Prozentrechnung als ein traditionsreiches Thema des Mathematikunterrichts

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

1. Die geschichtliche Entwicklung der Prozentrechnung
1.1 Die Entwicklung der Prozentrechnung
1.2 Die Entstehung des % - Symbols

2. Die Grundlagen der Prozentrechnung
2.1 Definitionen und Grundbegriffe
2.2 Prozentangaben als Bruch- und Dezimalzahlen
2.3 Die Struktur von Prozentaufgaben
2.4 Die drei Grundaufgaben
2.4.1 Berechnung des Prozentwertes (Aufgabentyp I)
2.4.2 Berechnung des Grundwertes (Aufgabentyp II)
2.4.3 Berechnung des Prozentsatzes (Aufgabentyp III)
2.5 Was ist Prozent denn nun? - Eine Begriffsbestimmung
2.5.1 Prozent als Zahl
2.5.2 Prozent als statistische Angabe oder Funktion
2.5.3 Prozent als intensive quantity
2.5.4 Prozent als Bruchteil oder Verhältnis
2.5.5 Zusammenfassung

3. Die Behandlung der Prozentrechnung im Unterricht
3.1 Die Prozentrechnung in den Richtlinien
3.2 Verschiedene Behandlungsweisen der Prozentrechnung im Unterricht
3.2.1 Übliche Verfahren zur Behandlung der Prozentrechnung
3.2.2 Weitere Verfahren
3.2.3 Vergleich der Verfahren

4. Schülerprobleme und Hilfsmittel
4.1 Studien zu Schülerproblemen
4.2 Hilfsmittel zur Prozentrechnung
4.2.1 Modelle und Visualisierungshilfen
4.2.2 Der Taschenrechner

5. Die Prozentrechnung in Schulbüchern

6. Schlussbemerkung

Literaturverzeichnis

Einleitung

Die Prozentrechnung ist wohl eines der wichtigsten und alltagsrelevantesten Gebiete der Mathematik. In jeder Zeitung, in jeder Nachrichtensendung und sogar in der Alltagssprache werden Prozentangaben verwendet („Ich bin mir 100%ig sicher.“; „In diesem Geschäft bekomme ich Prozente“ etc.). Aufgrund dieser großen Bedeutung für das Alltagsleben nimmt die Prozentrechnung traditionell auch einen wichtigen Platz im Mathematikunterricht ein. Dennoch scheint sie eines der schwierigsten und unbeliebtesten mathematischen Themen nicht nur bei Schülern zu sein, sondern auch bei den Lehrern¹, die sie unterrichten (Parker/Leinhardt 1995:428). Anscheinend wird der Unterricht zur Prozentrechnung bzw. die von den Schülern (nicht) erbrachten Leistungen als so problematisch erachtet, dass „sich nur die besseren oder selbstbewußteren Lehrer“ (Meißner 1982:131) an Untersuchungen zur Prozentrechnung beteiligen, andererseits werden aber auch Aussagen gemacht wie „Die Prozentrechnung ist so einfach, da braucht man keine neue Methode...“².

Dass Schüler meist keine guten Resultate in der Prozentrechnung erzielen, hat bereits Anfang des letzten Jahrhunderts Anlass für Untersuchungen gegeben, die die Gründe für dieses Scheitern erhellen sollten. Wird die Prozentrechnung mittels inadäquater Methoden unterrichtet? Welche Fehler machen Schüler? Welche Auffassung von Prozent kommt dem Schüler in seinem Verständnis von Prozent am meisten entgegen und erleichtert eine befriedigende Einsicht? In jüngerer Zeit haben sich Didaktiker zudem die Frage gestellt, welche Hilfsmittel die Behandlung unterstützen und Schülern das Begreifen und Behalten der Prozentrechnung vereinfachen können.

Doch trotz dieser langen Beschäftigung der Didaktiker mit der Prozentrechnung haben Schüler auch heutzutage noch Probleme auf diesem Gebiet. Es stellt sich die Frage, wie nach über 80 Jahren der Forschung in diesem Bereich anscheinend immer noch keine Schüler-angemessene Behandlungsweise der Prozentrechnung gefunden werden konnte.

Wie im Folgenden deutlich wird, ist die Prozentrechnung ein sehr komplexes Konzept, das zwar als Anwendung eine äußerst bedeutende Rolle spielt, mathematisch jedoch auch von Fachwissenschaftlern nicht eindeutig gefasst werden kann. Die Prozentrechnung kann auf vielfältigste Weise eingesetzt werden und erschwert wegen dieser großen Anzahl von Einsatzmöglichkeiten die Angabe einer präzisen Definition, welche alle Aspekte von Prozent genau erfasst.

Im Rahmen dieser Arbeit soll ein Überblick über die geschichtliche Entwicklung der Prozentrechnung, eine Begriffsbestimmung auf mathematischer Grundlage und als Schwerpunkt eine Einsicht in die didaktische Diskussion um die Prozentrechnung gegeben werden. Welche Behandlungsweisen von Prozent helfen Schülern in ihrem Aufbau des Begriffsverständnisses? Welche Methoden sind möglicherweise nicht Schüler - angemessen? Lassen sich typische Schülerfehler klassifizieren und systematisch analysieren?

Auf dieser Grundlage werden schließlich Hilfsmittel zur Behandlung von Prozent untersucht sowie ein Schulbuchvergleich einiger Werke bezüglich der favorisierten Behandlungsweise durchgeführt.

1. Die geschichtliche Entwicklung der Prozentrechnung

Heutzutage beschreibt der Begriff „Prozent“ bzw. das Prozentsymbol „%“ ein komplexes Konzept, welches den relativen Vergleich verschiedener Mengen, gleich welcher Art, ermöglicht. Hierbei kann „%“ aufgefasst werden als Operator, welcher zwei Größen miteinander verknüpft (Kilian 1977: 68), als „Spezialfall der Bruchrechnung“ (Scherer 1996: 462), als „ standardized ratio comparison that is often used to describe relative amounts of increase and decrease “ (Parker 1997: 406), als Funktion oder als Verständigungsmittel zur Beschreibung quantitativer Beziehungen (Breinlinger/Schlesinger 1983: 44). Die Prozentrechnung ermöglicht die Angabe von Zahlen verhältnissen, liefert also keine absoluten Zahlwerte, sondern abstrakte Vergleichsgrößen, die sich auf einen unter Umständen nicht genannten Referenzwert beziehen³. Durch diese Abstraktion kann die Prozentrechnung in verschiedensten Gebieten eingesetzt werden: Im finanziellen Bereich bei der Angabe von Steuersätzen, Gewinnanteilen oder Zinsen, bei statistischen Angaben wie Wahl- oder Umfrageergebnissen, bei der Angabe von Wahrscheinlichkeiten oder bei Wachstums- und Zerfallsprozessen. Hierbei sind die Prozentangaben je nach Fragestellung auch größer als 100.

1.1 Die Entwicklung der Prozentrechnung

Die ältesten Wurzeln unserer heutigen Prozentrechnung liegen vermutlich bereits um 2100 v. Chr. in Babylon. Die Babylonier gaben Zinssätze in Form einfacher Brüche an. War der Zins beispielsweise 1/3 der geliehenen Menge (Geld, Getreide,...), so wurde die geliehene Menge in drei gleich große Teile geteilt. Zu zahlen war demnach die Menge Geld oder Getreide, die einem dieser drei Teile entsprach. Dieses Verfahren konnte mit anderem Nenner auch für größere Mengen angewendet werden (Parker/Leinhardt 1995:429). Hierbei handelte es sich um additive Verfahren, die nicht auf der Verhältnisrechnung beruhten, sondern lediglich auf der Äquivalenz von Mengen. Später tauchten in vielen kommerziellen Zentren Berechnungen von Zinsen und Zöllen auf, die sich auf den Nenner 100 bezogen, so z.B. in Indien ab 300 v. Chr. und in China ab 200 v. Chr. (Parker/Leinhardt 1995:431), sowie in babylonischen, ägyptischen und griechischen Gebieten, wie aus Schriftstücken hervorgeht (Tropfke 1980:530). Aus China stammt auch der Dreisatz (Rule of Three), eine Berechnungsformel für Proportionen mit drei gegebenen Größen:

Multiply the fruit by the desire and divide by the measure. The result will be the fruit of the desire. (Boyer/ Merzbach 1979: 233).

Diese Rechenregel ist gleichbedeutend mit folgender Aussage in unserer heutigen Schreibweise:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten],

wobei a „ measure “, b „ fruit “, c „ desire “ und x „ fruit of the desire “ entspricht. Die ungewöhnliche Formulierung rührt wohl daher, dass sich diese Rechenregel auf konkrete Güter, also Erträge oder Früchte, bezog und nicht in abstrakter Form dargestellt wurde.

Ab 500 n. Chr. existierte auch in Indien eine dem Dreisatz ähnliche kaufmännische Rechenvorschrift, die jedoch lediglich als „Rechentrick“ oder Vereinfachung verwendet wurde und keine Einsichten in die Verhältnisrechnung bot. Diese Verbindung wurde vermutlich erst in der Renaissance gezogen, obwohl die Grundlagen dafür schon von den alten Griechen ab 300 v. Chr. durch deren algebraische und geometrische Einsichten in die Proportionalität gelegt worden waren (z.B. in Euklids „Elemente“). Die Dreierregel wurde wegen ihrer guten/effizienten Anwendbarkeit noch bis ins 19. Jahrhundert als hauptsächliche Grundlage der Berechnung von Zöllen oder Zinsen genutzt und wird auch heute noch in den Schulen bei der Behandlung der Schlussrechnung verwendet.

Ab dem 13. Jahrhundert wurden Zinsangaben im merkantilen Italien immer häufiger mit dem Nenner 100 notiert. Aus Italien stammt auch die Bezeichnung „Prozent“: Die früheste Aufzeichnung des italienischen „ perceto “ (pro hundert) stammt aus dem Jahre 1481 (Smith 1925; nach Parker/Leinhardt 1995:432). Seit dem Anfang des 19. Jahrhunderts wurde Prozent erstmals auch außerhalb des kaufmännischen Bereiches verwendet, z.B. um Wahrscheinlichkeiten in der gerade entstehenden Statistik zu berechnen. Es war nun möglich, prozentuale Aussagen über Teile von beliebigen Größen zu machen, z.B. über den Anteil von Mädchen in einer Schulklasse oder den der Arbeitslosen unter den erwerbsfähigen Bürgern.

Zu bemerken ist, dass bis zu diesem Zeitpunkt der Prozentbegriff strikt auf ein Verständnis als eines Teils von einem Ganzen beschränkt war. Seit der Antike waren die Zinsen oder Zölle immer als Teil der geliehenen oder eingeführten Ware betrachtet worden. Der Zinssatz konnte demnach nie mehr als eben diese Menge betragen. Dem entspricht ein Verständnis von Prozent, bei dem der Prozentsatz nicht größer als 100 sein kann, eine Auffassung, die noch heutzutage bei vielen Schülern zu beobachten ist (vgl. Kap. 4).

Nachdem im 19. Jahrhundert die Verwendung von Prozent nicht mehr auf den monetären Bereich beschränkt blieb, wurde auch die Möglichkeit der Anwendung als Vergleich zwischen unterschiedlichen Mengen geschaffen. Hierbei ist die Sicht von Prozent nicht mehr die eines Teils vom Ganzen, wie dies bei der Angabe z.B. der Frauenquote in der Arbeiterschaft der Fall ist. Vielmehr können Mengen, die nicht Teil voneinander sind, einander vergleichend gegenüber gestellt werden, etwa der Umsatz eines Geschäftes mit dem Umsatz einer Zweigstelle dieses Geschäftes oder mit dem Umsatz des Vorjahres etc. Hieraus ist ersichtlich, dass nun auch Prozentwerte möglich sind, die mehr als 100 betragen.⁴

Etwa ab 1860 hatte sich die Prozentrechnung zu der heutigen Form entwickelt (Parker/Leinhardt 1995:434).

1.2 Die Entstehung des % - Symbols

Das heute verwendete Prozentsymbol „%“ stammt - wie die moderne Prozentrechnung selbst - aus Italien.

Ursprünglich wurden Rechnungen und Rechenaufgaben nur durch Worte wiedergegeben und nicht in Symbolschreibweise verfasst. Im 17. Jahrhundert wurde in Italien der Ausdruck pro cento immer häufiger zu einem Wort verschmolzen und schließlich auch dekliniert. Procento wurde in Schriften abgekürzt durch p.c., p cento, p 100 oder pc°. In einer Symbolschreibweise hatte es handschriftlich in etwa die Form p.[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] , die sich vermutlich im 18. Jahrhundert aus drucktechnischen Gründen in p.[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] abwandelte. Später wurde das vorangestellte p. auch ausgelassen. In der Mitte des 19. Jahrhunderts wurde der Bruchstrich - wie damals üblich - schräg gesetzt, sodass sich das noch heute gebräuchliche Prozentsymbol „%“ ergab (Tropfke 1980:531).

2. Die Grundlagen der Prozentrechnung

Die Prozentrechnung ist keine eigenständige mathematische Disziplin wie etwa die Bruchrechnung oder die Analysis. Vielmehr baut sie auf andere Teilbereiche der Mathematik auf, wodurch kein festgelegter Bereich als Grundlage der Prozentrechnung benennbar ist. Eine Einordnung stellt sich schwierig dar, und eine einheitliche Definition der Prozentrechnung existiert nicht; je nach Perspektive des Autors können Definitionen stark voneinander abweichen.

Hier soll dennoch der Versuch gemacht werden, den Begriff Prozent zu bestimmen: Sowohl der mathematische Hintergrund soll beleuchtet werden als auch mögliche Anwendungssituationen beschrieben werden.

2.1 Definitionen und Grundbegriffe

Berger (1989) stellt fünf verschiedene Definitionen von Prozent oder Prozentrechnung vor, die jeweils von einem unterschiedlichen Ansatz ausgehen und verschiedene Schwerpunkte setzen. Es ergibt sich eine weite Fächerung von Ansätzen hinsichtlich der Sichtweise, des Abstraktionsgrades und der Formulierung, die Berger als „Definitionschaos“ (1989:10) beschreibt. Während einige Definitionen auf eine mathematisch möglichst korrekte Darstellung der Prozentrechnung bedacht zu sein scheinen, haben andere Autoren ihr Augenmerk auf den Anwendungsbezug gerichtet und definieren die Prozentrechnung in Anwendungssituationen und Sachzusammenhängen. Hier sollen die verschiedenen Beispiele noch einmal kurz miteinander verglichen werden:

1. Die Prozentrechnung ist ein

Rechenverfahren, mit dem die Änderungen a1 und a2 dadurch verglichen werden können, daß sie auf die gleiche Grundzahl 100 bezogen werden; aus a1 : 100 = Δa1 : p1 bzw. a2 : 100 = Δa2 : p2 erhält man p1 = Δa1 * 100/a1 bzw. p2 = Δa2 * 100/a2 und kann die relativen Änderungen p1 und p2 vergleichen. Man nennt ai den Grundwert, Δai den Prozentwert und pi den Prozentsatz (Gallert 1978; nach Berger 1989: 9).

Diese Definition beschränkt die Anwendung der Prozentrechnung auf den relativen Vergleich von Änderung von Größen mittels der Angabe von Verhältnissen. Die Prozentrechnung wird somit bereits in einer bestimmten Sachsituation definiert.

2. Bruchteile von Größen kann man am besten miteinander vergleichen, wenn sie durch Brüche mit gleichem Nenner gegeben sind. Wählt man als Nenner 100, dann sind die Bruchteile in Hundertstel gegeben. Man schreibt dann 1/100 = 1% (lies: 1 Prozent) und entsprechend p/100 (lies: p Prozent). (...) Man berechnet also p% von der Größe G nach folgender Formel: p/100 * G = W. Dabei heißt G Grundwert, p Prozentsatz, W Prozentwert (Bibliographisches Institut 1985; nach Berger 1989: 9).

Auch diese Definition beschränkt sich auf die Angabe von Prozent als Rechenverfahren zur Ermittlung einer Vergleichsgröße, jedoch nicht zum Vergleich von Änderungen, sondern zum relativen Vergleich zweier Größen miteinander. Der Autor leitet die Prozentrechnung von der Bruchrechnung ab, da er die Prozentangabe als einen Spezialfall dieser ansieht: Eine Prozentangabe ist ein Bruch mit dem Nenner 100, die Zähler zweier oder mehrerer dieser Brüche können dann miteinander verglichen werden. Auch eine Formel für die konkrete Anwendung wird angegeben. Interessanterweise bietet der Autor die Formel mit dem Hinweis an, durch sie könne p% berechnet werden. Die Formel selbst ist jedoch nach W aufgelöst. Dieser scheinbare Widerspruch wird auch durch keine sprachliche Erläuterung des Zusammenhangs zwischen p% und W aufgelöst.

3. Die Grundbegriffe der Prozentrechnung sind:

1. Grundwert (...)

Der Grundwert ist meist benannt (z.B. DM, kg, m oder ähnliches). Der Grundwert entspricht 100 Hundertsteln, also dem Ganzen oder 100%.

2. Prozentsatz

Der Prozentsatz p ist stets die Angabe eines Teiles von 100. (...) 1 Hundertstel des Grundwertes = 1 Prozent des Grundwertes = 1% (...).

3. Prozentwert

Der Prozentwert ist ein Teil des Ganzen, also des Grundwertes. Er hat die gleiche Benennung wie dieser (DM, kg, m oder ähnliches). (...).

Die „Grundproportion“ der Prozentrechnung lautet:

Prozentwert : Grundwert = Prozentsatz : 100

(Bibliographisches Institut 1972; nach Berger 1989: 9).

Diese Definition lässt klar den Anwendungsbezug erkennen. Sie erläutert die Begriffe Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert ausführlich und mit Angabe möglicher Benennungen. Allerdings ist ersichtlich, dass Prozentwerte, die größer sind als der Grundwert, nicht möglich sind, denn der Prozentwert wird definiert als „ein Teil des Ganzen, also des Grundwertes“. Die Auffassung eines Teils beinhaltet aber, dass der Prozentwert dann notwendigerweise kleiner sein muss als der Grundwert, der Prozentsatz also 100 nicht überschreiten darf.

4. Unter einem Prozent einer bestimmten Größe versteht man ihren hundertsten Teil oder ihr 0,01faches, entsprechend unter 5; 18; 73 ... Prozent 5/100; 18/100; 73/100 ... (das 0,05; 0,18; 0,73 ...fache) der Bezugsgröße (Schupp 1967; nach Berger 1989: 10).

Schupp verbindet hier die Prozentrechnung mit Bruch- und Dezimalzahlen. Auch er definiert die Angabe 1% als den hundertsten Teil einer Größe. Diese Beziehung lässt sich sowohl als Prozentangabe ausdrücken (er führt allerdings nicht das Prozentsymbol „%“ ein) als auch als Bruch mit dem Nenner 100 oder als Dezimalzahl. Ein Anwendungsbezug wird nicht angegeben, die Definition ist damit allgemeiner als die bisher genannten. Dennoch wird der Leser auch hier dazu verleitet anzunehmen, die Prozentangabe müsse kleiner sein als 100 bzw. kleiner als die Bezugsgröße, da auch bei Schupp von einem „Teil“ einer Größe die Rede ist. Unter einem Teil kann jedoch nicht mehr als das Ganze verstanden werden. Die Formulierung „...faches“ deutet allerdings wiederum darauf hin, dass auch Prozentsätze größer als 100 möglich sind. Der Definition ist daher leider keine Definitionsmenge entnehmbar, der p% angehören kann. Es ist nicht ersichtlich, welche Auffassung von Prozent der Autor tatsächlich vertritt.

5. Wird eine Größe P mit einer (gleichartigen) Größe G gemessen und beträgt dabei die Maßzahl p Hundertstel, so sagt man dafür kürzer: P beträgt p Prozent (p %) von G (Meschkowski 1972; nach Berger 1989: 9).

Hierbei handelt es sich um die allgemeinste der angegebenen Definitionen. Die Prozentrechnung wird nicht auf eine bestimmte Anwendung beschränkt, und die Prozentangaben können auch größer als die Größe G werden. Meschkowski benennt jedoch die drei Grundbegriffe der Prozentrechnung nicht, er definiert allein die Bedeutung der Aussage „P beträgt p% von G“. Durch die Allgemeinheit der Definition ist sie im konkreten Gebrauch wenig nützlich, da sie keine Rechenanweisung gibt.

Die von Berger in einer „mehr oder weniger willkürlichen Auswahl“ (1989:10) getroffenen Beispiele zeigen die Uneinigkeit der Mathematiker auf diesem Gebiet, da die Prozentrechnung von verschiedenen Positionen her betrachtet werden kann. Zwar schließen sich einige der Sichtweisen und damit der in den Definitionen ausgedrückten Ansichten von Prozent gegenseitig aus, das bedeutet jedoch nicht, dass nicht jede einzelne Definition ihre Berechtigung hätte. Vielmehr beleuchten alle Definitionen einen Teilaspekt des Konzepts Prozentrechnung. Allgemein stellt die Prozentrechnung ein Verfahren dar, das zwei Größen durch Vergleich miteinander in Verbindung bringen kann (vgl. Kap. 2.5). Es werden in dieser Arbeit keine eigenen Definitionen der Prozentrechnung angeben, da, wie durch die Vielfalt der verschiedenen bereits vorhandenen Definitionen gezeigt wurde, entweder eine bestimmte, einschränkende Sichtweise der Prozentrechnung eingenommen werden muss, oder die Definition so allgemein ausfallen wird, dass sie für die praktische Verwendung kaum noch hilfreich sein kann. Ich möchte jedoch die Begriffe Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert noch einmal ausführlicher erläutern als dies in den obigen Definitionen geschehen ist.

Wie bereits beschrieben, wurde die Verwendung der Prozentrechnung seit dem 19. Jahrhundert von reinen Anteilsberechnungen auch auf andere Gebiete ausgeweitet: Sie wird primär

- beim relativen Vergleich zweier Größen miteinander,
- zur Beschreibung der Veränderung einer bestimmten Größe zu unterschiedlichen Zeitpunkten,
- zur Gegenüberstellung von Veränderungen verschiedener Größen
oder auch
- zur Angabe von Wahrscheinlichkeiten

angewendet. Bei all diesen verschiedenen Verwendungen liegt ein Vergleich vor. Eine Bezugsgröße dient als Ausgangswert für den Vergleich, eine andere Menge⁵ wird auf diese bezogen. Dieser Ausgangswert heißt in der Prozentrechnung der Grundwert, der Vergleichswert der Prozentwert. Der Prozentsatz ist damit jene Zahl, die folgende Gleichung erfüllt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Verhältnis von Prozentwert zu Grundwert wird damit auf ein Verhältnis mit dem Nenner 100 übertragen. Durch die stete Verwendung von 100 als Nenner erhält man somit eine Vergleichsgröße, die zudem im Dezimalsystem sehr gut anwendbar ist. Wie in Definition 2 bemerkt wurde, kann nun für unterschiedliche Grundwerte das jeweilige Verhältnis zum Prozentwert relativ miteinander verglichen werden, indem das Verhältnis des Prozentsatzes zu 100 untersucht wird.

Beispiel: Die Steigerung der Jahresumsätze zweier Filialen einer Kaufhauskette soll miteinander verglichen werden. In Filiale A betrug der Vorjahresumsatz 350 000 Euro, der aktuelle Jahresumsatz 375 000 Euro, während für Filiale B die Werte 260 000 Euro und 300 000 Euro vorliegen.

Filiale A: Grundwert = 350 000 Euro

Prozentwert = 375 000 Euro

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Umsatz des aktuellen Jahres entspricht damit etwa 107 Prozent des Vorjahres, das ist eine ungefähre Umsatzsteigerung von 7 Prozent.

Filiale B: Grundwert = 260 000 Euro

Prozentwert = 300 000 Euro

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Jahresumsatz dieser Filiale liegt bei 115 Prozent des Vorjahres, also ist eine Umsatzsteigerung von ca. 15 Prozent zu verzeichnen.

Der Vergleich dieser beiden Prozentangaben zeigt somit, dass Filiale B ein größeres Umsatzplus erwirtschaftet hat als Filiale A, was bei direktem Vergleich der angegebenen Zahlen nicht ohne Weiteres ersichtlich gewesen wäre.

Zum Verständnis der Bedeutung von Gleichung (1) ist es wichtig zu verstehen, dass dem konkreten Wert des Grundwertes ein abstrakter Wert 100 gegenüber gestellt wird. Dadurch, dass alle verschiedenen Grundwerte jeweils auf die gleiche Zahl 100 bezogen werden, können relative Vergleiche zwischen den Verhältnissen von Prozentwert zu Grundwert gezogen werden. Diese Übertragung der konkreten auf die relativen Werte sieht wie folgt aus:

(2) Grundwert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] 100 %

Prozentwert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Prozentsatz

Als Bruch lässt sich dieses Verhältnis dann schreiben als:

(3) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Wird der Kehrwert der beiden Brüche gebildet, so erhält man wiederum Formel (1), die damit auch inhaltlich hergeleitet ist. Die Formel für die geläufigste Problemstellung, die Berechnung des Prozentwertes, lässt sich damit durch Umformen erhalten:

(4) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die Bruchschreibweise mit Nenner 100 wird allgemein üblich auch die Schreibweise p % verwendet, wobei p der Prozentsatz ist. Abkürzungen für den Grundwert sind G und für den Prozentwert W oder P. Damit ergibt sich zur Berechnung des Prozentwertes bei gegebenem Grundwert und Prozentsatz folgende Formel in Kurzschreibweise:

(5) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aufgrund dieser Notation wird einsichtig, dass p % auch als Prozentoperator verstanden werden kann, wobei p % gleichbedeutend ist mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (z.B. Hollmann 1975). Der Prozentoperator bildet dabei den Größenbereich des Grundwertes auf sich selbst ab. Hollmann (1975) propagiert daher auch im Unterricht die Operatorschreibweise, die diese Funktion von p % deutlich macht:

(6) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ob dies eine geeignete Behandlungsweise der Prozentrechnung für Schüler sein kann, wird in Kapitel 3.2 erneut aufgegriffen und diskutiert.

2.2 Prozentangaben als Bruch- und Dezimalzahlen

Prozentangaben müssen in der modernen Prozentrechnung nicht mehr notwendigerweise mit dem Prozentsymbol % verknüpft sein. Sie lassen sich ebenso als Bruch oder als Dezimalzahl ausdrücken. Zu bemerken ist, dass bei diesen Schreibweisen nicht von vornherein ersichtlich ist, dass es sich um eine relative Angabe handelt, die erst durch einen Bezugswert Sinn erhält und wieder in eine absolute Zahl umgewandelt werden kann.

Die Bruchschreibweise von Prozentangaben ist weithin geläufig. Zumindest für einige häufig vorkommende Prozentzahlen, wie 50 % = Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten(=Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) oder 75 % =Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, fällt es auch Schülern leicht, Prozentangaben in Bruchschreibweise auszudrücken oder Bruchzahlen in Prozente umzuwandeln (z.B. Parker/Leinhardt 1995). Häufig wird der Zusammenhang zwischen Prozentangaben, Bruch- und Dezimalzahlen jedoch nicht verstanden.

Tatsächlich handelt es sich bei Prozent-, Bruch- und Dezimalschreibweise um drei verschiedene Möglichkeiten der Darstellung einer Prozentangabe:

1. In Symbolschreibweise wird einer Dezimalzahl das Prozentzeichen „%“ angehängt. Die Dezimalzahl ist dabei der Prozentsatz p.
2. In der Notation als Bruch mit dem Nenner 100 ist der Zähler der Prozentsatz p. Ein beliebiger Bruch kann in eine Prozentangabe verwandelt werden, indem man ihn zum Nenner 100 erweitert. Der erweiterte Zähler ist dann wiederum der Prozentsatz p.
3. Die Dezimalschreibweise stellt den mit 100 dividierten Prozentsatz p dar. Diese Darstellung ermöglicht einfaches Rechnen mit dem Taschenrechner, da keine Brüche oder das Prozentzeichen vorkommen. Breinlinger und Schlesinger (1983) sehen in Dezimalzahlen gar „ein universelles Mittel zur Erzeugung numerischer Lösungen“ und behaupten: „Wer routiniert rechnet, sieht in anderen Zahldarstellungen, im Bruch oder in der Prozentangabe, intuitiv die [...] Dezimalzahl“ (1983:44).

Wie bereits erwähnt, ist es jedoch bei den Darstellungen 2. und 3. problematisch, dass aus der Zahl selbst nicht ersichtlich ist, ob sie nun eine relative Prozentangabe ist oder eine konkrete Größenangabe. Verwechslungen können hier zu großen Fehlern führen, denn auch der Prozentsatz p kann ja sowohl als Dezimal- als auch als Bruchzahl dargestellt werden. So ist es (z.B. für den Geschäftsführer der im obigen Beispiel erwähnten Kaufhauskette) ein Unterschied, ob sich der Umsatz des Vorjahres um 50% gesteigert hat oder um nur Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (in diesem Fall vermutlich Euro).

2.3 Die Struktur von Prozentaufgaben

In welchen Kontexten kann nun welche Auffassung der Prozentrechnung Gültigkeit haben? Offensichtlich ist es ja nicht möglich, Prozent gleichzeitig als Bruchteil einer Größe (z.B. Definitionen 2 und 3) und dennoch als beliebiges Vielfaches (z.B. Definition 4) dieser Größe aufzufassen. Daher ist nicht jede Sichtweise von Prozent in jeder Anwendungssituation sinnvoll. Bei einem Prozentbegriff als Anteil einer Menge ist es beispielsweise nicht möglich zu bestimmen, wie viel Prozent der Grundmenge eine Vergleichsmenge beträgt, wenn diese Vergleichsmenge größer ist als die Grundmenge, wenn sie also nicht ein Bruchteil der ursprünglichen Menge darstellt.

Es ist daher notwendig, die verschiedenen Situationen, in denen Prozentangaben vorkommen können, systematisch auf den jeweils verwendeten Prozentbegriff zu untersuchen.

Meißner (1982) ordnet die Prozentrechnung als „Spezialfall der Bruchrechnung“ (S. 121) ein und unterteilt die Möglichkeiten der Verwendung von Prozent in zwei Klassen. Prozent kann in „Anteil“ - Situationen oder in „Zuordnung“ - Situationen vorkommen (1982:122).

Die „Anteil“ - Situation, die sprachlich auch durch die Verwendung des Wortes „von“ gekennzeichnet wird⁶, beruht auf einer „statischen, mengentheoretischen Inklusion“ (Meißner 1982:122). Der Prozentwert ist ein Anteil, also eine Teilmenge der Grundmenge. Dadurch sind Prozentangaben über 100 in diesem Fall ausgeschlossen. Das Wort „statisch“ erklärt sich durch die Unveränderlichkeit der Grundmenge in solchen Sachsituationen. Die größere Menge ist dabei die Grundmenge, die Prozentmenge ist immer eine Teilmenge der Grundmenge. Für graphische Darstellungen bieten sich hier Tortendiagramme an oder solche Balkendiagramme, in denen der Prozentwert ein eingefärbter Teil des gesamten Balkens ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

„Zuordnung“-Situationen betonen nach Meißner (1982) vor allem den Gesichtspunkt der Veränderung: Die Grundmenge wird vergrößert, verkleinert, vermehrt oder vermindert. Ihr wird eine Prozentmenge häufig nach einer Gesetzmäßigkeit zugeordnet, wie etwa beim Zinssparen. Ein Geldbetrag wird beispielsweise mit 2% Zinsen vergütet, d. h. der Grundmenge wird diejenige Prozentmenge zugeordnet, die 102% der Grundmenge beträgt. Wie man sehen kann, gibt es hier keine obere Schranke für den Prozentsatz - abgesehen von den finanziellen Möglichkeiten der Bank oder des Schuldners. Der Prozentwert kann sowohl größer als auch kleiner sein als der Grundwert. Bei diesem Aufgabentyp ist daher je nach Situation eine der beiden Mengen der Grundwert, die andere der Prozentwert. Die beiden Mengen haben, entgegen der „Anteil“-Situation, keine gemeinsamen Elemente. Um dies graphisch zu verdeutlichen, lassen sich z.B. Balkendiagramme mit mehreren Balken für unterschiedliche Prozentwerte verwenden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Fig. 3: Balkendiagramm

Meißner (1982) hat somit eine Einteilung von Prozentsituationen in zwei disjunkte Klassen vorgenommen, da sich die „Anteil“- und die „Zuordnung“-Situation gegenseitig ausschließen. Allerdings können mit dieser Einteilung noch nicht alle Probleme einwandfrei einer dieser Sachsituationen zugewiesen werden. Welcher Kategorie gehört etwa die Aufgabe „ Wie viel Prozent des Vorjahresumsatzes beträgt der aktuelle Umsatz “ an? Diese Aufgabe ist sicherlich nicht uneingeschränkt der „Anteil“-Situation zuzuordnen, da der aktuelle Umsatz möglicherweise den Vorjahresumsatz übersteigt und der Prozentsatz somit größer als 100 wird. Es liegt jedoch auch keine Gesetzmäßigkeit bei der Zuordnung vor, sodass auch die zweite von Meißner angegebenen Kategorie diese Aufgabe nicht zu erfassen scheint.

Aus diesem Grund hat Meißner (1982) noch eine weitere Strukturierung von Prozentaufgaben auf der Ebene des „Grades der Allgemeinheit“ bzw. „ Art der Gesetzmäßigkeit “ (S. 123) vorgeschlagen. Er gibt drei Einteilungen mit jeweils unterschiedlichem Grad der Allgemeinheit an.

- Im Fall der Inklusion wird in Prozentaufgaben oft von einer konkreten Menge ausgegangen. Solche Einzelbeispiele, wie etwa das Verhältnis von Mädchen und Jungen in einer Schulklasse, weisen keine verallgemeinerbaren Gesetzmäßigkeiten auf, die sich z.B. auf das Geschlechterverhältnis in anderen Schulklassen übertragen ließen. Es liegt daher im Allgemeinen kein funktionaler Zusammenhang zwischen Grund- und Prozentwert vor, d. h. „die zugehörige Abbildung ist damit ein einziges Wertepaar, dem man natürlich keine der gewünschten Eigenschaften (Proportionalität, Additionstreue, Vervielfachungstreue) zuschreiben kann“ (Meißner 1982:123). Sprachlich kann diese Art von Aufgaben mit dem Zusatz „diese/r/s“ gekennzeichnet werden, wodurch deutlich gemacht wird, dass es sich nur um ein konkretes Beispiel handelt, das sich nicht verallgemeinern lässt.
- Die zweite Stufe beinhaltet Aufgaben oder Sachsituationen, in denen eine Proportionalität angenommen wird, diese jedoch nicht uneingeschränkt übertragbar ist. Meißner nennt als Beispiel die Angabe der Arbeitslosenquote, die zwar für ganz Deutschland korrekt genannt wird, die im Allgemeinen jedoch nicht die Arbeitslosenquote der einzelnen Bundesländer widerspiegeln wird (1982:124).
- Der Aufgabentyp mit dem höchsten Grad an Allgemeinheit ist natürlich jener mit einer echten Proportionalität, wie dies bei der Zinsberechnung der Fall ist. Die sprachliche Kennzeichnung ist dabei der Zusatz „je“: Je 100 Euro werden mit 2 Euro Zinsen vergütet.

Mit Hilfe dieser beiden Dimensionen der Einteilung in „Anteil“- und „Zuordnung“-Situation und des Grades der Allgemeinheit bzw. Art der Gesetzmäßigkeit erfasst Meißner alle Arten von Prozentaufgaben und -Situationen hinreichend⁷.

Berger (1989) beschreibt die Aufgabentypen bzw. Situationen, in denen Prozente verwendet werden, unter den Oberbegriffen „ prozentuale Anteile “, „ prozentualer Vergleich “ und „ prozentuale Veränderungen “ (1989:17) und wählt damit eine stärker inhaltlich orientierte Beschreibung. Die Situation der prozentualen Anteile deckt sich dabei mit Meißners „Anteil“-Situation (1982:122). Berger stellt fest, dass hier als Aufgabenstellungen vor allem die Berechnung des Prozentsatzes und Prozentwertes in Frage kommen, die Berechnung des Grundwertes allerdings auch „gelegentlich von Interesse“ sei (1989:16).

Meißners „Zuordnung“-Situation (1982:123) wird von Berger (1989) differenzierter in den Kategorien „Prozentualer Vergleich“ (S. 16) und „Prozentuale Veränderungen“ (S. 17) dargestellt.

Beim prozentualen Vergleich werden „elementfremde Mengen“ (S. 16) betrachtet. Dabei wird eine Menge prozentual auf die andere Menge bezogen, wodurch Prozentangaben über 100 auftreten können, wenn die Vergleichsmenge größer ist als die Grundmenge. In Vergleichssituationen interessiert entweder die Frage „Wie viel Prozent der Grundmenge beträgt der Prozentwert?“ oder „Um wie viel Prozent ist der Prozentwert größer/kleiner als der Grundwert?“. In Sachaufgaben zu diesem Bereich ist sowohl die Berechnung von Grundwert, Prozentsatz als auch Prozentwert sinnvoll. Situationen dieser Art kommen im Alltag häufig vor.

Bei prozentualen Veränderungen wird hingegen die Veränderung einer Größe unter „zeitlich-räumlichem Einfluß“ (Berger 1989:17) betrachtet, etwa bei Wachstums- oder Zerfallsprozessen, aber auch bei dem bereits angeführten Beispiel von Umsatzsteigerungen oder -einbußen. Zu diesem Aufgabentyp gehören die Begriffe „verminderter/vermehrter Grundwert“, die ausdrücken, dass eine quantitative Veränderung (also Vermehrung oder Verminderung) des Grundwertes untersucht wird. Der Prozentwert ist damit jener Wert, den der Grundwert nach der Veränderung angenommen hat. Bei Preissteigerungen oder -senkungen ist der ursprüngliche Preis der Grundwert, der neue Preis der Prozentwert. Das Ausmaß der Veränderung bzgl. des Grundwertes wird dann vom Prozentsatz angegeben.

2.4 Die drei Grundaufgaben

Wie im vorigen Abschnitt dargestellt, kann es in verschiedenen Sachsituationen interessant sein, entweder den Grundwert, den Prozentsatz oder den Prozentwert zu berechnen. Aus der Verhältnisgleichung

(3) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

lässt sich bei zwei gegebenen Werten jeweils der dritte, gesuchte Wert durch Umformen ermitteln. Natürlich kann eine beliebige der oben angegebenen Gleichungen als Ausgangsgleichung verwendet werden.

2.4.1 Berechnung des Prozentwertes (Aufgabentyp I)

Durch Umformung von Gleichung (3) erhält man die Gleichung zur Berechnung des Prozentwertes, die wir in Formel (5) bereits in Symbol- und in Formel (6) in Operatorschreibweise erhalten haben:

(7) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Berechnung des Prozentwertes ist der Aufgabentyp, der Schülern am wenigsten Probleme bereitet (z.B. Parker/Leinhardt 1995; Hollmann 1975). Dies entspricht wie im geschichtlichen Überblick geschildert auch der ältesten Form der Prozentrechnung (allerdings nur für p<100), da eine Menge ermittelt werden soll, die äquivalent ist zu einer Teilmenge (für p<100) des Grundwertes. Es stimmt mit dem Vorgehen der Babylonier überein, eine Grundmenge in (hier:) 100 gleiche Teile aufzuteilen und den gewünschten Anteil äquivalent abzumessen. Die Struktur dieses Aufgabentyps der Multiplikation des Grundwertes mit dem Prozentsatz scheint für Schüler jedoch auch für beliebiges p (also auch für p>100) einsichtig zu sein.

2.4.2 Berechnung des Grundwertes (Aufgabentyp II)

Die Gleichung

(8) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ermöglicht die Berechnung des Grundwertes. Hier ist es schwieriger, mit der Operatordarstellung p% zu arbeiten. Der Prozentoperator steht dann im Nenner des Bruchs [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und Schülern könnte es je nach Darstellungsweise von p% schwer fallen, dessen Wert richtig einzusetzen.

2.4.3 Berechnung des Prozentsatzes (Aufgabentyp III)

Hier muss unterschieden werden, ob man tatsächlich den Prozent satz berechnen möchte, oder ob der Prozent operator ermittelt werden soll. Diese beiden unterscheiden sich lediglich durch Hinzufügen bzw. Auslassen des Zeichens %, doch eine Verwechslung führt zu großen Fehlern: Während der Prozentsatz lediglich der Zähler des Bruches Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist, handelt es sich beim Prozentoperator um den gesamten Bruch. Dementsprechend lautet die Formel zur Berechnung des Prozent satzes

(9) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,

wohingegen

(10) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

den Prozent operator ergibt. Die Berechnung des Prozentsatzes ist häufig wichtig, wenn verschiedene Veränderungen oder Verhältnisse relativ miteinander verglichen werden sollen⁸.

Alle drei Aufgabentypen kamen (zwar nicht in unserer heutigen Symbolschreibweise, sondern ausformuliert) bereits in kaufmännischen Lehrbüchern des Mittelalters vor, hier allerdings mit Beschränkung des Prozentsatzes kleiner 100 (Tropfke 1980). Schüler scheinen mit den Aufgabentypen II (Berechnung des Grundwertes) und III (Berechnung des Prozentsatzes) erheblich mehr Probleme zu haben als mit Typ I (Berechnung des Prozentwertes) (Parker/Leinhardt 1995). Als Erklärung dient z.B. die Bevorzugung der Multiplikation gegenüber Divisionen durch die Schüler. In Typ I kann die Aufgabe durch eine Multiplikation gelöst werden, in der durch die Kommutativität die Reihenfolge der Multiplikatoren bekanntlich ohne Bedeutung ist. Die Aufgabentypen II und III hingegen erfordern Divisionen. Hier muss der Schüler entscheiden, welche Größe durch welche zu dividieren ist, eine zusätzliche Fehlerquelle, die Schülern die Lösung dieser Aufgaben erschwert (Parker/Leinhardt 1995). Auf die Schülerprobleme wird in Kap. 4 noch ausführlicher eingegangen werden.

2.5 Was ist Prozent denn nun? - Eine Begriffsbestimmung

Da die Grundlagen der Prozentrechnung nun hinreichend behandelt wurden, soll an dieser Stelle noch einmal die Frage aufgegriffen werden, um was es sich dabei eigentlich handelt. In welchen mathematischen Teilbereich kann sie eingeordnet werden? Wie bereits an den verschiedenen Definitionen zu sehen ist, ist diese Frage wohl nicht allzu leicht zu beantworten. Unterschiedlichste Auffassungen sind möglich. Parker und Leinhardt fassen in ihrer Arbeit (1995) allein vier mögliche Deutungen von Prozent zusammen: Prozent als Zahl, als intensive quantity (Deutsch etwa: starke Größe) (S. 437), als Bruch oder Verhältnis sowie als Funktion (S.434-445).

2.5.1 Prozent als Zahl

Das Verständnis von Prozent als Zahl beruht auf der Schreibweise einer Prozentzahl als Bruch oder Dezimalbruch. Wie beschrieben kann eine Prozentangabe auch in dieser Art und Weise notiert werden: 75% = 0,75 = Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Doch ist die Bedeutung dieselbe? Parker und Leinhardt (1995) argumentieren, dass gewisse Definitionen von „Zahl“ auch Prozentangaben einschließen (S. 437). Auch habe Prozent einige Eigenschaften, die Zahlen aufweisen, wie die Additivität bzgl. ein und derselben Referenzgröße⁹ oder die numerische Anordenbarkeit (Parker/Leinhardt 1995:437). Bei der Umwandlung einer Prozentangabe in eine Bruch- oder Dezimalzahl werde lediglich der Referenzwert von 100 auf 1 verändert (S. 437).

2.5.2 Prozent als statistische Angabe oder Funktion

Davis (1988) hingegen stellt auch Unterschiede von Prozentangaben zu Zahlen wie z.B. 4,5 heraus. Da der Referenzwert einer Prozentzahl nicht aus einer Zahlenangabe wie 4,5 ersichtlich ist (also die Tatsache, dass überhaupt ein Referenzwert existiert und welcher zu verwenden ist), existiert keine äquivalente Umformung von 4,5 in eine Prozentangabe. Je nachdem, wie dieser Grundwert für die Prozentangabe aussieht, kann die Umwandlung von 4,5 in eine Prozentangabe demnach in 10%, 200%, 50% oder unendlich vielen weiteren Möglichkeiten resultieren, wenn die Referenzgröße 45, 2,25 oder 9 ist. Davis weist auf den sprachlichen Unterschied hin zwischen einer Zahl („Es sind 50 Stück“) und der Verwendung von Prozentangaben („Es sind 50% von...“) und kommt so zum Verständnis von Prozent als Funktion (1988:301).

In der Tat gibt es gute Gründe für eine solche Interpretation von Prozent. Davis stellt dar, dass Prozent in der Anwendung oft als Relation zwischen zwei Zahlen oder zwei Variablen behandelt wird (1988:300). Die Sprechweise, dass Prozent ein Teil oder ein Vielfaches von einer Größe ist, zeigt auf, dass durch die Prozentrechnung einem Wert eindeutig ein Prozentwert, und damit ein Funktionswert, zugewiesen wird. Der Grundwert ist dabei die Eingangsgröße, der Prozentwert die Ausgangsgröße der Funktion „Prozent“. Davis erwähnt, dass sogar Schüler selbst ein Verständnis von Prozent als Funktion oder Relation zu haben scheinen, auch wenn diese Interpretation bei ihnen wahrscheinlich in den meisten Fällen nicht verbalisierbar ist. Parker und Leinhardt beschreiben ebenfalls die mögliche Interpretation von Prozent als statistische Angabe oder Funktion (1995:443-444). Aufgabentyp I (Prozentwertberechnung) erfordert exakt diese Verwendung von Prozent. Gegebene Größen sind Grundwert und Prozentsatz, der Prozentwert soll mit Hilfe des Prozentoperators (durch Multiplikation mit dem Prozentoperator in Bruch- oder Dezimalschreibweise) ermittelt werden.

Soll nicht der Prozentwert bestimmt werden, sondern sind zwei Größen gegeben, deren Verhältnis zueinander beschrieben werden soll, sprechen Parker und Leinhardt von Prozent als einer statistischen Angabe (1995:443). Von dieser zum Aufgabentyp III (Berechnung des Grundwertes) ähnlichen Verwendung wird oft in den Medien Gebrauch gemacht, so z.B. bei der Angabe der Arbeitslosenzahlen, der Wahlergebnisse, der Staatsschulden, der Veränderung der Rentensätze, etc. Sinn dieser Umformung in Prozentschreibweise ist nach Parker und Leinhardt, dass „ [t]he originial data are reduced and rendered more interpretable by the statistical use of percent “ (1995:443). Es ist dabei meist uninteressant, die genauen Daten (also auch den Grundwert selbst) zu kennen. Vielmehr wird nur die Prozentangabe genannt, um die ursprünglichen Daten in den gut vorstellbaren Zahlenraum von 1 bis 100 zu übertragen und die Vergleichbarkeit mit anderen, ähnlichen Daten zu gewährleisten.

2.5.3 Prozent als intensive quantity

Ebenso wie beim funktionalen Gebrauch von Prozent bietet auch bei der Interpretation von Prozent als intensive quantity der relative Vergleich verschiedener Größen den größten Vorteil. Im Gegensatz zu extensive quantities, die Anzahlen, Maßzahlen oder Werte sind, haben intensive quantities relationale Eigenschaften. Sie verbinden zwei Zahlen oder Größen miteinander, die entweder verschiedenartig (externales Verhältnis) sind, wie Kilometer pro Stunde, Steigung pro Meter, Euro pro Kilogramm, oder Größen der gleichen Art (internales Verhältnis), wie Euro pro Euro (z.B. Zinsen), Menschen pro Mensch (Parker/Leinhardt 1995:437). Externale Verhältnisse tragen eine Bezeichnung wie km/h oder €/kg, während internale Verhältnisse ihre Bezeichnungen durch die Division der beiden Größen verlieren¹⁰. Parker und Leinhardt schließen daraus, dass sich eine Prozentangabe in dieses Schema als internales Verhältnis einer intensive quantity einordnen lässt (1995:437-438). Wie bereits angedeutet, sehen die Autorinnen den großen Vorteil dieser Schreibweise in der Möglichkeit, die Prozentsätze ebenso wie die Zahlen unseres Dezimalsystems in einer natürlichen Reihenfolge anzuordnen: „ The power of the percent symbol lies in its ability to provide a similar natural ordering of some intensive quantities, in particular, those that are created by forming internal ratios “ (Parker/Leinhardt 1995:438).

2.5.4 Prozent als Bruchteil oder Verhältnis

Wie aus der Geschichte der Prozentrechnung ersichtlich ist, entwickelte sich Prozent aus der Angabe von Verhältnissen und Bruchteilen, und Prozent wird auch heute noch als Bruch oder Verhältnis mit standardisiertem Nenner angesehen. Parker und Leinhardt (1995) weisen darauf hin, dass eine solche Interpretation von der jeweiligen Verwendungssituation abhängig ist, je nach dem physikalischen Zusammenhang der Referenzgrößen, die betrachtet werden (S. 438). Dabei ist ein Verständnis als Bruchteil nur sinnvoll, wenn es sich bei dem Prozentwert tatsächlich um eine Teilmenge des Grundwertes handelt. Dies ist abermals die „traditionelle“ Auffassung von Prozent, die keine Prozentsätze größer als 100 zulässt¹¹.

Die Auffassung von Prozent als Verhältnis lässt jedoch auch Situationen zu, in denen Prozent- und Grundwert disjunkte Mengen sind, welche verglichen werden sollen. Es ergibt sich hier eine Vielfalt an Anwendungssituationen, die Parker und Leinhardt systematisch in acht Unterteilungen aufschlüsseln (1995:439): Sollen zwei Mengen quantitativ miteinander verglichen werden, oder soll die Veränderung einer Menge erfasst werden? Die Kategorien, die sich aus diesen zwei groben Einteilungen der Prozentsituationen ergeben, sind demnach

1. Verminderung auf p% von G
2. Vermehrung auf p% von G
3. Verminderung von G um p%
4. Vermehrung von G um p%
5. (kleiner) W ist p% von G
6. (größer) W ist p% von G
7. W ist kleiner um p% als G
8. W ist größer um p% als G.

Parker und Leinhardt (1995) haben damit eine Systematik der Einteilung von Prozentsituationen beim Spezialfall des Verständnisses von Prozent als Verhältnis aufgestellt, die Meißners (1982) Strukturierung von Prozentsituationen ähnelt.

2.5.5 Zusammenfassung

Kann nun eine Antwort gegeben werden auf die zu Anfang dieses Kapitels gestellte Frage „Was ist Prozent“? Durch die Beschreibung der vielfältigen Auffassungen von Prozent ist evident, dass man nicht die erwünschte einfache Antwort geben kann „Prozent ist ...“, sondern, dass vielmehr eine Vielzahl von Interpretationen möglich sind. Je nach Kontext, in dem eine Prozentangabe erscheint oder verwendet werden soll, sind häufig unterschiedliche Interpretationen möglich und sinnvoll. Prozent kann also je nach Argumentation sowohl als Zahl, Funktion, Verhältnis oder intensive quantity verstanden werden. Es lässt sich nicht eindeutig auf eine dieser Auffassungen beschränken. Gemein haben alle diese Interpretationen jedoch, dass sie Beschreibungen einer proportionalen Relation zwischen zwei Größen als Grundlage haben (Parker/Leinhardt 1995:445). Aufgrund dieser Tatsache ist es dann vielleicht auch gar nicht vorrangig, die Prozentrechnung mathematisch exakt einer bestimmten Theorie zuordnen zu können. Für die Behandlung in der Schule dürfte es für das Verständnis der Schüler von Prozent vielmehr wichtig sein, ob es gelingt, dieses Grundprinzip, auf dem alle verschiedenen Auffassungen von Prozent basieren, zu vermitteln.

3. Die Behandlung der Prozentrechnung im Unterricht

In der schulischen Behandlung der Prozentrechnung interessiert vor allem, welche Herangehensweise der Lehrer wählt, d. h. welche Sichtweise von Prozent er einnimmt und seinen Schülern vermittelt. Welche Methode betont welche speziellen Aspekte von Prozent, und ist sie geeignet, Schülern ein umfassendes Konzept von Prozent nahe zu bringen?

Zuerst soll untersucht werden, welche Schwerpunkte der Behandlung von Prozent in den Richtlinien besonders hervorgehoben werden und damit auch im Unterricht vorkommen sollten. Insbesondere ist von Interesse, ob in den Richtlinien der verschiedenen Schulen ein einheitlicher Blickwinkel von Prozent eingenommen wird, oder ob auch hier Unterschiede bestehen.

3.1 Die Prozentrechnung in den Richtlinien

Die Prozentrechnung wird in der Regel in der siebten Jahrgangsstufe behandelt. Da in der 6. Klasse bereits die Bruch- und Dezimalbruchrechnung sowie einfache algebraische Umformungen eingeführt werden, können die Schüler bei der Behandlung der Prozentrechnung darauf zurückgreifen.

In der Hauptschule wird die Prozentrechnung bereits in der 6. Klasse bei der Bruchrechnung vorbereitet. Es sollen Bruchteile hergestellt werden, unter Anderem mit besonderer Berücksichtigung des Nenners 100, sowie der verschiedenen Schreibweisen (Bruchstrich-, Komma-, Quotienten- und Prozentschreibweise) (Kultusministerium des Landes NRW 1992:46).

Die Prozentrechnung selbst wird in den Jahrgangsstufen 7 und 8 in dem Themenkreis „Arithmetik, Algebra und Funktionen“ behandelt. Ziel ist es, dass Schüler „die Kenntnisse im Umgang mit gebrochenen Zahlen vertiefen und erweitern, Multiplikation und Division mit diesen Zahlen ausführen und die Grundstrukturen der Bruchrechnung auf die Prozent- und Verhältnisrechnung übertragen und entsprechend anwenden können“ (S. 50). Dass die Prozentrechnung hier als ein Spezialfall der Bruchrechnung angesehen wird, zeigt auch die Aussage

Die strukturelle Gleichheit der sogenannten drei Grundaufgaben der Prozentrechnung und der entsprechenden Aufgaben der Bruchrechnung wird bewußt gemacht und in Sachsituationen genutzt (S. 50).

Weiterhin wird die Prozentrechnung mit den üblichen Grundbegriffen „Grundwert“, „Prozentwert“, „Prozentsatz“ eingeführt. Diese sollen Schüler „in ihrem inneren Zusammenhang kennen und mit Hilfe der Kenntnisse aus der Bruchrechnung deuten“ (S. 54). Es wird darauf hingewiesen, dass die Grundaufgaben nicht isoliert behandelt werden sollen. Als möglicher Zusatz kann der Zusammenhang der Prozentrechnung mit proportionalen Zuordnungen hergestellt werden (S. 54).

Auch in den Richtlinien der Realschule (Ministerium für Schule und Weiterbildung, Wissenschaft und Forschung des Landes NRW (MSWWF) 1999) behandeln Schüler die Bruchrechnung in der 6. Schulstufe unter dem Aspekt, dass „man Brüche als gewöhnliche Brüche (3/4), als Dezimalbrüche (0,75) und auch als Prozentsätze (75%) schreiben kann“ (S. 45). Die Prozentrechnung wird dann im 7. Schuljahr innerhalb des Themengebietes „Umgang mit Zahlen, Variablen und Größen“ unter dem Unterpunkt „Zuordnungen“ behandelt. Gefordert wird, „Rechenverfahren zur Schlußrechnung, Prozentrechnung und Zinsrechnung [zu] entwickeln und durch[zu]führen“ (S. 50). Die Prozentrechnung wird somit als proportionale Zuordnung betrachtet und nicht, wie in den Richtlinien der Hauptschule empfohlen, im direkten Anschluss an die Bruchrechnung.

Die Lehrpläne des Gymnasiums (Kultusministerium des Landes NRW 1993) behandeln Prozent hingegen unter dem Begriff „Funktionen“. Dabei gilt jedoch

Schluß-, Prozent- und Zinsrechnung werden zwar wegen ihrer Praxisrelevanz eigenständig behandelt, zur Betonung ihrer gemeinsamen mathematischen Struktur aber auch unter Beachtung des Aspekts funktionaler Zusammenhänge. Daher darf nicht nur mit Formeln umgegangen werden, vielmehr muß darauf geachtet werden, daß Anwendungs- und Funktionsaspekt im Wechsel und in Gegenüberstellungen zur Geltung kommen, damit die Kenntnisse sicher verankert werden (S. 46).

Es sollen daher auch „nicht schematische Lösungswege zugelassen werden“ (S. 46), es wird entsprechend kein bloßes Anwenden auswendig gelernter Formeln angestrebt, sondern eine kritische und verständige Auseinandersetzung mit der Prozentrechnung. Zwar fordern auch die Lehrpläne der übrigen Schulformen dieses tiefere Verständnis von Prozentrechnung und mathematischen Zusammenhängen, doch findet man dort keine solche explizite Formulierung dieser Forderung.

Der Lehrplan der Gesamtschulen (MSWWF 1998) sieht die Behandlung der Prozentrechnung ebenfalls im Rahmen des Themengebietes „Algebra/Funktionen“ in den Jahrgangsstufen 7 und 8 vor. Anwendungen der Prozentrechnung kommen in den Themengebieten „Daten, Vergleichen und Messen“, „Gesellschaft und Wirtschaft“, „Symmetrien und Muster“, „Zufall“, „Freizeit, Technik und Sport“ vor sowie bei Proportionen und Verhältnissen für Erweiterungskurse. Hier wird die Prozentrechnung auch zu den „mathematischen Grundfertigkeiten“ (S. 68) gezählt und gefordert, dass Schüler „[m]it Brüchen, Dezimalzahlen und negativen Zahlen sicher rechnen; Prozent- und Zinsrechnung sicher anwenden; funktionale Zusammenhänge als Graph, Tabelle, Gleichung darstellen und interpretieren [können]“ (S. 68).

3.2 Verschiedene Behandlungsweisen der Prozentrechnung im Unterricht

Es ist ersichtlich, dass auch in den Lehrplänen der unterschiedlichen Schulformen keine Einigkeit darüber herrscht, zu welchem mathematischen Bereich die Prozentrechnung gehört. Dementsprechend werden verschiedene Behandlungsweisen und Einführungsmöglichkeiten vorgeschlagen, wie etwa der Aufbau auf der Bruchrechnung oder auf proportionalen Zuordnungen/Funktionen. Dennoch muss sich der Lehrer entscheiden, auf welche Art und Weise er den Schülern die Prozentrechnung näher bringt. Die Vermittlung eines alle Teilaspekte von Prozent umfassenden Konzepts dürfte in der Praxis vor allem an Zeitmangel scheitern. Andererseits ist es für den Schüler auch nicht wichtig, Prozent in allen fachwissenschaftlichen Facetten zu erfassen. Daher stellt sich die Frage, welche Herangehensweise den größten Nutzen im Alltag hat und dem Schüler die klarste Einsicht in die Prozentrechnung bietet. Die Kontroverse darüber existiert jedoch schon, seit sich die Didaktik mit dem schlechten Abschneiden von Schülern in der Prozentrechnung befasst. Wie also sollte die Prozentrechnung nach Meinung der Mathematik-Didaktiker in der Schule behandelt werden? Welches ist die verständlichste, widerspruchfreieste und problemloseste Methode? Welche Methode hat welche Vor- und Nachteile? Natürlich ist jeder Autor (zumindest zum Zeitpunkt der Veröffentlichung seines Artikels oder Buches) von der eigenen propagierten Herangehensweise überzeugt. Doch da sich anscheinend keine Methode als herausragend erwiesen hat, werden nun einige dieser Methoden vorgestellt und reflektiert.

3.2.1 Übliche Verfahren zur Behandlung der Prozentrechnung

In den USA wird als traditional approach diejenige Behandlung der Prozentrechnung verstanden, in welcher Schüler Prozentaufgaben jeweils nach der gesuchten Größe, also in Fall I, II oder III (s. o.), klassifizieren und die gegebenen Größen in die dazugehörige, auswendig gelernte Formel einsetzen (vgl. z.B. Smart 1980).¹² Der Grund für die Wahl dieses Vorgehens liegt darin, dass dort die Prozentrechnung oft schon in der sechsten Schulstufe behandelt wird, wenn noch keine algebraischen Umformungen im Unterricht durchgenommen wurden (Berger 1989).

Für den Schüler dürfte dieser Ansatz problematisch sein, da er möglicherweise keinerlei Einsicht in die Prozentrechnung erhält, sondern stur Formeln anwendet, deren Sinn ihm verschlossen bleibt. Ist die entsprechende Formel dann einmal vergessen worden, so hat der Schüler nicht die Möglichkeit, sie sich aus der Aufgabe durch eigene Überlegungen erneut herzuleiten. Auch hat er keine inhaltliche Kontrolle, ob er die der Fragestellung angemessene Formel verwendet, oder ob er evtl. die gegebenen Größen den Begriffen Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert falsch zugeordnet hat. Dieser Ansatz beinhaltet das sinnlose Erlernen (möglicherweise) nicht verstandener Formeln, die nach der expliziten unterrichtlichen Behandlung allzu schnell wieder vergessen werden können. Goldberg und Walsch (1986) äußern sich dazu: „Ein derartiges Vorgehen ist selbstverständlich nicht zu empfehlen [...]“ (S. 495).

Wenn die Schüler bereits algebraische Umformungen von Gleichungen behandelt haben, bietet sich eine zwar nur geringfügig modifizierte Variante dieses Vorgehens an, die den Schülern jedoch mehr Einsicht in die Prozentrechnung erlaubt. Smart (1980) nennt dies den percent formula approach , in der deutschen Didaktik z.B. von Meißner (1982) als „Formales Verfahren“¹³ (S. 128) bezeichnet. Durch Algebra-Kenntnisse der Schüler ist es möglich, die Prozentrechnung inhaltlich einzuführen und so zu einer Anfangsgleichung zu gelangen. Diese Grundgleichung kann dann, je nach den Erfordernissen der Aufgabe, von den Schülern nach der gesuchten Größe umgestellt werden. Eine bestimmte Sichtweise von Prozent ist damit noch nicht festgelegt, da je nach gewählter Perspektive die entsprechenden Formeln verwendet werden können. Daher soll dieses Verfahren im Hinblick darauf nicht weiter kommentiert werden. Grundsätzlich bietet es dem Schüler jedoch bessere Möglichkeiten, ein Verständnis der Prozentrechnung zu erwerben als der traditional approach, da er sich lediglich eine (inhaltlich sinnvoll hergeleitete) Formel merken muss, die er für alle Grundaufgaben verwenden kann.

Einige Verfahren ähneln sich dadurch im Aufbau, dass sie die gegebenen Größen in tabellarischer oder Dreisatz-Form notieren lassen, um dann durch Operatorpfeile oder Schlussrechnung die gesuchte Größe zu bestimmen. Auch das „Vorgehen über 1%“ (siehe z.B. Goldberg/Walsch 1986:495 sowie Kap. 3.2.2) kann in diese Kategorie eingeordnet werden.

Beim Dreisatz-Verfahren wird die gesamte Fragestellung in eine tabellarische Form gebracht und dann durch Dreisatz zur gesuchten Größe umgestellt (vgl. z.B. Meißner 1982). Um die hier vorgestellten unterschiedlichen Ansätze miteinander vergleichen zu können, wird im Folgenden jeweils eine dem Verfahren entsprechende Beispielrechnung zur gleichen Aufgabe angegeben.

Aufgabe: Thorstens Vater kauft ein gebrauchtes Fahrrad für 146 Euro. Als sich herausstellt, dass Thorsten das Fahrrad bereits zu klein ist, verkauft der Vater das Rad für 178 Euro wieder. Wie viel Prozent des Kaufpreises verdiente er?

Rechnung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es kann natürlich statt mit dem Wert 178 Euro auch direkt mit der Differenz der beiden Preise gerechnet werden, um sofort den gewünschten Prozentsatz zu erhalten.

Bei der Verwendung des Verfahrens über Proportionale Zuordnungen wird der Proportionalitätscharakter von Prozent in den Vordergrund gestellt. Auch hier werden die Werte tabellarisch geordnet, wobei eine Spalte die absoluten Werte, die andere Spalte die zugehörigen Prozentangaben enthält. Umformungen werden explizit gemacht, indem Operatorpfeile neben die umgeformten Zeilen geschrieben werden.

Rechnung:

·Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beide Verfahren bieten dem Schüler eine gute Übersicht über die gegebenen und gesuchten Größen und machen es ihm leicht, die ausformulierte Aussage in eine mathematische Form zu bringen, mit der gerechnet werden kann. Der Vorteil dieser Methoden liegt auch darin, dass entgegen der traditional - und der percent formula- Methode die Größen nicht notwendigerweise den Benennungen Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert zugeordnet werden müssen (was für Schüler eine potentielle Fehlerquelle in sich birgt), sondern direkt den entsprechenden Prozentangaben gegenüber gestellt werden können. Dies betrifft allerdings lediglich den formalen Aspekt, denn natürlich müssen auch hier die Schüler erkennen, welcher Größe 100% zuzuordnen sind.

Ebenfalls mit Operatorpfeilen wird in der Operatormethode gearbeitet. Die Darstellung ist jedoch eine andere, da die absoluten Werte nicht den Prozentangaben entsprechend angeordnet werden, sondern stärker der Zuordnungs- oder Funktionsaspekt von Prozent betont wird. Es wird die bereits in Kapitel 2.1 angesprochene Operatorschreibweise verwendet. Je nach gesuchter Größe muss aus dieser Darstellung noch die eigentliche Rechnung abgeleitet werden.

Rechnung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Behandlung der Prozentrechnung auf der Grundlage dieser Methode bietet sich nach Hollmann (1975) nur dann an, wenn bereits zuvor die Bruchzahlen als „Operatoren, d. h. als Funktionen über Größenbereichen, genauer: als Verkettungen a□b jeweils eines Multiplikationsoperators a und eines Divisionsoperators Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (mit a, b ∈ |N)“ behandelt wurden (S. 19). Die Prozentrechnung kann dann direkt auf der Bruchrechnung aufgebaut werden, „die Prozentoperatoren sind [...] nichts anderes als Bruchoperatoren“ (Hollmann 1975:20). Für Schüler sei der Übergang denkbar leicht, denn „[d]ie unterrichtliche Behandlung der Prozentoperatoren erfordert also keine neue Begriffsbildung; es wird lediglich eine weitere Schreibweise für Bruchoperatoren eingeführt“ (Hollmann 1975:20). Dafür wird definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Haben Schüler diesen Ansatz bereits bei der Behandlung der Bruchzahlen kennen gelernt und sind damit gut vertraut, so erscheint der Übergang von Bruch- zu Prozentzahlen leicht. Prozente werden auch hier als Spezialfall der Bruchrechnung aufgefasst, und zwar mit dem normierten Nenner 100. Ein Vorteil mag auch darin bestehen, dass, ähnlich wie bei der amerikanischen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten-Methode (siehe z.B. Smart 1980:179), der Schüler lediglich zu erinnern braucht, dass der Prozentoperator multiplikativ verknüpft ist. Die Umkehrfunktion ist daher natürlich eine Division, und da bei der obigen Aufgabe einer der Faktoren (nämlich der Prozentoperator) gesucht ist, ist unmittelbar einleuchtend, dass der Prozentsatz (bzw. Prozentoperator) durch Division der Ausgangsgröße durch die Eingangsgröße erhalten werden kann. Allerdings fordert auch Hollmann: „Die in der jeweiligen Aufgabensituation verborgenen Begriffe sind den Begriffen der Prozentrechnung (Grundwert, Prozentwert, Prozentoperator) richtig zuzuordnen“ (1975:27).

Auch die Hintereinanderausführung mehrerer Prozentoperationen, die sich auf den gleichen Grundwert beziehen (und die sich sonst schwierig gestalten und mehrere Rechenschritte erfordern kann), stellt sich mit dieser Methode recht einfach dar. Bei einer einfachen Operation wird dem Grundwert G der Prozentwert G · p% zugeordnet. Für einen erhöhten Grundwert ergibt sich damit G+G·p% = G · (1+p%)¹⁴ Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenWird von diesem erhöhten Grundwert ausgehend noch eine weitere Operation mit dem Prozentoperator q% durchgeführt, so erhält man für die Eingangsgröße G·(1+p%) als Ausgangsgröße G·(1+p%)·q%. Handelt es sich abermals um einen erhöhten Grundwert, dann ergibt sich G·(1+p%)+G·(1+p%)·q% = G·(1+p%)·(1+q%). Für die Operatordarstellung erhält man damit den einfachen Zusammenhang:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Die Schwierigkeit für Schüler besteht dabei darin zu verstehen, warum die sprachlich additive Formulierung „Ich erhöhe den Grundwert erst um p% und dann noch einmal um q%“ bzw. „Erst kommen p% vom Grundwert hinzu, dann noch einmal q%“ mathematisch durch eine multiplikative Verknüpfung ausgedrückt werden muss. Es ist daher fraglich, ob die Schüler eine solche „verkürzte“ Hintereinanderausführung verstehen werden, oder ob sie nicht nur ein Schema anwenden werden, das ihnen vom Lehrer gezeigt wurde, ohne dies inhaltlich zu durchdringen. Insbesondere für schwächere Schüler dürften sich große Schwierigkeiten gerade bei der Lösung komplexer Probleme auftun, die evtl. nicht nur eine mehrfache Erhöhung des Grundwertes verlangen, sondern ein Herauf- und Hinabsetzen des Grundwertes. Eine solche Aufgabenstellung würde ein tatsächliches Verständnis der Methode und der Hintergründe der multiplikativen Verknüpfung erfordern. Daher erscheint die Operatormethode bei solch komplexeren Problemen in ihrer Knappheit der Notation - zumindest in der 7. Schulstufe - nicht schülergerecht, das heißt es sollte auch bei solchen Aufgabenstellungen auf die verkürzte Schreibweise verzichtet werden und auf die längere Notation mit zwei separaten Operationen zurück gegriffen werden.

Nach Smart (1980:190) ist eines der kontroversesten Verfahren die Behandlung der Prozentrechnung über Verhältnisgleichungen.¹⁵ Dabei wird am Anfang der Lösung jeden Aufgabentyps eine Verhältnisgleichung aufgestellt, welche die in der Aufgabe genannten Angaben wiedergibt. Die gesuchte Größe wird als Variable in die Gleichung eingefügt, nach der im Folgenden aufgelöst wird.

Rechnung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zum Aufstellen der Verhältnisgleichung ist es erforderlich, dass Schüler das Grundschema dieser Gleichung verinnerlicht haben (Gleichung (1), S. 10). Um die gegebenen Werte richtig in eine Gleichung einzusetzen, müssen sie diese zudem richtig den Benennungen „Grundwert“, „Prozentwert“ und „Prozentsatz“ zuordnen können. Eine weitere Fehlerquelle ist die notwendige Umformung nach der gesuchten Größe, die zu Rechenfehlern führen kann. Andererseits bietet dieses Verfahren Schülern ein festes Schema, das sie auf jeden Aufgabentyp anwenden können. Haben sich Schüler die Verhältnisgleichung gemerkt - und sie sollten auch in der Lage sein, die inhaltlichen Zusammenhänge wiederzugeben - so können sie beinahe jedes auftretende Problem sicher lösen. Smart (1980) weist allerdings darauf hin, dass die Verhältnisgleichung nicht eindeutig bestimmt ist (S. 190). Sie kann auf unterschiedliche Arten aufgestellt werden. Es wird entweder von der Einführung des Lehrers abhängen, welche der möglichen Varianten gewählt wird, oder von der Einsicht der Schüler, dass verschiedene Möglichkeiten existieren. So kann sich unter Umständen jeder Schüler die Gleichung als Anfangsgleichung wählen, die ihm am einleuchtendsten oder am leichtesten merkbar erscheint. Es sollte jedoch nicht der Eindruck entstehen, dass nur eine, vom Lehrer vorgegebene oder gemeinsam in der Klasse erarbeitete Gleichung richtig ist.

Eine alternative Schreibweise von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten als p% ist in der Verhältnisgleichung allerdings nicht sinnvoll. Es wird durchweg mit Brüchen gearbeitet. Sollten die Schüler bereits mit Taschenrechnern arbeiten, so stellt dies jedoch heutzutage diesbezüglich kein Problem dar, da die meisten wissenschaftlichen Taschenrechner eine Funktion zur Eingabe von Bruchzahlen haben. Zudem ist es m. E. unsicher, ob Schülern eine der beiden Schreibweisen von p% als Bruch- oder Dezimalzahl besser liegt, d.h. es ist unproblematisch, die Bruchschreibweise für diese Methode zur Norm zu machen. Bei Größen, die in einem anderen Format gegeben sind, können Schüler dann sinnvoll Umformungen der verschiedenen Notationen üben. Problematisch ist allenfalls, dass in der Notation als Verhältnisgleichung das Symbol % nicht vorkommt. Eine dementsprechende Angabe muss also entweder vor der Rechnung umgeformt oder das Symbol % danach an passender Stelle eingefügt werden, was Schülern möglicherweise unlogisch oder schwer verständlich erscheint.

3.2.2 Weitere Verfahren

Einen ähnlichen Ansatz wie der Dreisatz und das Verfahren über proportionale Zuordnungen liefert das Vorgehen über 1% (z.B. Goldberg/Walsch 1986). Schüler müssen zur Anwendung dieser Methode das natürliche Schließen beherrschen nach den Mustern

wenn ein Teil gleich a ist, dann sind p Teile gleich p· a, bzw.

wenn p Teile gleich b sind, dann ist ein Teil gleich b:p, bzw.

wenn ein Teil gleich a ist, dann sind in b gerade b:a Teile enthalten

(Goldberg/Walsch 1986:495).

Wie der Name dieser Methode schon sagt, wird als erster Schritt jeder Rechnung 1% von G bestimmt. Dann wird geschlossen, wie von diesem Wert die gesuchte Größe erhalten werden kann.

Rechnung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aufgaben zur Berechnung des Prozentwertes dürften mit Hilfe dieser Methode leicht fallen. Bei den anderen Aufgabentypen können sich für Schüler jedoch schnell Probleme auftun, wenn das natürliche Schließen nicht beherrscht wird. Goldberg und Walsch (1986) sind der Ansicht, dass diese Schwierigkeiten überwunden werden können. Sie scheinen jedoch nicht davon auszugehen, dass die Probleme während des Unterrichts besprochen werden können, sondern verweisen vielmehr darauf, dass das natürliche Schließen „im Zusammenhang mit dem Schließen auf ein Vielfaches oder einen Teil einer Zahl in Klasse 4 [...], aber auch bei der Einführung von Verhältnisgleichungen in Klasse 6“ (S. 496) vorbereitet wurde. Daher erscheint es nicht als sinnvoll, diese Verfahrensweise einsetzen zu wollen, wenn Schülern das natürliche Schließen nicht geläufig ist. Dies gleichzeitig mit dem ohnehin schon anspruchsvollen Thema „Prozentrechnen“ neu einführen zu wollen, würde die Schüler unter Umständen überfordern und damit an einer tieferen Einsicht in die Prozentrechnung hindern.

Einen sehr interessanten Ansatz für die Behandlung der Prozentrechnung hat Kilian (1986) entwickelt. Er führt eine Verknüpfung % ein, „mit der man rechnen kann wie mit der Verknüpfung · (Multiplikation), etwa in [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]“ (S. 77). Kilian nennt diese Herangehensweise „ Direkte Prozentrechnung “ (S. 78). Als Voraussetzung für deren Anwendung müssen Schüler allerdings lineare Gleichungen lösen können. Kilian nimmt an, dass die direkte Prozentrechnung für Schüler mit den erforderlichen Vorkenntnissen „einfacher und in der Anwendung (etwas) unproblematischer ist“ (S. 78) als herkömmliche Verfahren wie Dreisatz-, Operator- oder Gleichungsmethode.¹⁶

Kilians Ansatz beinhaltet zunächst die Verkürzung einer Aussage wie

8 Prozent von 175 Personen sind 14 Personen

zur Symbol-Kurzschreibweise

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei das „von“ zwar nicht mehr geschrieben, wohl aber noch gelesen werden soll. Er gelangt somit zu der Definition

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (S. 78).

Ganz analog kann diese Definition auch über Zuordnungsvorschriften für Prozentaufgaben erhalten werden. Kilian führt daraufhin „als Grundmodell der Prozentrechung eine neue Verknüpfung (Operation) %“ (S. 79) ein mit folgender Definition:

Jedem Paar (a,b) positiver rationaler Zahlen wird eine dritte rationale Zahl zugeordnet durch die Abbildungsvorschrift [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Diese Verknüpfung kann nun auf Eigenschaften von Verknüpfungen wie Assoziativität, Kommutativität und die Existenz von neutralem Element und Inversen untersucht werden.¹⁷ Es ergibt sich, dass ([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]+, %), wie ([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]+, ∙), eine abelsche Gruppe ist, mit der ebenso gerechnet werden kann.

Die Kommutativität liegt nach der Definition auf der Hand, da sie auf die Kommutativität der Multiplikation in den rationalen Zahlen zurück geht. Es gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Auch die Assoziativität lässt sich sofort aus der Definition ableiten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bereits Schüler der 7. Jahrgangsstufe können diese Beziehungen leicht einsehen, da sie nur auf die Definition zurück greifen müssen und gegebenenfalls einige Beispiele zur Bestätigung lösen können. Gerade die Kommutativität, die für die Prozentrechnung meist nicht vermutet oder intuitiv angenommen wird, liefert ein Mittel, viele Aufgaben stark zu vereinfachen. Wenn 66%50 das Gleiche ist wie 50%66, so bietet es sich natürlich an, die Aufgabe auf die zweite Weise zu lösen, da die Rechnung deutlich einfacher ist. Auch die Assoziativität kann zur Erleichterung der Lösung von Aufgaben beitragen.

Wie man leicht nachrechnen kann, ist das neutrale Element von % nach der obigen Definition 100, denn

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Inverses Element für a∈[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]+ ist Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, denn

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Damit ist gezeigt, dass ([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]+, %) eine abelsche Gruppe bildet. Diese formale Beziehung wird jedoch höchstens für den Lehrer interessant sein. Mit den Schülern können vermutlich zwar die Eigenschaften besprochen werden (oder von ihnen herausgefunden werden), es wird jedoch in diesem Themenkomplex nicht sinnvoll sein, den Gruppenbegriff selbst zu erläutern.

Es kann nun noch die Addition hinzu genommen werden, um auch die Distributivität von % über + zu überprüfen. Aus der Anwendung der Prozentrechnung ist bekannt, dass auch diese Eigenschaft erfüllt ist. Auch wenn man sich möglicherweise noch nie bewusst damit auseinander gesetzt hat, so werden doch oft Rechnungen mit Hilfe der Anwendung des Distributivgesetzes vereinfacht, etwa um einen erhöhten Grundwert zu berechnen. Durch die alltägliche Anwendung ist bekannt, dass 106%20 = 100%20 + 6%20 gilt. Aus der Definition lässt sich dies mit der Gültigkeit des Distributivgesetzes von ∙ über + in [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wiederum leicht auch allgemein beweisen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Demnach bildet ([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], +, %) einen Körper, der überdies zu dem Körper ([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], +, ∙) isomorph ist.¹⁸

Um mit der direkten Prozentrechnung zu rechnen, muss der Schüler nur die sprachliche Aussage in eine lineare Gleichung der Form x = a%b umformen und nach der gesuchten Größe umstellen. Der Unterschied zum Gleichungs-verfahren besteht bei diesem Vorgehen lediglich darin, dass wichtige Eigenschaften von Prozent, wie Kommutativität, Assoziativität und Distributivität über + leichter expliziert werden können.

3.2.3 Vergleich der Verfahren

Es ist ersichtlich, dass es eine Vielzahl möglicher Behandlungsweisen von Prozent gibt. Doch kann ein Verfahren besonders empfohlen werden, oder ist ein Verfahren eventuell gar nicht für die unterrichtliche Behandlung geeignet? Gibt es Hinweise für Lehrer, dass eine bestimmte Behandlung ein langzeitiges Behalten der Prozentrechnung bei den Schülern fördert?

Zur Beantwortung dieser Frage wurden seit den 1950er Jahren zahlreiche Untersuchungen durchgeführt, die den Schülererfolg je nach verwendeter Unterrichtsmethode miteinander verglichen. Es hat allerdings den Anschein, dass sich die Erfolgsquote der Schüler durch keine der Methoden signifikant veränderte. Parker und Leinhardt (1995) zitieren Untersuchungen, die ergaben, dass zwar gewisse Verfahren in bestimmten Bereichen geeigneter zu sein scheinen, sich andererseits jedoch keine Verbesserung im allgemeinen Verständnis von Prozent zeigen ließ. Sie nennen beispielsweise die Studie von McMahon (1959), in der das Verfahren über Verhältnisgleichungen mit der traditional -Methode verglichen wurde (Parker/Leinhardt 1995:452). Es zeigten sich signifikant bessere rechnerische Ergebnisse für diejenigen Schüler, die mit der Verhältnismethode unterrichtet worden waren, doch waren Schüler auch nach dem Unterricht mit diesem Verfahren nicht in der Lage, Prozent besser zu interpretieren oder Prozentprobleme besser zu lösen als vor der Unterrichtseinheit. Das Verständnis des Konzeptes „Prozent“ hatte sich anscheinend bei den Schülern durch beide untersuchten Verfahren nicht verbessert. Ähnliche Aussagen lassen sich aufgrund von Untersuchungen auch bezüglich der anderen „traditionellen“ Methoden machen.

Ein etwas anderes Ergebnis liefert hingegen eine Studie von May (1965), welche das traditional -Verfahren dem Verfahren über Verhältnisgleichungen und Entdeckungsmethoden gegenüber stellt (siehe Parker/Leinhardt 1995: 452f.). Das traditional -Verfahren schließt hierbei am schlechtesten ab, während die Methode der Verhältnisgleichungen und der Entdeckungsansatz erstaunlich hohe Behaltensleistungen bei den Schülern ermöglichten. Allerdings ist unklar, unter welchen Umständen der Unterricht mit den jeweiligen Verfahren durchgeführt wurde, da in der oben genannten Studie von McMahon (1959) eine solche Überlegenheit des Verhältnis-Ansatzes gegenüber dem traditional approach nicht ersichtlich war. Maxim (1982) schließlich schloss aus der Beobachtung, dass Schülerleistungen auch bei unterschiedlicher unterrichtlicher Behandlung in etwa auf dem gleichen (schlechten) Niveau stagnierten, dass „ the instructional method does not seem to be the major determinant of student percent performance “ und weiter „ more significant factors need to be identified “ (S. 104; nach Parker/Leinhardt 1995:453).

Meißner (1982) führte eine Untersuchung mit über 500 Schülern durch¹⁹, in der auch die von den Schülern verwendeten Verfahren auf Erfolg bei der Aufgabenbearbeitung untersucht wurden. Die angewandten Verfahren unterteilt Meißner in Operator-Verfahren, Dreisatz-Verfahren, Verfahren über Proportionale Zuordnungen, Formales Verfahren (vgl. Kap. 3.2.1) und naives TR-Verfahren (Taschenrechner-Verfahren), welches in Kap. 4.2.2 dieser Arbeit noch näher behandelt werden soll. Die am häufigsten verwendeten Verfahren waren dabei das Formale Verfahren, das Dreisatz- und das Operator-Verfahren (S. 139). Als am erfolgreichsten zeigt sich in dieser Untersuchung das Dreisatz-Verfahren, während das Formale Verfahren Anfangsschwierigkeiten der Schüler bei der Lösung einer Aufgabe noch zu begünstigen scheint bzw. auch verwendet werden kann, wenn die Aufgabe nicht verstanden worden ist (S. 139 ff.). Es scheint, dass das Dreisatzverfahren den Schülern eine gute Hilfestellung bietet, da es sehr anschauungsgebunden und sachorientiert ist und dem Schüler somit eine „Übersetzung“ der Sachsituation in die mathematische Schreibweise leicht macht. Insgesamt kann jedoch auch hier kein besonders geeignetes Verfahren gefunden werden. Die Frage, wie ein erfolgreicherer Unterricht zur Prozentrechnung aussehen kann oder sollte, bleibt bestehen.

Obwohl auch weiterhin nach einer besonders angemessenen Methode gesucht wird, die es Schülern erlaubt, ein umfassendes Verständnis von Prozent zu entwickeln, wird andererseits mittlerweile propagiert, die Prozentrechnung nicht mehr nur mit einem singulären Verfahren zu behandeln. Einige Didaktiker sind der Ansicht, dass ein breiteres Spektrum mehrerer Behandlungsweisen im Unterricht verwendet werden sollte. Die Herangehensweise solle variieren, um verschiedenste Aspekte von Prozent betrachten zu können und den Schülern eine Vielzahl möglicher Verfahren zur Auswahl zu stellen. Smart (1980) zieht als Resümee seiner Übersicht der möglichen Behandlungsmethoden: „ A good teacher should be able to use any one of the approaches as needed, instead of always using just one of them “ (S. 191). Ein jeder Schüler kann sich demnach aus dem gebotenen Spektrum diejenige Behandlungsweise auswählen, die ihm persönlich den besten Einblick in die Prozentrechnung gewährt. Auch Glatzer (1984), der sich zwar nicht auf bestimmte Methoden der Behandlung bezieht, sondern vor allem auf eine inhaltliche Einbettung von Prozent abzielt, bemerkt „ teachers can use a number of strategies in the teaching of percentage “ (S. 26).

Goldberg und Walsch (1986) hingegen sprechen sich gegen ein solches mehrgleisiges Vorgehen in der Behandlung der Prozentrechnung aus. Zur Begründung dieser Aussage zitieren sie eine Studie, die ergab, dass der Lösungserfolg von Klassen mit größtenteils einheitlichem Vorgehen dreimal größer war als von Klassen, in denen ein breites Spektrum an Lösungswegen angewandt wurde (S. 500). Sie schließen demnach: „Es ist günstiger, sich auf einen Lösungsweg zu konzentrieren und die Schüler zu befähigen, die verschiedenen Aufgaben nach diesem Weg zu lösen, als mehrere Lösungswege gleichberechtigt nebeneinander zu behandeln“ (S. 500). Andere Methoden können nach Goldberg und Walsch an einzelnen Aufgaben punktuell eingesetzt und besprochen werden. Eine Empfehlung für einen bestimmten Ansatz, der im Unterricht verwendet werden sollte, wollen sie jedoch auch nicht geben. Sie verweisen auf die je Klasse unterschiedlichen Rahmenbedingungen und überlassen es der Einschätzung des Lehrers, welche Methode als vorrangige gewählt wird. (1986:501).

Berger (1989) hingegen weist darauf hin, dass erst wenige empirische Befunde zu dieser Fragestellung vorliegen. Er zeigt jedoch eine Tendenz auf, nach der Lehrer die Prozentrechnung oft mit Hilfe des Dreisatzes einführen, um dann in höheren Klassen oder bei Wiederholungen und Vertiefungen des Themas auch auf andere, effizientere oder abstraktere Lösungsverfahren einzugehen (S. 93). Als Resümee der Betrachtung der didaktischen Diskussion um die oben gestellte Frage zieht er die Feststellung, dass jedes der genannten Verfahren unter fachwissenschaftlichen Gesichtspunkten zu rechtfertigen sei, sich für Schüler jedoch bei jedem Verfahren sowohl Vor- als auch Nachteile zeigen (S. 94). Dementsprechend scheint die Suche nach einem „Normalverfahren“ für die Prozentrechnung nicht zum Erfolg führen zu können. Eine Klassifikation der verschiedenen Methoden der Behandlung der Prozentrechnung lässt sich nach Berger (1989) allerdings dennoch vornehmen: Sie unterscheiden sich im Abstraktionsgrad. Während sich die Dreisatz-Methode stark am vorliegenden Sachverhalt orientiert und demnach einen geringen Grad der Abstraktion aufweist, bildet nach Berger die Formel-Methode das andere Extrem, da sich diese durch die Verwendung fertiger Formeln vollkommen von der Sachsituation losgelöst verwenden lässt. Als Methoden von mittlerem Abstraktionsgrad nennt Berger etwa das Operatorverfahren sowie Gleichungs- oder Verhältnisgleichungsverfahren (Berger 1989:94). Als Fazit zieht er daraus: „Als Endziel ist zweifellos ein Lösungsverfahren anzustreben, das möglichst rationell, d. h. gedächtnisentlastend und von der Darstellung her kurz, aber dennoch sicher ist“ (S. 94). Es ist damit zu empfehlen, die Prozentrechnung mit einem weniger formalen Verfahren zu beginnen, um den Schülern nach und nach auch andere, abstraktere Verfahren vorzustellen. Das Ziel des Unterrichts sollte es nach Berger sein, „jedem Schüler zu helfen, ‚sein‘ Normalverfahren zu finden“ (1989:95).

Zusammenfassend ist festzustellen, dass sich selbst die Frage, ob Schülern die Prozentrechnung mittels eines Verfahrens oder anhand mehrerer Verfahren nahe gebracht werden sollte, nicht eindeutig beantworten lässt.

Eigene Überlegungen in Anknüpfung an Bergers Ausführungen (1989) führen zu der Annahme, dass es vermutlich vom Leistungsstand der Schüler abhängig ist, ob ihnen eine Auswahl verschiedener Behandlungsweisen der Prozentrechnung eher hilfreich oder hinderlich ist. Hat der Schüler bereits ein gutes Verständnis von Prozent, so wird ihm möglicherweise eine andere Herangehensweise einen neuen Aspekt der Prozentrechnung erschließen. Hat ein Schüler jedoch Probleme mit dem Verständnis von Prozent, so mag ihn eine Vielzahl an Lösungswegen in einem frühen Stadium der Behandlung noch mehr verwirren und in einem klareren Verständnis behindern. Für ihn kann es einfacher sein, wenn er lediglich ein Schema memorieren muss, das ihm die Lösung von Prozentaufgaben ermöglicht. Bedacht werden muss hierbei der qualitative Unterschied zwischen einem Lösungsschema, das der Schüler inhaltlich durchdrungen hat und reproduzieren kann, und einer Reihe auswendig gelernter Formeln, die nicht verstanden sind.

Auch diese Argumentation hilft nun allerdings in der Auswahl der Verfahren nicht weiter: Schüler, die auf einem guten Leistungsniveau die Prozentrechnung betreffend sind, können vermutlich auch weitere Lösungswege begreifen und anwenden, während Schüler mit einem schlechteren Verständnis durch eine größere Auswahl nur unnötig verwirrt werden. Damit ist ein erneuter Rückschluss auf die Überlegungen von Berger (1989) möglich: Am sinnvollsten erscheint es, die Prozentrechnung anfangs behutsam mit einem anwendungs- und sachorientierten Verfahren einzuführen, damit Schüler (auch bei Wiederaufgreifen des Themas in höheren Klassenstufen) eigene Versuche mit dem Konzept Prozent unternehmen und eventuell herausfinden können, dass das gewählte erstmalige Verfahren umständlich oder sogar in gewissen Situationen hinderlich ist. Die Schüler können so ein Verständnis von Prozent entwickeln, das tiefer ist als es ein vorgegebenes Verfahren ermöglichen würde. Allerdings muss hier der zeitliche Aspekt beachtet werden. Es steht dem Lehrer nicht unbegrenzt Zeit zur Verfügung. Es muss ein Mittelweg gefunden werden zwischen einer zu knappen und zeitsparenden und einer allzu ausgedehnten Behandlung, welche gegenüber anderen Themen zu viel Raum einnimmt und möglicherweise auch die Schüler langweilt.

Da Schüler jedoch auch bei einer anwendungsorientierten ersten Behandlungsweise wie dem Dreisatzverfahren viele Fehler machen und Probleme mit der Prozentrechnung zu haben scheinen, stellt sich weiterhin die Frage nach deren Ursachen. Der Schlüssel zur Lösung dieses Problems kann also nicht nur in der Klärung der Frage nach einer oder mehreren Vorgehensweisen oder der Beurteilung der einzelnen Methoden liegen. Vielmehr ist zu analysieren, welche generellen Schwierigkeiten Schüler mit dem Konzept „Prozent“ haben und wie diesen möglichst effektiv entgegen gewirkt werden kann.

4. Schülerprobleme und Hilfsmittel

Es erscheint wenig sinnvoll, nach immer neuen, verbesserten Methoden zur Vermittlung der Prozentrechnung zu suchen, wenn nicht klar ist, in welche Richtung Hilfsmittel für Schüler weisen müssen. Eine qualitative Analyse von Schülerfehlern ist notwendig, da nur darauf aufbauend eine wirkliche Verbesserung der Unterrichtsmethoden erreicht werden kann.

4.1 Studien zu Schülerproblemen

Es wurden schon seit den 20er Jahren des 20. Jahrhunderts Untersuchungen zu Schülerschwierigkeiten durchgeführt²⁰. Die meisten Studien bezogen sich jedoch nicht speziell auf Prozentaufgaben, sondern schlossen diese in größer angelegten Untersuchungen mit ein (Berger 1989:124).

Untersuchungen zum Lösungserfolg von Schülern zeigen auf, dass die Lösungsquote für Prozentaufgaben bei Schülern nicht konstant ist, sondern je nach Aufgabenart stark variieren kann (siehe z.B. Berger 1989:133). So finden sich bereits bei den drei Grundaufgaben Unterschiede im durchschnittlichen Lösungserfolg der Schüler: Aufgaben zur Prozentwertberechnung scheinen Schülern am leichtesten zu fallen, während Aufgaben zur Prozentsatz- und Grundwertberechnung anscheinend mit erheblich größeren Schwierigkeiten verbunden sind (Berger 1989:131, 133-134, 138; Parker/Leinhardt 1995:425). Dabei ist zu bemerken, dass Schüler bei der Lösung von Aufgaben zu proportionalen Zuordnungen in mehreren Studien trotz der strukturellen Gleichartigkeit der beiden Anwendungen einen weitaus höheren Lösungserfolg hatten als bei Prozentaufgaben (Berger 1989:132). Berger schließt daraus, „daß Schülern bei Prozent- und Zinsaufgaben offensichtlich der erste Schritt, nämlich die Aufgabe überhaupt in Angriff zu nehmen, wesentlich schwerer fällt als bei Aufgaben zur Schlußrechnung [...]“ (1989:132).

Der unterschiedliche Lösungserfolg bei verschiedenen Aufgaben ist von allgemeinen Aufgabenvariablen abhängig, die nicht nur auf die Prozentrechnung anwendbar sind. Diese sind: Komplexität der Aufgabe, rechnerische Schwierigkeiten, Vertrautheit der Sachsituation, Datenfolge in der Aufgabe, Angabe des Aufgabenziels und die Art der sprachlichen Formulierung (Berger 1989:125). Demnach fallen Schülern lineare Aufgaben leichter als solche mit verzweigter Struktur, solche mit einfachen oder bekannten Zahlen leichter als Aufgaben mit schwierigen oder auch nur schwierig erscheinenden Zahlen. Schüler erzielen bessere Erfolge, wenn die Sachsituation der Aufgabe aus ihrem unmittelbaren Umfeld entstammt und wenn die Aufgabe eine explizite oder eindeutige implizite Fragestellung enthält (Berger 1989:126 f.). Ob Schüler von der Reihenfolge der im Aufgabentext angegebenen Daten beeinflusst werden, konnte nicht nachgewiesen werden. Auch kann nur vermutet werden, dass die Angabe zu vieler irrelevanter Daten sowie zu weniger notwendiger Daten²¹ die Schüler verunsichert. Bei der sprachlichen Formulierung der Aufgabe sollte darauf geachtet werden, dass einfache Sätze, konkrete Beschreibungen, ein mittlerer Grad an Prägnanz, kindgerechte Ausdrücke, ein klares und übersichtliches Schriftbild und Hervorhebungen im Aufgabentext Schülern helfen, die Aufgabe zu erfassen (Berger 1989:128).

Studien zum Erfolg der Schüler bei Prozentaufgaben sowohl in Deutschland wie auch in den USA zeigten, dass die meisten Schüler große Defizite in der Prozentrechnung haben. Der durchschnittliche Lösungserfolg lag zwischen 33% und 86%, je nach bearbeiteter Aufgabe²² (Berger 1989:129-141). Am erfolgreichsten wurden dabei Aufgaben zur Prozentwertberechnung gelöst, deutlich niedriger lagen die Erfolgsquoten für Aufgaben zur Prozentsatz- und Grundwertberechnung. Umwandlungsaufgaben zwischen den verschiedenen Schreibweisen für Prozent konnten von den Schülern recht gut bearbeitet werden. Aufgaben mit Anteilsituationen wurden besser gelöst als Aufgaben mit Veränderungssituationen. Allgemein wurden die Leistungen der Schüler jedoch in den meisten Studien als „enttäuschend“ (Berger 1989:142) bezeichnet.

Um Aussagen über die Ursachen der geringen Lösungserfolge der Schüler bei Prozentaufgaben machen zu können, müssen allerdings unabhängig von quantitativen Aussagen auch qualitative gemacht werden. Weitere Untersuchungen wurden daher durchgeführt, welche nicht nur den Lösungserfolg der Schüler bestimmen wollten, sondern Aussagen über die Art der Fehler und deren mögliche Ursache machen wollten. Es zeigte sich, dass viele Fehler vermutlich dadurch entstanden, dass

- richtig berechnete Ergebnisse falsch interpretiert oder umgeformt wurden²³,
- ohne inhaltliches Verständnis so gerechnet wurde, dass ein glattes Ergebnis herauskam,
- eine Dezimalzahl, die in eine Prozentzahl umgewandelt werden sollte, nicht genau zwei Nachkommastellen hatte²⁴,
- unklar war, wie bei der Prozentsatz- und Grundwertberechnung dividiert werden musste,
- die Zuordnung von Grundwert und Prozentwert falsch war,
- bei Veränderungssituationen der berechnete Prozentsatz nicht von 100 subtrahiert oder zu 100 addiert wurde,
- bereits im Ansatz die Aufgabenstellung nicht richtig erfasst oder in eine falsche mathematische Schreibweise übertragen wurde,
- Rechenfehler in den Grundrechenarten gemacht wurden,
- bei der Rechnung mit Dezimalzahlen Kommata falsch oder gar nicht gesetzt wurden,
- Probleme bei der Bruchrechnung sich fortpflanzten,
- andere Fehler z.B. beim Abschreiben der Zahlen gemacht wurden („Flüchtigkeitsfehler“) (Berger 1989:143-151),
- Lösungswege auf einen Schritt reduziert wurden,
- Zwischenergebnisse nicht richtig identifiziert und im Folgenden falsch verwendet wurden (Berger 1989:157),
- das Prozentzeichen von den Schülern vollkommen ignoriert wurde oder nach eigenem Ermessen ausgelassen und wieder eingefügt wurde (Parker/Leinhardt 1995:424),
- Prozentsätze größer als 100 falsch interpretiert wurden (Parker/Leinhardt 1995:425).

Die Ergebnisse lassen vermuten, dass viele Fehler bei Prozentaufgaben gar nicht primär auf die Prozentrechnung zurück gehen, sondern viel elementarere Fehler sind, die aus Defiziten in den Grundrechenarten sowie in der Bruch- und Dezimalbruchrechnung resultieren. Besonders bei der Rechnung mit Dezimalzahlen entstanden viele Fehler dadurch, dass Kommata entweder falsch gesetzt oder sogar ganz ignoriert wurden (Guiler 1946a; nach Berger 1989:151). Teilweise machten die reinen Rechenfehler bis zu 10% aller Fehler aus (Jäkle 1982; nach Berger 1989:159). Eine Reduktion dieser Fehler, die zwar nicht aus Problemen mit dem Konzept der Prozentrechnung resultieren, trägt also dennoch dazu bei, die Erfolgsrate bei Prozentaufgaben und natürlich auch bei anderen Aufgabentypen zu erhöhen. Gay und Aichele (1997) nennen die Studie von Montgomery (1958), in welcher die Schüler bei einfachem Zahlenmaterial wesentlich bessere Ergebnisse erzielten (S. 33). Parker und Leinhardt (1995) fassen zusammen, dass „ when the arithmetic was easy enough, they [die Schüler, Anm. d. Aut.] could handle the relationships “ (S. 427).

Diejenigen Fehler, die direkt aus einem falschen oder unvollständigen Verständnis der Prozentrechnung entstehen, zeigen, dass offenbar häufig der Zusammenhang von Prozentzahlen mit Bruch- und Dezimalzahlen unklar ist, die Zusammengehörigkeit von Formeln mit den gegebenen Größen, sowie die Interpretation der erhaltenen Ergebnisse und der durchgeführten Rechnungen schwer fällt. Auch Parker und Leinhardt (1995) berichten, dass Schüler besondere Probleme mit Prozentsätzen haben, die als Bruch- oder Dezimalzahl angegeben sind (S. 427). All diese Fehler deuten darauf hin, dass grundlegende Eigenschaften der Prozentrechnung nicht verstanden worden sind.

Interessanterweise erwähnt Berger (1989) in seiner Übersicht über Schülerprobleme bei der Prozentrechnung die Problematik des Prozentsymbols nicht. In der obigen Auflistung sind Schülerfehler, die auf ein Ignorieren oder Fehlinterpretieren des Prozentsymbols zurück gehen, bei Berger in dem Punkt „richtige Ergebnisse falsch interpretiert oder umgeformt“ enthalten. Parker und Leinhardt (1995) machen auf diese Fehlerursache explizit aufmerksam und vermuten, dass Schüler bei Prozent keinen Unterschied zu Größenangaben wie Euro, Kilometer, Minuten oder Ähnlichem sehen (S. 428). Bei einer solchen Größenangabe, die lediglich eine Bezeichnung der vorstehenden Zahl ist, kann diese Angabe während der Rechnung ausgelassen und am Schluss wieder angefügt werden, ohne dass dadurch Fehler entstehen. Da das Prozentsymbol jedoch keine solche Bezeichnung einer Zahl ist, sondern eine Relation zwischen zwei Zahlen beschreibt, führt ein Ignorieren des Symbols unter Umständen zu Fehlern, da am Schluss der Rechnung das Symbol an falsche Zahlen angehängt wird, oder an Zahlen, die in der vorgegebenen Sachsituation keinen Sinn ergeben.

Eine weitere Schwierigkeit für Schüler scheinen Prozentsätze darzustellen, die größer sind als 100. Ergebnisse verschiedenster Studien legen nahe, dass Schüler stark einer Auffassung von Prozent als Teil eines Ganzen verhaftet sind (Parker/Leinhardt 1995:428). Bei gegebenen Zahlen tendieren sie dazu, unabhängig von der Fragestellung oder vorgegebenen Sachsituation die kleinere Zahl durch die größere zu dividieren bzw. je nach der Art der Zahlen so zu rechnen, dass als Ergebnis ein Prozentsatz erhalten wird, der 100 nicht überschreitet. Diese Auffassung von Prozent ist die historisch älteste, und damit möglicherweise auch die naheliegendste, sodass sie für Schüler eine verständliche Sichtweise von Prozent darstellt.

In diesen Kontext lassen sich auch die Probleme mit Aufgaben zu erhöhtem und vermindertem Grundwert einordnen. Hier wird oft entweder - wenn der Grundwert oder der Prozentsatz gesucht ist - von einem Prozentwert ausgegangen, der größer ist als der Grundwert (was bedeutet, dass der Prozentsatz größer ist als 100), oder - wenn der Prozentwert gesucht ist – ein Prozentsatz vorgegeben, der 100 übersteigt. Allerdings werden diese Prozentsätze häufig nicht explizit angegeben, sondern müssen aus anderen Daten berechnet werden. Schüler scheinen demnach Schwierigkeiten damit zu haben, aus einer Aussage wie „Nach einer Preiserhöhung um 20% betrug der Preis 120 Euro“ den tatsächlichen Prozentsatz von 120% abzuleiten. Oft scheinen Schüler durch die genannte Prozentangabe von 20% verwirrt zu werden und 20% von 120 Euro zu berechnen, anstatt diese 120 Euro als den Prozentwert zu identifizieren und den Prozentsatz damit als 100%+20%=120% zu berechnen. Die hohe Bearbeitungsquote (bei geringem Lösungserfolg) von Aufgaben zu vermehrtem und vermindertem Grundwert legt jedoch nahe, dass Schüler die Komplexität dieser Aufgaben unterschätzen (Berger 1989:161).

Generell scheinen schwächere Schüler oft Regeln zu entwickeln, mit deren Hilfe sie Prozentprobleme bearbeiten (Gay/Aichele 1997:33). Diese Regeln werden dabei nicht der jeweiligen Sachsituation angepasst, sondern konsistent und unabhängig von den Erfordernissen der Aufgabe verwendet. Auch können sie unter Umständen vollkommen falsche Prozeduren beinhalten, wie bei Gay und Aichele beschrieben (1997:32-34). Es ist daher anzunehmen, dass diese Schüler die Regeln nicht aus dem Unterricht übernommen haben, sondern sie sich anhand mangelnden Verständnisses selbst überlegt haben, um mit Prozentsituationen umgehen zu können. Dies legt nahe, dass gerade schwächere Schüler das Bedürfnis nach Hilfestellung und klaren Strukturen für die Bearbeitung von Prozentaufgaben haben. Da jedoch jede Prozentsituation aufs Neue analysiert werden muss, können Schüler mit nur einem festen Bearbeitungsalgorithmus²⁵, der auf alle Aufgaben angewendet wird, nicht erfolgreich sein. Für schwächere Schüler können daher Visualisierungshilfen eine große Erleichterung darstellen (vgl. Kapitel 4.2.1).

Ein weiterer wichtiger Punkt beim Verständnis der Prozentrechnung ist es, sich „Referenzgrößen“ zu schaffen. Um Größen miteinander vergleichen zu können, ist es wichtig zu wissen, ob z.B. 87% von 87 mehr, weniger oder genau so viel ist wie 87 (vgl. die Untersuchung von Gay/Aichele 1997). Hier lassen sich typische Fehler ablesen, wenn die Antwort lautet „genau so viel“. Es ist dann zu schließen, dass der relationale Charakter von Prozent nicht erkannt worden ist, sondern nur die konkreten Zahlwerte unter Auslassung des Prozentsymbols betrachtet wurden. Andere typische Fehler dieser Art spiegeln sich in Antworten zu der Frage wider „Sind 110% von 150 mehr, weniger oder genau so viel wie 150?“. Wird hier wiederum nach der Regel vorgegangen „Vergleiche die konkreten Zahlwerte miteinander“, so wird abermals ein falsches Ergebnis herauskommen, und die Antwort wird lauten „110% sind weniger als 150, da 110 weniger ist als 150“, während diese Regel bei einigen Aufgaben durchaus auch zum richtigen Ergebnis führen kann: „Sind 80% von 90 mehr, weniger oder genau so viel wie 90?“ Aufgrund dieser Fehler zeigt sich, dass es für Schüler wichtig ist, ein Verständnis der relationalen Eigenschaften von Prozent zu erwerben. Für die Lösung obiger Aufgaben sowie zum Schätzen und Überschlagen von Lösungen ist es hilfreich, mit Referenzgrößen zu arbeiten, auf die sich die Schätzung beziehen kann. Diese können vertraute Größen sein wie 100%, 50% oder auch 25% und 10%. In der Studie von Gay und Aichele (1997) zeigte sich, dass einige Schüler noch nicht einmal eine Vorstellung davon hatten, was 100% bedeuten, während Schüler, die Referenzgrößen verwendeten, in den meisten Fällen erfolgreich waren (S.32). Auch hier können Modelle den Schülern helfen, ein Verständnis der Bedeutung dieser Prozentangaben zu erwerben.

4.2 Hilfsmittel zur Prozentrechnung

Hilfsmittel zur Prozentrechnung können vielfältiger Natur sein, wie einerseits die reinen Rechenhilfsmittel (z.B. Rechenbrett, Taschenrechner), andererseits aber auch solche, die speziell für die Prozentrechnung entwickelt wurden (z.B. Computer-Lernprogramme, visuelle Hilfsmittel). Hier werden aus der Angebotsfülle Modelle und Visualisierungshilfen sowie der Taschenrechner zur Analyse herausgegriffen, bei dem besonders interessiert, ob er als reine Rechenhilfe verwendet wird, oder ob sich nicht im Rahmen der Prozentrechnung noch andere Verwendungsweisen, vor allem der Gebrauch der Prozenttaste, anbieten.

4.2.1 Modelle und Visualisierungshilfen

Wie bereits im letzten Kapitel angedeutet wurde, bieten visuelle Hilfsmittel Schülern eine gute Möglichkeit, sich eine Übersicht über eine Prozentaufgabe zu verschaffen und diese in eine adäquate mathematische Form zu bringen. Scherer (1996) stellt aufgrund ihrer Untersuchungen fest: „Das Lösen auf der ikonischen Ebene scheint eine große Erleichterung darzustellen, so daß im Unterricht Modelle zur Veranschaulichung der Prozentrechnung im besonderen berücksichtigt werden sollten“ (S. 541). Auch Gay und Aichele (1997) stellen fest, dass „[ u ] sing these models, the students could often correctly answer questions to which they had previously given no answer “ (S. 32). Es sollte daher versucht werden, den Schülern im Unterricht durch die Verwendung von Modellen Hilfestellung zu geben.

Dabei muss allerdings darauf geachtet werden, dass die Modelle die Schüler nicht zusätzlich verwirren, sondern ihnen tatsächlich dabei helfen, Prozentprobleme besser zu begreifen und zu strukturieren. Nach Berger (1989) sollte daher bei der Auswahl von Modellen darauf geachtet werden, dass

- sie möglichst einfach herzustellen sind und sich wenn möglich sogar auf eindimensionale Darstellungen beschränken,
- einmal gewählte Darstellungen beibehalten werden,
- keine optischen Spielereien die Übersichtlichkeit beeinträchtigen,
- das Modell eine Hilfe vor der Rechnung darstellt und nicht nur im Nachhinein erstellt wird,
- das Modell auch als Kontrollmöglichkeit nach der Rechnung dienen kann,
- das Modell nahe am rechnerischen Lösungsverfahren ist (S. 104-105).

Werden diese und andere mögliche Aspekte außer Acht gelassen, so besteht die Gefahr, dass schwache Schüler in den Modellen keine Hilfe, sondern im Gegenteil noch zusätzlichen, verwirrenden Unterrichtsstoff sehen, der eine Einsicht in die Prozentrechnung behindert. Andererseits sollte m. E. jeder Lehrer erwägen, dennoch nach und nach mehrere Visualisierungshilfen vorzustellen, damit sich Schüler ein eigenes Modell aus dem Angebot heraussuchen können.

Ein mögliches Modell ist das „ Prozentblatt “, das ein in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gleich große Kästchen aufgeteiltes Blatt darstellt (Berger 1989:105). Somit kann jeder gedankliche Schritt auf das Prozentblatt übertragen werden, indem beispielsweise eine gewisse Anzahl von Kästchen gefärbt wird. Ein Kästchen entspricht einem Prozent, der Zusammenhang zwischen dem Grundwert, also dem gesamten Blatt, und dem Prozentwert, der Anzahl der eingefärbten Kästchen, wird so ersichtlich.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Fig. 4: Prozentblatt (Berger 1989:105)

Berger (1989) sieht dieses Modell als Möglichkeit der Einführung der Prozentrechnung (S. 105). Problematisch ist dabei allerdings, dass den Schülern direkt bei der Einführung von Prozent suggeriert wird, dass größere Prozentsätze als 100 nicht möglich sind, da das Blatt ja nur 100 Kästchen enthält und für größere Prozentsätze erst entsprechend erweitert werden müsste. Schüler werden jedoch eher dazu neigen, in dem „System“ des Prozentblattes zu bleiben. Eine spätere Erweiterung des Prozentbegriffs erscheint den Schülern dann unter Umständen wenig einsichtig.

Als weiteren negativen Aspekt nennt Berger (1989) die arbeitsaufwändige Herstellung des Modells, sowie das Problem das Eintragen gegebener Größen in das Modell (S. 106). Während letztere Schwierigkeit nachvollziehbar ist, scheint der erstgenannte Punkt nicht unbedingt ein Problem darzustellen, da jeder Schüler innerhalb weniger Sekunden ein solches Prozentblatt herstellen kann, indem er auf kariertem Papier (das im Mathematikunterricht ohnehin verwendet wird) ein solches Quadrat mit dem Lineal umrandet. Somit muss nicht mehr jedes Kästchen einzeln gezeichnet werden.

Dennoch erscheint dieses Modell aufgrund der oben genannten Punkte der eingeschränkten Sicht von Prozent und der Schwierigkeiten beim Eintragen gegebener Größen nicht optimal.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Fig. 5: Situationsskizze (Berger 1989: 106)

Als weitere Möglichkeit visueller Hilfsmittel nennt Berger (1989) „ Situationsskizzen “ oder „Schemabilder“, die anhand mehrerer Zeichnungen auch Veränderungen in Prozent-situationen darstellen können (S. 106).

Diese Situationsskizzen existieren in verschiedenster Form und können den Erfordernissen unterschiedlicher Prozentsituationen angepasst werden. Dabei ist der Einsatz von mehreren Zeichnungen möglicherweise nicht günstig, wenn es sich bei der Prozentaufgabe um eine Anteilsituation handelt. Da das verwendete Modell diese Situation widerspiegeln soll, sollte auch hier ersichtlich sein, dass der Prozentwert ein Teil des Ganzen darstellt, und es sich nicht um unterschiedliche Mengen handelt.

Angemessener ist das von Kilian (1986) vorgestellte „Prozentrecht-eck“, das Situationen „durch ein dick gezeichnetes längliches Rechteck [darstellt], das stets für den Grundwert steht. Der Prozentwert wird durch eine gestrichelte Linie in dem Grundwertrechteck abgeteilt, zusätzlich schraffiert oder farblich gekennzeichnet, und die Daten werden in bestimmter Weise in diese Figur eingetragen, ebenso wie die unbekannte Größe x “ (S. 80).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Fig. 6: Prozentrechteck (Kilian 1986)

Auch hier ergibt sich die Problematik der Erweiterung auf Prozentsätze größer als 100, da wiederum ein umrandetes Feld vorgegeben ist, das den Grundwert und damit 100% darstellt. Doch ist m. E. eine Erweiterung für die Schüler einsichtiger als bei dem Prozentblatt, da nicht jeder Prozentpunkt einzeln abgetrennt ist und die Figur damit offener wirkt. Auch ist die Herstellung sehr einfach, die gegebenen oder gesuchten Prozentsätze müssen nicht exakt, aber mit richtigen ungefähren Größenverhältnissen eingetragen werden.

Das Prozentrechteck ist auch bei Veränderungssituationen einsetzbar, indem, wie oben beschrieben, mehrere Zeichnungen gemacht und eventuell durch zusätzliche Linien miteinander verbunden werden (siehe Kilian 1986:82).

Dieses Modell stellt daher m. E. für Schüler, die einige Zeit den Umgang geübt haben, eine gute Hilfe für die Lösung von Prozentproblemen dar.

In ähnlicher Weise werden Prozentprobleme auf „ Skalen-modelle “ übertragen. Diese können dabei in ihrem Aufbau variieren, der gedankliche Hintergrund ist jedoch ähnlich.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Fig. 7: Skalenmodell (Haubner 1992:233)

Haubner (1992) propagiert für die Gleichungs- und Proportions-Methoden als Visualisierungshilfe ein Modell, welches aus zwei nebeneinander stehenden Säulen oder Balken besteht.

Dabei bildet ein Balken die Prozentskala, der andere die Skala der absoluten Zahlen. Die gegebenen Zahlenwerte werden je nach Aufgabe in das Modell eingetragen, und eine Gleichung oder eine Proportion kann direkt abgelesen werden. Der Aufwand in der Herstellung sollte hier nicht unterschätzt werden, da diese Balken zur Einfärbung einen Füllraum haben müssen. Soll dennoch dieses Modell verwendet werden, so kann der Lehrer möglicherweise eine größere Anzahl an Kopien austeilen, oder es muss in Kauf genommen werden, dass die Schüler anfangs mehr Zeit benötigen, um die Modelle anzufertigen.

Einen sehr ähnlichen Ansatz stellt Dewar (1984) vor, ihr Modell ist jedoch mit geringerem Aufwand zu zeichnen. Statt zweier getrennter Balken wird nur ein einziger Strich verwendet, der jedoch doppelt skaliert ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Fig. 8: Doppelte Prozentskala (Dewar 1984:49)

Auf einer Seite werden wiederum die Prozentsätze abgetragen, während auf der anderen Seite die absoluten Zahlen (also Grund- und Prozentwerte) angegeben werden. Wie in Haubners (1992) Modell kann auch hier direkt aus der Darstellung die mathematische Schreibweise abgelesen werden.

Wie bereits erwähnt ist dieses Modell leichter und schneller herzustellen als Haubners (1992) Vorschlag, da auf weitere Betonungen der gegebenen Größen wie Einfärben verzichtet wird.

Diese doppelten Prozentskalen sind für Schüler nützlich, da sie eine enge Anlehnung an die Sachsituation sowie eine leichte Transformation in mathematische Schreibweise ermöglichen. Zudem helfen sie Schülern, ein Verständnis der relationalen Eigenschaften von Prozent zu erlangen sowie eine Vorstellung von Referenzgrößen (100%, 50%, 25% und weitere) zu entwickeln. Auch die Ausweitung der Modelle auf Prozentsätze über 100 scheint zumindest bei Dewars (1984) Modell nicht so problematisch wie bei anderen vorgestellten Visualisierungen, da Schüler bereits vom bekannten Zahlenstrahl kennen, dass dieser sich ins Unendliche fortsetzen lässt. Möglicherweise sollte dies bereits bei der Einführung eines solchen Modells beachtet werden, indem man die Linie nicht bündig mit der größten Größe abschließen lässt, sondern sie noch einige Zentimeter fortführt.

Parker und Leinhardt (1995) kritisieren auch die Anordnung der Elemente auf den Skalen, da diese im Gegensatz zu anderen vertikalen Skalen nicht von unten nach oben, sondern von oben nach unten laufen. Parker und Leinhardt (1995) vermuten, dass diese Anordnung mit Hinblick auf die zu erstellende Gleichung oder Proportion so gewählt wurde, dass sich eine der traditionellen Auffassung entsprechende Gleichung ergibt²⁶ (S. 467). Da jedoch auch andere Proportionsgleichungen mathematisch korrekt sind, wäre eine von Dewars (1984) Darstellung abweichende Repräsentation ebenfalls möglich. Je nach dem Wissensstand der Schüler kann dieses Problem möglicherweise sogar explizit mit der Klasse diskutiert werden. Durch eine horizontale Anordnung kann auf eine explizite Einführung des Modells als solches unter Umständen ganz verzichtet werden, da dann nur die den Schülern bereits wohlbekannte Zahlengerade um eine neue Skala erweitert wird. Auch ist damit das Problem der Prozentsätze über 100 gelöst.

Dass Schülern Darstellungen von Prozentproblemen helfen können, diese besser zu erfassen, scheint unumstritten. Wie und welche dieser unterschiedlichen Darstellungen den größten Erfolg liefern können, muss vermutlich wieder jeder Lehrer in der eigenen Klasse selbst herausfinden. Aspekte für die Auswahl einer oder mehrerer Visualisierungshilfen wurden oben genannt und auch Modelle vorgestellt, die diesen Anforderungen mehr oder weniger gut gerecht werden. Allgemein bieten solche Modelle Schülern jedoch die Möglichkeit, eine Vorstellung von den Rechnungen zu erhalten, die sie ausführen sollen, und somit selbst auf falsche Zuordnungen oder unsinnige Ergebnisse aufmerksam zu werden.

4.2.2 Der Taschenrechner

Der Einsatz des Taschenrechners (TR) im Mathematikunterricht ist in der Didaktik äußerst umstritten gewesen. Neben anderen Aspekten war und ist der Haupteinwand, dass „[d]ie Verbreitung des TR [...] die Gefahr einer abnehmenden Fertigkeit im Kopfrechnen und im schriftlichen Rechnen in sich [birgt]“ (Meißner 1978:225). Der zunehmenden Verbreitung haben diese Kritikpunkte keinen Abbruch getan. Während „bis Ende 1977 jeder zweite Bundesbürger zwischen 15 und 65 Jahren [einen] ETR [elektronischen Taschenrechner, Anm. d. Aut.] [besaß]“ (Müller 1978:146), darf heute davon ausgegangen werden, dass jeder Schüler zumindest Zugang zu einem Taschenrechner hat. Oftmals werden bei der Einführung im Mathematikunterricht ganze Klassensätze angeschafft, damit die Schüler einer Klasse ein einheitliches Modell besitzen. Verschiedene Taschenrechner-Modelle sollen hier nicht vorgestellt werden. Vielmehr wird untersucht, welchen Nutzen der Taschenrechner-Einsatz speziell in der Prozentrechnung haben kann.

Einerseits bietet sich natürlich der triviale Gebrauch als einfache Rechenhilfe an, um Aufgaben mit schwierigem Zahlenmaterial zu entlasten und auch realistische, also häufig ungerundete Dezimalzahlen, verwenden zu können.

Doch ist auf jedem sogenannten wissenschaftlichen Taschenrechner (und oft auch auf einfacheren Modellen) eine Prozenttaste zu finden. Ist es sinnvoll, diese im Unterricht einzusetzen?

Vielfach wird hier mit einem klaren „Nein“ geantwortet bzw. mit Aussagen wie: „Die %-Taste auf TR sollte möglichst nicht verwendet werden, da sie einerseits zu obskuren Notationen führt und andererseits das allgemeine Prinzip aller Grundoperationen nicht erkennen läßt“ (Wolgast 1977:337). In den meisten Aufsätzen wird daher die Verwendung der „([...] didaktisch ohnehin überflüssigen) % - Taste“ (Müller 1978:147) abgelehnt. Sie stelle zwar eine Vereinfachung dar, diese sei jedoch nicht im weiteren Unterricht „ausbaufähig“, da sie ein Umlernen erfordere, wenn nicht nur der Prozentwert, sondern auch Grundwert und Prozentsatz berechnet werden sollen (Müller 1978:148).

Die Funktion der Prozenttaste kann von Rechner zu Rechner unterschiedlich sein, meist bewirkt eine Eingabe wie 1 5 % jedoch nur eine Trans-formation der Prozentzahl in die Dezimalzahl 0,15. Für die Berechnung eines Prozentwertes ist die Tastenkombination 1 5 + 1 0 % nötig, wird anschließend die = - Taste gedrückt, so wird das Ergebnis der Aufgabe „Wie viel sind 110% von 15 ?“ angezeigt (und entsprechend für die – -Taste). Die Ausgabe des Taschenrechners ist dabei gewöhnungsbedürftig, da auf den ersten Blick unklar ist, wie diese mit den eingegebenen Zahlen zusammen hängt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Fig. 9: Zusammenhang von Eingabe und Ausgabe des Taschenrechners bei Prozentwert-berechnungen

Bei Verknüpfung einer Zahl mit einer Prozentzahl durch + oder – bezieht sich die Prozentangabe auf die zuerst eingegebene Zahl, hier auf 15. Nach Eingabe des % - Zeichens wird der zugehörige Prozentwert angezeigt.

Alternativ ist natürlich auch die Tastenfolge 1 5 · 1 1 0 % =1 möglich, die Prozenttaste ist hier allerdings vollkommen überflüssig, da man die Rechnung vermutlich schneller ausgeführt hat, wenn man direkt

1 5 · 1 ,1 11 = eingibt (zumal die Prozenttaste häufig nur Zweitbelegung einer Taste ist, d. h. dass noch eine zusätzliche Taste gedrückt werden muss, um diese zweite Funktion der Taste zu aktivieren). Für den Schüler mag auch verwirrend sein, dass es keine Prozent-Umkehr-Taste gibt, die Dezimalzahlen in Prozentzahlen umwandelt.

Bei der Berechnung von Grundwert oder Prozentsatz ist die Prozenttaste dann überhaupt keine Hilfe mehr, da hier ohnehin dividiert werden muss. Auch erfolgt die Ausgabe nicht als Prozentzahl, sondern wiederum als Dezimalzahl, die mit Hilfe der Prozenttaste nicht in eine Prozentzahl umgewandelt werden kann. Bei Berechnungen zu erhöhtem oder vermindertem Grundwert ist die Prozenttaste des Taschenrechners ebenfalls nicht nützlich, sondern verleitet unter Umständen sogar zu falschen Rechnungen.²⁷

Meißner (1978) erzielte dennoch Erfolge mit dem Einsatz der Prozenttaste im Unterricht und gibt an, „die so vielfach abgelehnte Prozenttaste des TR verteidigen“ (S. 228) zu wollen. Er verwendete dabei das „operative Prinzip als Einbahnstraße“ (1978:227; 1979), welches erlaubt, alle Aufgabentypen als „eine einzige Tippfolge, die der Umgangssprache vollständig entspricht“ (1978:228) zu lösen. Diese Tippfolge entspricht dabei der oben vorgestellten zur Berechnung von Prozentwerten. Die anderen Aufgabentypen werden durch „trial and error“ (Meißner 1978:227), also durch Probieren näherungsweise gelöst. Nach einer solchen Phase wird der Taschenrechner dann auch bei Meißner wieder nur als Rechenhilfsmittel verwendet, da die Schüler schließlich herausfinden: „Auf das Plus und Minus (in ‚+p%‘ bzw. ‚–p%‘) kommt es gar nicht an! Das muß hier Mal heißen!“ (1978, S. 228) und damit die Prozenttaste überflüssig wird, da weiterhin x·p% gerechnet wird.

Das von Meißner (1982) angesprochene „naive TR-Verfahren“ bei der Lösung von Prozentaufgaben beinhaltet eine „naive“ Verwendung der Prozenttaste, die nahe legt, dass „die Schüler sich das Verfahren selbst angeeignet haben [...]“ (Meißner 1982:129). Die Lösungsquoten der mit diesem Verfahren bearbeiteten Aufgaben variieren dabei stark je nach Aufgabentyp. Hauptsächlich wurde die Prozenttaste für die Lösung von Prozentwertberechnungen eingesetzt, mit einem durchschnittlichen Lösungserfolg von etwa 72%, was ungefähr dem Lösungserfolg bei den anderen identifizierten Verfahren entspricht. Bei Prozentsatzberechnungen wurde die Prozenttaste gar nicht erst verwendet, und bei Grundwertberechnungen konnten die Schüler vermutlich auch aufgrund der bereits geschilderten Probleme mit diesem Verfahren keine einzige Aufgabe richtig lösen (S. 136).

Allgemein kann gesagt werden, dass sich die Prozenttaste zwar für Prozentwertberechnungen eignet, diese Taste jedoch bei anderen Aufgabentypen keine Erleichterung mehr bieten kann. Es ist daher fraglich, ob sie überhaupt in der Schule verwendet werden sollte, oder ob es nicht sinnvoller ist, direkt auf sie zu verzichten. Andererseits „wird durch den TR das Einschieben von mehreren Stufen im Brunerschen Spiralprinzip ermöglicht“ (Meißner 1978:228), was eine Verfestigung des Verständnisses der Prozentrechnung bei den Schülern bewirken kann. Es muss hier jedoch auch der Zeitfaktor beachtet werden. Bei dem von Meißner vorgeschlagenen Ansatz wird vermutlich mehr Zeit benötigt als bei einem direkten Einstieg ohne die explorative Verwendung des Taschenrechners (Meißner macht dazu jedoch keine Angaben). M. E. ist es sinnvoller, sich auch weiterhin hauptsächlich auf die Verwendung des Taschenrechners als Rechenhilfsmittel zu beschränken oder die oben angesprochene Problematik in leistungsstärkeren Klassen explizit zu behandeln und als Ausgangspunkt für die Verwendung des Taschenrechners in der Prozentrechnung zu nehmen.

5. Die Prozentrechnung in Schulbüchern

Es stellt sich nun die Frage, wie die Prozentrechnung heute in Schulbüchern behandelt wird. Bieten diese dem Schüler die Möglichkeit, Prozent anhand verschiedener Darstellungen und Behandlungen zu erschließen, werden Hilfsmittel irgendeiner Art angeboten und vorgestellt, oder beschränken sich die Autoren ausschließlich auf rechnerische Verfahren? Welche Behandlungsmethode(n) wird (werden) propagiert? Zur Beantwortung dieser Fragen und um einen groben Überblick über die Behandlung der Prozentrechnung in Schulbüchern zu erhalten, wurde eine kleine, willkürliche Auswahl von sechs neueren Schulbüchern (erschienen 1992 bis 2000) für die 7. Schulstufe in Gesamt- und Realschulen auf diese Punkte hin untersucht.

Es zeigt sich, dass die Einführung in beinahe allen Werken über den relativen Vergleich stattfindet.²⁸ Diese Einführung dient dabei meist lediglich zur begrifflichen Klärung von Prozent und wird dann nicht weiter verfolgt. Vielmehr werden die Grundaufgaben getrennt nach Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert behandelt, wobei die Reihenfolge variiert. In allen Büchern werden Grundwertberechnungen zuletzt durchgeführt.

Die Dreisatz-Methode scheint weiterhin das beliebteste Lösungsverfahren in der Prozentrechnung zu sein. In allen untersuchten Büchern wurde es wenigstens als eine der vorgestellten Möglichkeiten angegeben, auch wenn nicht immer explizit darauf verwiesen wurde. Eine Hilfestellung für Schüler, wie die jeweils angegebene Methode möglichst effektiv und Erfolg versprechend eingesetzt werden kann, findet sich jedoch in keinem Schulbuch. Teilweise wird noch eine zusätzliche, alternative Lösungsmöglichkeit beschrieben, die dann auch durchgängig in Beispielen angewendet wird. Im Lehrbuch mathe live (Kietzmann 2000) wird als zweiter Lösungsweg die Taschenrechner-Verwendung (allerdings ohne die Prozenttaste) vorgeschlagen, wobei je nach dem Aufgabentyp mit Dezimalzahlen oder Brüchen gerechnet werden soll. Leider werden oft nur die benötigten Formeln ohne inhaltliche Herleitung angeführt. In einem Schulbuch wird die Verwendung der zuvor angegebenen Formel als eigenes Verfahren neben dem Dreisatz betrachtet, und den Schülern werden die beiden Lösungsmöglichkeiten „Anwendung der Formel“ und „Dreisatzverfahren“ (Maroska et al. 1994:176) angeboten. Eine Erläuterung des Zusammenhangs der drei Formeln für die Lösung der Grundaufgaben bietet keines der Werke. Eine der Formeln inhaltlich herzuleiten und dann mit Hilfe algebraischer Umformungen auch die anderen beiden Formeln zu erschließen, bleibt der Eigeninitiative des Lehrers überlassen.

Bemerkenswert ist auch hier wieder Mathematik heute (Griesel/Postel 1997): Es wird neben der Lösung über Brüche auch die Operator-Darstellung verwendet, die konsequent für alle Aufgabentypen angewandt wird. Verknüpfungen mehrerer Prozentoperatoren - wie z.B. bei Hollmann (1975) vorgeschlagen - werden allerdings nicht behandelt.

Die Definition von Prozent lautet in allen Schulbüchern ähnlich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

In allen Werken wird gleichermaßen ein Verständnis von Prozent als Anteil gestärkt. Während in zwei der sechs Büchern Prozentsätze, die größer als 100 sind, noch nicht einmal erwähnt werden und auch nicht in den behandelten Aufgaben vorkommen, wird dies in drei weiteren Büchern nur bei der Einführung und ohne explizite Erläuterung erwähnt oder in der Wiederholungs-Einheit ohne vorherige Besprechung vorausgesetzt. Eine explizite Behandlung dieses für Schüler äußerst schwierigen Sachverhaltes gibt es bis auf eine Ausnahme in keinem der untersuchten Schulbücher. In LS (Schmid/Weidig 1994) wird bei der Einführung die Randbemerkung gemacht „Ist [...] der Bruch [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten; Anm. d. Aut.] größer als 1, so ergeben sich mehr als 100%“ (S. 44). Diese Erkenntnis wird jedoch auch später nicht wieder aufgegriffen.

Als problematisch zeigt sich somit, welches Verständnis von Prozent die Lehrbücher bei den Schülern fördern. Wenn während der gesamten Behandlung größere Prozentsätze als 100 einfach ausgeklammert werden, so können durchschnittliche Schüler natürlich kein Verständnis von Prozent erlangen, das auch solche Prozentsätze mit einschließt. Bei der Beschäftigung mit Veränderungssituationen und so alltagsrelevanten Bereichen wie Preiserhöhungen ist ein solches Verständnis allerdings höchst hilfreich. M. E. spricht nichts dagegen, Schülern auch Prozentsätze größer als 100 „zuzumuten“, da sonst ein wichtiger Aspekt von Prozent von den Schülern nicht erfasst wird.

Die Aufgaben selbst weisen in den meisten Schulbüchern das gleiche Schema auf: Bei der Einführung wird zwar mit einem Beispiel gearbeitet; sobald der Prozentbegriff jedoch per Definition festgelegt wurde, müssen die Schüler Umformungsaufgaben von Prozent-, Dezimal- und Dezimalbruch-schreibweise durchführen. Erst nach dieser Einübung der verschiedenen Schreibweisen werden vermehrt auch Aufgaben mit Umweltbezug bearbeitet. Häufig stellen diese Aufgaben nicht die Lebenswirklichkeit der Schüler dar, sondern sind einfach „Aufgaben um der Aufgaben willen“. Dies ist jedoch ein allgemeines Problem und nicht speziell von der Prozentrechnung abhängig, weshalb dieser Kritikpunkt hier nicht weiter verfolgt werden soll.

Leider ist auch das Angebot an Hilfsmitteln zur Prozentrechnung enttäuschend. Die mögliche Verwendung des Taschenrechners als Rechenhilfsmittel wird nur in wenigen Werken erwähnt. Die Prozenttaste des Taschenrechners wird dabei nicht angesprochen. Der Lehrer sollte dennoch in Betracht ziehen, die Verwendung der Taste mit seiner Klasse zu besprechen, um auf die bereits in Kap. 4.2.2 genannten Probleme hinzuweisen, da Schüler die Prozenttaste sicherlich dennoch auf ihrem Taschenrechner entdecken werden (wie die Verwendung des „naiven TR-Verfahrens“ (Meißner 1982) zeigt).

Visuelle Hilfsmittel werden in den Schulbüchern kaum angeboten. Am Beginn der Behandlung der Prozentrechnung werden den Schülern teilweise Aufgaben gestellt, in denen sie bestimmte Prozentsätze von Flächen in Figuren einfärben oder umgekehrt den Prozentsatz der eingefärbten Fläche benennen sollen. Doch wird dies von den Schülern sicherlich nicht als Hilfestellung für die Lösung von Prozentaufgaben empfunden werden. Auch Diagramme verschiedenster Art werden in den Schulbüchern behandelt, sie stellen allerdings zusätzlichen Unterrichtsstoff dar und sollen den Schüler vielmehr befähigen, sie zu interpretieren und eventuell selbst zu erstellen, als ihm bei der Lösung von Aufgaben zu helfen. Diagramme werden erst im Anschluss an die Behandlung der eigentlichen Prozentrechnung thematisiert.

Visualisierungshilfen im eigentlichen Sinne werden nur in Mathematik heute (Griesel/Postel 1997) angeboten. Bei der Einführung wird das in Kap. 4.2.1 beschriebene „Prozentblatt“ angegeben, mit dem auch später noch gearbeitet wird, wenn es der Aufgabensituation angemessen ist. Auch Balkendiagramme bzw. das „Prozentrechteck“ (Kilian 1986; vgl. Kap. 4.2.1) werden von Anfang an eingesetzt und dem Schüler als Hilfsmittel in ihrer Funktion erklärt. Schließlich wird sowohl zur Auflockerung als auch zur Festigung ein Spiel „Prozentquartett“ vorgeschlagen, welches die Schüler selber herstellen. Hier werden die verschiedenen Schreibweisen für Prozent eingeübt, ohne dass formale Rechnungen durchgeführt werden müssen. Durch die Form als Gesellschafts-Spiel in der Gruppe korrigieren sich die Schüler gegenseitig, eine Kontrolle von Seiten des Lehrers erübrigt sich damit weitestgehend.

Insgesamt ergibt sich - bis auf einige Aspekte in Mathematik heute (Griesel/Postel 1997) - ein eher enttäuschendes Bild der untersuchten Schulbücher. Es ist zwar nicht intendiert, dass Schüler diese im Selbststudium bearbeiten, doch auch für kurze eigenständige Arbeitsphasen der Schüler bei Wiederholungen vor Arbeiten oder beim Nachschlagen nach einiger Zeit wären Verbesserungen im Aufbau der Behandlung der Prozentrechnung und in der Aufgabenart wünschenswert.

Wenn Lehrer dennoch mit Schulbüchern der vorliegenden Art arbeiten müssen, so bleibt es ihnen überlassen, nach eigenem Ermessen visuelle und Rechenhilfsmittel einzuführen und vor allem darauf zu achten, dass Schüler sich nicht die eingeschränkte Sichtweise von Prozent als Teil eines Ganzen aneignen, sondern zumindest wissen, dass auch Prozentsätze größer als 100 möglich sind.

Andererseits kann natürlich diese Schulbuchanalyse nichts über die tatsächliche Behandlung der Prozentrechnung im Unterricht aussagen. Es hängt vom Lehrer ab, inwieweit er sich an dem ihm zur Verfügung stehenden Schulbuch orientiert.²⁹ Das Vorgehen in Schulbüchern zeigt dem Lehrer damit lediglich Möglichkeiten auf, wie die Prozentrechnung unterrichtet werden kann. Wie die unterrichtliche Behandlung in der Realität aussieht, kann von einem Unterrichtswerk her nicht beurteilt werden.

Dennoch sollten Schulbücher so ausgerichtet sein, dass sich sowohl Lehrer als auch Schüler daran orientieren können, und dass Schüler auch ohne die Hilfestellung des Lehrers einzelne Passagen bearbeiten und verstehen können. Es wäre daher notwendig, vor allem den Visualisierungshilfen, mit denen Schüler in Untersuchungen große Erfolge erzielen konnten (z.B. Kilian 1986; Dewar 1984; Haubner 1992), breiteren Raum zu geben.

6. Schlussbemerkungen

Obwohl sie wohl eine der wichtigsten und geläufigsten Anwendungen unseres Alltags ist, stellt sich die Prozentrechnung als ein komplexes Konzept dar, und es scheint schwierig, Vermittlungsweisen für den Unterricht zu finden, die Schülern einen guten Zugang und ein umfassendes Verständnis ermöglichen können. Seit über 80 Jahren zeigt sich in Untersuchungen immer wieder, welch große Probleme Schüler mit Prozent haben, was Anlass für vielerlei Schuldzuweisungen sowohl in Richtung der Unterrichtsmethoden, der Lehrer aber auch der Schüler und deren Rechenfertigkeiten gegeben hat. Ein Vergleich zeigt jedoch auch, dass sich mit keiner der unterschiedlichen Behandlungsmethoden signifikant bessere Schülerergebnisse erzielen lassen. Müssen Lehrer also resignieren und sich mit dem schlechten Abschneiden ihrer Schüler bei Prozentaufgaben abfinden?

Der Schlüssel zur Lösung dieses Problems liegt möglicherweise darin, noch mehr Aufmerksamkeit auf sekundäre Hilfsmittel zu richten. Um Prozent verstehen zu können, müssen Schüler begreifen, dass es sich um eine relationale Angabe handelt. Den Unterschied zu absoluten Werten können Lehrer zwar sprachlich erklären; ob dies Schülern etwas nützt, ist jedoch fraglich. Es sollte daher auf Visualisierungen der Probleme gesetzt werden, die es ermöglichen, Prozentprobleme aus einer anderen Perspektive zu betrachten, die nicht auf der (verwirrenden?) mathematischen Schreibweise aufbaut. Einerseits kann somit die Struktur einer Aufgabe verdeutlicht werden; andererseits können Visualisierungen auch dabei helfen, eine Problemstellung in korrekte mathematische Schreibweise zu übertragen. Darüber hinaus bieten sie natürlich auch noch eine gute Möglichkeit zur Selbstkorrektur durch die Schüler, da schnell deutlich wird, wenn falsche Beziehungen hergestellt wurden oder Ergebnisse nicht sinnvoll sind.

Weiterhin können Lehrer ihren Schülern Hilfestellung geben, indem sie ihnen helfen, Referenzwerte zu bilden (z.B. 50%, 10%, 200%, etc.), um bei Prozentproblemen Ergebnisse und vorgegebene Werte zu diesen in Bezug setzen zu können. Es ist natürlich viel einfacher, eine Aufgabe zu bearbeiten, wenn auf eine ungefähre Größenvorstellung der gegebenen Werte zurückgegriffen werden kann. Als wichtigste Punkte sind hier trivialerweise der Referenzwert 100% zu nennen und generell das Wissen, dass für einen Prozentsatz über 100 der Prozentwert größer sein wird als der Grundwert, für einen Prozentsatz unter 100 kleiner (in diesen Zusammenhang ist auch die Überschlagsrechnung einzuordnen, die ebenfalls eine wichtige Möglichkeit der groben Überprüfung von Ergebnissen bietet, auf die allerdings häufig nur unzureichend eingegangen wird). Je mehr Referenzwerte Schüler kennen, desto genauer wird das Bild sein, das sie sich von Prozentaufgaben machen können, und desto leichter wird es ihnen fallen, sie zu lösen.

Es wird nicht nötig sein, den Schülern die gesamte Komplexität des Konzeptes Prozent zu erläutern oder mit ihnen zu erarbeiten. Doch ist ein wichtiges Ziel, ihnen zu vermitteln, dass verschiedene Situationen auch verschiedene Auffassungen von Prozent erfordern können. Ein Verständnis, dass generell zwar Prozentsätze über 100 möglich, doch nicht in allen Anwendungen auch sinnvoll sind, sollte herausgearbeitet werden können, wobei durch die Schulbuchanalyse der Eindruck entstanden ist, dass Lehrbücher hier leider nur in Ausnahmefällen eine gute Hilfestellung bieten. Die Methode, die Lehrer dabei für die Behandlung der Prozentrechnung wählen, scheint (bei Ergänzung durch Hilfsmittel) untergeordnet, solange sie die Schüler nicht aufgrund ihrer Komplexität und Abstraktion überfordert und sie dazu veranlasst, sich gar nicht erst auf die Prozentrechnung einzulassen. Es empfiehlt sich ein Einstieg etwa über den Dreisatz, komplexere und arbeitsersparendere Ansätze können im Sinne des Brunerschen Spiralprinzips bei späteren Behandlungen aufgegriffen werden oder nach und nach von den Schülern entdeckt werden. So scheint es möglich, Schülern auch auf dem Gebiet der Prozentrechnung zu Kompetenz zu verhelfen und ihnen diese wichtige Anwendung zu erschließen.

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Ich versichere, dass ich die schriftliche Hausarbeit - einschließlich beigefügter Zeichnungen, Kartenskizzen und Darstellungen - eigenständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe. Alle Stellen der Arbeit, die dem Wortlaut oder dem Sinne nach anderen Werken entnommen sind, habe ich in jedem Fall unter Angabe der Quelle deutlich als Entlehnung kenntlich gemacht.

____________________________________ Köln, d. 08. März 2004

[...]

---

¹ Zur Vereinfachung werden jeweils nur die männlichen Bezeichnungen angegeben; weibliche Personen sind hierbei natürlich inbegriffen.

² Teilnehmer einer Didaktik-Fachtagung, nach Meißner (1982: 130) zitiert.

³ Bei der Angabe „6%“ muss zuerst deutlich gemacht werden, was die Referenzgröße und deren Einheit ist, bevor eine Aussage über die konkrete Zahl gemacht werden kann, auf die sich die Angabe „6%“ bezieht. Zusätzlich benötigt man noch die Information, ob es sich um einen Anteil von 6% handelt, oder um eine Vermehrung oder Verringerung einer Menge.

⁴ Beispiel: Der Umsatz eines Geschäftes in diesem Jahr liegt bei 800 000 Euro, während er im Vorjahr 750 000 Euro betrug. Der aktuelle Umsatz beträgt daher ca. 106,7 % des Vorjahresumsatzes.

⁵ Ob dies nun in der Tat eine unterschiedliche Menge oder die gleiche Größe zu einem anderen Zeitpunkt ist, spielt keine Rolle.

⁶ Bsp.: 10% von allen Schülern kommen zu Fuß ; ebenso durch den Ausdruck „Quote“ Fußgängerquote, Arbeitslosenquote, etc.

⁷ Die oben erwähnte Aufgabe wird damit als Aufgabe der Zuordnung-Situation für den Fall einer konkreten Menge (ohne verallgemeinerbare Gesetzmäßigkeit) in die Struktur von Prozentaufgaben eingeordnet.

⁸ Beim direkten Vergleich zweier Prozentangaben ist es natürlich irrelevant, ob es sich um den Prozentsatz oder -operator handelt, solange beide Angaben das gleiche Format haben.

⁹ Beispiel: Wenn 12% der Kinder einer Klasse die Note 1 erhielten und 20% eine 2, dann hatten 32% der Schüler eine bessere Note als 3. [frei übersetzt nach einem Beispiel aus Parker/Leinhardt 1995:437]

¹⁰ Beispiel: Bei der Komprimierung wird eine Datei auf 300 KB pro 1500 KB reduziert, d. h. die komprimierte Datei beträgt der Original-Datei. Die Komprimie-rungsrate liegt also bei 80% der Originalgröße der Datei.

¹¹ In dieser Kategorie inbegriffen ist die Verwendung zur Benennung von Wahrscheinlichkeiten. Ist es sicher, dass ein Ereignis stattfinden wird, so ist die Wahrscheinlichkeit 1, oder 100%. Wird das Ereignis auf gar keinen Fall eintreten, so ist sie 0%. Die zwischen 0 und 100 liegenden Zahlen (bzw. die entsprechenden Dezimalzahlen zwischen 0 und 1) geben damit alle anderen verschiedenen Grade der Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses in Prozent wieder.

¹² Gleichungen (7), (8) und (9) bzw. (10), siehe S. 19-20

¹³ Meißner schließt dabei auch den traditional approach mit ein. Wegen der inhaltlichen Unterschiede und verschiedener didaktischer Beurteilungen werden diese Ansätze hier jedoch getrennt behandelt.

¹⁴ Für einen verminderten Grundwert ergibt sich analog G·(1-p%).

¹⁵ Meißner (1982) zählt diesen Ansatz ebenfalls zu den „Formalen Verfahren“.

¹⁶ Eine empirische Grundlage für diese Annahme liegt nach Kilian (1986:78) nicht vor.

¹⁷ Die folgenden Ausführungen stützen sich auf Kilian (1986, S. 77-79).

¹⁸ vgl. dazu Kilian (1986:79)

¹⁹ Diese Stichprobe wird von ihm allerdings wegen der willkürlichen Auswahl der Schülergruppen als nicht repräsentativ angegeben (Meißner 1982:130).

²⁰ Eine relativ ausführliche Übersicht findet sich bei Berger 1989:143 ff.

²¹ d. h., dass notwendige Daten aus den gegebenen erschlossen oder berechnet werden müssen

²² In den verschiedenen Studien ergaben sich große Unterschiede im Lösungserfolg auch bei gleichen Aufgabentypen.

²³ Beispiel: Frage: Wie viel Prozent von einem Euro ist 1 Cent? Antwort:

²⁴ Beispiel: 0,375 = 375%

²⁵ Gemeint sind hierbei nicht Formeln, in die eingesetzt werden kann, sondern Rechenregeln, die ein konkretes Schema vorgeben, nach dem alle Aufgaben gelöst werden (vgl. Gay/Aichele 1997).

²⁶ d. h. mit einem Verständnis von Prozent als Hundertstel

²⁷ Beispiel: Bei der Aufgabe „Nach der Preiserhöhung um 10% betrug der Preis 33 Euro. Wie war der ursprüngliche Preis?“ ist die Tastenfolge 3 3 – 1 0 % = falsch, da der Taschenrechner die Prozentangabe auf die zuvor eingegebene 33 bezieht.

²⁸ Die einzige Ausnahme bildet Mathematik heute (Griesel/Postel 1997), das allerdings ein Lehrbuch für Rheinland-Pfalz ist und möglicherweise aus Gründen unterschiedlicher Richtlinien heraus sticht. Hier werden direkt Bruchteile in Prozentschreibweise eingeführt und Übungen zu den verschiedenen Schreibweisen gemacht.

²⁹ Besonders bei der Einführung der Operatormethode in den 1970er und 1980er Jahren zeigte sich, dass Lehrer diese kaum verwendeten, obwohl sie in den meisten Schulbüchern als Methode angegeben war (Meißner 1982:124; Berger 1989: 93).