Was sind gute Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Grundschule? Umgang mit guten Aufgaben im Unterricht

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Qualität im Mathematikunterricht
2.1 Ziele des Mathematikunterrichts
2.2 Entdeckendes Lernen
2.3 Qualität durch Aufgaben
2.3.1 Funktion von Aufgaben
2.3.2 Aufgabenkonstruktion

3 Was sind gute Aufgaben?
3.1 Merkmale guter Aufgaben
3.1.1 Offenheit
3.1.2 Differenzierungsvermögen
3.1.3 Authentizität
3.2 Aufgabentypen
3.2.1 Substanzielle Aufgaben
3.2.2 Informative Aufgaben
3.2.3 Offene Aufgaben
3.3 Beispiel eines guten Aufgabenformats: Entdecker-Päckchen
3.4 Umgang mit guten Aufgaben im Unterricht

5 Fazit

6 Literaturverzeichnis

7 Internetquellen

1 Einleitung

Die (un)berechtigten Vorwürfe kennt jeder: Mathematikunterricht ist trocken, lebensfern und auf Verfahren beschränkt. Man lernt Algorithmen, die man später nicht mehr braucht und muss zahlreiche Aufgaben bearbeiten, deren Lösungen man auch mal schnell beim Nachbarn oder aus dem Lösungsbuch abschreiben kann. In meiner eigenen Schulzeit habe ich mir selbst immer wieder die Frage gestellt, wofür man die Mathematik mit all ihren Rechengesetzen und Zahlen eigentlich braucht. Abgesehen von dem Umgang mit Größen (Geld, Maßeinheiten) war ich mir kaum einer Tätigkeit aus dem Alltag bewusst, wofür die Mathematik brauchbar wäre. Und selbst dafür kann man auch einen Taschenrechner verwenden. Die monotonen Aufgaben, an die ich mich noch aus meiner eigenen Zeit in der Grundschule erinnere, waren immer gleichbleibend - es änderten sich nur die Grundrechenarten, die es zu automatisieren galt. Trotz langjähriger reformpädagogischer Bemühungen ist diese Eindimensionalität noch heute in vielen deutschen Grundschulen präsent. Eine wirkliche Faszination für die Mathematik mit ihrer Vielfalt an Mustern und Strukturen kann so kaum ausgelöst werden. Nationale und internationale Untersuchungen zeigten außerdem, dass es den Schülern an inhaltlichen Vorstellungen fehle und sie nicht in der Lage seien, Mathematik flexibel anzuwenden.¹ Mit Bezug auf diese Ergebnisse zu mathematischen Leistungen von Schülerinnen und Schülern wird daher eine Verbesserung der Qualität des Mathematikunterrichts gefordert. Einem Unterricht, der die Lernenden zur Produktivität und Eigenaktivität anregt. Bereits Konfuzius war sich diesem Grundgedanken bewusst:

„Erzähle mir und ich vergesse, zeige mir und ich werde mich erinnern, lass es mich selbst tun und ich verstehe.“

Konfuzius 561-479 v.Chr.

Dieses altbekannte Zitat des chinesischen Philosophen bringt den zentralen Kern pädagogischer Zielvorstellungen auf den Punkt und ist ein unverzichtbarer Bestandteil für die Gestaltung von Unterricht. Die Auffassung, dass ein Kind eine Tätigkeit selbst durchführen und entdecken muss, um diese tatsächlich zu verstehen, wird bis heute als Merkmal erfolgreichen Lehrens gesehen. Ein „guter“ Unterricht, durch den das ermöglicht werden kann, muss aus entsprechenden Aufgaben erwachsen. Sie sind das wichtigste „Werkzeug“, das den Mathematiklehrkräften vorliegt und nehmen somit einen zentralen Stellenwert im Mathematikunterricht der Grundschule ein. Die Bemühungen, den Mathematikunterricht zu verbessern und einen „guten“ Mathematikunterricht zu schaffen, führen somit zur Planung einer „neuen“ Aufgabenkultur. Den Kern dieser Aufgabenkultur bilden so genannte „gute Aufgaben“. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich infolgedessen mit der Frage, inwiefern „neue“, „gute“ Aufgaben zu einer Qualitätssteigerung des Mathematikunterrichts der Grundschule beitragen können. Von besonderem Interesse ist dabei die Frage, welche Aufgaben überhaupt als „gut“ bezeichnet werden. Was macht eine Aufgabenstellung „interessant“? Was unterscheidet sie von bisherigen Aufgaben? Sind damit alle bisherigen Schulbuchaufgaben hinfällig? Mit diesen Fragen setze ich mich in der vorliegenden Arbeit auseinander. Dabei untersuche ich zunächst, was nach der zeitgemäßen Auffassung unter „gutem“ Mathematikunterricht verstanden wird und wie Aufgaben eine Umgestaltung des Mathematikunterrichts ermöglichen können. Ausgehend davon wird ausgeführt, durch welche Kriterien eine qualitative Aufgabe gekennzeichnet ist und welche Aufgabentypen für eine „neue“ Aufgabenkultur zentral sind. Die Devise lautet: Weg vom alleinigen Lösen von Aufgaben hin zur bewussten Auseinandersetzung mit den Aufgaben. Verschiede Aufgabenbeispiele sollen dabei Einblicke in mögliche „gute“ Aufgabenstellungen geben. In einem letzten Schritt werde ich schließlich aufzeigen, wie mit den „neuen“, „guten“ Aufgaben im Unterricht umgegangen werden sollte.

2 Qualität im Mathematikunterricht

Für die Auseinandersetzung mit der wesentlichen Frage dieser Arbeit, was eine gute Aufgabe im Mathematikunterricht ist, gilt es zunächst zu klären, was überhaupt unter „gutem“ Mathematikunterricht verstanden wird. Hierbei werden im Folgenden eine Reihe von Zielvorstellungen angeboten, die in den letzten Jahren einer relativ breiten Einstimmigkeit ausgesetzt waren. Dabei wird insbesondere auf den Begriff des Selbstentdeckenden Lernens eingegangen, der bei der Befassung mit zeitgemäßem Unterricht großgeschrieben wird. Daraufhin soll verdeutlicht werden, inwiefern Aufgaben zur Qualität von Unterricht beitragen können und welche Rolle sie überhaupt im Mathematikunterricht spielen.

2.1 Ziele des Mathematikunterrichts

Die allgemeinen Bildungsziele der Schule beinhalten, Kinder und Jugendliche auf die Anforderungen des Lebens in der Gesellschaft und des Arbeitslebens vorzubereiten. In der Grundschule, die für alle die gemeinsame Grundstufe des Bildungswegs darstellt, soll jedes Kind individuell gefördert werden, um die Basisfertigkeiten erwerben zu können, die für ein weiterführendes, soziales Leben von Bedeutung sind.² Diese Anforderungen lassen sich unter anderem auch auf den Mathematikunterricht in der Grundschule übertragen: Den Schülern³ sollen allgemeine Vorstellungen über Möglichkeiten des Denkens und der Entscheidungsfindung vermittelt werden, die für ein aktives und pflichtbewusstes Mitwirken in der Gesellschaft entscheidend sind.⁴ Im Bildungsplan wird in diesem Zusammenhang von prozessbezogenen Kompetenzen gesprochen. Dazu zählen das Kommunizieren, das Argumentieren, das Problemlösen, das Modellieren sowie das Darstellen.⁵ Der Aufbau dieser Kompetenzen ist besonders wichtig für das spätere Verhalten und Handeln in der Gesellschaft. Die Kinder eignen sich die Fähigkeit an, ihr eigenes Denken und Handeln zu reflektieren und zu regulieren und bauen ein Orientierungswissen auf, um unterschiedliche Aufgaben und Lebenssituationen in der zeitgemäßen Gesellschaft bewältigen zu können.

Mathematikunterricht und anderer Fachunterricht haben außerdem das Ziel, die Schüler mit fachtypischen Denk- und Arbeitsweisen vertraut zu machen. Diese zu erwerbenden Fähigkeiten und Fertigkeiten fallen im Bildungsplan unter den Begriff der inhaltsbezogenen Kompetenzen und beziehen sich größtenteils auf die spezifischen Inhalte des jeweiligen Faches. Im Mathematikunterricht der Grundschule finden sich die Leitideen in den grundlegenden Teilgebieten der Mathematik wieder: Arithmetik, Größen, Geometrie und Sachrechnen.⁶

Inhaltliche und prozessbezogene Kompetenzen dürfen jedoch keinesfalls getrennt voneinander betrachtet werden. Sie stehen stehts in einer Wechselbeziehung miteinander. Auf der einen Seite ist die Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten notwendig, um prozessbezogene Kompetenzen aufbauen zu können. Gleichzeitig können mathematische Inhalte nur dann erworben werden, wenn die Schüler über prozessbezogene Kompetenzen verfügen.⁷ Die Qualität des Mathematikunterrichts zeichnet sich dadurch aus, inwieweit sich der Unterricht auf den Kernideen der Inhalte stützt und den Lernenden ermöglicht, diesen Kernideen gleichzeitig mit überfachlichen Kompetenzen zu begegnen. Ziel ist es also, mathematische Inhalte zu verstehen und nicht nur diverse Kenntnisse und Fertigkeiten zu erwerben. Dies kann nur erreicht werden, wenn die Förderung prozessbezogener Kompetenzen bewusst in den täglichen Unterricht integriert wird.⁸ Die Eigenaktivität des Schülers wird dabei als entscheidendes Merkmal gesehen.

2.2 Entdeckendes Lernen

Der Begriff Lernen beschreibt einen individuellen Vorgang beim Erwerb von Wissen, der bewusst oder unbewusst ablaufen kann und von außen nur eingeschränkt steuerbar ist. Jedes Individuum muss Sinn und Bedeutung der Inhalte in Gedanken selbst konstruieren, um mathematische Einsicht zu gewinnen.⁹ Nur so ist es als Individuum möglich, Interesse an der Sache zu gewinnen. Der Aufbau einer Einstellung und Motivation sind die wichtigsten Voraussetzungen für eine lebenslange Bereitschaft und Fähigkeit zu Lernen.

Um dies zu ermöglichen, müssen entsprechende Lernumgebungen zum Entdecken bereitgestellt werden, die den Kindern die Gelegenheit bieten, Aufgaben mit ihren eigenen Fähigkeiten und Fertigkeiten lösen zu können. Die Lehrperson kann nicht mehr und sollte aber auch nicht weniger tun, als die Unterrichtsbedingungen so zu gestalten, dass sich erwünschte Lernprozesse zutragen können. Das heißt nicht, dass es unwichtig wird, was die Lehrperson in der Klasse sagt. Jemanden zu unterrichten heißt in diesem Zusammenhang vielmehr, bestmögliche Voraussetzungen dafür schaffen, dass der Gegenüber sich selbst unterrichten kann.¹⁰ Planen und ‚Lenken‘ der Lehrperson werden dabei nicht überflüssig, sondern richten sich danach aus, die Kernideen zu vermitteln und günstige Rahmenbedingungen einzurichten.

Das Konzept des Entdeckenden Lernens steuert also nicht nur auf die Weitergabe von Inhalten der Schulmathematik hin, sondern auf die produktive Auseinandersetzung mit Mathematik. Das Attribut produktiv zeigt auf, dass der Fokus im Mathematikunterricht nicht nur auf der bloßen Aktivität liegen darf: So ließe sich etwa auch das mechanische Auswendiglernen und Anwenden von Regeln rechtfertigen oder das simple Abschreiben von der Tafel. Diese Dinge gehören selbstverständlich auch zu einem lehrreichen Mathematikunterricht, sie können diesen jedoch nicht ausfüllen. Es kann zweifellos festgehalten werden: Die äußere Handlung, die durch eine Aktivität ausgelöst wird, führt nicht automatisch zu einer inneren mathematischen Aktivität. Kognitive Aktivierung setzt bei den Schülern an.¹¹

Für den Unterricht heißt dies konkret, dass unterschiedliche Wege durch solche Lernumgebungen zu erwarten und zu fordern sind. Der Grundgedanke des Individuellen und Selbstentdeckenden Lernens besteht darin, dass die Lehrperson die persönlichen Lernwege und individuellen Lösungsversuche der Kinder nicht nur wahrnimmt und akzeptiert, sondern bewusst darauf eingeht und sie unterstützt. Eine herkömmliche Hinführung auf bestimmte Lösungswege sollte vermieden werden. Denn beim entdeckenden Lernen steht nicht das Ergebnis im Vordergrund, sondern der Weg dorthin, d.h. der Lernprozess selbst. Hierfür sollte der Lehrer ganzheitliche Themenbereiche vorstellen, die durch ihre Problematik zum aktiv-entdeckenden Lernen und sozialen Austausch anregen.¹² Weiterhin muss er die Schüler zu Tätigkeiten aktivieren, geeignete Darstellungsmittel und Sprechweisen einführen und den Unterricht dem jeweiligen Thema entsprechend großschrittig steuern. Was dies im Einzelnen bedeutet und wie diese Vorstellungen umsetzbar sind, soll im Verlauf der vorliegenden Arbeit deutlich werden.

2.3 Qualität durch Aufgaben

2.3.1 Funktion von Aufgaben

In kaum einem anderen Fach der Grundschule werden Aufgaben so hervorgehoben wie im Mathematikunterricht. Sie könnten geradezu als das entscheidende Merkmal des Mathematikunterrichts gesehen werden – als Werkzeug zur Erschließung der Mathematik.¹³ Aufgaben können einerseits mündlich präsentiert werden, beispielsweise beim Kopfrechnen oder der Kopfgeometrie. Dies erfolgt meistens durch Einbezug in ein Unterrichtsgespräch und oftmals spontan. Schriftliche Aufgaben werden wiederum meist in Form von Arbeitsblättern, Texten, Bildern oder Diagrammen in Schulbüchern präsentiert.

Im Mathematikunterricht und bei den Hausaufgaben sind Aufgaben die mit Abstand häufigsten Anlässe für mathematische Aktivitäten. Sie fordern die Schüler zum Ausführen von Lernhandlungen auf. Dazu gehören „Aufforderungen zum Identifizieren und Realisieren von mathematischen Begriffen, Zusammenhängen und Verfahren […] ebenso wie Aufforderungen zum Erkennen von Zusammenhängen, Beschreiben, Verknüpfen, Ausführen, Begründen und Interpretieren“.¹⁴ Die so vielfältig möglichen Lernhandlungen können und sollen das Spektrum der Lernziele zur Kompetenzentwicklung im Mathematikunterricht abdecken. Das Weitergeben einer Aufgabe an die Kinder, sowohl mündlich als auch schriftlich, ist somit Ausgangspunkt für Entdecken, Problemlösen, Argumentieren und viele andere mathematische Prozesse. Diese Prozesse spielen eine zentrale Rolle im allgemeinbildenden Mathematikunterricht und sind bei der Konstruktion von Aufgaben von großer Bedeutung. Jeder der aufgezählten Prozesse enthält eigene und besondere Aspekte, die sich auf die Schülertätigkeiten auswirken und somit bewusst bei der Gestaltung einer Aufgabe berücksichtigt werden können.¹⁵

Darüber hinaus sind Aufgaben hilfreich für die Strukturierung des thematischen Ablaufs des Unterrichts. Thematisch geschlossene Einheiten können in Form von Aufgaben angeordnet und strukturiert werden. Daraus ergibt sich auch, dass die Unterrichtsvorbereitung der Lehrpersonen größtenteils darin besteht, Aufgaben aufzubereiten und auszuwählen. Das bedeutet aber nicht zwingend, dass die konventionelle Einteilung in Einstiegsaufgabe – Übungsaufgabe – Anwendungsaufgabe unverändert eingehalten werden muss. Ein striktes Beharren auf Strukturen kann die Sichtweise auf mögliche alternative Abläufe eingrenzen.¹⁶ Es ist notwendig, auf die aktuellen Gegebenheiten und die individuellen Lernvoraussetzungen der jeweiligen Klasse einzugehen und eventuell spontan alternative Aufgaben zu stellen. Dennoch können Aufgaben zur Organisation insofern genutzt werden, dass sie als Leitlinie für die angestrebten Ziele dienen. Mit Hilfe von Aufgaben ist es möglich, die Lernziele einer Unterrichtsstunde oder einer Einheit anzugeben und sich ihnen Schritt für Schritt zu nähern.¹⁷ Oftmals wird eine Beispielaufgabe als Einführung in ein neues Themengebiet herangezogen, welches dann durch zahlreiche Übungs- und Anwendungsaufgaben gefestigt werden soll. Sowohl für Lehrer als auch für Schüler sind Aufgaben hilfreich, um sich innerhalb der verschiedenen Lernbereiche zu orientieren und einen Überblick zu erhalten.

Ob die Lernziele erreicht wurden, kann ebenfalls mit Hilfe von Aufgaben überprüft werden. Sie bilden ein ideales Instrument zur Leistungsfeststellung in Klassenarbeiten oder zur Lernfortschrittskontrolle bei Hausaufgaben.¹⁸ Dabei werden die Lernergebnisse operationalisiert, was eine „kategorisierende oder sogar quantifizierende Beschreibung von mathematischem Handeln“¹⁹ ermöglicht. Aufgaben bieten somit Gelegenheiten, um das Leistungsniveau des einzelnen Schülers - also die Fähigkeiten und das Wissen, das durch Lernen erworben wurde - festzustellen. Durch die Bewertung und die Benotung in Tests und Klassenarbeiten wird dem Schüler dann Rückmeldung zu seinem Leistungsstand und seinem Lernfortschritt gegeben. Dies ermöglicht gleichzeitig, eventuelle Lernschwierigkeiten und Fehler zu diagnostizieren und sowohl leistungsschwache als auch leistungsstarke Schüler individuell zu fördern.

Ob beim Prüfen oder beim Lernen und Üben - im Mathematikunterricht sind Aufgaben das Kommunikationsmedium schlechthin.²⁰ Unterschiedliche Lösungswege beim Bearbeiten einer Aufgabe können im Plenum oder in Gruppenarbeiten zu Diskussionen führen. Auf die unterschiedlichen Sichtweisen kann dann im Klassengespräch aufgebaut werden. Auch bei der Einführung neuer Inhalte sind Aufgabenbeispiele unerlässlich und tragen einen wesentlichen Teil zur Kommunikation über Vorgehensweisen oder Gesetzmäßigkeiten bei. Doch nicht nur im Unterricht selbst, auch im Kollegium stellen Aufgaben ein wichtiges Mittel zur Kommunikation dar.²¹ Sie bieten beispielsweise die Möglichkeit, mit Fachkollegen paralleler Klassen über die Planung der nächsten Stunde oder den derzeitigen Lernstand der Klasse zu sprechen. Aufgrund des hohen Stellenwerts von Aufgaben ist es für Mathematiklehrer von großer Bedeutung, über die Qualität von Aufgaben nachzudenken und eventuell mit anderen Kollegen auszutauschen und gemeinsam zu reflektieren.

2.3.2 Aufgabenkonstruktion

Durch den stetig wachsenden Markt gibt es Lehrwerke und Schulbücher im Überfluss, ebenso wie Aufgaben und Vorschläge zur unterrichtlichen Umsetzung. Zunehmend bietet auch das Internet immer mehr Möglichkeiten, Aufgaben zu bestimmten Themengebieten ohne großen Aufwand zu finden. Das verleitet eine Lehrperson schnell dazu, die zahlreichen Übungsaufgaben direkt zu übernehmen und im Unterricht einzusetzen. So wird ein Fundus erstellt, der dann in den verschiedenen Klassen immer wieder eingesetzt wird. Meistens ist der Gebrauch solcher Materialsammlungen jedoch nur bedingt möglich, den Lernsituationen der jeweiligen Klassen gerecht zu werden. Besonders rechenschwächere Schüler können damit oft nicht erreicht werden. Daher ist es wichtig, Aufgaben selbst zu erstellen bzw. vorgefertigte Aufgaben gezielt zu verändern.²² Hierfür gibt es unzählige Möglichkeiten, um die Kinder zum handelnden Lernen aufzufordern. Dabei können grundlegende Aktivitäten wie das Beschreiben, das Heranziehen von Problemlösestrategien und das Begründen eine Rolle spielen. Doch auch komplexe Tätigkeiten können gefordert werden: das Ermitteln von geeigneten mathematischen Werkzeugen für eine Problemsituation, das Entwickeln und Bearbeiten eines mathematischen Projekts, der Austausch über verschiedene Lösungswege und vielem mehr. Wenn man sich dessen bewusst macht, wird schnell deutlich, dass man durch systematisches Entwickeln von Aufgaben eine noch größere Aufgabenvielfalt erhalten kann, als es die altbekannten Mathematiklehrbücher hergeben.²³ Schulbücher sollten daher lediglich als Arbeitshilfe dienen oder Anregungen geben. Die Gefahr beim Konstruieren von Aufgaben besteht jedoch darin, von seinen Zielen abzukommen und nur „schöne“ und möglichst viele Aufgaben zu entwickeln. Dabei kann es schnell passieren, dass man zwar eine Vielzahl an interessanten Aufgaben hat, man jedoch das eigentliche Übungsziel aus den Augen verliert und möglicherweise die schwächeren Schüler sogar abhängt. Es ist also wichtig, sich selbst über die anzustrebenden Ziele zu vergewissern und anhand dessen Aufgaben zu erstellen oder zu variieren. Dabei sollte ebenfalls berücksichtigt werden, welche prozessbezogenen Kompetenzen mit der Aufgabe gefördert werden können und sollen.

Besonders effektiv kann es auch sein, gemeinsam mit Fachkräften in einer Fortbildung oder im Austausch mit Kollegen aus parallelen Klassen produktive Übungsaufgaben zu entwerfen. Dabei können Erfahrungen und Ergebnisse ausgetauscht werden, wodurch eine Materialsammlung entsteht, die das Schulbuch erweitern oder ersetzen kann. Doch auch bei einer selbstentwickelten Materialsammlung sollte nicht davon ausgegangen werden, dass diese in jeder Klasse aufs Neue eingesetzt werden kann. Der Lehrperson muss bewusst sein, dass Aufgaben immer wieder verändert oder weiterentwickelt werden müssen, sodass sie den Anforderungen der Lerngruppe entsprechen.²⁴

Dadurch zeigt sich, dass sachgerechte Aufgabenangebote notwendig sind, um wünschenswertes Lernen für alle Kinder zu ermöglichen. Um passende Aufgaben selbst konstruieren zu können, benötigt jeder Lehrer und jede Lehrerin „Handwerkszeug“, sodass vorliegende Aufgaben zielgerichtet verändert werden können. Was man nun unter „passenden“ oder „guten“ Aufgaben versteht und was bei der Konstruktion solcher beachtet werden muss, wird im folgenden Teil der Arbeit dargestellt.

3 Was sind gute Aufgaben?

Bei der Betrachtung des Stellenwerts von Aufgaben im Mathematikunterricht wird deutlich, dass die Qualität des Unterrichts zu einem großen Teil durch Aufgaben gesteuert werden kann. Um die Qualität zu steigern, muss also mit der Neugestaltung der Aufgaben an sich begonnen werden. Aber welche Aufgaben sind denn nun geeignet für den Unterricht? Darüber gibt der nun folgende Teil einen Überblick.

3.1 Merkmale guter Aufgaben

Wann ist eine Aufgabe eine gute Mathematikaufgabe? Das ist nach einer ausführlichen Auseinandersetzung mit dem Begriff gar nicht so leicht zu beantworten, wie es zunächst scheint. Auch aus scheinbar simplen Aufgaben kann für die Schüler ein wesentlicher Lernfortschritt erreicht werden, sofern die Lehrkraft inhaltliche Aspekte und Fragestellung variiert und sie dann in einen wirkungsvollen Kontext geschickt integriert – das ist lebendiger Unterricht! Ob eine Aufgabe als „gut“ bezeichnet werden kann, hängt somit unter anderem von der jeweiligen Situation und den beteiligten Personen ab.²⁵ Daher kann eine mögliche Antwort auf die Frage lauten: „Das kommt darauf an.“ Und zwar kommt es besonders darauf an, welche Funktion eine Aufgabe erfüllen soll. Demzufolge kann eine Aufgabe als „gut“ beschrieben werden, wenn sie sich „für das Erreichen eines bestimmten Ziels als geeignet erweist“.²⁶ Unter Berücksichtigung der allgemeinen Ziele des Mathematikunterrichts sind damit Aufgaben gemeint, die bei Schülern die Entwicklung individueller prozessbezogener Kompetenzen in Verbindung mit grundlegenden Begriffen, Fakten und Verfahren unterstützen. Das bedeutet, dass sie Tätigkeiten wie das Modellieren, das Problemlösen, das Argumentieren und das Begriffsbilden hervorrufen sollen.²⁷ Dabei unterscheiden sie sich von herkömmlichen Routineaufgaben in dem Sinn, dass sie eine Fülle von verschiedenen Frage- und Lösungsmöglichkeiten bereitstellen, zur Diskussion anregen sowie Weiterentwicklungen und Eigenproduktionen begünstigen.

Durch die Variation oder Kombination verschiedener Kriterien kann die Qualität einer Aufgabe maßgeblich beeinflusst werden:

3.1.1 Offenheit

Zahlreiche Aufgaben, die in den Schulbüchern für den Mathematikunterricht zu finden sind, sind „geschlossen“. Darunter versteht man Aufgaben, die im Wesentlichen immer nur auf einer Lösung und einem richtigen Verfahren beruhen, das darauf anzuwenden ist. Der Einsatz solcher Aufgaben kann jedoch bewirken, dass die Übungsprozesse automatisiert werden. Durch engführende Fragestellungen und Hinweise lenken sie bereits auf ein zuvor festgelegtes Ziel, wodurch Sinnzusammenhänge schnell verschüttet werden. Hinzu kommt, dass Probleme außerhalb des Mathematikunterrichts zunehmend „offen“ sind – sonst wären es auch keine Probleme. Es gibt nicht den einen Weg, der zu dem richtigen Ergebnis führt. Bei der Auseinandersetzung mit einem Problem können ganz unterschiedliche Aspekte für wichtig erachtet werden, wodurch sich vielfältige Möglichkeiten ergeben, wie eine komplexe Situation angegangen werden kann. Bei einer Problembewältigung entstehen somit auch die verschiedensten Lösungen, deren Zufriedenstellung jeder für sich selbst abwägen muss.²⁸ Häufig werden daher gute Aufgaben mit dem Merkmal der Offenheit beschrieben, das sich sowohl auf die Aufgabenstellung, als auch auf die Lösungswege oder Lösung selbst beziehen kann. Das bedeutet, dass offene Aufgabenstellungen zu unterschiedlichen Lösungswegen ermutigen und oft auch mehrere unterschiedliche Antworten zulassen. Außerdem gelten Probleme als offen, wenn sie zur Formulierung neuer Fragen, zum Generalisieren oder zur Betrachtung von Spezialfällen anregen. Daher wird durch offene Aufgabenstellungen gleichzeitig die Kreativität der Kinder gefördert. Das Ziel offener Aufgaben ist es also, dass die Schüler durch sie üben, ohne dabei das Nachdenken auszuschalten. Nur so kann das Verständnis für mathematische Probleme geweckt werden und die Motivation der Schüler gesteigert werden.²⁹

3.1.2 Differenzierungsvermögen

Ein zunehmend hervorstechendes Qualitätsmerkmal ist der Umgang mit Heterogenität. Unabhängig von der durch soziale Gegebenheiten bedingten Heterogenität ist hier die fachbezogene Heterogenität bezüglich der Kognitionen und Denkstile gemeint. Die Leistungsniveaus der Schüler in einer Klasse sind so unterschiedlich, dass es wenig effektiv ist, von allen Lernenden dasselbe zu fordern. Während die leistungsschwächeren Schüler mit den Anforderungen überbelastet sind, sind die leistungsstärkeren Schüler hingegen unterfordert. Die Differenzierung mit Hilfe von Aufgaben ist daher ein ausschlaggebendes Mittel, mit dem der Lehrer auf die Individualität seiner Schüler eingehen kann. Dies sollte jedoch nicht durch die bloße Anordnung unterschiedlich gestufter Schwierigkeitsniveaus der Aufgaben oder Arbeitsmaterialien erfolgen. Denn dies führt dazu, dass so genannte „Sternchenaufgaben“ oder „Knobelaufgaben“ auf leistungsfähigere Schüler wie eine Beschäftigungsmethode oder zusätzliche Arbeit wirken. Schwache Schüler hingegen tendieren dazu, solche Aufgaben grundsätzlich im Voraus als für sie unlösbar auszuschließen.³⁰ Das zeigt, dass Differenzierung, die sich zur Bedingung macht, der Heterogenität der Lerngruppe und dementsprechend der Unterschiedlichkeit unterrichtlicher Anforderungen gerecht werden zu wollen, darüber hinausgehen muss.

Bezogen auf ein Thema muss durch die Lehrkraft ermöglicht werden, dass alle Schüler in allen Bereichen dieselben Kompetenzen mit ihren individuellen Fähigkeiten erwerben können. Das bedeutet jedoch nicht, dass jeder Schüler eine eigene, auf ihn zugeschnittene Aufgabe erhalten soll. Kreatives Denken und Kommunizieren in mathematischen Zusammenhängen wird kaum aus einer häppchenweisen, individuell dosierten Verabreichung von Mathematik hervorgehen können. Die Individualisierung darf nicht in die persönliche Isolation führen. Das mathematische Verstehen der Schüler speist sich zu einem wesentlichen Anteil aus dem wechselseitigen Reflektieren und Diskutieren unterschiedlicher Zugangs- und Denkweisen in der Klasse.³¹ Qualitativ gehaltvoller Mathematikunterricht nutzt konstitutiv Fehler und Fehlvorstellungen zum gemeinsamen Lernen, fördert und thematisiert unterschiedliche Herangehensweisen und macht diese zum Allgemeingut. Dadurch werden gleichzeitig die kommunikativen und argumentativen Kompetenzen herausgefordert.

Das Ziel sollte letztlich also sein, Aufgaben zu entwickeln, die den leistungsschwächeren Schülern garantieren, dass sie Zugang zu der Aufgabe finden und gleichzeitig die Leistungsstärkeren im Ausbau der Thematik und der Bearbeitung nicht eingeschränkt sind. Aufgaben können durchaus so gestellt werden, dass sie in sich Differenzierungspotenzial bergen. Aufgaben dieser Art werden als selbstdifferenzierende Aufgaben bezeichnet. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass alle Schüler an derselben Aufgabe arbeiten und lernen. Die Differenzierung ist dann dadurch gegeben, dass „die unterschiedlichen Lernwege, die Lernende einschlagen, auf natürliche Weise zu ihren Fähigkeiten und Bedürfnissen passen“.³² Bei der Konstruktion ist zu beachten, dass es tatsächlich allen Schülern möglich ist, in die Aktivität einzusteigen. Selbstdifferenzierende Aufgaben haben somit keinen „Schwellencharakter“.³³ Bei der Bearbeitung sind verschiedene Lösungswege und Vorgehensweisen möglich. Daran wird auch deutlich, dass durch das Öffnen von Aufgaben selbstdifferenzierende Aufgabenformate möglich werden können. Dabei können die Schüler die Aufgaben beispielsweise mit unterschiedlichen Techniken und Strategien angehen: während die einen Schüler bei der Bearbeitung eines mathematischen Modells abstrakte Symbole und Terme heranziehen, gehen andere eventuell durch systematisches Probieren und mit Hilfe von Zeichnungen an eine Problemsituation heran. Andere Aufgabenformate ermöglichen es beispielsweise, dass sich die Kinder von Beginn an für einen bestimmten Zahlenbereich entscheiden, mit dem sie die Aufgabe bewältigen können.

3.1.3 Authentizität

Eine Aufgabe erfüllt das Kriterium der Authentizität, wenn sie die „Gegebenheiten unserer Umwelt realistisch und für Schüler glaubwürdig wider[spiegelt]“.³⁴ Durch das Einbeziehen realitätsnaher Probleme sollen Schüler erfahren können, dass Mathematik zum Verstehen der uns umgebenden Welt beitragen kann. Kinder sollen die Fähigkeit entwickeln, die Welt mathematisch zu betrachten, um Umweltsituationen verstehen und bewältigen zu können.³⁵ Dies trägt dazu bei, dass sie für eine volle gesellschaftliche Teilhabe vorbereitet sind. Daher sollten die verwendeten Anwendungsaufgaben im Mathematikunterricht sinnstiftend für die Grundgedanken der Mathematik wirken und das Wechselspiel von Mathematik und der Welt außerhalb des Unterrichts bewusst machen. Damit solche Aufgaben diese Absicht erfüllen, müssen sie nah genug an der Vorstellungs- und Lebenswelt der Schüler sein.³⁶ Daher ist es die Aufgabe der Lehrer, geeignete, möglichst authentische Aufgaben zu suchen und ihren Schülern nahezulegen, die Welt auch mit mathematischen Augen zu sehen.

Unter einer Anwendungsaufgabe wird oft verstanden, dass der zu erarbeitende Inhalt in irgendeiner Form in eine Geschichte verpackt ist. Ein Beispiel für ein solches Bemühen um Authentizität:

„Anna kauft sieben Würstchen ein. Die Waage beim Metzger zeigt an, dass die Würstchen insgesamt 420g wiegen. Wie viel wiegt ein Würstchen? Berechne.“

Bei dieser Aufgabe handelt es sich zwar um eine Aufgabe mit Textbezug, jedoch spielt dieser Realitätsbezug für die Lösung der Aufgabe keine Rolle. Die Berechnung des Gewichts einer Sache mit gegebenem Gesamtgewicht des Vielfachen dieser Sache könnte für jeden anderen Kontext genauso durchgeführt werden. Der Zusammenhang mit der Geschichte ist also von geringer Bedeutung für die geforderte Berechnung, er kann problemlos ausgewechselt werden. Man spricht bei solchen Aufgaben von „Einkleidungen“, die extra für den Mathematikunterricht erfunden wurden. Das bedeutet nicht, dass eingekleidete Aufgaben vollständig vermieden werden sollen. Ein Kontext kann mathematische Inhalte durchaus anschaulicher und nachvollziehbar machen. Wenn jedoch zu viele eingekleidete Aufgaben eingesetzt werden, kann es für die Lernenden schnell so erscheinen, als ob Mathematik im wirklichen Leben kaum gebraucht wird und im Alltag eher irrelevant ist. Die Aufgaben werden dann mehr als ein unnatürliches Spiel gesehen, bei dem es nur darauf ankommt, die gelernten Regeln und Strategien, die oft nicht einmal verstanden wurden, anzuwenden und am Ende die richtige Lösung zu erhalten. Die Schüler fragen sich dann häufig nach dem Sinn bei der Bearbeitung solcher Sachaufgaben.³⁷ Außerdem besteht die Gefahr, dass sich die Schüler daran gewöhnen, dass der Inhalt der Aufgaben und deren Bezug zur Wirklichkeit nicht so ernst zu nehmen ist.

Die Beschäftigung mit echten Problemen wirkt hingegen deutlich motivierender:

„Stell dir vor, zu eurer Schule kommt von nun an immer ein Bäckerei-Wagen. Wie viele Brötchen muss er in der Pause dabeihaben?“³⁸

Diese Aufgabe bezieht sich direkt auf die Lebenswelt der Kinder. Die Situation könnte tatsächlich so eintreten. Das Beispiel verdeutlicht somit den Unterschied zwischen einem echtem Realitätsbezug und einem unglaubhaften Realitätsbezug in eingekleideten Aufgaben. Das zeigt, dass eine Aufgabe nur dann eine authentische Herausforderung ist, wenn sie sich tatsächlich ein Problem ist, d.h. wenn Lernende in einer Sachlage aktiv eine Barriere überwinden müssen, um zur Lösung zu gelangen. Dazu müssen die Schüler die Aufgabe für sich annehmen und sich auf sie einlassen – die Aufgaben also selbst zu ihrem Problem machen.³⁹ Hier wird auch gleichzeitig deutlich, wie sich Offenheit und Authentizität gegenseitig bedingen: Es gibt in diesem Aufgabenbeispiel kein eindeutiges Ergebnis und es nicht offensichtlich, mit welchen Methoden man sich der Lösung näher soll. Man könnte sich verschiedene Fragen stellen, beispielsweise: „Wie viele Kinder gibt es überhaupt an unserer Schule? Bekommen die Lehrer auch Brötchen? Wie viele Brötchen isst jeder? Haben die Schüler zusätzliches Vesper dabei? …“ Um diese Fragen beantworten zu können, müssen die Kinder Vermutungen und weitere Fragestellungen finden. Sie machen Recherchen, treffen Entscheidungen und begründen diese, wodurch Argumentationskompetenzen entwickelt werden. Ebenso wichtig ist jedoch die Tatsache, dass authentische Aufgaben zum Modellieren anregen. Modellieren wird in der Regel immer dann bedeutsam, wenn außermathematische Fragestellungen in innermathematische Kontexte eingebaut werden.⁴⁰ Der Lösungsweg ist bei solchen Fragestellungen meist nicht direkt vorgeschrieben und auch nicht mehr allein mit rechnerischen Vorgehensweisen zu bewältigen. Oft liegen nur wenige Daten für die Durchführung vor. Bei der Auseinandersetzung mit der Aufgabe ist es daher erforderlich, mathematische Modelle wie Zeichnungen oder Diagramme zu errichten, mit denen die Realität dargestellt und vereinfacht werden kann.⁴¹

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¹ Vgl. Maier (2011), S.19

² Vgl. Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg, S.5

³ Gemeint sind sowohl Schülerinnen als auch Schüler. Um die Leseflüssigkeit nicht zu unterbrechen, wird in dieser Arbeit ausschließlich die männliche Form verwendet. Das gilt auch für „Lehrerinnen“ und „Lehrer“.

⁴ Vgl. Kratz (2011), S.15

⁵ Vgl. Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg, S.8

⁶ Vgl. Krauthausen (2018), S.34

⁷ Vgl. Krauthausen (2018), S.33

⁸ Vgl. Krauthausen (2018), S.28

⁹ Vgl. Hole (1973), S.30

¹⁰ Vgl. Maier (2011), S.33

¹¹ Vgl. Krauthausen/ Scherer (2007), S.120f

¹² Vgl. Schütte (2008), S.70

¹³ Vgl. Leuders (2015), S.435

¹⁴ Bruder et al. (2008), S.19

¹⁵ Vgl. Bruder et al. (2008), S.18

¹⁶ Vgl. Leuders (2001), S.97

¹⁷ Vgl. Bruder et al. (2008), S.21

¹⁸ Vgl. Maier (2011), S.78

¹⁹ Leuders (2015), S.435

²⁰ Vgl. Büchter (2016), S.5

²¹ Vgl. Büchter (2016), S.5

²² Vgl. Maaß (2009), S.78

²³ Vgl. Büchter/ Leuders (2016), S.10

²⁴ Vgl. Büchter/ Leuders (2016), S.5

²⁵ Vgl. Maier (2011), S.78

²⁶ Maier (2011), S.79

²⁷ Krauthausen/ Scherer (2014), S.117

²⁸ Vgl. Franke (2003), S.78f

²⁹ Vgl. Rasch (2011), S.11f

³⁰ Vgl. Holzäpfel et al. (2018), S.72

³¹ Vgl. Schütte (2008), S.89

³² Holzäpfel et al. (2018), S.73

³³ Vgl. Krauthausen/ Scherer (2014), S.53

³⁴ Leuders (2001), S.100

³⁵ Vgl. Winter (1987), S.34

³⁶ Vgl. Leuders (2001), S.101

³⁷ Vgl. Leuders (2001), S. 100f

³⁸ Handreichungen des Programms SINUS an Grundschulen, S.8

³⁹ Vgl. Maier (2011), S.80

⁴⁰ Vgl. Büchter/ Leuders (2016), S.17

⁴¹ Vgl. Holzäpfel et al. (2018), S.33