen gleichmäßig fallen oder steigen würden. Dagegen könnte das Risiko eines Portfolios vollständig eliminiert werden, wenn sich unendlich viele Ak-tien in dem Portfolio befinden, die nicht miteinander korrelieren. In der Praxis ist dieser Fall je-doch unmöglich, da die Anzahl der Anlagen in einem Portfolio endlich ist und sich ihre Kurse nie vollkommen unabhängig voneinander entwickeln.³⁶ Dabei ist außerdem wichtig zu beachten, dass der Effekt der Risikobegrenzung bei der Aufnahme von zwei Anlagen anstatt einer Anlage in das Portfolio wesentlich größer ist, als der Effekt von 51 Anlagen anstatt 50 Anlagen. Nach Berk, J./ DeMarzo, P. (2017) reichen bereits ca. 30 verschiedene Anlagen in dem Portfolio aus, um von der Diversifikation nahezu vollständig profitieren zu können. Aus den genannten Grün-den ergibt sich, dass auch bei einem sehr breit aufgestellten Portfolio das Risiko durch die Kovarianz der Titel untereinander nicht vollständig beseitigt werden kann.³⁷ Das Risiko, welches aus den genannten Gründen nicht diversifizierbar ist, wird dabei als systematisches Risiko be-zeichnet. Dagegen spricht man bei dem Risiko, welches eliminiert werden kann, von einem un-systematischen Risiko.³⁸

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2.2 Zusammenstellung eines vielseitigen Portfolios

Im vorherigen Unterkapitel wurde bereits definiert, was unter einem effizienten Portfolio zu ver-stehen ist. Bei einem zwei Anlagen Portfolio lagen dabei, wie in Abb. 1 erkennbar, alle mögli-chen Portfolios und damit auch alle effizienten Portfolios auf einer Kurve. Diese Effizienzkurve soll im Folgenden auch für ein Portfolio konstruiert werden, dass aus mehr als zwei Anlagen besteht. Dadurch werden alle ineffizienten Portfolios in Hinblick auf ihre Rendite-Risiko-Eigenschaften für ein Investment ausgeschlossen.³⁹ Um alle effizienten Portfolios identifizieren zu können, muss zunächst wieder die erwartete Rendite und die Varianz berechnet werden. Für die Berechnung der Varianz eines Portfolios mit mehr als zwei Anlagen weicht dabei die Formel wie folgt von Formel 2 ab.⁴⁰

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Portfoliovarianz berechnet sich demnach aus den Varianzen und quadrierten Gewichtungs-faktoren jeder einzelnen Anlage und der Summe aller Kovarianzen multipliziert mit den Gewich-tungsfaktoren jedes Portfoliotitels.⁴¹ Zum Verständnis der Gleichung 7 kann eine sogenannte Varianz-Kovarianz-Matrix angefertigt werden. Auf der Diagonale dieser Matrix wird der relative Anteil der Varianz jeder Anlage am Gesamtrisiko gezeigt. Die anderen Zellen bilden die Kovari-anz zwischen zwei Anlagen multipliziert mit ihren Gewichtungsfaktoren ab. Daraus ergibt sich, dass jede Kombination zweimal dargestellt wird, einmal oberhalb und einmal unterhalb der Dia-gonale.⁴² In der folgenden Tabelle wird eine Varianz-Kovarianz-Matrix dargestellt.

Tabelle 1: Die Varianz-Kovarianz-Matrix

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Bruns, C. / Meyer-Bullerdiek, F. (2013), S. 83.

Setzt sich dabei das Portfolio aus beispielsweise 30 verschiedenen Anlagen zusammen, muss der Investor 30 erwartete Renditen und 30 Varianzen bestimmen. Anhand der Tabelle 1 kann nachvollzogen werden, dass der Portfoliomanager in diesem Fall 435 verschiedene Kovarian-zen berechnen muss.⁴³ Somit wird ein Investor für jede mögliche Kombination der Anlagen eine große Anzahl an Berechnungen vornehmen, da der Wert jeder Zelle unter Berücksichtigung der veränderten Gewichtungsansätze neu bestimmt werden muss. Schlussendlich kann er durch diese Methode jene Portfolios bestimmen, die in Bezug auf ihrer Rendite-Risiko Eigenschaften effizient sind.⁴⁴ In der folgenden Abbildung werden beispielhafte Portfoliozusammenstellungen in einem Rendite-Risiko Diagramm abgebildet. Die gezeigte Effizienzkurve verläuft dabei durch die effizienten Kombinationen der Portfoliotitel.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2: Die Effizienzkurve bei Portfolien mit mehreren Anlagen

Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Bodie, Z. / Kane, A. / Marcus, A.J. (2014), S.220.

Die Abbildung verdeutlicht, dass nun alle möglichen Kombinationen nicht mehr auf einer Kurve, sondern innerhalb einer Fläche liegen. Ein risikoaverser Investor wählt dabei jedoch weiterhin nur ein Portfolio auf der Effizienzkurve oberhalb des MVP. Jedes darauf liegende Portfolio ver-fügt die maximale erwartete Rendite für die entsprechende Einheit des Risikos vice versa.⁴⁵ Alle anderen Kombinationen, sowie die einzeln betrachteten Anlagen, gelten als ineffizient.⁴⁶ Mar-kowitz hat für die Bestimmung der Portfolien auf der Effizienzkurve die sogenannte Kritische-Linien Methode entwickelt, bei der mithilfe eines Algorithmus die optimalen Zusammenstellun-gen bestimmt werden können.⁴⁷ Aufgrund des hohen Berechnungsumfangs wird die beispiel-hafte Vorstellung dieses Algorithmus im Rahmen dieser Arbeit nicht vorgenommen.

2.3 Die Kapitalmarkttheorien

2.3.1 Das Tobin-Separationstheorem

Die Kapitalmarkttheorie geht auf das von James Tobin veröffentlichte Separationstheorem aus dem Jahr 1958 zurück. Dieses ist auf der Portfolio-Selection Theorie aufgebaut, wird jedoch durch die Berücksichtigung risikoloser Anlagen erweitert. Diese Kombination wurde von Tobin genutzt, um die optimale Zusammenstellung eines risikobehafteten Portfolios unabhängig von den Risikoeinstellungen der Anleger zu bestimmen.⁴⁸ Dieses Portfolio soll in diesem Unterkapi-tel grafisch sowie rechnerisch ermittelt werden. Dazu wird davon ausgegangen, dass ein Anle-ger beliebig hohe Beträge zu einem risikolosen Zinssatz anlegen oder aufnehmen und dement-sprechend sein risikobehaftetes Portfolio mit einer risikolosen Komponente mischen kann.⁴⁹

Stellt man die Beziehung zwischen der risikolosen Anlage und dem risikobehafteten Portfolio in einem Rendite-Risiko Diagramm dar, ergeben sich Geraden zwischen den beiden Komponen-ten. Dabei gilt nur die eine Gerade als effizient, die in Bezug auf ihrer Rendite-Risiko Eigen-schaften dominant ist. Diese wird als Kapitalallokationslinie oder auch Capital Allocation Line (CAL) bezeichnet. Grafisch betrachtet ist das die Gerade, die ihren Schnittpunkt mit der Ordina-te auf der Höhe des risikolosen Zinssatzes hat und die sich als Tangente an die Effizienzkurve risikobehafteter Portfolios zeichnen lässt. Das Portfolio, das aus dem Schnittpunkt der CAL mit der Effizienzkurve der risikobehafteten Portfolien hervorgeht, ist das Tangentialportfolio. ⁵⁰

Setzt man nun voraus, dass alle auf dem Kapitalmarkt gehandelten Anlagen bei der Bildung des risikobehafteten Portfolios berücksichtigt wurden, beschreibt der Tangentialpunkt das so-genannte Marktportfolio.⁵¹ Bei diesem sind alle bestehenden Anlagen ideal gewichtet, sodass nur dieses eine Portfolio in Bezug auf die Rendite-Risiko Eigenschaften optimal zusammenge-stellt ist. Alle anderen möglichen Kombinationen gelten dabei als ineffizient.⁵² Das kann grafisch damit begründet werden, dass die übrigen Varianten unter der CAL liegen, die in diesem Fall den Aufbau eines Portfolios aus einer risikolosen Anlage und dem optimal aufgebauten risiko-behafteten Portfolio darstellt. Diese Effizienzgerade wird daher auch als Capital Market Line (CML) bezeichnet.⁵³ Somit kann, gegensätzlich zu der Portfolio-Selection Theorie, eine optimale Portfoliozusammenstellung trotz individueller Risikoeigenschaften der Anleger bestimmt wer-den.⁵⁴ Der Anleger kann jedoch fortan seine individuelle Risikopräferenz durch das Anpassen der Gewichtung der risikolosen Anlage in dem Portfolio berücksichtigen.⁵⁵ Risikoaverse Investo-ren bevorzugen dabei einen hohen Anteil der risikolosen Anlage, sodass ein Portfolio auf der Effizienzgeraden nahe der Ordinate gewählt wird. Risikofreudige Anleger wählen dagegen ei-nen höheren Anteil des Marktportfolios, sodass ein Portfolio nahe dem Tangentialpunkt gewählt wird.⁵⁶ Die Wahl eines Portfolios über diesen Punkt hinaus ist grundsätzlich auch möglich, wenn der Gewichtungsanteil des Marktportfolios über 1 liegt und damit das für das Investment fehlen-de Kapital zu dem risikolosen Zinssatz aufgenommen wird.⁵⁷ Die genannten Zusammenhänge werden in der folgenden Abbildung gezeigt. Der schwarze Graph ist dabei ein risikobehaftetes Portfolio, während die blaue Gerade die Capital Market Line abbildet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3: Die Capital Market Line

Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Berk, J.B. / DeMarzo, P.M. (2017), S. 412.

Neben der grafischen Herleitung kann die erwartete Rendite eines Portfolios bestehend aus einer risikolosen Anlage und dem Marktportfolio wie folgt auch rechnerisch bestimmt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der risikolose Zinssatz stellt die Konstante der Geraden dar, während die Steigung über die Differenz der erwarteten Marktportfoliorendite und dem risikolosen Zinssatz dividiert durch die Standardabweichung des Marktportfolios bestimmt wird.⁵⁸ Die Berechnung der Standardabwei- chung des gesamten Portfolios erfolgt ausschließlich über die Standardabweichung des risiko-behafteten Portfolios multipliziert mit seinem Gewichtungsfaktor. Dieses ist darauf zurückzufüh-ren, dass die Varianz einer risikolosen Anlage 0% beträgt und dadurch nicht berücksichtigt wer-den muss. Dieses führt dazu, dass die Kovarianz auch zwingend den Wert 0% annehmen muss, weil die Varianz als Faktor in die Berechnung mit einfließt.⁵⁹ Dieser Umstand begründet rechnerisch, warum es sich bei der Kapitalmarktlinie um eine Gerade handelt.⁶⁰

Für die Bestimmung der Zusammenstellung des Marktportfolios wird die maximale Steigung der CAL herangezogen, welche die risikolose Anlage mit dem risikobehafteten Portfolio verbindet. Anders ausgedrückt muss die sogenannte Sharpe Ratio (SR) den höchstmöglichen Wert an-nehmen.⁶¹ Die Sharpe Ratio ist ein Performancemaß, welches die Rendite für jede Einheit des Risikos abbildet. Das bedeutet, je höher die Sharpe Ratio, desto besser ist das Rendite-Risiko Verhältnis für den Investor.⁶² Dadurch ergibt sich folgende Optimierungsmaßnahme.

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Dabei gilt als Nebenbedingung, dass die Gewichtungsfaktoren der Portfoliotitel addiert den Wert 1 annehmen müssen. Bei zwei risikobehafteten Anlagen kann abgeleitet aus der Sharpe Ratio folgender Gewichtungsanteil für die Anlage i berechnet werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

of : Varianz der Anlage j Die Gewichtung der Anlage j wird dementsprechend folgendermaßen bestimmt.⁶³

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wird über diese Formel das Marktportfolio der zwei Anlagen aus Abb. 1 bestimmt, ergibt sich eine Gewichtung von 66,65% der Anlage i und 33,35% der Anlage j. Diese bietet bessere Risi-ko-Rendite Eigenschaften als das vorher bestimmte MVP.

2.3.2 Das Capital Asset Pricing Model

Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) baut auf den Ergebnissen von Markowitz und Tobin auf. Während jedoch bei dem Separationstheorem das risikobehaftete Portfolio als Ganzes be-trachtet wurde, sind bei dem CAPM die einzelnen Anlagen von zentraler Bedeutung. Das Ziel des Modells ist dabei zu erläutern, wie die erwartete Rendite beziehungsweise der Preis einer Anlage am Kapitalmarkt unter Unsicherheit bestimmt wird.⁶⁴ Dafür wird zunächst festgestellt, dass der Anteil jener Anlage an der Varianz des Marktportfolios abhängig von der Höhe der Kovarianz zwischen der Anlage und dem Marktportfolio ist. Je höher diese Kovarianz, desto größer ist das anteilige Risiko der Anlage. Dagegen hat die Varianz in diesem Fall für eine An­lage, im Gegensatz zu einem Portfolio, keine Aussagekraft über das Risiko.

Daraus resultiert, dass die Höhe der erwarteten Rendite einer Anlage abhängig von der Höhe der Kovarianz der Anlage zu dem Marktportfolio sein muss. Die Voraussetzungen eines Markt­portfolios wären nämlich nicht länger erfüllt, wenn eine Anlage keine höhere Rendite bei größe-rem Risiko bieten würde. Aus diesem Grundsatz lässt sich folgende Formel ableiten.⁶⁵

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus der Formel 12 geht hervor, dass sich die erwartete Rendite einer Anlage aus dem risikolo-sen Zinssatz und einer Risikoprämie berechnen lässt. Die Risikoprämie erhält der Investor für das Eingehen des systematischen Risikos, welches auch als Betafaktor einer Anlage bezeich-net wird. Für das Eingehen von unsystematischen Risiken erhält der Investor dagegen keine Risikoprämie.⁶⁶ Daher muss dieses bei der Berechnung der Rendite einer Anlage nicht berück-sichtigt werden. Die Begründung liegt in dem Umstand, dass dieses Risiko durch die Diversifi-kation eliminiert werden kann.⁶⁷ Diese Voraussetzung ist bei dem in dem CAPM berücksichtig-ten Marktportfolio gegeben.⁶⁸

Im Folgenden wird detaillierter auf den Betafaktor eingegangen, da dieser elementar bei der Bestimmung der zu erwarteten Rendite ist. Der Betafaktor gilt als das Risikomaß, dass den oben beschriebenen Anteil der Kovarianz zwischen der Anlage i und dem Marktportfolio an der Varianz des Marktportfolios angibt.⁶⁹ Anders ausgedrückt misst der Betafaktor, wie stark sich die Rendite der Anlage i verändert, wenn sich die Marktrendite um einen Wert x ändert. Dieses kann in der folgenden Formel nachvollzogen werden.⁷⁰

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ist der Betafaktor größer 0, bewegt sich die Anlage gleichgerichtet zu dem gesamten Markt. Diese Beziehung besteht unabhängig davon, ob der Markt steigt oder fällt. Zwischen einem Wert von 0 und 1 reagiert die Rendite der Anlage unterproportional auf die Veränderungen des Marktes. Ist der Betafaktor dagegen größer als 1, verändert sich die Rendite einer Anlage über-proportional zu der Marktrendite.⁷¹ Liegt der Betafaktor bei dem Wert 0, besteht kein Zusam-menhang zwischen den Schwankungen der Rendite der Anlage und der des Marktportfolios. Bei einem Betafaktor kleiner 0, fällt die Anlagenrendite bei steigender Marktrendite vice versa. Die letzten beiden Fälle sind in der Praxis jedoch i.d.R. nicht zu beobachten.⁷²

Die genannten Abhängigkeiten können in einem Rendite-Risiko Diagramm dargestellt werden. Die einzelnen Punkte bilden dabei die Beziehung zwischen der erwarteten Rendite und dem Betafaktor einer Anlage ab. Die dadurch entstandene Gerade wird als Wertpapierlinie oder auch Security Market Line (SML) bezeichnet.⁷³ Mithilfe der Formel 9 und der folgenden Abbil-dung kann der lineare Zusammenhang zwischen der erwarteten Rendite und dem Risiko einer Anlage des Marktportfolios nachvollzogen werden.⁷⁴

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 4: Die Wertpapierlinie

Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Berk, J. / DeMarzo, P. (2017), S.423.

2.4 Die Performancemessung

Für die Beurteilung der Portfolioperformance kann eine sogenannte Benchmark bestimmt wer-den. Diese fungiert als Vergleichsgröße für die Wertentwicklung des Portfolios und sollte dem-nach die von dem Investor erwartete Rendite unter Berücksichtigung seiner Risikoeinstellung widerspiegeln.⁷⁵ Die Benchmark stellt dabei eine Verknüpfung zwischen den Zielen des Anle-gers und dem Kapitalmarkt dar, weil sie das am Markt erfüllbare und zu erzielende Perfor-mance-Profil des Investors beschreibt.⁷⁶ Eine Benchmark findet beispielsweise in der Praxis Anwendung, wenn ein Anleger die Performance seines aktiv gemanagten Portfolios beurteilen möchte. Bei dem aktiven Portfolio werden dabei Änderungen der Zusammensetzung, resultie-rend aus individuellen Erwartungen des Investors, vorgenommen. Diese finden bei einem pas-siven Portfolio, welches beispielsweise auf einem Aktienindex basiert, keine Berücksichtigung. Demnach gilt nur diejenige aktive Anlagestrategie als wirtschaftlich sinnvoll, bei der die Perfor­mance des Portfolios über der des passiven Portfolios liegt.⁷⁷

Daneben kann die Performance, wie bereits beschrieben, über die sogenannte Sharpe Ratio gemessen werden. Diese wurde von William Sharpe im Jahr 1966 entwickelt und wird als so-genannte risikoadjustierte Renditegröße bezeichnet.⁷⁸ Sie wird eingesetzt, um die Portfolioren-dite über dem risikolosen Zinssatz für eine weitere Einheit des Portfoliorisikos zu messen. Dafür wird der risikobehaftete Teil der Portfoliorendite in das Verhältnis zu der Standardabweichung des Portfolios gesetzt.⁷⁹ Die risikobehaftete Rendite wird auch als Überrendite bezeichnet. Mit anderen Worten beschreibt sie die Prämie, die ein Investor für das Eingehen eines Risikos er-hält. Die Höhe der Risikoprämie ist für den Anleger daher wichtig, da er ebenso sein Geld zu einem risikolosen Zinssatz anlegen kann, bei dem das Portfoliorisiko gleich 0 ist. Für das Ein-gehen eines Risikos muss der Investor demnach entschädigt werden. Die Sharpe Ratio kann beispielsweise herangezogen werden, um die Performance verschiedener Portfolien zu verglei-chen.⁸⁰ Eine negative Sharpe Ratio sagt dabei aus, dass die Performance des Portfolios niedri-ger ist als die des risikolosen Zinssatzes.⁸¹

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¹ Boerse.de (Hrsg.) (o.J.), https://www.boerse.de/grundlagen/rohstoffe/Entwicklung-der-Rohstoffpreise-https://www.onlinebrokervergleich.org/ratgeber/rohstoffhandel/

² Boerse.de (Hrsg.) (o.J.), https://www.boerse.de/grundlagen/rohstoffe/Entwicklung-der-Rohstoffpreise-N-TV (Hrsg.) (2001), https://www.n-tv.de/archiv/Strategien-im-Uberblick-article140048.html N-TV (Hrsg.) (2001), https://www.n-tv.de/archiv/Strategien-im-Uberblick-article140048.html

³ Vgl. Boerse.de (Hrsg.) (o.J.), https://www.boerse.de/grundlagen/rohstoffe/Entwicklung-der-Rohstoffpreise-8

⁴ Vgl. Haß, L.H. / Schweizer, D. (2010), S. 411.

⁵ Vgl. Haß, L.H. / Schweizer, D. (2010), S. 411.

⁶ Vgl. Haß, L.H. / Schweizer, D. (2010), S. 411.

⁷ Vgl. Haß, L.H. / Schweizer, D. (2010), S. 411.

⁸ Vgl. Haß, L.H. / Schweizer, D. (2010), S. 411.

⁹ Vgl. Bruns, C. / Meyer-Bullerdiek, F. (2013), S. 1.

¹⁰ Vgl. Brentani, C. (2004), S. 33.

¹¹ Fischer, B.R. (2010), S. 6.

¹² Berk, J. / DeMarzo, P. (2017), S. 354.

¹³ Mondello, E. (2015), S. 3.

¹⁴ Albrecht, P. / Maurer, R. (2016), S. 125.

¹⁵ Vgl. Fabozzi, F.J. / Pachamanova, D.A. (2016), S. 47-49.

¹⁶ Bruns, C. / Meyer-Bullerdiek, F. (2013), S. 10.

¹⁷ Breuer, W. / Gürtler, M. / Schuhmacher, F. (2010), S. 107.

¹⁸ Meyer, C. (1999), S. 12.

¹⁹ JP Morgan (Hrsg.) (1996), S. 18.

²⁰ Choudhry, M. (2013), S. 32.

²¹ Mondello, E. (2015), S. 23-25.

²² Vgl. Hielscher, U. (1999), S. 50-51.

²³ Vgl. Ziemer, F. (2018), S. 23-24.

²⁴ Vgl. Sharpe, W.F. / Alexander, G.J. / Bailey, J.V. (1999), S. 139.

²⁵ Vgl. Bruns, C. / Meyer-Bullerdiek, F. (2013), S. 85.

²⁶ Vgl. Markowitz, H. (1952), S. 80-81.

²⁷ Vgl. Sharpe, W.F. / Alexander, G.J. / Bailey, J.V. (1999), S. 152.

²⁸ Vgl. Bruns, C. / Meyer-Bullerdiek, F. (2013), S. 78-79.

²⁹ Vgl. Albrecht, P. / Maurer, R. (2016), S. 325.

³⁰ Vgl. Bruns, C. / Meyer-Bullerdiek, F. (2013), S. 78-79.

³¹ Vgl. Berk, J. / DeMarzo, P. (2017), S. 403.

³² Vgl. Mondello, E. (2017), S. 69.

³³ Vgl. Mondello, E. (2015), S. 120-121.

³⁴ Vgl. Bruns, C. / Meyer-Bullerdiek, F. (2013), S. 82.

³⁵ Vgl. Mondello, E. (2015), S. 124.

³⁶ Vgl. Mondello, E. (2015), S. 124.

³⁷ Vgl. Mondello, E. (2015), S. 124.

³⁸ Vgl. Mondello, E. (2015), S. 124.

³⁹ Vgl. Sharpe, W.F. / Alexander, G.J. / Bailey, J.V. (1999) S. 154-155.

⁴⁰ Vgl. Sharpe, W.F. / Alexander, G.J. / Bailey, J.V. (1999) S. 154-155.

⁴¹ Vgl. Sharpe, W.F. / Alexander, G.J. / Bailey, J.V. (1999) S. 154-155.

⁴² Vgl. Sharpe, W.F. / Alexander, G.J. / Bailey, J.V. (1999) S.55.

⁴³ Vgl. Bodie, Z. / Kane, A. / Marcus, A.J. (2014), S. 221-222.

⁴⁴ Vgl. Bruns, C. / Meyer-Bullerdiek, F. (2013), S. 83.

⁴⁵ Vgl. Mondello, E. (2015), S. 121.

⁴⁶ Vgl. Berk, J. / DeMarzo, P. (2017), S. 408.

⁴⁷ Vgl. Sharpe, W.F. / Alexander, G.J. / Bailey, J.V. (1999), S. 193.

⁴⁸ Vgl. Berk, J. / DeMarzo, P. (2017), S. 407.

⁴⁹ Vgl. Berk, J. / DeMarzo, P. (2017), S. 407.

⁵⁰ Albrecht, P. / Maurer, R. (2016), S. 367.

⁵¹ Albrecht, P. / Maurer, R. (2016), S. 367.

⁵² Albrecht, P. / Maurer, R. (2016), S. 367.

⁵³ Mondello, E. (2015), S. 149.

⁵⁴ Mondello, E. (2015), S. 149.

⁵⁵ Mondello, E. (2015), S. 149.

⁵⁶ Mondello, E. (2015), S. 149.

⁵⁷ Berk, J. / DeMarzo, P. (2017), S. 375.

⁵⁸ Bruns, C. / Meyer-Bullerdiek, F. (2013), S. 86.

⁵⁹ Bodie, Z. / Kane, A. / Marcus, A.J. (2014), S. 292.

⁶⁰ Bruns, C. / Meyer-Bullerdiek, F. (2013), S. 86.

⁶¹ Vgl. Breuer, W. / Gürtler, M. / Schuhmacher, F. (2010), S. 385.

⁶² Vgl. Berk, J. / DeMarzo, P. (2017), S. 412.

⁶³ Vgl. Ziemer, F. (2018), S. 124.

⁶⁴ Vgl. Bruns, C. / Meyer-Bullerdiek, F. (2013), S. 87.

⁶⁵ Vgl. Mondello, E. (2017), S. 111.

⁶⁶ Schulmerich, M. / Leporcher, Y.M. / Eu, C.H. (2015), S. 116. Bruns, C. / Meyer-Bullerdiek, F. (2013), S. 87. Schulmerich, M. / Leporcher, Y.M. / Eu, C.H. (2015), S. 63-64. Bodie, Z. / Kane, A. / Marcus, A.J. (2014), S. 217.

⁶⁷ Vgl. Ziemer, F. (2018), S. 121.

⁶⁸ Sharpe, W.F. / Alexander, G.J. / Bailey, J.V. (1999), S. 234-235.

⁶⁹ Bruns, C. / Meyer-Bullerdiek, F. (2013), S. 89-90.

⁷⁰ Vgl. Berk, J. / DeMarzo, P. (2017), S. 375.

⁷¹ Vgl. Berk, J. / DeMarzo, P. (2017), S. 375.

⁷² Mondello, E. (2015), S. 236.

⁷³ Scherer, B. (2015), S. 76.

⁷⁴ Scherer, B. (2015), S. 76.

⁷⁵ Scherer, B. (2015), S. 76.

⁷⁶ Scherer, B. (2015), S. 76.

⁷⁷ Schulmerich, M. / Leporcher, Y.M. / Eu, C.H. (2015), S. 54-55.

⁷⁸ Schulmerich, M. / Leporcher, Y.M. / Eu, C.H. (2015), S. 54-55.

⁷⁹ Schulmerich, M. / Leporcher, Y.M. / Eu, C.H. (2015), S. 54-55.

⁸⁰ Schulmerich, M. / Leporcher, Y.M. / Eu, C.H. (2015), S. 54-55.

⁸¹ Albrecht, P. / Maurer, R. (2016), S. 375. Breuer, W. / Gürtler, M. / Schuhmacher, F. (2010), S. 301. Sharpe, W.F. / Alexander, G.J. / Bailey, J.V. (1999), S. 235. Sharpe, W.F. (2007), S. 96.