Zur inhaltlichen und didaktisch-methodischen Gestaltung eines möglichen Wahlthemas 'Mittelwerte und Mittelwertfunktionen'

TU Dresden
Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften
Fachrichtung Mathematik
Professur für Mathematikdidaktik

Zur inhaltlichen und didaktisch-methodischen Gestaltung
eines möglichen Wahlthemas
Mittelwerte und Mittelwertfunktionen

Thomas Räder

03.04.2006

Inhaltsverzeichnis:

0. Einleitung ...3

1. Mittelwerte und Mittelwertfunktionen ...4
1.1 Mittelwerte in der Alltagswelt ...4
1.1.1 Das arithmetische Mittel ...4
1.1.2 Das harmonische Mittel ...5
1.1.3 Das Simpson-Paradoxon und das Chuquet-Mittel ...6
1.2 Zur Definition von Mittelwerten ...8
1.2.1 Historischer Zugang ...9
1.2.2 Mittelwerte durch Potenzen ...12
1.3 Mittelwertfunktionen ...14
1.3.1 Darstellungen von Mittelwertfunktionen ...15
1.4 Darstellungen der Ungleichung der Mittelwertfunktionen ...20
1.4.1 Darstellung nach Pappus ...22
1.4.2 Darstellung nach Bullen ...24

2. Mittelwertfunktionen als möglicher Wahlpflichtbereich ...28
2.1 Wahlpflichtbereiche im sächsischen Lehrplan ...28
2.2 Wahlpflichtbereich zum Thema Mittelwertfunktionen ...28
2.3 Einbindung der Mittelwerte und Mittelwertfunktionen in die Klassen 8-12 ...31
2.3.1 8.Klasse ...31
2.3.2 9. Klasse ...32
2.3.3 10. Klasse ...34
2.3.4 11. Klasse ...36
2.3.5 12. Klasse ...38

3. Lernziele und -inhalte des Themas Mittelwerte und Mittelwertfunktionen ...40
3.1 Fachübergreifende Ziele des Fachs Mathematik ...40
3.1.1 Fundamentale Denktätigkeiten und -haltungen ...40
3.1.2 Geistige Grundtechniken ...42
3.1.3 Allgemeine «Erziehungsziele» des Mathematikunterrichts ...43
3.2 Allgemeine Ziele des Fachs Mathematik ...44
3.2.1 Auf Einzelinhalte bezogene Fähigkeiten und Haltungen ...44
3.2.2 Auf das Fach insgesamt bezogene Einsichten und Einstellungen ...45

4. Lernbereichsplanung ...47

5. Zusammenfassung ...52

 

0. Einleitung

Im Jahr 2004 wurde der sächsische Lehrplan grundlegend verändert. Eine dieser Änderungen betrifft die Hinzunehmung der Wahlpflichtbereiche am Ende jedes Schuljahres. Die Lehrer haben nun die Möglichkeit am Ende des Jahres einen von drei zusätzlichen Lernbereichen zu wählen, in dem mathematisches Wissen vertieft und angewendet wird. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit einem Gebiet, dass genügend Substanz und Inhalt hat, um als ein solcher Wahlbereich in der Schule behandelt werden zu können. Dieses Gebiet beschäftigt sich mit Mittelwerten und Mittelwertfunktionen.

In dieser Arbeit wird zum einen die Theorie über Mittelwerte und Mittelwertfunktionen und zum anderen die Möglichkeit der Integration der Theorie in die Schulmathematik untersucht. Im Vordergrund soll dabei besonders die unterhaltsame Seite der Mittelwerte stehen. Es wird gezeigt, dass man mithilfe der Mittelwerte interessante und zum Teil auch paradoxe Aufgaben lösen kann. Solche Aufgaben dienen der Motivation der Schüler und eignen sich deshalb besonders für den Unterricht.

Weiterhin wird ein historischer Aspekt der Mittelwerte und Mittelwertfunktionen untersucht. Es kann gezeigt werden, dass das Gebiet der Mittelwerte seit langem in der Mathematik verankert ist, und dass allein dadurch eine Möglichkeit der Integration in die Schulmathematik vorliegt.

1. Mittelwerte und Mittelwertfunktionen

1.1 Mittelwerte in der Alltagswelt

Wenn Sie sich mit dem nackten Hintern auf eine heiße Herdplatte setzen und ihre Füße dabei in ein Bad mit Eiswürfeln getaucht sind, dann haben Sie im Durchschnitt eine angenehme Körpertemperatur.

Dieses Beispiel zeigt sehr anschaulich, dass der Begriff „Durchschnitt“ oder „Mittelwert“ nur sehr vage definierbar sind. Hinzu kommen Bezeichnungen wie „Die goldene Mitte“ oder „aus unserer Mitte“, die zweifelsfrei eher unpräzise erscheinen. [7]¹
Diese Vagheit hat aber auch zur Folge, dass in der Mathematik viele interessante Aufgaben gestellt werden können, die sich mit Mittelwerten beschäftigen. Vor allem die vielen möglichen Mittelwerte, die zur Lösung der vielfältigen Aufgaben beitragen, motivieren die Schüler, kritisch und genau mit den gestellten Problemen umzugehen.
Damit dies auch tatsächlich so passiert, müssen die Aufgaben und Probleme, die den Schülern gestellt werden, interessant und komplex sein. Weiterhin sollten sie einen gewissen Unterhaltungswert haben, damit die Schüler auf das umfassende Gebiet der Mittelwerte aufmerksam gemacht werden.

Im Folgenden werden einige Aufgabenbeispiele präsentiert, mit denen man das Gebiet der Mittelwerte und Mittelwertfunktionen in der Schule einführen kann.

1.1.1 Das arithmetische Mittel

Das arithmetische Mittel ist den Schülern sicherlich bekannt. Sie kennen es zumeist dann, wenn sie anhand der im Schuljahr erreichten Noten ihre voraussichtliche Jahresendnote berechnen wollen. Diese vorhandene Grundkenntnis sollte der Lehrer bei der Behandlung der Mittelwerte und Mittelwertfunktionen durchaus nutzen. So könnte man zum Beispiel mit der folgenden Aufgabe das Interesse am Gebiet der Mittelwertfunktionen wecken und gleichzeitig auf das Problem des arithmetischen Mittels aufmerksam machen.

[...]

1 [7, Hischer, 2004]