Koordination in Supply Chains. Eine Analyse der Wirkung ausgewählter Supply Contracts

Inhaltsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1 Aufgabenstellung und Ziel der Arbeit

2 Grundlagen
2.1 Inhaltliche Grundlagen
2.1.1 Supply Chain Management
2.1.2 Ergebnisse bei deterministischer Nachfrage
2.2 Statistische Grundlagen
2.2.1 Dichtefunktion
2.2.2 Verteilungsfunktion
2.2.3 Erwartungswert

3 Zeitungsjungenproblem
3.1 Einleitung
3.2 Annahmen des Modells
3.3 Formulierung des Modells
3.4 Zahlenbeispiel

4 Analyse verschiedener Vertragsformen bei gegebenem Verkaufspreis
4.1 Erwarteter Absatz eines Händlers
4.1.1 Allgemeine Herleitung
4.1.2 Zahlenbeispiel mit stetiger Gleichverteilung
4.1.3 Zahlenbeispiel mit Normalverteilung
4.2 Grundmodell zwischen Hersteller und Händler
4.2.1 Allgemeine Herleitung
4.2.2 Zahlenbeispiel mit stetiger Gleichverteilung
4.2.3 Zahlenbeispiel mit Normalverteilung
4.3 Großhändlervertrag
4.3.1 Allgemeine Herleitung
4.3.2 Zahlenbeispiel mit stetiger Gleichverteilung
4.3.3 Zahlenbeispiel mit Normalverteilung
4.4 Rückkaufvertrag
4.4.1 Allgemeine Herleitung
4.4.2 Zahlenbeispiel mit stetiger Gleichverteilung
4.4.3 Zahlenbeispiel mit Normalverteilung
4.5 Umsatzanteilsvertrag
4.5.1 Allgemeine Herleitung
4.5.2 Zahlenbeispiel mit stetiger Gleichverteilung
4.5.3 Zahlenbeispiel mit Normalverteilung
4.6 Vergleich der Ergebnisse der einzelnen Vertragsformen

5 Analyse verschiedener Vertragsformen bei variablem Verkaufspreis
5.1 Erwarteter Absatz eines Händlers
5.1.1 Allgemeine Herleitung
5.1.2 Zahlenbeispiel mit stetiger Gleichverteilung
5.2 Grundmodell zwischen Hersteller und Händler
5.2.1 Allgemeine Herleitung
5.2.2 Zahlenbeispiel mit stetiger Gleichverteilung
5.3 Großhändlervertrag
5.3.1 Allgemeine Herleitung
5.3.2 Zahlenbeispiel mit stetiger Gleichverteilung
5.4 Rückkaufvertrag
5.4.1 Allgemeine Herleitung
5.4.2 Zahlenbeispiel mit stetiger Gleichverteilung
5.5 Umsatzanteilsvertrag
5.5.1 Allgemeine Herleitung
5.5.2 Zahlenbeispiel mit stetiger Gleichverteilung
5.6 Vergleich der Ergebnisse der einzelnen Vertragsformen

6 Zusammenfassung

7 Anhang
Teil A: Partielle Integration
Teil B: Leibniz-Regel
Teil C: Mathematische Software MuPad Pro 3.1; 1.Beispiel
Teil D: Mathematische Software MuPad Pro 3.1; 2.Beispiel

Literaturverzeichnis

Ehrenwörtliche Erklärung

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Kennziffern beim Großhändlervertrag Typ A/ SG

Tabelle 2: Kennziffern beim Großhändlervertrag Typ A/ Normalverteilung

Tabelle 3: Kennziffern beim Rückkaufvertrag Typ A/ SG

Tabelle 4: Kennziffern beim Rückkaufvertrag Typ A/ Normalverteilung

Tabelle 5: Kennziffern beim Umsatzanteilsvertrag Typ A/ SG

Tabelle 6: Kennziffern beim Umsatzanteilsvertrag Typ A/ NV

Tabelle 7: Drei Varianten der bedingten Stetigen Gleichverteilung

Tabelle 8: Kennziffern beim Großhändlervertrag Typ B/ SG

Tabelle 9: Kennziffern beim Rückkaufvertrag Typ B/ SG

Tabelle 10: Kennziffern beim Umsatzanteilsvertrag Typ B/ SG

Tabelle 11: Zusammenfassung aller Kennziffern bei SG

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Gewinnfunktionen beim Großhändlervertrag Typ A/ SG

Abbildung 2: Gewinnfunktionen beim Rückkaufvertrag Typ A/ SG

Abbildung 3: Zeichnung von F (y│p=0) im rel. Definitionsbereich

Abbildung 4: Zeichnung von F (y│p=Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) im rel. Definitionsbereich

Abbildung 5: Gewinnfunktionen beim Großhändlervertrag Typ B/ SG

Abbildung 6: Gewinnfunktion des Herstellers beim UA Typ B

Abkürzungsverzeichnis

Abh. Abhängigkeit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Aufgabenstellung und Ziel der Arbeit

Die Ausführungen in dieser Arbeit bewegen sich im fachlichen Gebiet des Supply Chain Managements (SCM), insbesondere mit Augenmerk auf die Supply Contracts, also die Art und Weise, wie die Partner in der Supply Chain (SC) vertraglich miteinander verbunden sind. Es werden drei verschiedene Modelle betrachtet, die in ihrem Schwierigkeitsgrad aufsteigend sind. Aufsteigende Komplexität ist hierbei auf die Anzahl der Variablen in dem Modell bezogen, die von einem Mitglied der SC bestimmt werden können. Das leichteste Modell, das sogenannte „Zeitungsjungenproblem“ (ZJ) geht von nur einer Variablen aus und betrachtet nur die Sicht eines Mitglieds der SC. Dieses Modell dient als Grundlage für spätere Erweiterungen und wird nicht weiter spezifiziert. Das nächst schwierigere Modell geht von mindestens zwei Variablen aus und wird auf drei verschiedene Vertragstypen angewendet: Großhändlervertrag (GH), Rückkaufvertrag (RK) und Umsatzanteilsvertrag (UA).^[1] Es wird die Sicht von allen Mitgliedern der SC betrachtet. Das abschließende und komplizierteste Modell geht von mindestens drei Variablen aus. Analog zum vorherigen Modell werden die gleichen Vertragstypen untersucht und ebenso die Sicht aller Mitglieder der SC beleuchtet. Wie der Titel der Arbeit „Koordination in Supply Chains – Eine Analyse der Wirkung ausgewählter Supply Contracts“ andeutet, geht es bei der jeweiligen Betrachtung der verschiedenen Vertragstypen um die Fragestellung, inwiefern die einzelnen Typen Koordination gewährleisten. Es werden für jeden Vertragstyp in einem Beispiel zwei Kennziffern berechnet, die getrennt nach Modell abschließend verglichen werden. Alle Modelle gehen davon aus, dass die SC aus zwei Mitgliedern besteht, einem Hersteller und einem Händler. Zwischen Hersteller und Händler gibt es nur ein disponierbares Produkt. Es herrscht vollkommene Information und die Verteilung der Nachfrage am Konsumentenmarkt nach diesem Produkt ist stochastisch, wobei im Rahmen dieser Arbeit prinzipiell von einer stetigen Zufallsvariable (ZV) ausgegangen wird.

In Kapitel 2 erfolgen Grundlagen, die für das Verständnis der anschließenden Kapitel wichtig sind. In Unterkapitel 1 werden als inhaltliche Grundlage verschiedene Begriffe aus dem SCM erläutert und zum besseren Verständnis der nachfolgenden Kapitel 4 sowie 5 verschiedene Vertragsformen bei Annahme einer deterministischen Nachfrage untersucht. In Unterkapitel 2 werden statistische Grundlagen erklärt, weil diese Arbeit stark mathematisch-formal orientiert ist. Die Annahme der stochastischen Nachfrage nach dem Produkt erfordert Wissen aus der Statistik, aber auch Kenntnisse aus der Integral- und Differentialrechnung. Aspekte dieser mathematischen Themen werden, falls notwendig, entweder im laufenden Text oder im Anhang ausgeführt.

Nachdem die Grundlagen gelegt worden sind, geht es im Kapitel 3 um das oben erwähnte Zeitungsjungenproblem. Nach einer inhaltlichen Einleitung und der Erläuterung der Annahmen des Modells wird in Kapitel 3.3 das Modell aufgestellt und Schritt für Schritt das Optimum hergeleitet. Ein besonderes Augenmerk dieser Arbeit liegt– auch in Kapitel 4 und 5- darauf, dass alle Herleitungen ausführlich dargestellt und ohne größere mathematische Kenntnisse nachvollziehbar sind. Da allgemeine Herleitungen abstrakt und dadurch tendenziell schwieriger verständlich sind, wird zum Abschluss des Kapitels 3 ein Zahlenbeispiel berechnet, wobei im Gegensatz zu Kapitel 4 nur die Normalverteilung (NV) benutzt wird, weil sie realistischer ist und bei dem in Kapitel 3 vorliegenden mathematischen Schwierigkeitsgrad noch gut nachvollziehbare Berechnungen zulässt.

Kapitel 4 und 5 bilden den wichtigsten Teil dieser Arbeit. Kapitel 4 erweitert das ZJ um eine zusätzliche Variable und lässt somit die Komplexität ansteigen. Im ersten Unterkapitel erfolgt bezogen auf die Gliederung die gleiche Vorgehensweise wie in den weiteren vier Unterkapiteln 4.2 bis 4.5. Nach einer allgemeinen Betrachtung des Problems erfolgen zwei Beispiele mit jeweils einer angenommenen Verteilung. Zunächst wird es die mathematisch leichter verwendbare „Stetige Gleichverteilung“ (SG) und danach die realistischere NV sein. Die allgemeinen Betrachtungen der einzelnen Unterkapitel lehnen sich stark an eine Literaturquelle an. Es handelt sich um einen Text, der im Internet kostenlos downloadbar ist und im „Handbooks in Operations Research and Management Science: Supply Chain Management“, herausgegeben von Steve Graves und Ton de Kok, North-Holland Verlag, erschienen ist. Der Text wurde von Gérard P. Cachon geschrieben und trägt den Titel „Supply Chain Coordination with Contracts“. Inhaltlich betrachtet das erste Unterkapitel unabhängig von der gewählten Vertragsart den erwarteten Absatz des Händlers am Konsumentenmarkt. Im zweiten Unterkapitel, also Kapitel 4.2, wird der Gewinn der Supply Chain unter der Annahme berechnet, dass beide Unternehmen als ein gemeinsames Unternehmen handeln. Es ist der Referenz- bzw. Idealfall (IF), mit dem in den nächsten drei Unterkapiteln die Ergebnisse bei der jeweiligen Vertragsform verglichen werden: Großhändlervertrag, Rückkaufvertrag und Umsatzanteilsvertrag. Das letzte Unterkapitel von Kapitel 4, Kapitel 4.6, vergleicht die Ergebnisse, die in diesem Kapitel berechnet wurden.

Kapitel 5 ist ähnlich wie Kapitel 4 aufgebaut, wobei inhaltlich eine Erweiterung vorgenommen wurde, weil ein zuvor gegebener Parameter nun als Variable fungiert. Das erneute Ansteigen der Komplexität ermöglicht es nicht mehr, das Zahlenbeispiel unter der Annahme einer NV zu berechnen. Bereits die Zahlenbeispiele unter der Annahme einer SG zeigen, dass die Berechnungen sehr komplex sind. Das Weglassen der NV bei den Zahlenbeispielen ist der einzige Unterschied in der Gliederung im Vergleich zu Kapitel 4. Auch in Kapitel 5 lehnen sich die allgemeinen Herleitungen stark an den o. g. Text von Cachon an.

Kapitel 6 fasst die Arbeit zusammen und Kapitel 7 dient als Anhang, in dem mathematische Regeln und Programmierbefehle der benutzten mathematischen Software erläutert werden.

2 Grundlagen

2.1 Inhaltliche Grundlagen

2.1.1 Supply Chain Management

SCM stellt ein Konzept dar, das sich auf komplette Wertschöpfungsketten bezieht.^[2] Es sollen alle Wertschöpfungsaktivitäten gestaltet und gesteuert werden, die sich auf die gleiche Prozesskette beziehen. Eine Beschränkung auf Teile der Wertschöpfungskette ist nicht zulässig, weil Interdependenzen zu den nicht betrachteten Stufen missachtet werden und somit nur eine stufenbezogene optimale Lösung resultiert.

Eine ausschnittsweise Optimierung gefährdet die Wettbewerbsfähigkeit der SC, denn die Konkurrenz besteht eher aus anderen Wertschöpfungsketten als aus einzelnen Stufen. Das SCM betrifft unter anderem die vertragliche Gestaltung zwischen allen Beteiligten. Diese vertragliche Gestaltung kann in vielen Varianten münden, von denen drei Typen in dieser Arbeit betrachtet werden. Ein Vergleich der einzelnen Typen/ Formen erfolgt auf einer operationalisierten Basis. Die Beteiligten an einer SC achten vorrangig auf die Maximierung ihres eigenen Gewinnes. Die Maximierung des Gewinnes der gesamten SC ist sinnvoller, da die Höhe des Gewinnes immer mindestens genauso hoch ist wie die Summe der Gewinne aller Beteiligten der SC bei getrennter Maximierung.

Der Begriff der Koordination spielt in dieser Arbeit eine zentrale Rolle. Koordination bedeutet in diesem Kontext, dass die Summe der Gewinne aller Beteiligten in der SC genau dem Gewinn entspricht, der resultieren würde, falls der Gewinn der gesamten SC maximiert wird. Die SC agiert wie ein fiktives Unternehmen und erzielt den Idealfall.^[3]

In der Analyse wird die kleinstmögliche SC betrachtet, die aus einem Händler und einem Hersteller besteht. Der Hersteller ist somit Zulieferer und Produzent in einem Betrieb, während der Händler die Funktion von Großhändler, Spediteur und Filiale des Einzelhandels übernimmt. Der Hersteller produziert ein Gut, dessen Input größtenteils aus physischen Faktoren aus dem eigenen Betrieb und Arbeitsleistung besteht. Der Output wird vom Händler in der Fabrik des Herstellers abgeholt und in einer oder mehreren Filialen den Kunden zum Kauf angeboten. Zwischen Hersteller und Händler herrscht vollkommene Information, also kennen beide gegenseitig ihre Gewinnmaximierungskalküle, z.B. die anfallenden Kosten beim anderen Unternehmen.^[4] Eine sichere Information über die Nachfrage nach dem Produkt existiert nur in Kapitel 2.2.1, weil dort die Preis-Absatz-Funktion gegeben ist, d.h. bei einem bestimmten Preis kennen sowohl der Hersteller als auch der Händler die absetzbare Menge. In den Kapiteln 3, 4 und 5 ist die Information bzgl. der Nachfrage hingegen unsicher, aber immer noch vollkommen. Beide Marktteilnehmer haben den gleichen Informationsstand und kennen nun nur noch die stochastische Verteilung der Nachfrage nach dem Produkt in Form einer Dichtefunktion.

Die vollkommene Information zwischen Hersteller und Händler führt dazu, dass der Hersteller seine steuerbaren Variablen, also bspw. den Einstandspreis für ein Gut, festsetzt und dem Händler mitteilt.^[5] Der Händler optimiert mit den vom Hersteller genannten Daten seinen eigenen Gewinn. In diesem Modell ist der Hersteller im Vorteil, weil er den so genannten „first-mover-advantage“ innehat. Der Hersteller hat seine Werte so berechnet, dass er die vom Händler steuerbaren Variablen in Abhängigkeit der eigenen Variablen in seine Gewinnfunktion implementiert. Dadurch kann er bspw. den Einstandspreis genau so berechnen, dass der Händler seine eigenen Variablen in der Höhe festlegt, die beim Hersteller ins Gewinnmaximum führen. Dieser Ansatz stellt eine Anlehnung an das Stackelberg-Modell und das Produktwahlspiel dar. Er bewirkt bei der späteren Analyse, dass es stets zu einer einzigen Gewinnaufteilung zwischen Hersteller und Händler kommt, unabhängig vom Modell und vom Vertragstyp.

2.1.2 Ergebnisse bei deterministischer Nachfrage

Die in diesem Kapitel betrachtete SC besteht- wie auch in den anderen Kapiteln- aus einem Hersteller und einem Händler. Der Hersteller produziert genau ein Produkt und verkauft dieses Produkt nur an den Händler, der wiederum nur von diesem einen Hersteller beliefert wird. Zwischen beiden Partnern in der SC besteht vollkommene Information. Der Händler kann die Nachfrage in Abhängigkeit des Preises genau quantifizieren, d.h. es existiert eine deterministische Nachfrage. Diese Annahme wird später aufgehoben und ab dann gilt immer das Prinzip einer stochastischen Verteilung der Nachfrage.

Zum besseren Verständnis der späteren Ausführungen bei einer stochastischen Verteilung der Nachfrage soll für verschiedene Vertragsformen ein Zahlenbeispiel mit deterministischer Nachfrage gerechnet werden.^[6] In den Kapiteln 4 und 5 wird unterschieden zwischen einem bereits gegebenen Verkaufspreis (Typ A) und einem Verkaufspreis, der vom Händler gesetzt werden kann (Typ B).

Im Kontext einer deterministischen Nachfrage kann es nur einen Verkaufspreis geben, der vom Händler gesetzt wird (Typ B). Bei einem gegebenen Verkaufspreis (Typ A) würde unmittelbar die Menge feststehen und es gäbe aus Sicht des Händlers kein Entscheidungsproblem mehr. Zu den Modellen Typ A und Typ B werden in den Kapiteln 4 und 5 jeweils drei verschiedene Vertragsformen untersucht, die bei einer deterministischen Nachfrage nicht alle existieren können. Der RK vergütet dem Händler alle Einheiten des Produktes, die der Händler bestellt hat, aber nicht absetzen kann. Dieser Fall ist bei deterministischer Nachfrage nicht möglich, weil das Modell vorsieht, dass jede bestellte Einheit auch abgesetzt wird. Somit bleiben für die nachfolgende Untersuchung nur zwei Formen übrig: der GH und der UA. Um die erzielten Ergebnisse besser vergleichen zu können, wird zuerst der Idealfall berechnet.

Zunächst werden für die Modelle die relevanten Größen deklariert und die Kosten sowie die Preis-Absatz-Funktion als gegeben angenommen:

Gegebene Parameter:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Variable:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zielgröße:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

a) Gemeinsames Unternehmen (Idealfall)

Beide Unternehmen werden zusammen betrachtet, d.h. es erfolgt keine Zahlung zwischen Händler und Hersteller. Der Gewinn errechnet sich folgendermaßen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nun wird der Verkaufspreis p durch den Zusammenhang (A1) ersetzt und die gegebenen Kosten eingesetzt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Gewinnfunktion ist nur noch von q abhängig und führt bei einer Maximierung zu folgenden Werten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

b) Großhändlervertrag

Der Händler zahlt dem Hersteller für die Bestellmenge insgesamtAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Der Händler optimiert im ersten Schritt seine Menge, die in Abhängigkeit von w angegeben wird. Diesen Zusammenhang berücksichtigt der Hersteller bei seiner Optimierung.^[7]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Gewinnfunktion des Herstellers lautet mit Berücksichtigung von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Gewinnfunktion ist nur noch von w abhängig und führt bei einer Maximierung zu folgenden Werten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei einer deterministischen Nachfrage und einem Großhändlervertrag gilt unabhängig von den gewählten Parametern und der gewählten Preis-Absatz-Funktion:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Hersteller erzielt stets den doppelten Gewinn des Händlers und in der Summe erzielen Hersteller sowie Händler bei einem Großhändlervertrag 75% dessen, was sie im Idealfall in der Summe erzielen könnten.

c) Umsatzanteilsvertrag

Der Händler zahlt dem Hersteller Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und gibt ihm zusätzlich einen Anteil (1-Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) von seinem Umsatz ab. Der Händler optimiert im ersten Schritt seine Menge, die in Abhängigkeit von w und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten angegeben wird.^[8] Diesen Zusammenhang berücksichtigt der Hersteller bei seiner Optimierung.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Gewinnfunktion des Herstellers lautet mit Berücksichtigung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Gewinnfunktion ist nur noch von w und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten abhängig und führt bei einer Maximierung zu folgenden Werten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei einer deterministischen Nachfrage und einem Umsatzanteilsvertrag gilt unabhängig von den gewählten Parametern und der gewählten Preis-Absatz-Funktion:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Hersteller erzielt stets den gesamten Gewinn der SC und in der Summe erzielen Hersteller und Händler bei einem Umsatzanteilsvertrag 100% dessen, was sie im Idealfall in der Summe erzielen könnten, d.h. der UA koordiniert.

2.2 Statistische Grundlagen

Die Einführung in die relevanten Themen der Statistik ist notwendig, um später die Berechnungen bei einer stochastischen Verteilung der Nachfrage besser verstehen zu können. Es dreht sich bei dieser Arbeit um die Nachfrage nach einem Produkt. Zunächst ist es fraglich, ob diese Nachfrage diskret oder stetig ist.

Nimmt man an, es handelt sich bei dem nicht näher spezifizierten Gut um ein Auto, so kann die Zahlenmenge der nachgefragten Autos nur aus natürlichen Zahlen bestehen, d.h. die einzelnen Ausprägungen der Zufallsvariable X sind diskret.^[9]

X: Anzahl der nachgefragten Autos in einer bestimmten Periode in ME

X = { a; a+1; a+2; …; b-2; b-1; b}, wobei a eine Mindestnachfragemenge (a≥0) und b eine Höchstnachfragemenge ist. Die einzelnen Ausprägungen sind abzählbar unterscheidbar [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] diskret.

Nimmt man an, es handelt sich bei dem nicht näher spezifizierten Gut um Rohöl in Litern, so ist es sinnvoll, dass man sehr detailliert unterscheidet, d.h. die einzelnen Ausprägungen der ZV X werden rechnerisch als stetig behandelt.

X: Nachgefragtes Rohöl in Litern in einer bestimmten Periode

X = [a; b], wobei a eine Mindestnachfragemenge (a≥0) und b eine Höchstnachfragemenge ist. Bei den einzelnen Ausprägungen ist es nicht mehr sinnvoll, sie abzählbar zu unterscheiden [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] stetig.

Im Rahmen dieser Arbeit werden ausschließlich stetige Zufallsvariablen benutzt, auch wenn bspw. Zeitungen eigentlich diskret behandelt werden müssten. Man kann aber feststellen, dass eine stetige Berechnung mehr Möglichkeiten offeriert und die Ergebnisse eine gute Näherung liefern.

2.2.1 Dichtefunktion

Die Dichtefunktion bei einer stetigen Zufallsvariablen X ist definiert als:^[10]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit xAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenX; die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz Dichtefunktion stellt die erste Ableitung der Verteilungsfunktion dar, die in Kapitel 2.2.2 eingeführt wird. Sie hat folgende Eigenschaften: f(x) ≥ 0 und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Jede Dichte ist positiv und die Fläche unter der Dichtefunktion ist immer gleich eins. Wichtig ist, dass man sich den Unterschied zwischen der Dichte und der Wahrscheinlichkeit (WS), dass genau e ME nachgefragt werden, verdeutlicht:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Inhaltlich sind bei einer stetigen ZV zu viele Ausprägungen möglich, als dass eine einzelne Ausprägung eine von null verschiedene WS haben kann.

Beispiel: Bei einer SG lautet die Dichtefunktion folgendermaßen:^[11]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Jede Dichte besitzt den gleichen Funktionswert unabhängig von x. Der Funktionswert ist immer positiv, da b > a ist. Die Dichtefunktion ist nur zwischen a und b definiert und hat graphisch gesehen immer die Höhe [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Somit kann man die Fläche unter der Dichtefunktion ausrechnen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Dichtefunktion einer Normalverteilung wird in Kapitel 4.1.3 vorgestellt.

2.2.2 Verteilungsfunktion

Wie im vorherigen Kapitel angedeutet, besteht zwischen der Dichtefunktion und der Verteilungsfunktion ein direkter Zusammenhang. Es sei X eine stetige Zufallsvariable und F(e) mit e [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] X die Verteilungsfunktion an der Stelle e:^[12]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Inhaltlich handelt es sich um die WS, dass die Zufallsvariable höchstens den Wert e annimmt. Umgekehrt kann man die Gegenwahrscheinlichkeit angeben, dass die ZV mehr als den Wert e annimmt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Jeder Funktionswert liegt zwischen null und eins. Eine Verteilungsfunktion ist monoton steigend.

Beispiel: Die Herleitung der Verteilungsfunktion der SG erfolgt ausführlich in Kapitel 4.1.2.

2.2.3 Erwartungswert

Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable lässt sich mit Hilfe der Dichtefunktion berechnen. Es sei E(X) der Erwartungswert der Zufallsvariablen X und f(X) die Dichtefunktion der ZV. Dann gilt:^[13]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Erwartungswert einer ZV ist immer eine Zahl.

Beispiel: Berechnung des Erwartungswertes einer SG:^[14]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3 Zeitungsjungenproblem

3.1 Einleitung

Ein Zeitungsjunge steht täglich vor dem Problem, wie viele Zeitungen er dem Verlag oder einem Großhändler abkaufen soll, um seinen eigenen Gewinn zu maximieren.^[15] Der Begriff „Zeitungsjunge“ ist hierbei auf alle Händler zu beziehen, die direkt Zeitungen an Konsumenten verkaufen. Dabei ist die einzige Disposition des Zeitungsjungen die Anzahl der gekauften Zeitungen, denn der Verkaufspreis der Zeitung ist durch den Verlag fest vorgegeben und auf der Zeitung abgedruckt. Ebenso ist der Einkaufspreis vom Verlag bestimmt und somit vom Zeitungsjungen nicht beeinflussbar. Problematisch ist für den Jungen die Tatsache, dass die Nachfrage nach den Zeitungen stochastisch ist und er somit den genauen Tagesbedarf nicht kennt. Auf der einen Seite kann der Junge zu wenige Zeitungen kaufen, wenn der Bedarf der Konsumenten höher als die am Stand vorhandenen Zeitungen ist. Das resultierende Problem ist, dass Konsumenten, die keine Zeitung bekommen, am nächsten Tag bzw. beim nächsten Kauf den Anbieter wechseln könnten, also bei einem anderen Zeitungsjungen kaufen würden. Dieser Verlust muss im Modell quantifiziert werden, nämlich durch den Parameter „Fehlmengenkosten“.

Auf der anderen Seite kann der Junge zu viele Zeitungen kaufen, so dass er am Ende des Tages den nicht an Konsumenten weiterverkauften Überschuss nur zu einem geringeren Preis an einen Dritten, z.B. eine Papierfabrik, verkaufen kann.

Das Problem des Zeitungsjungen lässt sich natürlich auf viele andere Bereiche übertragen. Es handelt sich um Lagerhaltungsmodelle, die nur für eine Periode gelten, weil die Produkte leicht verderblich sind oder keine lange Lebensdauer haben. Diese Tatsache ist bei der Zeitung erfüllt, da davon auszugehen ist, dass man sie nur am Tag des Erscheinens kaufen möchte.

Im Kontext dieser Arbeit ist dieses Problem im Gegensatz zu den in Kapitel 4 und 5 beschriebenen Modellen vereinfacht, aber gut geeignet, um die Gesamtproblematik zu illustrieren. Beim Zeitungsjungenproblem ist nur eine Entscheidung zu fällen, die zu disponierende Menge. Währenddessen sind bei den Modellen in Kapitel 4 und 5 mehrere Entscheidungsvariable gegeben, die das Problem komplexer werden lassen. Gleich ist hingegen, dass die Verteilung der Nachfrage stochastisch ist und nur ein Produkt disponiert wird. Ebenfalls unverändert bleibt, dass es sich um eine zweistufige Supply Chain handelt.

3.2 Annahmen des Modells

Die oben beschriebene Problemstellung birgt einige Annahmen bei der Modellformulierung. Zunächst geht man davon aus, dass die beschriebenen Fehlmengenkosten sich dadurch quantifizieren lassen, dass der Zeitungsjunge einen Verlust des Kunden abwenden kann, indem er bei fehlenden Zeitungsexemplaren jedem Kunden einen Gutschein in Höhe von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten GE gibt.^[16] Diesen Gutschein können die Kunden benutzen, um einen Teil des Verkaufspreises bei einem anderen Händler zu bezahlen.

Der Zeitungsjunge kann nur am frühen Morgen eines jeden Tages über die Anzahl entscheiden, die er selbst kaufen will. Es handelt sich um die Entscheidungsvariable q. Ansonsten stehen der Einstandspreis w, der Restwert v und der Verkaufspreis p fest. Sinnvoll ist ein Modell nur, wenn p > w > v gilt, hingegen ist die Größe von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten nicht einzuordnen.

Der Junge handelt rational und will somit seinen erwarteten Gewinn maximieren. Um die Rechnung zu vereinfachen, wird eine stetige Zufallsvariable bei der Nachfrage unterstellt, d.h. der Definitionsbereich der Nachfrage ist positiv und reell.

3.3 Formulierung des Modells

Gegebene Parameter:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Variable:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zielgröße:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ansatz:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Erwartungswert des Gewinnes setzt sich aus fünf Termen zusammen, die nun erläutert werden.^[17] Der erste Term geht davon aus, dass die Nachfrage höchstens der disponierten Menge entspricht. Es wird durch das Integral die erwartete Menge zwischen 0 und q bestimmt, die mit dem Verkaufspreis multipliziert wird, also die erwarteten Einnahmen bei Deckung des Bedarfs. Der zweite Term geht davon aus, dass die Nachfrage größer als die disponierte Menge ist. Somit liegt das Integral zwischen Menge q und unendlich, so dass hier die erwarteten Einnahmen bei Nicht-Deckung des Bedarfs berechnet werden. Der dritte Term drückt aus, welche Einnahmen zu erwarten sind, falls bei Deckung des Bedarfs Zeitungen an einen Dritten verkauft werden. Der vierte Term stellt die Einkaufskosten des Zeitungsjungen dar und der fünfte Term berechnet die erwarteten Fehlmengenkosten.

Nun wird dieser Ansatz schrittweise umgeformt, so dass durch Ableiten und Nullsetzen der Ableitung ein Optimum bestimmt werden kann:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im letzten Schritt wurde der Zusammenhang zwischen der Dichte- und der Verteilungsfunktion benutzt, der in (B6) und (B7) definiert ist. Im Kontext der Nachfrage nach einem Produkt kann man diese Definition ersetzen durch:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Außerdem wurde der Term [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ergänzt, d.h. um die Gleichheit zu gewährleisten, muss der Term, nachdem er addiert worden ist, ebenso subtrahiert werden. Der Sinn liegt darin, dass im nächsten Schritt durch Zusammenfassung eine Vereinfachung möglich ist. Es folgt nun die letzte Zusammenfassung vor der Ableitung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der abzuleitende Ausdruck (C5) besteht aus fünf Termen. Der erste Term ist am kompliziertesten, da ein Integralausdruck differenziert wird. Die Variable bildet hierbei die Integralobergrenze, so dass nach der Leibnizregel vorgegangen wird.^[18] Der zweite und der dritte Term werden nach der Summenregel differenziert. Der letzte Term fällt heraus, da E(y) eine Zahl ist und sich somit konstant zur Variable verhält.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In (C10) muss der rechte Ausdruck einer Zahl zwischen null und eins entsprechen, da links die Verteilungsfunktion an der Stelle q steht. Dieser rechte Ausdruck größer/gleich null gesetzt, besagt, dass Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten≥ 0 ist. Setzt man den Ausdruck kleiner/gleich eins, so ergibt sich daraus, dass w ≥ v ist. Es ist die Annahme des Modells, dass der Einkaufspreis mindestens dem Restwert entsprechen muss, weil der Zeitungsjunge ansonsten einen Anreiz hätte, unendlich viele Zeitungen zu kaufen, da bei sofortigem Weiterverkauf an einen Dritten ein Gewinn pro Zeitung resultieren würde.

[...]

---

^[1] Es wurde frei und nicht wörtlich aus der Originalliteratur von Cachon übersetzt:

Wholesale price contract = Großhändlervertrag

Buy back contract = Rückkaufvertrag

Revenue sharing contract = Umsatzanteilsvertrag

^[2] Vgl. auch Folgeabsatz: Ihde (1997), S.1046-1047.

^[3] Diese Definition stellt eine Abwandlung zur Definition von Cachon dar.

^[4] Vgl. auch Rest des Absatzes: Pindyck/Rubinfeld (2005), S.235-238.

^[5] Vgl. auch Rest des Absatzes: Pindyck/Rubinfeld (2005), S.642-643.

^[6] Vgl. auch Rest des Kapitels: van der Veen/Venugopal (2000), S.1-10.

^[7] Hier kommt der first-mover-advantage des Herstellers zum Ausdruck.

^[8] Beim UA bestimmt der Hersteller sowohl w als auch .

^[9] Vgl. auch Rest des Kapitels: Schlittgen (2003), S.5-6.

^[10] Vgl. auch Folgeabsatz: Schira (2003), S.266-267.

^[11] Vgl. auch Rest des Kapitels: Schlittgen (2003), S.215-216.

^[12] Vgl. auch Rest des Kapitels: Schlittgen (2003), S.99-100.

^[13] Vgl.: Schira (2003), S.270.

^[14] Vgl.: Schlittgen (2003), S.216.

^[15] Vgl. auch Rest des Absatzes: Bartmann/Beckmann (1989), S.90.

^[16] Vgl. auch Folgeabsatz: Domschke u.a. (1997), S.170-172.

^[17] Vgl. auch Rest des Kapitels: Domschke u.a. (1997), S. 170-172.

^[18] Vgl. mit der Definition in Kapitel 7 Teil B.