Mathematische Muster in der Natur. Die Fibonacci-Folge und der Goldene Schnitt

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 DieFibonacci-Folge
2.1 Definition
2.2 Herleitung
2.2.1 Formel von Binet
2.2.2 Rekursives Verfahren
2.2.3 Iteratives Verfahren
2.3 Über Fibonaccis Leben und Wirken
2.4 Beispieleausder Natur

3 Der Goldene Schnitt
3.1 Definition
3.2 Herleitung
3.3 Historisches
3.4 Beispieleausder Natur

4 Fazit

5 Literaturverzeichnis

6 Abbildungsverzeichnis

Abstract

Die Anordnung von Sonnenblumenkernen oder die Aneinanderreihung von Rosenblattern folgt nicht willkürlichen Prinzipien, sondern bestimmten mathematischen Mustern. Durch die Themenstellung ergibt sich folgende Frage: Was steekt hinter der Relevanz der Fibonacci-Folge und dem Goldenen Schnitt in der Natur? Um diese Fragestellung zu beantworten wurde ganzlich auf Informationen aus Fachliteratur zurückgegriffen. Diese Arbeit zeigt Beispiele auf, welchen mathematischen Mustern die Natur folgt und hebt deren beeindruckende Aspekte hervor. Ausgehend von einer historischen Einleitung über Fibonacci und seine Zahlen, sowie den Goldenen Schnitt, wird eine mathematische Idee der beiden Zahlenverknüpfungen gegeben und die Zusammenhange erlautert. Der thematische Schwerpunkt dieser Arbeit bildet die Verknüpfung der Fibonacci-Folge und dem Goldenen Schnitt mit Beispielen aus der Natur, welche von Harmonie, Asthetik und Effizienz bestimmt sind. Hierbei werden beispielsweise die Schuppenaufteilung eines Pinienzapfens, die Spelzenverteilung einer Ananas oder die Form des Nautilusgehauses und dessen Aufbau mathematisch analysiert.

Einleitung

Zahlen bilden den Grundbaustein unserer heutigen Welt. Doch gibt es einen fixen Bauplan Oder Schemata nach denen die Welt funktioniert beziehungsweise die Natur aufgebaut ist, Oder ist alles reiner Zufall? Im Rahmen meiner vorwissenschaftlichen Arbeit wird die scheinbar magische Verbindung von organischen Formen und der Mathematik genauer analysiert.

Die folgende Frage wurde mit dieser Arbeit beantwortet: Was steekt hinter der Relevanz der Fibonacci-Folge und dem Goldenen Schnitt in der Natur? Um die erwahnte Fragestellung zu beantworten, werden die mathematischen Dimensionen hinter der Regelma&igkeit und Harmonie der Fibonacci-Folge, sowie die Asthetik und Zweckma&igkeit des Goldenen Schnittes vor allem in der Natur untersucht. Der Schwerpunkt liegt dabei auf dem praxisbezogenen Gebrauch der Fibonacci-Folge und des Goldenen Schnittes, welcher die facettenreiche und au&ermathematische Anwendung der Mathematik wiederspiegelt. Obwohl die Fibonacci-Folge und der Goldene Schnitt in samtlichen Anwendungsgebieten, wie der Architektur, Musik Oder Informatik, einen fundamental Nutzen erfahren, konzentriert sich diese Arbeit nur auf deren diverse Auftrittsmöglichkeiten in der Natur. Das Ziel meiner Arbeit ist es, mathematische Theorien mit Beispielen aus der Natur zu verknüpfen und so einen anwendungsorientierten Zugang zu erfahren. Bei dieser Arbeit handelt es sich um eine reine Literaturarbeit, als Grundlage meiner Recherche dienten vor allem Bücher, wobei auch vereinzelt Internetquellen als Literatur verwendet wurden. Dabei stützt sich diese Arbeit auf die Werke DerGoldene Schnitt Die Mathematische Sprache der Schönheit von Fernando Corbalan, Der Geheime Code von Priya Hemenway, Figurierte Zahlen von Jochen Ziegenbalg und Mathematik in der Biologie von Annika Eickhoff- Schachtebeck und Anita Schöbel.

Die vorliegende Arbeit gliedert sich in zwei gro&e Hauptkapitel: die Fibonacci-Folge und der Goldene Schnitt. In beiden Teilen werden ausgehend von der einleitenden Definition, mehrere Methoden zur Herleitung der beiden mathematischen Muster angeführt. Darüber hinaus wird der geschichtliche Einfluss geschildert und die mathematik-historische Relevanz erlautert. Nach den mathematischen und geschichtlichen Grundlagen werden entsprechende Beispiele, wie Sonnenblumen, Pinienzapfen, Oder Rosen aufgezeigt, welche die theoretischen Grundlagen in der Natur verkörpern. Abschlie&end werden im Fazit die theoretischen und praktischen Grundlagen der mathematischen Muster miteinander verknüpft und analysiert.

Fibonacci-Folge

Bei der Fibonacci-Folge handelt es sich urn eine unendliche Zahlenfolge, welche sich zur Ganze aus ganzen Zahlen, den sogenannten Fibonacci-Zahlen, zusammensetzt. Sie wurde vom italienischen Kaufmann und Mathematiker Leonardo Fibonacci beschrieben, welche er anhand eines theoretischen Wachstums einer Kaninchenpopulation entdeckte. Die Fibonacci-Folge tritt in verschiedensten wissenschaftlichen Disziplinen auf, wie beispielsweise der Physik oder der Biologie. Dabei spiegelt sie die facettenreichen und vielfaltigen fachfremden Anwendungsmöglichkeiten der Mathematik wieder (vgl. Hemenway 2008: 71ff.).

2.1 Definition

Im Allgemeinen ist eine Folge als eine endliche oder unendliche Aneinanderreihung von Objekten definiert, welche eine fixe Reihenfolge haben. Diese werden beispielsweise als f3, /4, /5,... mit (^)n e N festgelegt. Es wird dabei jedem Folgenglied der Ausgangsmenge (Elemente der Natürlichen Zahlen) ein Wert in der Zielmenge (Elemente der Reellen Zahlen) zugeordnet (N R).

Als n-tes Folgenglied wird ein alleinstehendes fn bezeichnet, dabei sind derVorganger fn_r und der Nachfolger fn+1 (vgl. Eickhoff-Schachtebeck und Schöbel 2014: 62ff.).

Leonardo Fibonacci erwahnte die nach ihm benannte Zahlenfolge erstmals in seinem im Jahr 1202 veröffentlichten Buch „Liber Abbaci". Dabei wurde der Vermehrungsprozess einer Kaninchenpopulation unter den folgenden Bedingungen beschrieben:

Ein Mann setzte ein Kaninchenpaar an einem Ort aus, der ganz von einer Mauer umgeben war. Wie viele Kaninchenpaare können von diesem Paar in einem Jahr geboren werden, wenn man davon ausgeht, dass das Paar jeden Monat ein neues Parchen bekommt, das vom zweiten Monat an ebenfalls Nachwuchs produziert? (Hemenway 2008: 82)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Grafische Darstellung des Kaninchenproblems. (Eigene Darstellung)

Die Fibonacci-Zahlen ergeben die Lösung für diese Aufgabenstellung, welche in der ersten Abbildung grafisch dargestellt ist, dabei lassen sich die Fibonacci-Zahlen 1,1,2,3,5,. .. als Kaninchenpaare ablesen.

Beim Kaninchenproblem geht man von der Anzahl der Kaninchenpaare fa im n-ten Monat aus. Im ersten Monat befindet sich ein Paar, welches vom Mann ausgesetzt wurde, im ummauerten Ort, daher ist A = 1 .

Auch im zweiten Monat betragt die Anzahl der Kaninchenpaare eines, da das Paar erst nach zwei Monaten geschlechtsreifist, deshalb gilt fa = 1.

Weil das erste Kaninchenpaar nach zwei Monaten die Geschlechtsreife erreicht hat und ein Kaninchenpaar gebart, ist fa = 2.

Im nachsten Monat vermehrt sich die Anzahl der Paare wieder urn eines, da das erste Kaninchenpaarjeden Monat ein Paarwirft, daher ist A = 3.

Hervorzuheben ist derfünfte Monat, da die Kaninchenkinder das erste Mai Kaninchen gebaren und die ursprünglichen Kaninchen „Gro&eltern" werden, daraus ergibt sich A = 5.

Dieser Prozess kann unendlich lange weitergeführt werden und die Anzahl der Kaninchenpaare entspricht immer einer Fibonacci-Zahl. Sie werden allgemein in der Mathematik folgenderma&en rekursiv definiert, wobei fa die Anzahl der Kaninchenpaare nach n Monaten darstellt (vgl. Ziegenbalg 2018: 40ff.).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus der obigen Definition für fa = 1, ergibt sich für fa = fa + fa = 1 + 0 = 1. Die ersten beiden Glieder lauten also 1 und 1, wodurch das dritte Glied fa = fa + fa = 1 + 1 = 2 wiederum aus der Summation der ersten beiden berechnet werden kann. Das vierte Glied der Folge ergibt sich aus der Addition der beiden vorigen, also 1 + 2 = 3. Allgemein für die Fibonacci-Folge gilt also, dass jedes Folgenglied aus der Summe der beiden vorhergehenden berechnet wird.

Daraus entsteht die Fibonacci-Folge, welche folgenderma&en beginnt:

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Die Zahlenfolge ist dabei von vielen mathematischen Besonderheiten gepragt.

Jedes dritte Folgenglied der Fibonacci-Folge ist ein Vielfaches von 2:

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Jedes vierte Folgenglied der Fibonacci-Folge ist ein Vielfaches von 3:

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Jedes fünfte Folgenglied der Fibonacci-Folge ist ein Vielfaches von 5:

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Jedes sechste Folgenglied der Fibonacci-Folge ist ein Vielfaches von 8:

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Dieses Schema kann unendlich lange weitergeführt werden, und dabei entspricht jedes n-te Folgenglied der Fibonacci-Folge immer einem Vielfachen des n-ten Gliedes und folgt damit einem bestimmten Muster (vgl. Hemenway 2008: 84).

Die Addition von zehn beliebigen, aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen stellt immer ein Vielfaches der Zahl 11 dar. Dies lasst sich beispielsweise anhand der ersten zehn Folgengliedern der Fibonacci-Folge darstellen.

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Die Summe der ersten zehn Fibonacci-Zahlen entspricht 143, welche durch 11 geteilt 13 ergibt. Die selbe Besonderheit lasst sich festellen, wenn man beispielhaft ab 34 mit dem gleichen Schema fortsetzend rechnet.

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Auch hier entspricht die Summe von zehn beliebigen aufeinanderfolgenden Folgengliedern der Fibonacci-Folge einer Fibonacci-Zahl. Durch die Division der Summe mit dem Divisor 11 ergibt sich wiederum eine Fibonacci-Zahl, namlich das siebte der zehn Folgenlieder aus der ursprünglichen Addition (vgl. Corbalan 2016: 37). Die Addition von Quadraten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen ist immer erneut ein Folgenglied der Fibonacci-Folge.

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Quadriert man eine ungerade Zahl der Fibonacci-Folge ab 5, stellt man fest, dass der Potenzwert urn den Wert 1 grower als das Produkt des Nachfolgers und des Vorgangers ist.

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2.2 Herleitung

Die Herleitung der Fibonacci-Zahlen ist auf verschiedene Methoden möglich, dabei sind die rekursive und iterative Definition der Fibonacci-Folge die verstandlichsten. Die Fibonacci-Folge wurde von seinem Namensgeber rekursiv definiert. Das bedeutet, dass zur Berechnung der einzelnen Folgengliedern deren zuvorkommende Folgenglieder gegeben sein müssen. Aufgrund von historischen Traditionen wird eine Folge erst als angesehen gewertet, wenn sie in expliziter Form definiert wird. Um die einzelnen Folgenglieder zu berechnen, wird ein vom Index der Folge anhangiger Funktionsterm gegeben. Binet war im Jahr 1843 einer der ersten Mathematiker, welchem es gelang eine Formel zur Beschreibung der Fibonacci-Folge in expliziter Form darzulegen (vgl. Ziegenbalg 2018: 48ff.).

2.2.1 Formel von Binet

Die Formel zur Berechnung einer Fibonacci-Zahl geht auf den französischen Mathematiker Jacques Philippe Marie Binet aus dem Jahr 1843 zurück. Vor ihm kamen jedoch schon andere Mathematiker, wie Leonhard Euler, Daniel Bernoulli Oder Abraham de Moivre auf ahnliche Ergebnisse. Die Formel hat den Vorteil, dass man lediglich die Indexzahl einsetzen muss, urn auf jedes beliebige died der Fibonacci- Folge schlie^en zu können (vgl. Ziegenbalg 2018: 48ff.).

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2.2.2 Rekursives Verfahren

Das rekursive Verfahren basiert auf der gegebenen Definition der Fibonacci-Folge. Die Zahlen ergeben sich durch die rekursive Definition, wie es sich auch Fibonacci seiner Zeit zu Nutze gemacht hat. Die Fibonacci-Folge ist als fa = 1, fa = 1, und fa = fn_1 + ƒ„ 2 fürn>l definiert, das nachste died hangt dadurch vom vorherigen ab (rekursiv). Mithilfe eines „Rechenbaumes", mit dem Beispiel des Indexwertes 4, kann auf den Wert des Gliedes der Fibonacci-Folge geschlossen werden. Je höher der Indexwert ist, desto aufwendiger ist es, die Fibonacci-Zahl zu berechnen (vgl. Ziegenbalg 2018: 50ff.).

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2.2.3 Iteratives Verfahren

Beim iterativem Verfahren handelt es sich um eine wiederholende Rechenvorschrift, mithilfe derer die gesuchte Lösung schrittweise berechnet werden kann. Hierbei wird, wie bereits in der Definition beschrieben, das nachstfolgende Zahlenglied aus der Summe der beiden vorhergehenden ermittelt.

Man geht dabei davon aus, dass die beiden ersten Glieder der Zahlenfolge jeweils eine 1 sind, und addiert jeweils die letzten beiden Zahlen der Folge, um auf das nachste Glied zu schlie&en (vgl. Ziegenbalg 2018: 52f.).

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Der direkte Vergleich mit dem rekursiven Verfahren macht deutlich, dass sich das iterative Verfahren zur Berechnung der Fibonacci-Zahlen als wesentlich einfacher erweist.

2.3 Über Fibonaccis Leben und Wirken

Bereits die Pythagoreer, welche Anhanger einer politischen und religiösen Bewegung im 6. Jahrhundert vor Christus waren, sahen Zahlen als Bausteine der Welt beziehungsweise des ganzen Universums mit all seinen Bestandteilen an. Durch das Forschen und Beobachten von Naturgesetzen auf Basis von Zahlen legten die Pythagoreer den Grundstein für zukünftige mathematische Entwicklungen und Prinzipien fest, welche von Leonardo Fibonacci weitergeführt wurden (vgl. Hemenway 2008: 65ff.).

Der erste Ansatz der Fibonacci-Folge lasst sich rund 450 Jahre vor Christus in Schriften des altindischen Mathematikers und Grammatikers Pingala wiederfinden (vgl. Lausch 2009: 1).

Im Allgemeinen ist nur sehr wenig über die Biographie des Mathematikers, Rechenmeisters und Geschaftsmannes Leonardo Fibonacci bekannt, da er erst posthum einen groten Bekanntheitsgrad erhielt. Seine Lebenszeit wird von 1170 bis 1240 geschatzt, wobei man davon ausgeht, dass er sowohl in Pisa geboren als auch gestorben ist. Die meisten Überlieferungen gehen auf sein Werk „Liber Abbaci" zurück (vgl. Lanini et al. 2003: Biographie von Leonardo Pisano).

Fibonacci selbst gab der Zahlenreihe, welche er anhand des Kaninchenwachstums beschrieb, nicht den Namen unter welchem sie heute bekannt ist. Der französische Mathematiker Edourado Lucas, nach welchem die Lucas-Reihe benannt ist, gab der Fibonacci-Folge im 19. Jahrhundert offiziell ihren Namen (vgl. Hemenway 2008: 26).

Obwohl Fibonacci in Italien geboren wurde, wuchs er aufgrund der diplomatischen Stelle seines Vaters Guglielmo im heutigen Bejaia (Nordafrika) auf, wo er Mathematik- Unterricht nahm und das erste Mai mit dem indischen Zahlensystem in Kontakt kam. Leonardo Fibonaccis Vater war Beamter in Pisa und wurde von der Stadt als Notar nach Bejaia geschickt. Dorthin lieB er auch seinen Sohn Leonardo nachkommen, urn ihn dort im Rechnen mit den indischen Ziffern unterrichten zu lassen (vgl. O’Connor und Robertson 1998).

Es ist zwar nicht genau geklart, wie lange er in Bejaia blieb, fest stehtjedoch, dass er viel im Mittelmeerraum herumreiste. Dabei wollte er sich vertiefend mit der Mathematik beschaftigen und mit den wissenschaftlichen Errungenschaften verschiedener Volker vertraut machen. Nachdem er an zahlreichen Orten, wie Agypten, Syrien, Griechenland Oder Sizilien verweilte, zog es ihn urn ca. 1200 zurück nach Pisa, wo er seine Erkenntnisse und Eindrücke im Buch „Liber Abbaci" niederschrieb, welches 1202 veröffentlicht wurde. Das Buch stellt die erste Gesamtdarstellung der Arithmetik im europaischen Raum dar(vgl. O’Connor und Robertson 1998).

Der Name des Buches bedeutet übersetzt „Das Rechenbuch" und verfolgte das Ziel das indisch-arabische Dezimalsystem in Europa zu etablieren und die Nutzung neuer Zahlen zu begreifen. In dieser Zeit dominierten vor allem die römischen Zahlen und das Rechnen auf Linien des Mittelalters (vgl. Beutelspacher und Zschiegner 2014:45). Beim Rechnen auf Linien werden Rechenpfennige auf Oder zwischen den horizontalen, eingravierten Linien eines Rechentisches angeordnet, dabei hat jeder Rechenpfennig, je nach Position, einen unterschiedlichen Wert. Diese Rechenmethode war vor allem unter Kaufmannern und Handelsleuten beliebt, wobei man nur die vier Grundrechenarten durchführen konnte. Obwohl das Dezimalsystem dem Rechnen auf Linien und den römischen Zahlen in vielen Aspekten überlegen war, erfuhr es über Jahrhunderte hinweg starke Ablehnung (vgl. Lanini et al. 2003: Das indisch-arabische Zahlensystem).

Die Vorlaufer unserer heutigen Ziffern (1 bis 9) entstanden im sechsten Jahrhundert vor Christus in Indien, dabei wurde die Null urn ungefahr die gleiche Zeit entwickelt. Dadurch konnte weniger kompliziert als zuvor gerechnet werden und es lieden sich sehr gro&e Zahlen einfach darstellen. Das Zahlensystem wurde im achten Jahrhundert von den Arabern übernommen, erste Kenntnisse gelangten davon ab der ersten Jahrtausendwende nach Europa. Anfanglich wurde die Anderung der Ziffern in vielen Teilen Europas abgelehnt Oder verboten, erst ab dem 15. Jahrhundert begannen die neuen Ziffern zu dominieren (vgl. Lanini et al. 2003: Das indisch-arabische Zahlensystem).

Das Buch „Liber Abbaci" behandelt die Vorteile der arabischen Ziffern im Vergleich zu den damals dominierenden römischen Zahlen. Dabei wird nicht nur die Verwendung von Symbolen und Rechenmethoden erlautert, sondern auch Zahlentheorien und komplizierte algebraïsche Probleme wiedergegeben. Des Weiteren behandelt Leonardo Fibonacci in seinem Werk Methoden der Buchführung, und die entsprechenden Rechenregeln für Gewinn, Verlust und Wahrungsumrechnungen (vgl. Corbalan 2016: 32f.).

Das Buch wurde öfters von ihm überarbeitet, und erst in der dritten Version trat die bekannte Kaninchenaufgabe auf. Obwohl seine Werke die Zukunft der Mathematik ma&geblich pragten, verlor er zunehmend an Bedeutung und geriet am Ende seiner Lebenszeit stark in Vergessenheit. Fibonacci erlangte erst ab Beginn des 19. Jahrhunderts einen Bekanntheitsgrad in der Mathematik, da seine Errungenschaften erst mit der Aufarbeitung der mathematikhistorischen Forschung in Italien wiederentdeckt wurden. Durch sein Studium der antiken Wissenschaft und der zahlreichen Auseinandersetzungen und Begegnungen mit der arabischen Mathematik, beeinflusste erma&geblich den Neubeginn derangewandten Mathematik im europaischen Raum (vgl. O’Connor und Robertson 1998).

Da zur Lebenszeit Fibonaccis der Buchdruck noch nicht erfunden war und Bücher mit der Hand kopiert werden mussten, gab es nur wenige Exemplare seiner Werke. Bis heute erhalten sind seine Werke „Liber Abbaci", „Practica geometriae" und „Liber Quaratorum". Aus diesen ist zu entnehmen, dass es noch weitere Werke gegeben hat, welche im Laufe der Zeit verloren gingen (vgl. O’Connor und Robertson 1998).

2.4 Beispiele aus der Natur

Unter der Bezeichnung Phyllotaxis definiert man die regelhafte Aneinanderreihung von verschiedenen Komponenten, wie Knospen, Blüten, Blatter Oder Stangel, von Pflanzen. Der Begriff Phyllotaxis an sich geht auf die altgriechischen Wörter ^uAAov (phyllon = Blatt) und to^i£ (taxis = Anordnung) zurück. Durch das genaue Betrachten von verschiedenen Lebensmitteln Oder gangigen Pflanzen, wie Sonnenblumen, Ananas Oder Pinienzapfen, lassen sich einige Besonderheiten und Gemeinsamkeiten feststellen (vgl. Ziegenbalg 2018: 63).

Aus der nachstehenden Abbildung einer Sonnenblume aus der Nahe lasst sich entnehmen, dass die Kerne, welche im mathematischen Kontext als Parastichen bezeichnet werden, eine spiralförmige Struktur bilden. Dabei ist augenscheinlich, dass die Parastichen Spiralen bilden, welche im und gegen den Uhrzeigersinn verlaufen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2: Gekennzeichnete Fibonacci-Spiralen einer Sonnenblume. (Keystone/SRF 2013)

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