Unterrichtseinheit: Erarbeitung des notwendigen Kriteriums für Extremstellen am Beispiel der oben offenen Schachtel (12. Klasse)

Inhalt:

1. Analyse der pädagogischen Situation

2. Didaktisch-methodische Überlegungen zur Unterrichtsreihe

3. Didaktisch-methodische Überlegungen zur Unterrichtsstunde

4. Ausblick

Literaturverzeichnis

Lernziele und geplanter Stundenverlauf im Überblick

Arbeitsmaterialien

1. Analyse der pädagogischen Situation

Ich unterrichte die Klasse FOS 12 S seit Beginn dieses Schuljahres im Fach Ma­the ma­tik. Der Un­ter richt findet montags und mittwochs in der 5. und 6. Unterrichtsstunde statt. Die Fach­ober­schul­klasse der Form B be­steht momentan aus 24 Schü­lerinnen und Schü­lern^[1] (16 Mäd­chen, 8 Jun­gen), von denen einer die Klasse 12 wie­der­holt. Zwei Schülerinnen kenne ich bereits aus der Mathe­ma­tik-AG für Sozial­as­sistenten. Schon nach kurzer Zeit hat sich eine an ge­neh­me, angstfreie und kon­struk­tive Ar­beits at­mo sphä­re ent­wi­ckelt. Die Schü ler ge­hen freund­lich mit ein­ander um, helfen sich bei Prob­le­men gegen­sei­tig weiter und nehmen auf einander Rücksicht. Ich füh­le mich als Leh­rer ak­zeptiert und ha­be ein gu­tes Ver­hältnis zu den Schü­lern, was sich u.a. in einem freund li­chen Um­gangs­ton und darin zeigt, dass die Schüler kei­ne Hem­mun­gen haben, während des Unterrichts oder in den Pausen Fra­gen zu stel ­len.

Die Vorerfahrungen der Schüler mit dem Fach „Mathematik“ unterschieden sich. Während einige Schüler dem Fach gegenüber auf geschlossen waren, hatten andere aufgrund von Miss­erfolgs­er­leb­nis­sen und schlechten Be­wer­tun gen während ihrer früheren Schullaufbahn zunächst Zweifel an ih­rem eigenen Leistungsvermögen und hielten sich im Unterrichtsgespräch zu­rück­. Das Selbst­be­wusst sein letz­terer Gruppe versuche ich durch positive Rück­mel­dung und Be­stätigung schrittweise wie­der auf zu­bauen, was mittlerweile in Verbindung mit der angst­freien At­mosphäre auch Er­fol­g zeigt. So bringen sich nun auch schwächere und langsamere Schüler entsprechend ihrer Fä­hig­kei­ten ein. Auch die Vorkenntnisse der Schüler waren sehr verschieden. Während bei einigen wenigen Schü­lern der Mittelstufenstoff noch relativ präsent war, verfügten die meisten nur über ein bruch­stück­haftes Vorwissen. Dies zeigte sich nicht nur beim Lösen quadratischer Gleichungen oder von Gleichungssystemen, sondern auch bei den bereits in den Klassen 8 bis 10 behandelten Funktions­klas­sen, mit denen viele kaum noch etwas verbinden konnten. Daher wurden zu Beginn des Schul­jahres – nach dem Unterrichtsmodul „Präsentation statistischer Daten mit Hilfe von Excel“ – ele­men­tare Rechengesetze, Potenzen, quad­ra­ti­sche Gleichungen, lineare Gleichungssysteme sowie li­ne­are und quadratische Funktionen wieder­holt, um die Defizite zu kompensieren und gleiche Lern­vor­aussetzungen zu schaffen. Um diese Un­terrichtsinhalte mit Leben zu füllen und das Interesse der Schüler zu wecken, versuchte ich von An fang an mögliche Anwendungsbezüge herzustellen. So wurden die linearen Funk­tio­nen am Beispiel zweier Internettarife wieder aufgegriffen.

Die Lerngruppe ist bezüglich ihres Leistungsvermögens und ihres Arbeits- und Lerntempos he­te­ro­gen. Sieben Schüler ha­ben ein gutes mathematisches Verständnis und können Fragestellungen und Probleme relativ schnell er­fas­sen, was sich größtenteils sowohl in den schrift­lichen als auch in den mündlichen Leistungen niederschlägt. Ein Schüler wie­derholt die Klasse 12 und verfügt daher bereits über ein großes Hintergrundwissen, das man aber gut in den Unterricht integrieren kann. Zwei Schülerinnen haben aufgrund ihrer Teilnahme an der Ma­thematik-AG für Sozialassistenten einen kleinen Wissensvorsprung. Eine zweite größere Gruppe innerhalb der Klasse ist insbesondere bei reproduzierenden Frage­stel­lun­gen aktiv, jedoch rechnerisch relativ sicher. Einige mündlich etwas zurückhaltendere Schüler muss man gelegentlich zur Mit ar­beit auf­for­dern. Vier Schüle­rin­nen, von denen zudem eine die komplette letzte Woche feh­lte, können dem Unterrichtsgeschehen nur lang sa­m folgen und benötigen mehr Zeit zum Nach­den­ken. Um zu ver­hin dern, dass diese Schü ler ent­mutigt und demotiviert wer­den und dann nicht mehr mit­den­ken und um möglichst vie­len Schülern die Möglichkeit zur Beteiligung zu geben, schal te ich z.B. bei kom­ple­xeren Prob­lem­stel lun­gen eine Part ner­ar­beits­pha­se vor oder ver mei­de einen allzu schnellen Zugriff durch eine ent­spre chende Ver län ge­rung der Be­denk­zeit, wo­bei die Schü ler auch in ihrem Heft nach­schla­gen und sich mit dem Tisch nachbarn aus­tau­schen kön­nen. Dies ermöglicht den zu­rück­haltenderen und un­si­che ren Schülern ihre Ideen und Lösungen vor der Dis kussion im Plenum abzusichern, so dass sie sich dann verstärkt beteiligen. In den Partner­ar­beits phasen sind auch die leistungsstärkeren Schü­ler^[2] gefordert, denn sie müssen ihre Ideen für die Mit schüler verständlich formulieren und zur Dis­kus­sion stellen, wodurch sie ihre Kom­mu­ni­ka­tions- und Argumentationsfähigkeit aber auch ihre Team fähigkeit schulen können. Die geringere Be teiligung während der problemorientierten Un­ter­richts phasen ist meines Erachtens darauf zu­rück ­zu­führen, dass es vielen Schülern noch schwer fällt, in größeren Zu­sam­men­hängen zu denken und abstrakte Überlegungen anzustellen. Zudem las­sen sie sich hierbei noch leicht verunsichern. Da her muss man vor allem bei Transferproblemen und der Erarbeitung neuer Sach­verhalte etwas kleinschrittiger vorgehen und entsprechende Hilfen ein planen, um den Groß­teil der Klasse nicht zu über fordern. In solchen Phasen hat sich eine relativ enge Unterrichts­füh­rung im Lehrer-Schüler-Ge spräch bewährt. Einer dabei auftretenden Lehrer­fi­xie rung versuche ich dadurch ent­gegen­zu­wir­ken, dass ich zunächst mehrere Beiträge ohne Wertung samm le und diese später zur Diskussion stel le bzw. Fragen von Schülerseite nicht selbst be­ant­wor­te, sondern an die Klasse zurückgebe.

Nach meinen bisherigen Erfahrungen fühlen sich die Schüler durch Auf­ga­ben mit An­wen­dungs­be­zug besonders motiviert, da sie hier einen Nutzen und Sinn der Mathematik erkennen. Dies wie­de­rum hat einen positiven Effekt auf die Beteiligung. Außerdem können gerade an realitäts­be­zo­ge­nen Prob­lemen die Mathematisierungs- und Problem­lö­sungs­kompetenz, die im späteren Leben und bei vielen Stu­dien­gängen noch eine wichtige Rolle spie­len wird, trainiert werden.

Um den Lernstoff auch den weniger abstrakt denkenden Schülern zugänglich zu machen, versuche ich Sachverhalte wie z.B. den Kurvenverlauf von Funktionen durch den Einsatz von Over­head­fo­lien oder mit Hilfe kleinerer Computerprogramme zu visualisieren, so dass sich die Schüler etwas darunter vorstellen können. Das in der Fachoberschule ausgeteilte Mathematikbuch [4] ist z.T. noch sehr fachsystematisch aufgebaut und wenig anwendungsorientiert. Daher setze ich – auch aus Motivationsgründen – im Unterricht häufig selbst gestaltete Arbeitsblätter ein. Das Buch dient den Schülern vor allem als Nachschlage­werk und Aufgabensammlung.

In den zahlreichen Übungsphasen, die mir Aufschluss über das Verständnis des Stoffs bei den Schü lern sowie die Gelegenheit zur individuellen Betreuung geben, haben die Schüler grund­sätz­lich die Möglichkeit, die Aufgaben in Partner- oder Gruppenarbeit zu erledigen, da die Aus­ein­an­der setzung mit dem Stoff beim gemeinsamen Diskutieren und Hinterfragen besonders intensiv ist. Auch Defizite in den Grundrechenfertigkeiten können so durch gegenseitige Hilfe abgebaut wer­den. Aus Gründen der Selbständigkeit halte ich die Schüler dazu an, sich erst dann an den Lehrer zu wenden, wenn sie auf anderem Wege nicht weiterkommen.

2. Didaktisch-methodische Überlegungen zur Unterrichtsreihe

Der Rahmenlehrplan Mathematik für die Fachoberschule [7] sieht im Rahmen der Analysis als ver­bind liche Kursinhalte u.a. die Themen „Funktionen“ und „Differentialrechnung“ vor. Nachdem im bis herigen Unterrichtsverlauf die elementaren Funktionsklassen (lineare, quadratische und ganz­ra­tio­nale Funktionen) wiederholt und vertieft wurden, geht es nun um die Funktionsuntersuchung mit den Mitteln der Differentialrechnung (Kurvendiskussion). Innerhalb der Differentialrechnung ist der Begriff der Ableitung fundamental. Ableitungen ermöglichen es, charakteristische Funktions­ei­gen schaften wie Hoch-, Tief- und Wendepunkte herauszuarbeiten und damit eine Lösung für zahl­reiche realitätsbezogene Extremwertprobleme zu finden (z.B. Wie müssen die Abmessungen einer recht­eckigen Weide gewählt werden, damit die Weidefläche möglichst groß ist ?). Der Rahmen­lehr­plan fordert, Not wendigkeit und Ziele von Funktionsuntersuchungen aus anwen­dungs­be­zo­ge­nen Problemen ab­zu leiten.^[3] Eine wichtige Rolle spielt die Differentialrechnung u.a. in den fol­gen­den Be rei­chen: Phy­sik (Ab­leitung als Bindeglied zwischen Weg, Geschwindigkeit und Be­schleu­ni­gung), Wirt­schaft (Steu er und Spit­zen­steu­er­satz, Opti­mie­rungs­probleme), Ver­pa­ckungs in­dustrie (Mi­ni mie­rung des Ma te­rial verbrauchs), Technik (Brücken­bau, Tras­sie­rung), Biologie, Che­mie, Me ­dizin (Wach­stums- und Zer­fallsprozesse, Reak­tions­ge­schwin­dig­keit), Politik und Sozial­wis­sen­schaf­ten (sozio­gra­phi­sche Ent wick­lun­gen).

Nach dem Rahmenlehrplan soll der Mathematikunterricht der Fachoberschule den Schülern Ein­bli­cke in Problem­stel­lun­gen, Denk- und Arbeitsweisen sowie Anwendungsmöglichkeiten der Ma­the­ma­tik ermöglichen. Die Schüler sollen erkennen, dass die Mathematik dazu beiträgt, Prob­le­me aus der Umwelt zu beschreiben, besser zu verstehen und zu bewältigen. Mathematische Inhalte sol­len da­her – auch aus Motivationsgründen – in enger Wechselbeziehung mit außer­ma­the­ma­ti­schen An­wen­dungen be­handelt wer­den. Die Schüler sollen u.a. befähigt werden, reale Probleme um­gangs­sprach­lich und fach­sprach­lich zu be­schreiben (Mathematisierung realer Problemsi­tu­a­tio­nen), für ein Problem we­sen­t­li­che Gegebenheiten von unwesentlichen zu unterscheiden, Ana­logien zu fin­den, Sachverhalte zweck­mäßig zu notieren und nicht sinnvolle Lösungen auszuschließen. Außer­dem sollen im Ma­the ma­tik ­unterricht die Problemlösefähigkeit, Argumentationsfähigkeit, Selbstän­dig­keit und Selbst tätig­keit sowie die Kooperations- und Kommunikationsfähigkeit gefördert wer­den. Aus zeitlichen Grün ­den ist es aber in der Fachoberschule durchaus legitim, an geeigneten Stel­len unter Anknüp­fung an das Vorverständnis der Schüler didaktische Ver ein fa­chun­gen vor­zu­neh­men und Sätze auch aus der Anschauung oder durch Plau­si­bilitäts­be­trach­tun­gen ab­zuleiten, solange nichts verfälscht wird.

Als Einstieg in die Anfang Januar begonnene Reihe „Differentialrechnung“ erhielten die Schü­ler das Höhenprofil eines Straßenabschnitts, auf dem in letzter Zeit die Unfallzahlen gestiegen wa­ren, und sie sollten in Grup­pen – sich in die Rolle eines Auszubildenden beim Landesamt für Stra­ßen- und Verkehrs­we­sen hinein versetzend – eine Entscheidung darüber treffen, welche Pro­zent­angabe auf ein an­zu­brin­gen­des Schild mit dem Gefahrenhinweis „Steigung“ anzubringen ist. Durch das Ein zeichnen ver­schie­dener Steigungsdreiecke kamen die Gruppen zu unterschiedlichen Er­geb­nis­sen. Es wurde of­fen­sichtlich, dass sich die Steigung von Punkt zu Punkt ändert und dass es sinn­voll ist, von der Stei­gung des Graphen in einem Punkt zu sprechen. Einige Schüler kamen da­bei auf die Idee, die Stei­gung des Graphen in einem Punkt durch das Anlegen einer Geraden zu be­stim­men, die sich dem Graphen möglichst gut „anschmiegt“. Die Steigung dieser Geraden (Tangente) konnte über ein Stei­gungs drei­eck bestimmt werden und wurde als Ableitung an der entsprechenden Stelle be zeichnet. Die­ses Ver­fahren des „graphischen Differenzierens“ wurde anschließend zur Be­stim­mung der Stei­gun­gen von Graphen in vorgegebenen Punkten benutzt. Dabei wurde offensichtlich, dass das zeich ne­ri­sche Differenzieren relativ ungenau ist, womit sich die Frage nach einer exakten (rechnerischen) Methode zur Bestimmung der Ableitung stellte. Am Beispiel der Funktion f(x) = x² wur­de das rechnerische Verfahren er­ar­beitet. Die Ableitung (Tan­gen­ten­stei­gung) ergibt sich dabei als Grenz­lage der Se­kan­ten für den Fall, dass ein zweiter Punkt auf dem Graphen auf den gegebe­nen Punkt zuwandert. Nach An­wen­dung des ausführlichen rechnerischen Verfahrens über die Grenz­wertbildung auf weitere Funk­tions­beispiele wurden die Ableitungsregeln (Potenz-, Faktor- und Summenregel) erarbeitet, die das Bestimmen von Ableitungen erheblich vereinfachten. Die Kur­vensteigung in vorgegebenen Punk­ten konnte jetzt relativ schnell und mathematisch exakt be­stimmt werden und umgekehrt konnte herausgefunden werden, an welcher Stelle ein Funk­tions­graph eine bestimmte Steigung hat. In diesem Zusammenhang wurde als weitere Anwendung die „Kra­ter­auf gabe“ be­han­delt, bei der die Schüler überprüfen soll­ten, ob ein Fahr­zeug mit vor­ge­ge­be­ner Stei­gungs­fähigkeit den Rand des Kra­ters von der Krater­soh­le aus er­rei­chen kann. Den für spä­te­re Betrachtungen wich­ti­gen Zu­sammenhang zwischen dem Funktionsgraphen und dem Graphen der Ableitungsfunktion konn­ten die Schüler mit Hilfe eines Simu­la­tions­programms^[4] am PC inter­ak­tiv nach­voll­ziehen. An dieser Stelle schließt sich nun die Funk tions­un­ter­su­chung mit Hilfe des Ab­leitungs­kal­küls an, wo­bei u.a. die Suche nach not­wen­digen und hin­rei­chen den Kri­te­rien zum Auf finden der Ex­trem­stel­len von Funk­tionen im Mittelpunkt steht. Mit beiden Kriterien können schließ lich Hoch- und Tiefpunkte von Funk­tionen bestimmt wer­den. Dies ist ein wichtiger Bau­stein auf dem Weg zur vollständigen Kur­ven­diskussion.

In dieser Unterrichtseinheit ist es mir wichtig, die Problem­lö­se­fähig­keit der Schüler weiter­zu­ent­wickeln. Die Schüler sollen lernen, eine reale Situation zunächst zu er­fas­sen, diese zu mathe­ma­ti­sie ren und Lö­sungsstrategien zu entwickeln und – was eben­so wichtig ist – die mathe­ma­ti­sche Lö­sung später zu interpretieren, d.h. in die Realität zurückzuübersetzen.^[5] Dabei sollen sie die prak­ti­sche Nutz­bar­keit der Mathematik erfahren, weshalb ich ein „reines Kal­kül­trai­ning“ bzw. ein zu star kes Vor­herr schen von „Rechen­auf­ga­ben ohne Inhalt“ (vgl. [2]) zu ver­meiden versuche. Dies deckt sich mit dem Appell der PISA-Autoren für einen anwendungs- und pro­blem­orien­tier­te ren Un­terricht in Deutschland, um „die Entwicklung eines tiefer gehenden Verständnisses und fle­xi­bel an­wendbaren Wissens zu fördern.“^[6]

Die Grup­pen und Part­nerarbeit stellen aus Grün den der Heterogenität (siehe 1.) und im Hinblick auf die mo derne Arbeitswelt ein wichtiges Element des Unter richts dar. Sie bieten die Möglichkeit, die Ko operations-, Kommunikations- und Argumentationsfähigkeit der Schüler zu trainieren.

[...]

^[1] Im Folgenden werde ich den Sammelbegriff „Schüler“ statt „Schülerinnen und Schüler“ verwenden.

^[2] Um diese angemessen zu fördern, stelle ich im Sinne einer Differenzierung gelegentlich auch Zusatzaufgaben mit einem höheren Schwierig­keits­grad bereit.

^[3] vgl. [7], Seite 29

^[4] siehe z.B. auf der Homepage von „Mathe-Prisma“ (http://www.matheprisma.de/Module/Ableitung/Seite07.htm) oder Java-Applet von Walter Fendt (http://www.walter-fendt.de/m11d/ableitungen.htm)

^[5] vgl. [8], Seite 121ff.

^[6] siehe Artelt, Baumert, Klieme u.a.: PISA 2000. Zusammenfassung zentraler Befunde. MPI, Berlin 2001, Seite 32.