Unterrichtsentwurf in einer Fachoberschulklasse 12 im Fach Mathematik mitsamt Stundenverlaufsraster, Arbeitsblättern und Funktionsgraphen: Das notwendige Kriterium für Extremstellen wird anhand einer realitätsnahen und handlungsorientierten Problemstellung (Volumenmaximierung einer oben offenen Schachtel) erarbeitet.
In der beschriebenen Doppelstunde soll das notwendige Kriterium für Extremstellen erarbeitet werden. Am Beispiel der Volumenmaximierung einer oben offenen Schachtel (Extremwertproblem) sollen die Schüler eine realistische Problemstellung mathematisieren und im Zuge der Lösung Kriterien für Extrempunkte kennen lernen. Die entscheidende Erkenntnis für die Schüler ist, dass das Volumen einer Schachtel in Abhängigkeit von der Höhe erheblich variieren kann und dass die Mathematik ein wesentliches Hilfsmittel zur Lösung von Optimierungsproblemen (Bestimmung der Maße einer optimalen Schachtel) ist.
Inhalt:
1. Analyse der pädagogischen Situation
2. Didaktisch-methodische Überlegungen zur Unterrichtsreihe
3. Didaktisch-methodische Überlegungen zur Unterrichtsstunde
4. Ausblick
Literaturverzeichnis
Lernziele und geplanter Stundenverlauf im Überblick
Arbeitsmaterialien
1. Analyse der pädagogischen Situation
Ich unterrichte die Klasse FOS 12 S seit Beginn dieses Schuljahres im Fach Mathe matik. Der Unter richt findet montags und mittwochs in der 5. und 6. Unterrichtsstunde statt. Die Fachoberschulklasse der Form B besteht momentan aus 24 Schülerinnen und Schülern[1] (16 Mädchen, 8 Jungen), von denen einer die Klasse 12 wiederholt. Zwei Schülerinnen kenne ich bereits aus der Mathematik-AG für Sozialassistenten. Schon nach kurzer Zeit hat sich eine an genehme, angstfreie und konstruktive Arbeits atmo sphäre entwickelt. Die Schü ler gehen freundlich mit einander um, helfen sich bei Problemen gegenseitig weiter und nehmen auf einander Rücksicht. Ich fühle mich als Lehrer akzeptiert und habe ein gutes Verhältnis zu den Schülern, was sich u.a. in einem freund lichen Umgangston und darin zeigt, dass die Schüler keine Hemmungen haben, während des Unterrichts oder in den Pausen Fragen zu stel len.
Die Vorerfahrungen der Schüler mit dem Fach „Mathematik“ unterschieden sich. Während einige Schüler dem Fach gegenüber auf geschlossen waren, hatten andere aufgrund von Misserfolgserlebnissen und schlechten Bewertun gen während ihrer früheren Schullaufbahn zunächst Zweifel an ihrem eigenen Leistungsvermögen und hielten sich im Unterrichtsgespräch zurück. Das Selbstbewusst sein letzterer Gruppe versuche ich durch positive Rückmeldung und Bestätigung schrittweise wieder auf zubauen, was mittlerweile in Verbindung mit der angstfreien Atmosphäre auch Erfolg zeigt. So bringen sich nun auch schwächere und langsamere Schüler entsprechend ihrer Fähigkeiten ein. Auch die Vorkenntnisse der Schüler waren sehr verschieden. Während bei einigen wenigen Schülern der Mittelstufenstoff noch relativ präsent war, verfügten die meisten nur über ein bruchstückhaftes Vorwissen. Dies zeigte sich nicht nur beim Lösen quadratischer Gleichungen oder von Gleichungssystemen, sondern auch bei den bereits in den Klassen 8 bis 10 behandelten Funktionsklassen, mit denen viele kaum noch etwas verbinden konnten. Daher wurden zu Beginn des Schuljahres – nach dem Unterrichtsmodul „Präsentation statistischer Daten mit Hilfe von Excel“ – elementare Rechengesetze, Potenzen, quadratische Gleichungen, lineare Gleichungssysteme sowie lineare und quadratische Funktionen wiederholt, um die Defizite zu kompensieren und gleiche Lernvoraussetzungen zu schaffen. Um diese Unterrichtsinhalte mit Leben zu füllen und das Interesse der Schüler zu wecken, versuchte ich von An fang an mögliche Anwendungsbezüge herzustellen. So wurden die linearen Funktionen am Beispiel zweier Internettarife wieder aufgegriffen.
Die Lerngruppe ist bezüglich ihres Leistungsvermögens und ihres Arbeits- und Lerntempos heterogen. Sieben Schüler haben ein gutes mathematisches Verständnis und können Fragestellungen und Probleme relativ schnell erfassen, was sich größtenteils sowohl in den schriftlichen als auch in den mündlichen Leistungen niederschlägt. Ein Schüler wiederholt die Klasse 12 und verfügt daher bereits über ein großes Hintergrundwissen, das man aber gut in den Unterricht integrieren kann. Zwei Schülerinnen haben aufgrund ihrer Teilnahme an der Mathematik-AG für Sozialassistenten einen kleinen Wissensvorsprung. Eine zweite größere Gruppe innerhalb der Klasse ist insbesondere bei reproduzierenden Fragestellungen aktiv, jedoch rechnerisch relativ sicher. Einige mündlich etwas zurückhaltendere Schüler muss man gelegentlich zur Mit arbeit auffordern. Vier Schülerinnen, von denen zudem eine die komplette letzte Woche fehlte, können dem Unterrichtsgeschehen nur lang sam folgen und benötigen mehr Zeit zum Nachdenken. Um zu verhin dern, dass diese Schü ler entmutigt und demotiviert werden und dann nicht mehr mitdenken und um möglichst vielen Schülern die Möglichkeit zur Beteiligung zu geben, schal te ich z.B. bei komplexeren Problemstel lungen eine Part nerarbeitsphase vor oder ver meide einen allzu schnellen Zugriff durch eine entspre chende Ver län gerung der Bedenkzeit, wobei die Schü ler auch in ihrem Heft nachschlagen und sich mit dem Tisch nachbarn austauschen können. Dies ermöglicht den zurückhaltenderen und unsiche ren Schülern ihre Ideen und Lösungen vor der Dis kussion im Plenum abzusichern, so dass sie sich dann verstärkt beteiligen. In den Partnerarbeits phasen sind auch die leistungsstärkeren Schüler[2] gefordert, denn sie müssen ihre Ideen für die Mit schüler verständlich formulieren und zur Diskussion stellen, wodurch sie ihre Kommunikations- und Argumentationsfähigkeit aber auch ihre Team fähigkeit schulen können. Die geringere Be teiligung während der problemorientierten Unterrichts phasen ist meines Erachtens darauf zurück zuführen, dass es vielen Schülern noch schwer fällt, in größeren Zusammenhängen zu denken und abstrakte Überlegungen anzustellen. Zudem lassen sie sich hierbei noch leicht verunsichern. Da her muss man vor allem bei Transferproblemen und der Erarbeitung neuer Sachverhalte etwas kleinschrittiger vorgehen und entsprechende Hilfen ein planen, um den Großteil der Klasse nicht zu über fordern. In solchen Phasen hat sich eine relativ enge Unterrichtsführung im Lehrer-Schüler-Ge spräch bewährt. Einer dabei auftretenden Lehrerfixie rung versuche ich dadurch entgegenzuwirken, dass ich zunächst mehrere Beiträge ohne Wertung samm le und diese später zur Diskussion stel le bzw. Fragen von Schülerseite nicht selbst beantworte, sondern an die Klasse zurückgebe.
Nach meinen bisherigen Erfahrungen fühlen sich die Schüler durch Aufgaben mit Anwendungsbezug besonders motiviert, da sie hier einen Nutzen und Sinn der Mathematik erkennen. Dies wiederum hat einen positiven Effekt auf die Beteiligung. Außerdem können gerade an realitätsbezogenen Problemen die Mathematisierungs- und Problemlösungskompetenz, die im späteren Leben und bei vielen Studiengängen noch eine wichtige Rolle spielen wird, trainiert werden.
Um den Lernstoff auch den weniger abstrakt denkenden Schülern zugänglich zu machen, versuche ich Sachverhalte wie z.B. den Kurvenverlauf von Funktionen durch den Einsatz von Overheadfolien oder mit Hilfe kleinerer Computerprogramme zu visualisieren, so dass sich die Schüler etwas darunter vorstellen können. Das in der Fachoberschule ausgeteilte Mathematikbuch [4] ist z.T. noch sehr fachsystematisch aufgebaut und wenig anwendungsorientiert. Daher setze ich – auch aus Motivationsgründen – im Unterricht häufig selbst gestaltete Arbeitsblätter ein. Das Buch dient den Schülern vor allem als Nachschlagewerk und Aufgabensammlung.
In den zahlreichen Übungsphasen, die mir Aufschluss über das Verständnis des Stoffs bei den Schü lern sowie die Gelegenheit zur individuellen Betreuung geben, haben die Schüler grundsätzlich die Möglichkeit, die Aufgaben in Partner- oder Gruppenarbeit zu erledigen, da die Auseinander setzung mit dem Stoff beim gemeinsamen Diskutieren und Hinterfragen besonders intensiv ist. Auch Defizite in den Grundrechenfertigkeiten können so durch gegenseitige Hilfe abgebaut werden. Aus Gründen der Selbständigkeit halte ich die Schüler dazu an, sich erst dann an den Lehrer zu wenden, wenn sie auf anderem Wege nicht weiterkommen.
2. Didaktisch-methodische Überlegungen zur Unterrichtsreihe
Der Rahmenlehrplan Mathematik für die Fachoberschule [7] sieht im Rahmen der Analysis als verbind liche Kursinhalte u.a. die Themen „Funktionen“ und „Differentialrechnung“ vor. Nachdem im bis herigen Unterrichtsverlauf die elementaren Funktionsklassen (lineare, quadratische und ganzrationale Funktionen) wiederholt und vertieft wurden, geht es nun um die Funktionsuntersuchung mit den Mitteln der Differentialrechnung (Kurvendiskussion). Innerhalb der Differentialrechnung ist der Begriff der Ableitung fundamental. Ableitungen ermöglichen es, charakteristische Funktionseigen schaften wie Hoch-, Tief- und Wendepunkte herauszuarbeiten und damit eine Lösung für zahlreiche realitätsbezogene Extremwertprobleme zu finden (z.B. Wie müssen die Abmessungen einer rechteckigen Weide gewählt werden, damit die Weidefläche möglichst groß ist ?). Der Rahmenlehrplan fordert, Not wendigkeit und Ziele von Funktionsuntersuchungen aus anwendungsbezogenen Problemen abzu leiten.[3] Eine wichtige Rolle spielt die Differentialrechnung u.a. in den folgenden Be reichen: Physik (Ableitung als Bindeglied zwischen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung), Wirtschaft (Steu er und Spitzensteuersatz, Optimierungsprobleme), Verpackungs industrie (Mini mierung des Ma terial verbrauchs), Technik (Brückenbau, Trassierung), Biologie, Chemie, Me dizin (Wachstums- und Zerfallsprozesse, Reaktionsgeschwindigkeit), Politik und Sozialwissenschaften (soziographische Ent wicklungen).
Nach dem Rahmenlehrplan soll der Mathematikunterricht der Fachoberschule den Schülern Einblicke in Problemstellungen, Denk- und Arbeitsweisen sowie Anwendungsmöglichkeiten der Mathematik ermöglichen. Die Schüler sollen erkennen, dass die Mathematik dazu beiträgt, Probleme aus der Umwelt zu beschreiben, besser zu verstehen und zu bewältigen. Mathematische Inhalte sollen daher – auch aus Motivationsgründen – in enger Wechselbeziehung mit außermathematischen Anwendungen behandelt werden. Die Schüler sollen u.a. befähigt werden, reale Probleme umgangssprachlich und fachsprachlich zu beschreiben (Mathematisierung realer Problemsituationen), für ein Problem wesentliche Gegebenheiten von unwesentlichen zu unterscheiden, Analogien zu finden, Sachverhalte zweckmäßig zu notieren und nicht sinnvolle Lösungen auszuschließen. Außerdem sollen im Mathe matik unterricht die Problemlösefähigkeit, Argumentationsfähigkeit, Selbständigkeit und Selbst tätigkeit sowie die Kooperations- und Kommunikationsfähigkeit gefördert werden. Aus zeitlichen Grün den ist es aber in der Fachoberschule durchaus legitim, an geeigneten Stellen unter Anknüpfung an das Vorverständnis der Schüler didaktische Ver ein fachungen vorzunehmen und Sätze auch aus der Anschauung oder durch Plausibilitätsbetrachtungen abzuleiten, solange nichts verfälscht wird.
Als Einstieg in die Anfang Januar begonnene Reihe „Differentialrechnung“ erhielten die Schüler das Höhenprofil eines Straßenabschnitts, auf dem in letzter Zeit die Unfallzahlen gestiegen waren, und sie sollten in Gruppen – sich in die Rolle eines Auszubildenden beim Landesamt für Straßen- und Verkehrswesen hinein versetzend – eine Entscheidung darüber treffen, welche Prozentangabe auf ein anzubringendes Schild mit dem Gefahrenhinweis „Steigung“ anzubringen ist. Durch das Ein zeichnen verschiedener Steigungsdreiecke kamen die Gruppen zu unterschiedlichen Ergebnissen. Es wurde offensichtlich, dass sich die Steigung von Punkt zu Punkt ändert und dass es sinnvoll ist, von der Steigung des Graphen in einem Punkt zu sprechen. Einige Schüler kamen dabei auf die Idee, die Steigung des Graphen in einem Punkt durch das Anlegen einer Geraden zu bestimmen, die sich dem Graphen möglichst gut „anschmiegt“. Die Steigung dieser Geraden (Tangente) konnte über ein Steigungs dreieck bestimmt werden und wurde als Ableitung an der entsprechenden Stelle be zeichnet. Dieses Verfahren des „graphischen Differenzierens“ wurde anschließend zur Bestimmung der Steigungen von Graphen in vorgegebenen Punkten benutzt. Dabei wurde offensichtlich, dass das zeich nerische Differenzieren relativ ungenau ist, womit sich die Frage nach einer exakten (rechnerischen) Methode zur Bestimmung der Ableitung stellte. Am Beispiel der Funktion f(x) = x² wurde das rechnerische Verfahren erarbeitet. Die Ableitung (Tangentensteigung) ergibt sich dabei als Grenzlage der Sekanten für den Fall, dass ein zweiter Punkt auf dem Graphen auf den gegebenen Punkt zuwandert. Nach Anwendung des ausführlichen rechnerischen Verfahrens über die Grenzwertbildung auf weitere Funktionsbeispiele wurden die Ableitungsregeln (Potenz-, Faktor- und Summenregel) erarbeitet, die das Bestimmen von Ableitungen erheblich vereinfachten. Die Kurvensteigung in vorgegebenen Punkten konnte jetzt relativ schnell und mathematisch exakt bestimmt werden und umgekehrt konnte herausgefunden werden, an welcher Stelle ein Funktionsgraph eine bestimmte Steigung hat. In diesem Zusammenhang wurde als weitere Anwendung die „Kraterauf gabe“ behandelt, bei der die Schüler überprüfen sollten, ob ein Fahrzeug mit vorgegebener Steigungsfähigkeit den Rand des Kraters von der Kratersohle aus erreichen kann. Den für spätere Betrachtungen wichtigen Zusammenhang zwischen dem Funktionsgraphen und dem Graphen der Ableitungsfunktion konnten die Schüler mit Hilfe eines Simulationsprogramms[4] am PC interaktiv nachvollziehen. An dieser Stelle schließt sich nun die Funk tionsuntersuchung mit Hilfe des Ableitungskalküls an, wobei u.a. die Suche nach notwendigen und hinreichen den Kriterien zum Auf finden der Extremstellen von Funktionen im Mittelpunkt steht. Mit beiden Kriterien können schließ lich Hoch- und Tiefpunkte von Funktionen bestimmt werden. Dies ist ein wichtiger Baustein auf dem Weg zur vollständigen Kurvendiskussion.
In dieser Unterrichtseinheit ist es mir wichtig, die Problemlösefähigkeit der Schüler weiterzuentwickeln. Die Schüler sollen lernen, eine reale Situation zunächst zu erfassen, diese zu mathematisie ren und Lösungsstrategien zu entwickeln und – was ebenso wichtig ist – die mathematische Lösung später zu interpretieren, d.h. in die Realität zurückzuübersetzen.[5] Dabei sollen sie die praktische Nutzbarkeit der Mathematik erfahren, weshalb ich ein „reines Kalkültraining“ bzw. ein zu star kes Vorherr schen von „Rechenaufgaben ohne Inhalt“ (vgl. [2]) zu vermeiden versuche. Dies deckt sich mit dem Appell der PISA-Autoren für einen anwendungs- und problemorientierte ren Unterricht in Deutschland, um „die Entwicklung eines tiefer gehenden Verständnisses und flexibel anwendbaren Wissens zu fördern.“[6]
Die Gruppen und Partnerarbeit stellen aus Grün den der Heterogenität (siehe 1.) und im Hinblick auf die mo derne Arbeitswelt ein wichtiges Element des Unter richts dar. Sie bieten die Möglichkeit, die Ko operations-, Kommunikations- und Argumentationsfähigkeit der Schüler zu trainieren.
[...]
[1] Im Folgenden werde ich den Sammelbegriff „Schüler“ statt „Schülerinnen und Schüler“ verwenden.
[2] Um diese angemessen zu fördern, stelle ich im Sinne einer Differenzierung gelegentlich auch Zusatzaufgaben mit einem höheren Schwierigkeitsgrad bereit.
[3] vgl. [7], Seite 29
[4] siehe z.B. auf der Homepage von „Mathe-Prisma“ (http://www.matheprisma.de/Module/Ableitung/Seite07.htm) oder Java-Applet von Walter Fendt (http://www.walter-fendt.de/m11d/ableitungen.htm)
[5] vgl. [8], Seite 121ff.
[6] siehe Artelt, Baumert, Klieme u.a.: PISA 2000. Zusammenfassung zentraler Befunde. MPI, Berlin 2001, Seite 32.
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