Nichtlineare Abhängigkeitsmaße. Messung von Abhängigkeiten mithilfe von Copulas

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung und Problemstellung

2 Arten, Eigenschaften und Probleme von Abhängigkeitsmaßen
2.1 Gewünschte Eigenschaften eines Abhängigkeitsmaßes
2.2 Abhängigkeitskonzepte im Überblick
2.3 Copula-Funktionen als übergeordnete Abhängigkeitskonzepte
2.3.1 Definition von Copulas und die Bedeutung von Sklar’s Theorem aus der wahrscheinlichkeitstheoretischen Perspektive
2.3.2 Ausgewählte Familien von Copulas
2.3.3 Eigenschaften von Copulas

3 Schätzung und VaR-Simulation verschiedener Copula-Modelle
3.1 Darstellung der Vorgehensweise
3.2 Simulation von Wertpapieren und Analyse des Beispielportfolios
3.3 Schätzung verschiedener Copula-Modelle für die Portfolioverteilung
3.3.1 Darstellung und Auswahl der Schätzmethodik
3.3.2 Schätzung der Marginalverteilungen
3.3.3 Ermittlung der Parameter für die Copula-Funktionen
3.4 Berechnung der VaR-Werte verschiedener Copula-Modelle

4 Ausgewählte Anwendungsfelder von Copula-Methoden im Risikomanagement von Kreditinstituten
4.1 Risikoaggregation in der Gesamtbank
4.2 Copulas zur Unterstützung der Risikomessung in verschiedenen Risikoarten
4.3 Copulas zur Modellierung extremen Risikoverhaltens
4.4 Financial Engineering
4.5 Grenzen der Copula-Methoden

5 Zusammenfassung und Ausblick

6 Anhang
6.1 Herleitung der log-Likelihood-Funktionen zur Schätzung der Copula-Funktionen
6.2 Grafiken

7 Literaturverzeichnis

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Simulation abhängiger Wertpapierrenditen

Abbildung 2: Monte Carlo-Simulation der t-Copula versus empirische Verteilung

Abbildung 3: Monte Carlo-Simulation der Gauß-Copula versus empirische Verteilung

Abbildung 4: Monte Carlo-Simulation der Gumbel-Copula versus empirische Verteilung

Abbildung 5: Monte Carlo-Simulation der Clayton-Copula versus empirische Verteilung

Abbildung 6: Monte Carlo-Simulation der Frank-Copula versus empirische Verteilung

Abbildung 7: Monte Carlo-Simulation der reinen Gauss-Copula versus empirische Verteilung

Abbildung 8: Grafische Darstellung der t-Coupla

Abbildung 9: Grafische Darstellung der Gauß-Coupla

Abbildung 10: Grafische Darstellung der Frank-Coupla

Abbildung 11: Grafische Darstellung der Gumbel-Coupla

Abbildung 12: Grafische Darstellung der Frank-Coupla

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Familien Archimedischer Copulas in Abhängigkeit der Generatorfunktion

Tabelle 2: Ergebnisse der IFM-Schätzer für Parameter von Copulas verschiedener Abhängigkeitsstrukturen in Abhängigkeit von unterschiedlichen Korrelationswerten

Tabelle 3: VaR-Werte eines Portfolios mit 70% Wertpapier 1 und 30% Wertpapier 2 bei Verwendung unterschiedlicher Abhängigkeitsstrukturen

1 Einführung und Problemstellung

Standardmäßig werden in der multidimensionalen Risikomessung zur Berücksichtigung von Abhängigkeiten der Korrelationskoeffizient nach Bravais/Pearson oder Rangkorrelationskoeffizienten verwendet. Diese Abhängigkeitsmaße sind fest verankert in der Portfoliotheorie, begründet durch Markowitz und besonders unterstützt durch die Annahme, dass Renditen von Finanzmarktinstrumenten durch die Normalverteilung approximiert werden können^[1]. Der Kreis zulässiger Verteilungsannahmen ist zwar seither erweitert worden, grundlegende limitierende Voraussetzung bleibt allerdings die Annahme quadratischer Nutzenfunktionen für die Präferenzordnung von Assets^[2].

Mit der wachsenden Erkenntnis, dass im Zuge der Entwicklung komplexer Finanzmarktinstrumente die These normalverteilter Zufallsvariablen zugunsten von asymmetrischen und leptokurtischen (fat-tailed) Verteilungen zurückgewiesen werden muss, steigt auch die Notwendigkeit, das Verständnis von Abhängigkeiten grundlegend zu überdenken^[3]. Überdies weisen Finanzmarktbeobachtungen asymmetrische Abhängigkeiten auf, die sich in einer höheren Korrelation negativer als positiver Entwicklungen zeigen^[4]. Die simple Erweiterung univariater Verteilungen mit den gewünschten Eigenschaften der Asymmetrie und Kurtosis auf den multivariaten Fall unter Berücksichtigung der Standard-Abhängigkeitsmaße zwängt die Randverteilungstypen in ein unerwünschtes Korsett identischer Verteilungstypen^[5] und lässt unberücksichtigt, dass der Charakter der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsstruktur sich wandelt^[6]. Damit können auch grundlegende Annahmen für den Value at Risk (VaR) nicht gehalten werden^[7]. Übergreifende Definitionen von Abhängigkeiten sind gefordert, zumal begründete Zweifel daran bestehen, derartig komplexe Abhängigkeitsstrukturen in einem skalaren Maß abbilden zu können^[8].

Ein Abhängigkeitsmaß, das diese Nachteile aufhebt, ist die Copula-Funktion. In der Finanzmathematik werden Copulas erst seit etwa zwanzig Jahren verwendet, in der Wahrscheinlichkeitstheorie stellen sie jedoch eine intensiv erforschte Technik dar^[9]. Diese Arbeit vermittelt einen Überblick über Copula-Funktionen und stellt vergleichend deren Eigenschaften und Familien dar sowie deren Vorteile gegenüber linearen Abhängigkeitsmaßen.

Im Abschnitt 2 werden verbreitete Abhängigkeitskonzepte vorgestellt und deren Eignung im Hinblick auf ein Idealmaß für die Abhängigkeit überprüft. Im Abschnitt 3 werden Renditen für zwei hypothetische Wertpapiere simuliert und der VaR mithilfe unterschiedlicher Copula-Funktionen berechnet. Abschnitt 4 gibt einen Überblick über weitere Anwendungsfelder von Copulas im Risikomanagement von Kreditinstituten, Abschnitt 5 fasst zusammen.

2 Arten, Eigenschaften und Probleme von Abhängigkeitsmaßen

2.1 Gewünschte Eigenschaften eines Abhängigkeitsmaßes

Abhängigkeitskonzepte beschreiben den Zusammenhang zwischen Zufallsvariablen. Funktionale Abhängigkeitsmaße der FormAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenweisen jedem Paar aus einer Menge von n ZufallsvariablenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalteneine reelle ZahlAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenzu^[10]. Für n>2 befindet sich das Abhängigkeitsmaß der ZufallsvariablenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten in einer symmetrischen Matrix im Element (i,j).

Idealerweise sollten Abhängigkeitsmaße folgende Eigenschaften erfüllen:

(1) Existenz für alle Kombinationen von ZufallsvariablenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,
(2) Symmetrie:Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,
(3) Normierung: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,
(4) Perfekte Abhängigkeit: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenist perfekt positiv [negativ] abhängig von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,
(5) Eindeutigkeit der Unabhängigkeit: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und
(6) Invarianz gegenüber monotonen Transformationen: FallsAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten streng monotone Funktionen mit dem Träger der Zufallsvariablen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten darstellen, dann giltAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[11].

Die gleichzeitige Existenz der Bedingungen (4) und (5) ist nicht möglich^[12]. Um Bedingung (5) zu gewährleisten, muss der Normierungsbereich [a,b] gemäß Bedingung (3) auf positive Werte beschränkt werden^[13]. In diesem Fall kann allerdings nicht mehr auf eine positive oder negative Abhängigkeit geschlossen werden^[14]. Im Abschnitt 2.2 werden ausgewählte Abhängigkeitskonzepte mit deren Eigenschaften vorgestellt.

2.2 Abhängigkeitskonzepte im Überblick

Das am weitesten verbreitete Abhängigkeitsmaß ist die Lineare Korrelation,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Bei diesem Maß handelt es sich um die mit den Standardabweichungen der Verteilungen standardisierte Kovarianz. Lineare Korrelationsmaße erfüllen die Eigenschaften (1) bis (3). Eigenschaft (6) ist nur dann erfüllt, wenn es sich bei der Transformation um eine Linearkombination der Zufallsvariablen handelt. Die Lineare Korrelation ist eine Teilmenge der Abhängigkeitsmaße^[15].

Die Verbreitung der Linearen Korrelation basiert auf deren einfacher Berechnungsweise, da die zweiten Momente von Stichproben multivariater Verteilungen im allgemeinen problemlos zu ermitteln sind^[16]. Darüber hinaus sind sie das natürlich (kanonisches) Abhängigkeitsmaß für multivariate elliptische Verteilungen^[17], deren bekannteste Tochter, die Normalverteilung, über lange Zeit die führende Verteilungsannahme bei der Modellierung von Finanzmarktprozessen darstellt^[18]. Gerade die Annahme elliptischer Verteilungen ist durch empirische Daten allerdings oftmals zu verwerfen^[19]. Zudem fehlt die Aussage über den Grad der Abhängigkeit in den Rändern der Verteilungen (tail dependence)^[20], sodass bestimmte Abhängigkeitsstrukturen nicht hinreichend abgebildet werden können und das Risiko gemeinsamer Extrembeobachtungen unterschätzt wird^[21].

Verallgemeinerungen des Abhängigkeitskonzepts, insbesondere mit Blick auf Eigenschaft (6), stellen Rangkorrelationsmaße dar^[22]. Rangkorrelationsmaße beschreiben die Abhängigkeit von Zufallsvariablen durch die „Wahrscheinlichkeit“, gleichzeitig hohe oder niedrige Ausprägungen aufzuweisen^[23] und basieren auf der „Auszählung“ konkordanter und diskordanter Beobachtungen, wobei zwei Beobachtungspaare Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten dann konkordant genannt werden, wenn Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltengilt^[24]. Zu den bekanntesten Rankkorrelationskoeffizienten zählt Kendall’s Rangkorrelationskoeffizient,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,

wobei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten(Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) die Anzahl konkordanter (diskordanter, neutraler) Paare angibt^[25].

Rangkorrelationsmaße erfüllen die Eigenschaften (1) bis (4) und (6)^[26].

Lineare Korrelation und Rangkorrelationen sind keine suffizienten Statistiken hinsichtlich der gemeinsamen Verteilung^[27]. Dadurch ist auch der VaR eines solchen Portfolios nicht eindeutig durch die Randverteilungen und den Korrelationskoeffizienten bestimmt. Darüber hinaus kann nur innerhalb der elliptischen Welt davon ausgegangen werden, dass der höchste VaR für ein Portfolio bei einem maximalen Korrelationskoeffizienten erreicht wird^[28]. Die genannten Abhängigkeitsmaße werfen die generelle Frage auf, ob die skalare Darstellung einer Abhängigkeit hinreichend flexibel ist^[29]. Es wird sich zeigen, dass alle beschriebenen Abhängigkeitsmaße Eigenschaften eines übergeordneten Abhängigkeitskonzepts, der Copula, sind^[30].

2.3 Copula-Funktionen als übergeordnete Abhängigkeitskonzepte

2.3.1 Definition von Copulas und die Bedeutung von Sklar’s Theorem aus der wahrscheinlichkeitstheoretischen Perspektive

Die Abhängigkeit zwischen ZufallsvariablenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenwird vollständig durch deren gemeinsame n-dimensionale Verteilungsfunktion Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten beschrieben. Die Grenzwertbetrachtung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenliefert die univariaten Randverteilungen.

Unter Verwendung der Randverteilungen und einer Funktion Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten kann die gemeinsame Verteilungsfunktion alternativ dargestellt werden (Sklar’s Theorem):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[31].

Gemäß Sklar’s Theorem lässt sich die gemeinsame Verteilungsfunktion mehrerer Zufallsvariablen (z.B. Verlustrisikoverteilung) zerlegen in die univariaten RandverteilungenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten („individuelle“ Risikobeiträge) und eine FunktionAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, die die komplette Abhängigkeitsstruktur der Zufallsvariablen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten beschreibt (Risikobeitrag der Abhängigkeitsstruktur)^[32]. Die FunktionAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenist eine Copula und hat die Eigenschaften:

(1) Abbildung des n-dimensionalen Einheitsraums auf den Einheitsvektor Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,

(2) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (grounded),

(3) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten],

(4) Für alleAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltengilt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten mitAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenundAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenfür alleAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten(n-increasing)^[33].

Aus diesen Eigenschaften ergibt sich, dass die Funktion monoton steigend in jeder KomponenteAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist und dass die Randverteilungen im Einheitsvektor liegen. Eigenschaft (4) ist im zwei-Variablen Fall in dreidimensionaler Darstellung der Funktion als aufwärts gerichtetes Rechteck interpretierbar^[34]. Liegen stetige Randverteilungen vor, kann die Copula eindeutig aus den Randverteilungen ermittelt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[35].

Im Unterschied zu linearen Abhängigkeitsmaßen ermöglicht eine Copula die Darstellung unterschiedlich ausgeprägter Zusammenhänge von Zufallsvariablen über deren Trägerbereiche. Dieses Konzept findet besondere Berücksichtigung im Bereich der Extreme Value Theory zur Modellierung von Extremereignissen^[36].

Während die Ermittlung der Randverteilungen im Allgemeinen ein überschaubares Problem darstellt, ist die Ermittlung der Copula nicht trivial. Parametrische Methoden definieren den Typ der Copula aus einer Menge bekannter Verteilungsfunktionen (z.B. multivariate Normalverteilung), nichtparametrische Methoden ermitteln die Copula-Funktion ohne ex ante-Annahmen.

2.3.2 Ausgewählte Familien von Copulas

Die gängige Einteilung in der Literatur erfolgt in Klassen und Familien. Zwei übergeordnete Klassen sind elliptische und Archimedische Copulas. Innerhalb der Klasse Archimedischer Copulas werden Familien unterschieden^[37].

Elliptische Copulas bilden symmetrisches Abhängigkeitsverhalten ab. Weit verbreitet ist aufgrund ihrer Flexibilität die Student’s t-Copula,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,

mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten als multivariater t-Verteilung mit symmetrischer, positiv definiter Korrelationsmatrix Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Freiheitsgraden^[38]. Über den Parameter Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten können die Wahrscheinlichkeiten für gemeinsame Bewegungen gesteuert werden^[39]. Je geringer die Anzahl der Freiheitsgrade, desto höhere Kurtosis wird der Verteilung zugewiesen, wobei eine zu kleine Anzahl Freiheitsgrade zu unerwünschter „Wolkenbildung“ (Ausschläge in alle Richtungen) führen kann^[40]. FürAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten konvergiert die Student t-Copula gegen die Gauß-Copula,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,

mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenals multivariate Standardnormalverteilung mit Korrelationsmatrix Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten als univariate Standardnormalverteilung^[41].

Durch die Modellierbarkeit leptokurtischer Verteilungen ist die t-Copula bereits ausreichend für Standardprobleme im Risikomanagement wie z.B. VaR-Berechnungen oder Mean-Variance-Optimierung, sofern die zugrunde liegenden Verteilungen elliptisch sind^[42]. Weitere Flexibilität entsteht dadurch, dass durch die Kombination unterschiedlicher Randverteilungen mit der Gauß- oder t-Copula verschiedene Profile gemeinsamer Verteilungen produzierbar sind^[43]. Sind die Randverteilungen standardnormalverteilt, generiert die Gauß-Copula die multivariate Standardnormalverteilung. Unter diesen Umständen entspricht die Korrelation zwischen den Randverteilungen dem linearen Korrelationskoeffizienten. Für nicht-normale Randverteilungen gilt dies nicht^[44].

Die Klasse der Archimedischen Copulas wird zur Abbildung asymmetrischer Abhängigkeiten herangezogen^[45]. Die Definition Archimedischer Copulas lautet

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,

wobei die IndikatorfunktionAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten den Wert eins annimmt, falls Bedingung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltengilt und null sonst. Die Funktion Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten(Generator) bildet den n-dimensionalen Einheitsraum auf die Menge der positiven reellen Zahlen ab, ist stetig, fallend und konvex.Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bezeichnet die Inversfunktion vonAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, für die giltAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[46].

Abhängig von der Wahl der Generatorfunktion erhält man verschiedene Familien der Klasse Archimedischer Copulas. Ausgewählte Familien sind in Tabelle 1 dargestellt^[47].

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ^{[48] [49] [50]}

Tabelle 1: Familien Archimedischer Copulas in Abhängigkeit der Generatorfunktion ^[51]

Bei allen drei Copula-Familien korrespondieren steigendeAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten-Beträge mit steigender Abhängigkeit zwischen den Zufallsvariablen, für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (bzw. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenfür die Gumbel-Copula) gilt Unabhängigkeit der Zufallsvariablen. Dabei ist nur der Parameterraum der Frank-Copula unbeschränkt, so dass negative und positive Abhängigkeiten abgebildet werden können. Die Gumbel-Copula ist durch Ihren Parameterraum auf die Abbildung positiver Assoziationen beschränkt. Dementsprechend ist sie besonders zur Modellierung starker positiver Abhängigkeiten geeignet^[52]. Eine spezielle Form der Gumbel-Familie ist die Produkt-CopulaAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, die sich bei Wahl von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ergibt und deren Copula dem Produkt der univariaten Verteilungen entspricht (Unabhängigkeits-Copula)^[53].

2.3.3 Eigenschaften von Copulas

Copulas erfüllen die Eigenschaften (1) bis (6) (à Abschnitt 2.1). Von besonderer Bedeutung ist die Eigenschaft der Invarianz gegenüber strikt monotonen Transformationen, durch welche übliche Logarithmierung von Zeitreihen ohne Informationsverlust bzgl. der Abhängigkeitsstruktur ermöglicht wird^[54]. Auf drei Eigenschaften mit besonderer ökonomischer Relevanz (Frechet-Grenzen, Rangkorrelationen und tail dependence) soll besonders eingegangen werden.

Aus den allgemeinen Frechet-Grenzen für multivariate Verteilungen,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,

lassen sich die Bedingungen für die perfekte Abhängigkeit von Zufallsvariablen ableiten. Danach besitzen perfekt positiv (negativ) abhängige Zufallsvariablen die obere (untere) Frechet-Grenze als Copula^[55]. Frechet-Grenzen können auch dazu genutzt werden, Ober- und Untergrenzen für VaR-Werte zu ermitteln, ohne Annahmen über die Abhängigkeitsstruktur treffen zu müssen^[56].

Zwischen Copulas und Rangkorrelationsmaßen besteht ein analytischer Zusammenhang. So gilt z.B. für Kendall’s Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenin Abhängigkeit von der Generatorfunktion Archimedischer Copulas

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[57].

Der analytische Zusammenhang zeigt, dass Rangkorrelationskoeffizienten Eigenschaften von Copulas darstellen. Die Berechnung von Momenten multivariater Verteilungen kann umgangen werden^[58]. Für stetige Zufallsvariablen nimmt Kendall’s Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenjeden Wert im IntervallAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bei Wahl einer entsprechenden Copula an. Dies trifft für den linearen Korrelationskoeffizienten nicht zu^[59].

Ein Maß für die Abhängigkeit in den Randbereichen der Verteilungen, mit besonderem Einfluss auf das Gesamtrisiko und ökonomische Kapital^[60], ist die tail dependence, ein quantil-basiertes Abhängigkeitsmaß^[61]. Im Gegensatz zu elliptischen Copulas, bei denen die tail dependence, sofern vorhanden, symmetrisch wirkt, eignen sich Archimedische Copulas (Clayton, Gumbel)^[62] auch zur Abbildung asymmetrischer tail dependence. Unter der Annahme stetiger Randverteilungen hängt der Koeffizient der tail dependence ausschließlich von der Copula ab und ist damit invariant gegenüber monotonen Transformationen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,

mitAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[63]. Analog gilt für den Koeffizienten der unteren tail dependenceAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Der Koeffizient der tail dependence gibt somit in beiden Fällen die asymptotischen Eigenschaften der Copula an^[64]. Tail dependence-Maße von null führen dazu, dass die Abhängigkeitsstruktur in den Randbereichen der Verteilung verschwindet und die Extremwerte der Marginalverteilungen nahezu unabhängig realisiert werden^[65].

3 Schätzung und VaR-Simulation verschiedener Copula-Modelle

3.1 Darstellung der Vorgehensweise

Anhand eines Beispielportfolios aus zwei simulierten Wertpapieren werden die Auswirkungen unterschiedlicher Copula-Ansätze auf das Portfoliorisiko dargestellt. Im Abschnitt 3.2 werden die Wertpapiere simuliert. Im Abschnitt 3.3 werden die im im Abschnitt 2.3.2 vorgestellten Copula-Modelle in einem zweistufigen Schätzverfahren an die Daten angepasst. Um den Vergleich der Copulas zu ermöglichen, werden die Randverteilungen nur einmal geschätzt und beibehalten. Mittels Monte Carlo-Simulation über die Gesamtverteilungen wird im Abschnitt 3.4 für jedes Modell der VaR für das Portfolio berechnet.

3.2 Simulation von Wertpapieren und Analyse des Beispielportfolios

Zur Simulation der Wertpapierrenditen durch abhängige Zufallszahlen wird der folgende, fünfstufige Algorithmus von Marshall & Olkin (1988) verwendet^[66]:

1. Generierung unabhängiger, standardnormalverteilter Zufallszahlenvektoren Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.
2. Umwandlung von Z1 und Z2 in pseudo-abhängige Zufallsvariablen durch Cholesky-ZerlegungAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenundAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, wobei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten der Korrelationskoeffizient der Abhängigkeitsstruktur ist.
3. Transformation der Elemente gemäßAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, wobei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltendas Element an der Stelle t des i-ten Vektors ist.
4. Transformation in gleichverteilte ZufallsvariablenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, wobei die FunkionAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, je nach Wahl der Copula, die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung oder der t-Verteilung darstellt.
5. Berechnung der Realisierungen der marginalen Verteilungen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Das Portfolio entspricht der gewichteten Summe der Ai.

Bei der Verwendung einer Gauß-Copula entfällt der dritte Schritt. Mit univariaten t-Verteilungen mit fünf Freiheitsgraden und einer Korrelation vonAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ergibt sich das in Abbildung 1 dargestellte Bild durch die Simulation von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltengemeinsamen Renditen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Simulation abhängiger Wertpapierrenditen

Die positive Korrelation der beiden Wertpapiere zeigt sich in der überdurchschnittlichen Besetzung des ersten und dritten Quadranten, in dem die gemeinsamen extremen Ausprägungen (positiv und negativ) auffällig sind. Insbesondere die gemeinsamen negativen Renditen sind mit besonderem Risiko für ein Gesamtportfolio verbunden.

3.3 Schätzung verschiedener Copula-Modelle für die Portfolioverteilung

3.3.1 Darstellung und Auswahl der Schätzmethodik

Zur Schätzung der Gesamtverteilungen stehen mehrere Methoden bereit, die exakte Schätzung mit der Maximum-Likelihood-Methode (MLE), die zweistufige Schätzung (Inference for the Margins, IFM) und die nichtparametrische Schätzung.

Bei der exakten Schätzung ergibt sich der Schätzer unter Nutzung einer n-dimensionalen StichprobeAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten als maximierendes Argument für die logarithmierte Likelihoodfunktion,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Unter den üblichen Regularitätsbedingungen ist der Schätzer konsistent und asymptotisch normalverteilt. Speziell für größere Dimensionen der Verteilung kann sich der MLE-Schätzer als numerisch aufwändig erweisen, so dass Joe & Xu (1996) eine zweistufige Schätzung vorschlagen.

Grundlage dieser zweistufigen Schätzung ist die zweiteilige Zusammensetzung der log-Likelihood-Funktion aus einer Abhängigkeitsstruktur (Copula-Dichtefunktion) und einem Term der Randverteilungen. Zu beachten ist, dass die Parameter der Copula-Dichtefunktion in beiden Termen enthalten sind^[67]. Mit der zweistufigen Schätzmethode (Inference from Marginals, IFM) werden zunächst die Parameter der Randverteilungen geschätzt,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und anschließend die Copula-Parameter

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Der IFM-Schätzer lautet dannAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

MLE- und IFM-Schätzer sind nicht grundsätzlich äquivalent, es kann jedoch gezeigt werden, dass der IFM-Schätzer asymptotisch normalverteilt ist. Aufgrund der einfachen Berechnungsweise zeigt sich die hohe Effizienz dieser Methode im Vergleich zur exakten ML-Schätzung^[68]. Für die Zwecke dieser Arbeit wird die IFM-Methode verwendet, zumal sie durch die Zweistufigkeit gut zu verfolgen ist und interessante Einblicke in die Problematik der Schätzung der Verteilung gibt.

3.3.2 Schätzung der Marginalverteilungen

Bei der Wahl der univariaten Verteilungen sollten überdurchschnittlich hohe Kurtosis und tail dependence der Renditeverteilungen berücksichtigt werden^[69]. Diese Eigenschaften weisen die simulierten Renditen in Abbildung 1 auf. Daher liegt eine t-Verteilung mitAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenFreiheitsgraden nah. Deren Dichtefunktion lautet

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Zu schätzen sind nach dieser Festlegung die ParameterAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Der erste Teil des IFM-Schätzers ergibt sich aus der Maximierung der spezifizierten Likelihood-Funktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Es ergibt sichAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Die ursprünglichen Parameter für die Randverteilung werden durch den ML-Schätzer recht gut ermittelt. Dies wird aber vor allem durch die „luxuriöse“ Größe der Stichprobe (N=15000) unterstützt^[70].

3.3.3 Ermittlung der Parameter für die Copula-Funktionen

Die Schätzung der Abhängigkeitsstrukturen stellt den zweiten Schritt der im Abschnitt 3.3.1 skizzierten IFM-Methode dar. Hinweise zur Spezifikation der richtigen parametrischen Copula kann das Verhalten an Rändern der empirischen Verteilungen geben. Vorhandene tail dependence sollte durch eine t- oder Archimedische Copula modelliert werden. Auch die ökonomische Perspektive kann Hinweise zur sinnvollen Wahl einer Copula liefern. Sind die Randverteilungen von Natur aus auf ein Intervall beschränkt, ist die Anpassung in den Rändern der Verteilung weniger wichtig als bei unbeschränkten Verteilungen, für die die Extreme Value Theorie herangezogen werden könnte^[71]. Die Wahl der Copula hat bereits bei normalverteilten Randverteilungen entscheidenden Einfluss auf den VaR^[72].

[...]

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^[1] Vgl. Embrechts et al. (1999), S. 1.

^[2] Vgl. Szegö (2002), S. 1254.

^[3] Gleichwohl ist die Suche nach dem Verständnis multivariater Zusammenhänge nicht neu, vgl. Frees & Valdez (1998), S. 1, für einen historischen Kurzüberblick.

^[4] Vgl. Embrechts et al. (1999), S. 1.

^[5] Vgl. Embrechts et al. (2001), S. 22.

^[6] Vgl. Szegö (2002), S. 1256.

^[7] Vgl. Szegö (2002), S. 1257, 1260 ff.. Anders herum ausgedrückt: In der Welt, in der die Voraussetzungen für die Nutzung des VaR als Risikomaß erfüllt sind, kann auch mit analytisch einfacheren Methoden, z.B. der Varianz, gearbeitet werden.

^[8] Vgl. Szegö (2002), S. 1266.

^[9] Vgl. Matteis (2001), S. 2, Frees & Valdez (1998), S. 3.

^[10] Vgl. Embrechts et al. (1999), S. 15.

^[11] Vgl. Szegö (2002), S. 1266 f..

^[12] Vgl. Embrechts et al. (1999), S. 15.

^[13] Vgl. Szegö (2002), S. 1267.

^[14] Vgl. Embrechts et al. (1999), S. 15.

^[15] Vgl. Embrechts et al. (1999), S. 2.

^[16] Vgl. Matteis (2001), S. 4.

^[17] Zur Definition elliptischer Verteilungen siehe Embrechts et al. (1999), S. 9.

^[18] Vgl. Embrechts et al. (1999), S. 7. Die Annahme elliptischer ist auch eine wesentliche Grundvoraussetzung für die Portfoliotheorie, entwickelt von Markowitz, vgl. Szegö (2002), S. 1254.

^[19] Vgl. Dorey & Joubert (2005), S 1 f..

^[20] Vgl. Matteis (2001), S. 5.

^[21] Vgl. Embrechts et al. (1999), S. 2.

^[22] Vgl. Matteis (2001), S. 7.

^[23] Vgl. Cherubini et al. (2004), S. 95.

^[24] Vgl. Matteis (2001), S. 6.

^[25] Vgl. Matteis (2001), S. 7.

^[26] Vgl. Matteis (2001), S. 9.

^[27] Es kann gezeigt werden, dass unendlich viele Verteilungen mit standardnormalverteilten Randverteilungen und einer Korrelationexistieren.

^[28] Vgl. Embrechts et al. (1999), S. 23.

^[29] Vgl. Szegö (2002), S. 1268.

^[30] Vgl. Cherubini et al. (2004), S. 95.

^[31] Vgl. Sklar (1973), S. 449 ff..

^[32] Vgl. Szegö (2002), S. 1267, Bouyé (2001), S. 1.

^[33] Vgl. Embrechts et al. (1999), S. 4, Matteis (2004), S. 10 f..

^[34] Vgl. Embrechts et al. (1999), S. 4.

^[35] Vgl. Matteis (2004), S. 10 f.. Für den Verlauf dieser Arbeit werden stetige Randverteilungen angenommen.

^[36] Vgl. Szegö (2002), S. 1268.

^[37] Vgl. Embrechts et al. (2001), S. 10 ff..

^[38] Vgl. Bouyé (2001), S. 17.

^[39] Vgl. Cech & Jeckle (2005), S. 15.

^[40] Vgl. Dorey & Joubert (2005), S. 15.

^[41] Vgl. Cherubini et al. (2004), S. 116.

^[42] Vgl. Cech & Jeckle (2005), S. 15.

^[43] Vgl. Cherubini et al. (2004), S. 112 ff.. Siehe auch Embrechts et al. (1999), S. 11 ff. zur Simulation der Auswirkungen von Gauß- und t-Copulas bei gegebenen Randverteilungen.

^[44] Vgl. Rosenberg & Schuermann (2006), S. 578.

^[45] Vgl. Romano S. 5 ff.

^[46] Vgl. Cherubini et al. (2004), S. 120 f..

^[47] Eine umfangreiche Aufstellung der Familien findet man bei Matteis (2001). Weitere Übersichtsquellen zu Archimedischen Copulas können Embrechts et al. (1999), S. 5, entnommen werden. Näheres zu den Generatorfunktionen ist Frees & Valdez (1998), S. 8, zu entnehmen. Es ist zu berücksichtigen, dass die Abhängigkeitsstrukturen in allen Familien, bei allen Vor- und Nachteilen hinsichtlich der Handhabbarkeit, durch einen einzigen Parameter dargestellt werden, vgl. Cherubini et al. (2004), S. 150, Schönbucher (2003), S. 333.

^[48] Die Gumbel-Copula taucht erstmals in der Analyse von Fehlerauftrittszeiten auf: „Bivariate Exponential Distributions“; auch Gumbel/Hougaard gennant, vgl. Bouyé (2001), S. 4.

^[49] Die Clayton-Copula taucht erstmals in einer bivariaten Studie zu Sterbetafeln von Vätern und Söhnen auf: „A Model for Association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence“.

^[50] Die Frank-Copula taucht erstmals in “On the simultaneous associativity of F(x+y) and x+y- F(x+y)” auf. Sie bietet keine ureigene statistische Interpretation, aber gut geeignete Eigenschaften für Modellierungszwecke, vgl. Frees & Valdez (1998), S. 4.

^[51] Vgl. Cherubini et al. (2004), S. 120 f..

^[52] Die Gumbel-Copula gehört auch zu den Copulas, die in der so genannten Extreme Value Theory Verwendung finden, vgl. Bouyé et al. (2001), S. 4 f..

^[53] Vgl. Bouyé et al. (2001), S. 18 f..

^[54] Vgl. Matteis (2001), S. 17.

^[55] Vgl. Matteis (2001), S. 18. Frechet-Grenzen stellen ihrerseits Copulas dar und werden daher auch als „Frechet“-Familie der Copulas bezeichnet, vgl. Embrechts et al. (1999), S. 13 f..

^[56] Vgl. Cherubini et al. (2004), S. 118

^[57] Vgl. Bouyé et al. (2000), S. 19 nach Schweizer und Wolff; auch Matteis (2001), S. 20 f..

^[58] Vgl. Matteis (2001), S. 20, Embrechts et al. (1999), S. 19.

^[59] Vgl. Embrechts et al. (2001), S. 15.

^[60] Vgl. Cech & Deschkan (2005), S. 15.

^[61] Vgl. Bouyé et al. (2000), S. 12.

^[62] Vgl. Cech & Deschkan (2005), S. 16.

^[63] Vgl. Embrechts et al. (2001), S. 15.

^[64] Vgl. Matteis (2001), S. 20.

^[65] Vgl. Schönbucher (2003), S. 333.

^[66] Eine Übersicht zu verschiedenen Simulationstechniken geben Embrechts et al. (1999), S. 34 sowie Frees & Valdez (1998), S. 10. Die Darstellung basiert auf Cech & Jeckle (2005), S. 15 f..

^[67] Vgl. Cherubini et al. (2004), S. 154.

^[68] Vgl. Cherubini et al. (2004), S. 154.

^[69] Dies gilt grundsätzlich bei der Spezifikation einer Randverteilung, unabhängig davon, dass die Randverteilungen in diesem Fall bekannt sind.

^[70] Die gleiche Schätzung mit nur N=1500 Daten führt zu relativ stark abweichenden ML-Schätzern mit. Es sei bedacht, dass ein Handelsjahr täglicher Daten ca. 250 Beobachtungen liefert. Dieses Beispiel zeigt, dass parametrische Schätzung der Randverteilungen bereits erste Probleme aufwerfen kann, die den späteren Verlauf der Schätzung der Abhängigkeitsstruktur erheblich beeinflussen können. Daher ist es gerechtfertigt, den Vergleich verschiedener Abhängigkeitsstrukturen auf Basis der einen Schätzung der Randverteilungen durchzuführen, um Vergleichbarkeit zu gewährleisten.

^[71] Vgl. Dorey & Joubert (2005).

^[72] Vgl. Bouyé et al. (2001), S. 12