Standardmäßig werden in der multidimensionalen Risikomessung zur Berücksichtigung von Abhängigkeiten der Korrelationskoeffizient nach Bravais/Pearson oder Rangkorrelationskoeffizienten verwendet. Diese Abhängigkeitsmaße basieren auf der Annahme, dass Renditen von Finanzmarktinstrumenten durch die Normalverteilung approximiert werden können. Mit der wachsenden Erkenntnis, dass im Zuge der Entwicklung komplexer Finanzmarktinstrumente die These normalverteilter Zufallsvariablen zugunsten von asymmetrischen und leptokurtischen (fat-tailed) Verteilungen zurückgewiesen werden muss, steigt auch die Notwendigkeit, das Verständnis von Abhängigkeiten grundlegend zu überdenken. Überdies weisen Finanzmarktbeobachtungen asymmetrische Abhängigkeiten auf, die sich in einer höheren Korrelation negativer als positiver Entwicklungen zeigen. Damit können grundlegende Annahmen für den Value at Risk (VaR) nicht gehalten werden. Übergreifende Definitionen von Abhängigkeiten sind gefordert.
Copula-Funktionen beseitigen die bekannten Nachteile linearer Risikomaße, die eine gleichmäßig starke Abhängigkeit von Zeitreihen über den gesamten Träger der Verteilung, auch an den Rändern, unterstellen. Stattdessen werden die Abhängigkeiten mithilfe von Copulas funktional modelliert und können in den kritischen Bereichen besonders ausgeprägt sein. Die flexible Einsatzmöglichkeit von Copula-Funktionen zur Modellierung multivariater Abhängigkeiten wird durch das Theorem von Sklar deutlich, nach dem sich multivariate Verteilungen in univariate Randverteilungen und die Abhängigkeitsstruktur zerlegen lassen.
Anhand zweier simulierter, abhängiger Wertpapiere mit Student’s-t-Marginalverteilungen werden ausgewählte Copula-Familien elliptischer und Archimedischer Copulas vorgestellt und deren Auswirkungen auf den mittels Monte Carlo-Simulation berechneten Portfolio-VaR analysiert. Die Ergebnisse zeigen, dass das Modell einer multivariaten Normalverteilung erheblich verbessert werden kann, in dem die Abhängigkeitsstruktur mit Copulas dargestellt wird. Festzuhalten bleibt auch, dass der Korrelationskoeffizient nach Pearson eine gute Approximation darstellt, wenn elliptische Verteilungen zugrunde liegen.
Einsatzgebiete für Copulas finden sich insbesondere in den gestiegenen aufsichtsrechtlichen Anforderungen im Hinblick auf die ganzheitliche quantitative Risikomessung (Basel II, MaRisk).
Inhaltsverzeichnis
- Einführung und Problemstellung.
- Arten, Eigenschaften und Probleme von Abhängigkeitsmaßen
- Gewünschte Eigenschaften eines Abhängigkeitsmaßes
- Abhängigkeitskonzepte im Überblick
- Copula-Funktionen als übergeordnete Abhängigkeitskonzepte
- Definition von Copulas und die Bedeutung von Sklar's Theorem aus der wahrscheinlichkeitstheoretischen Perspektive
- Ausgewählte Familien von Copulas
- Eigenschaften von Copulas
- Schätzung und VaR-Simulation verschiedener Copula-Modelle
- Darstellung der Vorgehensweise
- Simulation von Wertpapieren und Analyse des Beispielportfolios
- Schätzung verschiedener Copula-Modelle für die Portfolioverteilung
- Darstellung und Auswahl der Schätzmethodik
- Schätzung der Marginalverteilungen
- Ermittlung der Parameter für die Copula-Funktionen
- Berechnung der VaR-Werte verschiedener Copula-Modelle
- Ausgewählte Anwendungsfelder von Copula-Methoden im Risikomanagement von Kreditinstituten
- Risikoaggregation in der Gesamtbank
- Copulas zur Unterstützung der Risikomessung in verschiedenen Risikoarten
- Copulas zur Modellierung extremen Risikoverhaltens
- Financial Engineering
- Grenzen der Copula-Methoden
- Zusammenfassung und Ausblick
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Dieses Referat befasst sich mit der Messung von Abhängigkeiten zwischen Finanzinstrumenten mithilfe von Copula-Funktionen. Das Ziel ist es, ein tieferes Verständnis für die Anwendung von Copula-Modellen im Risikomanagement von Kreditinstituten zu entwickeln.
- Eigenschaften und Probleme von Abhängigkeitsmaßen
- Copula-Funktionen als übergeordnetes Abhängigkeitskonzept
- Schätzung und Simulation von Copula-Modellen
- Anwendungsfelder von Copula-Methoden im Risikomanagement
- Grenzen der Copula-Methoden
Zusammenfassung der Kapitel
Das Referat beginnt mit einer Einführung in das Thema Abhängigkeitsmaße und stellt verschiedene Konzepte und deren Grenzen dar. Im Anschluss werden Copula-Funktionen als übergeordnete Abhängigkeitskonzepte vorgestellt und ihre Definition, Eigenschaften sowie ausgewählte Familien von Copulas behandelt. Anschließend werden die Schätzung und VaR-Simulation verschiedener Copula-Modelle erläutert, wobei auf die Darstellung der Vorgehensweise, die Simulation von Wertpapieren, die Schätzung der Marginalverteilungen und die Berechnung der VaR-Werte eingegangen wird. Abschließend werden ausgewählte Anwendungsfelder von Copula-Methoden im Risikomanagement von Kreditinstituten beleuchtet, darunter die Risikoaggregation, die Unterstützung der Risikomessung in verschiedenen Risikoarten, die Modellierung extremen Risikoverhaltens, Financial Engineering und die Grenzen der Copula-Methoden.
Schlüsselwörter
Die zentralen Begriffe und Themen des Referats sind: Abhängigkeitsmaße, Copula-Funktionen, Sklar's Theorem, Schätzung, Simulation, VaR, Risikomanagement, Risikoaggregation, Risikomessung, Financial Engineering, Grenzen der Copula-Methoden.
- Quote paper
- Christian Mechnik (Author), 2006, Nichtlineare Abhängigkeitsmaße. Messung von Abhängigkeiten mithilfe von Copulas, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/68963
