Gruppenentscheidungen mit multipikativem AHP und Fuzzy Logik-basierter Aggregation zur Bestimmung der Gruppenpräferenz

Inhaltsverzeichnis:

1 Gruppenentscheidungen mit multiplikativem AHP und Fuzzy Logik- basierter Aggregation zur Bestimmung der Gruppenpräferenz

2 Gruppenentscheidungen mit multiplikativem AHP
2.1 Grundproblem
2.2 Festlegung der Teilnutzenwerte
2.3 Bestimmung der relativen Zielgewichte
2.4 Bestimmung der relativen Gesamtnutzenwerte
2.5 Bestimmung der relativen Macht-Koeffizienten
2.6 Ermittlung der Gruppenrangordnung
2.7 Fazit

3 Fuzzy-Logik basierte Aggregation individueller Präferenzen
3.1 Grundproblem
3.2 Linguistische Variable zur Bestimmung individueller Präferenzen
3.3 Aggregation der individuellen Präferenzen
3.4 Gruppenpräferenzordnungen
3.5 Fazit

4 Literaturverzeichnis

1 Gruppenentscheidungen mit multiplikativem AHP und Fuzzy Logik-basierter Aggregation zur Bestimmung der Gruppenpräferenz

Sowohl in der betrieblichen Praxis als auch bei privaten Entscheidungen hat man es zumeist mit Problemen zu tun, die sich wegen ihrer Komplexität nur durch eine Vielzahl unterschiedlichster Kriterien in ihrerökonomischen Bedeutung voll erfassen lassen. Um dem Wunsch nach realistischeren und anwendbaren Entscheidungsunterstützungsmethoden zu entsprechen und die beschränkte Informationsverarbeitungskapazität bzw. die eingeschränkte Rationalität eines Entscheiders bzw. vieler Entscheider in einer Gruppe zu berücksichtigen, werden im Folgenden zwei Verfahren vorgestellt, die mit unterschiedlichen Ansätzen versuchen, eine möglichst exakte Gruppenpräferenz zu bestimmen.

2 Gruppenentscheidungen mit multiplikativem AHP

2.1 Grundproblem

Grundsätzlich werden im AHP nach Saaty die verschiedenen Ziele in einem hierarchisch aufgebauten Zielsystem strukturiert. Dies dient einer möglichst treffenden Zuordnung der Zielgewichte, da in einem derart aufgebauten Zielsystem in der Regel nur zwei oder drei Teilziele gleichzeitig zu betrachten und mit Stufen-Gewichten zu versehen sind. Erweitert wird dieses Modell durch die Betrachtung von Gruppenentscheidungen, in denen Machtstrukturen Entscheidungen und Einschätzungen der Gruppe beeinflussen. So sind zum Beispiel in der Politik einzelne Mitglieder im Bundesrat mit unterschiedlichen Stimmrechten ausgestattet. Im Folgenden wird daher ein von J. Barzilai und F.A. Lootsma1997 entwickelter Ansatz vorgestellt, der auf einer multiplikativen Variante des AHP von Saaty basiert. Dieser Prozess ist dreistufig aufgebaut, da er sowohl mehrere Handlungsalternativen, mehrere Entscheider als auch mehrere Bewertungskriterien bzw. Zielgewichte verarbeitet. Nach der im ersten Schritt erfolgten Festlegung der Teilnutzen folgt im Zweiten eine Bestimmung der Zielgewichte, so dass im Anschluss die einzelnen Teilnutzen gegeneinander gewichtet werden können. Der derart ermittelte Gesamtnutzen jedes Gruppenmitgliedes wird im letzten Schritt mit den möglichst objektiv bestimmbaren Machtpositionen vereint und gewichtet. Die Handlungsalternative mit dem höchsten Nutzenwert sollte dann, analog zum regulären AHP, gewählt werden.

2.2 Festlegung der Teilnutzenwerte

Im ersten Schritt werden die Teilnutzenwerte bestimmt. Jedes Gruppenmitglied vergleicht individuell die unterschiedlichen Handlungsalternativen in Bezug auf vorher festzulegende Kriterien. Hierbei formuliert jeder Entscheidungsträger gemäßseiner Einschätzung Präferenzaussagen įnk(c,d), welche sowohl von der Person (d) - also ihm selbst - und von den Zielkriterien (c) abhängen. Die Präferenzaussagen werden bei Barzilai und Lootsma auf einer Skala von -8 bis +8 wiedergegeben, wobei -8 eine starke Präferenz zugunsten der einen Handlungsalternative Sk im Vergleich zu der anderen Alternative Sn bedeutet und -8 eine starke Präferenz zugunsten von Sn im Vergleich Sk bedeutet.¹

Zur Veranschaulichung der Sachverhalte soll folgendes Beispiel als Gruppenentscheidungsproblem angenommen werden: Drei Studenten (P1: Guy Raffe, P2: Kai Pirinha und P3: Enzo Klopädie) planen eine Urlaubsreise. Allerdings herrscht Uneinigkeit über das zu wählende Reiseziel (A1: Safari; A2: Spring Break; A3: Rom). Um eine fundierte Entscheidung herbeizuführen, sollen die Alternativen auf drei Zielkriterien untersucht werden, welche unsere Entscheidungsträger als besonders relevant erachten. Diese sind die Höhe des zu erwartenden Abenteuers (C1), des Spaßes

(C2) und das Kulturangebot (C3) auf der Reise. Zur Vereinfachung gehen wir in unserem Beispiel davon aus, dass alle drei Entscheider dieselbe Einschätzung bezüglich der Ausprägung der Zielkriterien einer jeden Alternative haben. So empfinden also alle Entscheider gleichermaßen, wie viel Abenteuer, Spaßund Kultur die Safari, die Spring Break und die Reise nach Rom mit sich bringen. In unserem Beispiel ergeben sich somit folgende konsistente Matrizen für die einzelnen Zielkriterien:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tab. 1: Punktbewertung Abenteuer

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Tab. 2: Punktbewertung Spa ß

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Tab. 3: Punktbewertung Kultur

Bezüglich des Abenteuers (erste Matrix) wird folglich die Safari (A1) deutlich gegenüber der Spring Break (A2) präferiert, was laut Barzilai/Lootsma einem Bewertungspunkt von vier entspricht. Ebenso wird die Safari mit einem Wert von sechs stark gegenüber der Romreise (A3) präferiert.

Bei der Bestimmung der konsistenten Paarvergleichsmatrizen nehmen Barzilai und Lootsma jedoch an, dass die Entscheidungsträger häufig irrational entscheiden. Um dieser Tatsache entgegenzuwirken, werden die Teilnutzenwerte mit Hilfe des Skalierungsparameter Ȗ = ln 2 in sog. Substitutionsraten umgerechnet. Hierzu wird jede Punktbewertung mittels der Formel

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in Punkten ausgedrückten Präferenzaussage). Durch diese logarithmische Skalierung werden die höheren Werte relativ stärker und die niedrigeren Werte deutlich geringer beurteilt, was nach Ansicht von Barzilai/Lootsma besser den bei solchen Entscheidungen zugrunde liegenden Vorstellungen und Präferenzverläufen entspricht.²

In unserem Beispiel ergeben sich durch die Umrechnung folgende Matrizen:

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Tab. 4: Substitution Abenteuer

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Tab. 5: Substitution Kultur

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Tab. 6: Substitution Spa ß

Um schließlich eine aggregierte und quantitativ aussagekräftige Einschätzung der Teilnutzen je Alternative vornehmen zu können, wird ausgehend von der Substitutionsratenmatrix zeilenweise das geometrische Mittel bestimmt. Hierzu bedient man sich folgender Formel:

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Das Mittel der ersten Zeile der Matrix für das Zielkriterium Abenteuer wäre:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Für die restlichen Werte ergeben sich folgende Matrizen: geo. Mittel normiert geo. Mittel normiert geo. Mittel normiert

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Tab. 7: geo.Mittel Abenteuer

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Tab. 8: geo.Mittel Spaß

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Tab. 9: geo.Mittel Kultur

Nach Ermittlung aller geometrischen Mittel werden diese normiert indem jeder Einzelwert durch die Spaltensumme der Einzelwerte dividiert wird. Allgemein lässt sich dies so ausdrücken:

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. Anschließend werden die neun verbleibenden normierten Werte nun in der sog.

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Teilnutzenmatrix jeder Alternative zugeordnet, so dass sich hierin ablesen lässt, welche Alternative nach Einschätzung der Gruppenmitglieder welchen Nutzenwert für die Zielkriterien annimmt:

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Tab. 10: Teilnutzenmatrix

2.3 Bestimmung der relativen Zielgewichte

Nachdem die Nutzenwerte der einzelnen Merkmale für alle Handlungsalternativen bestimmt wurden, müssen nun diese Kriterien für alle an dem Entscheidungsprozeßbeteiligten Gruppenmitglieder gewichtet werden. Durch Berücksichtigung dieser beiden Ergebnisse, des Teilnutzens und der Kriteriengewichtung, lässt sich nämlich erst der Gesamtnutzen ermitteln, da der Gesamtnutzen einer Alternative das Ergebnis aller gewichteter Teilnutzen ist. Um nun die Kriterien gegeneinander zu gewichten, wird parallel zur Bestimmung der Teilnutzenwerte vorgegangen: Für jedes Gruppenmitglied wird eine Paarvergleichsmatrix aufgestellt, die die einzelnen Ziele bezüglich Ihrer Wichtigkeit für die entsprechende Person gewichtet. Im Folgenden wird wie bei Bestimmung der Teilnutzenmatrix als Bewertungsskala die Punkteskala von Barzilai und Lootsma verwandt, die sich nun aber auf die Bedeutung der einzelnen Kriterien bezieht.

Die Punktebewertung anhand der Punkteskala von Barzilai und Lootsma soll anhand des von uns gewählten Beispieles verdeutlicht werden: Guy, Kai und Enzo vergleichen hierbei die drei Kriterien Abenteuer (c1), Spaß(c2) und Kultur (c3) paarweise, wobei auch hierbei wieder Punkte von -8 bis +8 durch jeden Entscheider individuell vergeben werden.

Es ergibt sich eine (konsistente) Kriteriengewichtung durch Punktebewertung:

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Tab. 11:

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Tab. 12:

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Tab. 13:

Kriteriengewichtung Guy Kriteriengewichtung Kai Kriteriengewichtung Enzo Die wiederum folgende Umrechnung in Substitutionsraten bedient sich nun im Gegensatz zur Substitutionsratenberechnung bei den relativen Teilnutzenwerten nicht des Skalierungsparameters Ȗ=ln2 sondern Ȗ=ln¥2. Barzilai und Lootsma zufolge ist dieser Wert besser geeignet, „den Sachverhalt angemessen“³ zu bewerten.

Hierdurch ergeben sich die folgenden Substitutionsmatrizen für unser Beispiel:

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Tab. 14: Substitution Guy

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Tab. 15: Substitution Kai

Aus den Ergebnissen der Substitutionsratenmatrix muss erneut das geometrische Mittel nach der

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für jedes Ziel und Gruppenmitglied gebildet werden. Zur besseren

Vergleichbarkeit der Ergebnisse werden diese genormten Mittel wiederum genormt. Somit ergeben sich für unser Beispiel die folgenden Matrizen: geo. Mittel normiert geo. Mittel normiert geo. Mittel normiert

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Tab. 17: geo. Mittel Guy

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Tab. 18: geo. Mittel Kai

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Tab. 19: geo. Mittel Enzo

Durch Zuordnung erhalten wir als Ergebnis eine Gewichtungsmatrix, die eindeutig jedem Gruppenmitglied zuordnet, welches relative Gewicht es den einzelnen Zielen Abenteuer, Spaßund Kultur zuordnet.

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Tab. 20: Gewichtungsmatrix

2.4 Bestimmung der relativen Gesamtnutzenwerte

Aus den beiden Ergebnissen der vorherigen Schritte, dem Zuordnen relativer Teilnutzenwerte und der Bestimmung der relativen Zielgewichte, lassen sich nun die relativen Gesamtnutzenwerte für jedes Gruppenmitglied bestimmen. Diese Werte geben darüber Auskunft, welchen relativen Gesamtnutzen das jeweilige Gruppenmitglied einer Alternative zuordnet. Aus diesen Präferenzen lässt sich also eine individuelle Rangordnung erstellen.

Zur Bestimmung der relativen Gesamtnutzenwerte, wird für jedes Gruppenmitglied aus den relativen Teilnutzen der einzelnen Handlungsalternativen und deren Zielgewichtung das

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. Bezogen auf unser Beispiel ergeben sich für die

relativen Teilnutzenwerte und die relativen Zielgewichte folgende Gesamtnutzenwerte:

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Tab. 10: Teilnutzenmatrix

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tab. 20: Gewichtungsmatrix

[...]

¹ Vgl. Rommelfanger (2002), S.213.

² Vgl. Rommelfanger (2002), S.215.

³ Barzilai, J., Lootsma, F.A. (1997), S. 162