Portfoliooptimierung nach Black-Litterman

Inhaltsverzeichnis

Variablenverzeichnis

1. Einleitung

2. Portfolio Selection als Grundlage der Asset Allocation
2.1. Der Ansatz von Markowitz
2.2. Schwächen des Mean-Variance Modells in der Praxis

3. Der Black-Littermann Ansatz
3.1. Prämissen
3.2. Definition des Modells
3.2.1. Bayesianische Statistik
3.2.2. Prognose unter Sicherheit
3.2.3. Prognose unter Unsicherheit
3.2.4. Interpretation

4. Implementierung in die Asset Allocation
4.1. Verhaltensökonomie bei Renditeprognosen
4.2. Sensitivitätsanalyse
4.3. Praktischer Nutzwert des Modells

5. Schlussfolgerungen
A Anhang
B Literaturverzeichnis

Variablenverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

Die Modernen Portfoliotheorie basiert auf dem 1952 publizierten Portfolio Selection Modell von Markowitz^[1], dessen Grundansatz in vielfältigen Verfeinerungen und Erweiterungen das moderne Anlage- und Investmentmanagement bestimmt. Das zugrunde liegende Denkmuster orientiert sich an der zweifachen Zielsetzung einer maximalen Portfoliorendite bei minimalem Portfoliorisiko.^[2] Obwohl dieses Modell als Grundsatz der modernen Portfoliotheorie in der wissenschaftlichen Literatur anerkannt ist, kann es sich in Form eines Portfolio-Optimierungsmodells nicht im angewandten Asset Management durchsetzten. Dies steht im Gegensatz zum wissenschaftlich ebenfalls anerkannten CAPM^[3], welches auf den Grundsätzen der Markowitz Portfoliotheorie aufbaut, jedoch auf akademischer und sowohl anwendungsrelevanter Ebene etabliert ist. Die Abneigung gegenüber der Nutzung des Markowitz Modells wird von vielen Anwendern mit den oftmals wenig intuitiven bzw. praktikablen Ergebnissen der Optimierung begründet.^[4]

Ausgehend von dieser Problemstellung entwickelten Fisher Black und Robert Litterman Anfang 1990 einen eigenständigen Ansatz, welcher bestrebt ist die bestehenden Probleme der klassischen Portfoliotheorie zu bewältigen und die Methoden der quantitativen Portfoliooptimierung für den praktischen Einsatz im Asset Management brauchbar zu machen. Ausgangspunkt des Modells ist nicht das undefinierte Nullportfolio wie in der klassischen Portfoliooptimierung, sondern das so genannte Gleichgewichts- oder Referenzportfolio.^[5] Des Weitern verschafft das Verfahren dem Anleger die Möglichkeit individuelle Abweichungen seiner Renditevorstellungen von den vorliegenden Referenzwerten auf konsistente Weise in das Modell zu integrieren.^[6]

Im Folgenden führt diese Arbeit zunächst den Leitgedanken des Markowitz Ansatz aus und stellt die mit der klassischen Portfoliooptimierung verbundenen Schwächen dar. Im Anschluss wird der Black-Litterman-Ansatz prinzipiell und formaltheoretisch beschrieben, wobei auf verhaltensökonomische sowie anwendungsbezogene Aspekte eingegangen wird.

Der Fokus liegt hierbei auf einer mathematisch orientierten Darstellung des Sachverhalts, was sich auf Grund des kompakten Umfanges der Arbeit, im Sinne einer möglichst vollständigen Betrachtung, anbietet.

2. Portfolio Selection als Grundlage der Asset Allocation

Prozess und Ergebnis der Asset Allocation lassen sich als Ausfluss wichtiger Ergebnisse der Portfolio Selection Theorie darstellen.^[7] Grundlage dieser Theorie bilden Annahmen über das Verhalten von Investoren, die als rational handelnde, risikoaverse und nutzenmaximierende Akteure charakterisiert werden. Ein Investor orientiert sich somit bei der Beurteilung von Wertpapierportfolios allein an der erwarteten Rendite und dem damit verbundenen Risiko.^[8]

Das der Portfolioauswahl zugrunde liegende Modell des Marktes ist ein kritischer Punkt innerhalb des gesamten Portfolio-Management-Prozesses. Da hierbei von Gleichgewichts-überlegungen völlig abstrahiert wird, kann man auch von einem partialanalytischen Ansatz sprechen.^[9]

2.1. Der Ansatz von Markowitz

Ausgangspunkt des Portfolio-Selection-Modells von Markowitz ist die empirische Beobachtung, dass Anleger ihr Vermögen auf mehrere Anlagetitel mit unterschiedlichen Renditeerwartungen aufteilen.^[10] Diese auch als Diversifikation bekannte Aufteilung beschreibt Marowitz mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung durch die beiden Momente der Verteilung der relativen Kursänderungen, dem Erwartungswert und der Varianz. Daher wird dieser Ansatz auch als Mean-Variance-Analyse bezeichnet. Zentrale Aussage ist hierbei, dass das Risiko eines Portfolios nicht gleich dem durchschnittlichen Risiko der Komponenten ist, sondern wesentlich von den Kovarianzen der Einzelrenditen abhängt.^[11]

Das Standardmodell der Portfolio Selection beschränkt sich auf die Betrachtung der Anlage über eine einzige Periode in der aus gegebenen Renditeparametern der einzelnen Wertpapiere die Struktur eines Portfolios vollständig durch die Anteile beschrieben werden kann, die in die einzelnen Wertpapiere investiert werden. Somit ergeben sich, unter Nutzung der Kurzschreibweise für die Kovarianz Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, der Erwartungswert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und die VarianzAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten der Rendite des Portfolios durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Erwartungsnutzen eines gemäß dem Bernolli-Prinzip agierenden Investors lässt sich mit einer quadratischen Nutzenfunktion beschrieben. Für das resultierende Präferenzfunktional lässt sich nachweisen, dass der Erwartungswert positiv in die Präferenzen eingeht, wohingegen eine von Null verschiedene Standardabweichung negative Auswirkungen auf den erreichbaren Präferenzwert hat.^[12]

Als Efficient Frontier wird die Kurve im μ-σ-Diagramm bezeichnete, welche die Position aller Portfolios beschreibt, die hinsichtlich Risiko und Erwartungswert nicht von anderen Portfolios dominiert werden.^[13]

Die von Tobin^[14] vorgenommene Ergänzung dieser Überlegungen, die als Separationstheorem bezeichnet wird, basiert auf der Betrachtung einer zusätzlichen risikofreien Anlage-möglichkeit. Hieraus resultiert, dass alle effizienten Portfolios auf der so genannten Kapitalmarktgeraden positioniert sind, welche eine Tangente an die Markowitzsche Effizienzkurve darstellt.^[15] Die Gewichtung von risikoloser Anlage und Marktportfolio wird von der individuellen Präferenzfunktion des Investors determiniert.^[16] Abbildung 1 zeigt die optimale Portfoliowahl für zwei Investoren auf der Kapitalmarktlinie:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Effizienzgerade bei risikofreier Anlage^[17]

Das Optimierungsproblem des Investors kann bei einer quadratischen Präferenzfunktion nach dem μ-σ-Prinzip wie folgt beschrieben werden^[18]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (2)

Hierbei ist der Risikotoleranzparameter rt ein Maß für die Grenzrate der Substitution zwischen dem über die Renditevarianz gemessenen Unsicherheitsniveau und der erwarteten Rendite. Die Nebenbedingungen des Optimierungsproblems drücken Beschränkungen hinsichtlich der Portfoliowahl des Investors aus, die sich in die Kategorien „anleger-motiviert“, „gesetzlich motiviert“ und „technisch motiviert“ einteilen lassen.

Die Verfahren zur Maximierung der Zielfunktion (2) unterscheiden sind abhängig von Art und Umfang der Nebenbedingungen sowie der Verfügbarkeit einer risikolosen Anlage.

2.2. Schwächen des Mean-Variance Modells in der Praxis

Obwohl der Markowitz-Ansatz in der wissenschaftlichen Literatur etabliert ist und durchweg akzeptiert wird ergeben sich für die praktische Anwendung ernsthafte Probleme. Erfahrungen mit der Anwendung der Portfolio-Selection-Analyse zeigen, dass diese Vorgehensweise in der Anlagepraxis häufig zu wenig intuitiven, kaum umsetzbaren und zu ex post zweifelhaften Lösungen für die Zusammenstellung des Portfolios führt. So zeigen bereits einfache Schemata der Gleichgewichtung aller in Betracht gezogenen Assets oder die aus dem Kapitalmarktmodell nahe liegende marktwertorientierten Gewichtung der Assets im Portfolio wesentlich bessere Ergebnisse. Dieses als „Markowitz Optimization Enigma“^[19] bezeichnete Phänomen kann auf mehrere Gründe zurückgeführt werden.^[20]

[...]

^[1] Harry M. Markowitz (1952): Portfolio Selection, in Journal of Finance, 7 Jg. ,S. 77-91.

^[2] Vgl. Drobertz (2003), S. 204.

^[3] William Sharpe (1964): Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk, in: Journal of Finance, S. 425-442.

^[4] Michaud (1989), S. 31f.

^[5] Vgl. Drobertz (2003), S. 205.

^[6] Lee (2000), S.125.

^[7] Rudolph (2003), S.7.

^[8] Dr. Arbeit 0283.pdf seite 16

^[9] Breuer, Portfoliomanagement, S. 137

^[10] Steiner, Wertpapiermanagement. S. 7

^[11] Spremann, S. 53

^[12] Siehe Anhang A1.

^[13] Vgl. Steiner, Wertpapiermanagement S.9.

^[14] Tobin, J., (1958).

^[15] Vgl. Spremann (2006), S.223.

^[16] Vgl. Rudolph (2003), S.12.

^[17] In Anlehnung an Rudolph (2003), S. 11.

^[18] Die Gewichtung der Standardabweichung ist beliebig wählbar und vereinfacht mit dem Wert von 0,5 lediglich die Bildung der Ableitung der Präferenzfunktion.

^[19] Vgl. Michaud (1989), S. 31-42.

^[20] Vgl. Rudolph (2003), S. 15.