Der handelnde Umgang bei der Auseinandersetzung mit optischen Täuschungen

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung
1.1 Begründung der Themenwahl - Problemstellung
1.2 Strukturierung der Arbeit

Theoretischer Teil

2 Handlungsorientierung als zentrales Unterrichtsprinzip
2.1 Ziele handlungsorientierter Konzepte
2.2 Merkmale eines Selbstständigkeit fördernden Unterrichts
2.2.1 Die veränderte Lehrerrolle
2.3 Die Gestaltung des Lernprozesses
2.4 Kritische Betrachtung eines handlungsorientierten, die Selbstständigkeit fördernden Unterrichts aus didaktisch - methodischer Sicht

3 Planung
3.1 Bedingungsanalyse
3.1.1 Institutionelle Voraussetzungen
3.1.2 Beschreibung der Lerngruppe
3.1.2.1 Allgemeine Voraussetzungen
3.1.2.2 Mathematikspezifische Voraussetzungen
3.1.2.3 Themenspezifische Voraussetzungen
3.1.2.4 Beschreibung von Schülern, welche eine Differenzierung benötigen oder das Unterrichtsgeschehen beeinflussen
3.1.3 Lernausgangslage
3.2 Sachanalyse
3.2.1 Definitionen
3.2.1.1 Die Gerade
3.2.1.2 Die Parallele oder parallel
3.2.1.3 Die Senkrechte oder senkrecht zu
3.2.1.4 Rechter Winkel/ 90° Winkel
3.2.1.5 Das Parallelogramm (Rhomboid)
3.2.1.6 Optische Täuschungen
3.2.1.7 Konstruktionen von Parallelen, Senkrechen, rechten Winkeln und
Parallelogrammen
3.3 Didaktische Überlegungen zur Unterrichtseinheit
3.3.1 Legitimation des Unterrichtsgegenstandes
3.3.1.1 Gegenwartsbedeutung
3.3.1.2 Zukunftsbedeutung
3.3.2 Didaktische Reduktion
3.4 Lernziele der Unterrichtseinheit
3.5 Methodische Überlegungen zur Unterrichtseinheit
3.6 Strukturierung des geplanten Gesamtablaufs unter Angabe der Stundenthemen sowie der inhaltlichen Schwerpunkte

4 Darstellung der unterrichtspraktischen Durchführung
4.1 Ausführliche Dokumentation der 1. und 2. Stunde (Doppelstunde 90min)
4.1.1 Didaktische Überlegungen
4.1.1.1 Lernausgangslage
4.1.1.2 Stundenbezogene Sachanalyse
4.1.1.3 Didaktische Reduktion
4.1.1.4 Lernziele
4.1.2 Methodische Überlegungen
4.1.3 Verlaufsplan
4.1.4 Reflexion
4.2 Dokumentation der 3. Stunde
4.2.1 Lernziele
4.2.2 Verlaufsplan
4.2.3 Reflexion
4.3 Dokumentation der 4. Stunde
4.3.1 Lernziele
4.3.2 Verlaufsplan
4.3.3 Reflexion
4.4 Ausführliche Dokumentation der 5./ 6. Unterrichtsstunde (90Minuten)
4.4.1 Didaktische Überlegungen
4.4.1.1 Lernausgangslage
4.4.1.2 stundenbezogene Sachanalyse
4.4.1.3 Didaktische Reduktion
4.4.1.4 Lernziele
4.4.2 Methodische Überlegungen
4.4.3 Verlaufsplan
4.4.4 Reflexion
4.5 Dokumentation der 7. Stunde
4.5.1 Lernziele
4.5.2 Verlaufsplan
4.5.3 Reflexion
4.6 Dokumentation der 8. Unterrichtsstunde
4.6.1 Lernziele
4.6.2 Verlaufsplan
4.6.3 Reflexion
4.7 Dokumentation des Abschlusses der Einheit: Ausstellung zu optischen

5 Gesamtreflexion zur gehaltenen Einheit

6 Ausblick

7 Literaturverzeichnis

8 Anhang

1 Einleitung

1.1 Begründung der Themenwahl - Problemstellung

Ausgehend von den derzeitigen, tief greifenden und schnellen Veränderungen innerhalb der Gesellschaft im Allgemeinen sowie auch auf der wirtschaftlichen Seite, befinden wir uns auch im pädagogischen Sektor in einer Zeit des Umbruchs. Es ist somit unabdingbar, und dessen ist man sich im schulischen und außerschulischen Bereich bewusst, dass die Schule als Erziehungs- und Bildungsinstanz die Schüler und Schülerinnen durch die Vermittlung von Schlüsselqualifikationen effektiver auf die Berufswelt vorbereiten muss. Ebenso muss, insbesondere in der Grundschule, das analytische und eigenständige Denken gefordert und gefördert werden.

So alt wie das System Schule ist, so alt sind auch die Bemühungen, die Unterrichtsgestaltung durch unterschiedliche Methoden und Konzepte zu verbessern und auf die gegebenen, zeitlich bedingten Umstände anzupassen. Doch heute sind diese Anstrengungen absolut gesehen am intensivsten.

Betroffen von der Bildungsreform und Neuorientierung ist jede Schulform, von der Grundschule bis zur Universität. Didaktische und methodische, besonders aber auch erzieherische Probleme verschiedenster Art werden im Hinblick auf die unterschiedlichen Schulformen immer wieder neu durchdacht, um die Bildungsarbeit zeitgemäß und effektiv reformieren zu können.

Auch der Mathematikunterricht in der Grundschule ist von diesen Neuerungen stark betroffen. Es zeigt sich innerhalb der geforderten landesweiten Lernstandserhebungen, dass von den Schülern^[1] immer mehr das eigenständige und Problem lösende Denken gefordert wird. Schon in der Grundschule wird somit deutlich, dass immer mehr Selbstständigkeit und Eigeninitiative gefordert werden, welche als Schlüsselqualifikationen für die Bewältigung von Problemen im privaten Bereich und besonders in der Berufs- und Arbeitswelt angesehen werden.

Diese Arbeit soll sich als Versuch verstehen, die Fragestellung zu verfolgen, inwieweit optische Täuschungen sinnvoll in den Mathematikunterricht integriert werden können. Hierbei soll betrachtet werden, ob Schüler einer vierten Grundschulklasse in der Lage sind die neu gelernten Unterrichtsinhalte auf eine abstrakte Ebene zu transferieren.

Ausschlaggebend für die Wahl des Themas war für mich die starke Motivation der Schüler, welche durch optische Täuschungen hervorgerufen wird. Des Weiteren ermutigten mich die Möglichkeiten im Bereich des handelnden Umgangs mit dem Geodreieck. Es ist zudem immer offensichtlich, dass eine Geometrieeinheit die Schüler zusätzlich motiviert.

Diese Motivation zeigt sich auch darin, dass sich Schüler immer wieder äußern, gerne Unterrichtsinhalte aus dem geometrischen Bereich zu behandeln.

1.2 Strukturierung der Arbeit

Zur Bearbeitung des Themas habe ich diese Arbeit in insgesamt vier Kapitel untergliedert. Zunächst werden in einem theoretischen Teil grundsätzliche Aussagen bezüglich des Handlungsorientierten Unterrichtes^[2] sowie des selbstständigen Arbeitens und Lernens im Mathematikunterricht dargelegt.

Das darauf folgende Kapitel beschäftigt sich mit der Unterrichtsplanung. Es wird eine Bedingungsanalyse vorgenommen und im Rahmen der Sachanalyse werden Kennzeichen der Arbeit mit dem Geodreieck sowie die Eigenschaften von optischen Täuschungen erläutert. Hinzu kommt eine ausführliche Betrachtung von Parallelen und Senkrechten. Ausgehend von diesen Inhalten werden Themen bezogene Vorüberlegungen zur Unterrichtseinheit angestellt.

Es folgen didaktische und methodische Überlegungen sowie die Lernziele und die Gesamtstruktur der Einheit. Im vierten Kapitel werden die einzelnen Stunden der Unterrichtseinheit dokumentiert, die jeweiligen Lernziele angegeben und anschließend werden die einzelnen Stunden reflektiert.

Die gesamten Ausführungen werden im Anhang zusätzlich durch Bild- und Arbeitsmaterialien dokumentiert. Um eine für den Leser einfache und lückenlose Dokumentation zu gewährleisten, werden Querverweise verwendet.

Theoretischer Teil

2 Handlungsorientierung als zentrales Unterrichtsprinzip

Die Schule als erzieherische und bildende Instanz ist seit langem bemüht, sich für die Schüler, im Hinblick auf die zukünftige Berufs- und Arbeitswelt, zu einer sinnvollen Lern- und Lebensstätte zu entwickeln. Dies trifft besonders auf das Fach Mathematik zu. Hier wird von den Schülern, insbesondere in der Grundschule, immer mehr strukturiertes und logisches Denken gefordert. Dazu gehört natürlich der Versuch, Elemente wie Selbstständigkeit und eigenverantwortliches Handeln im Unterricht zu realisieren. Es gibt viele Begriffe, die im Zusammenhang mit „Selbstständigkeit“ auftauchen und auch zum Teil synonym damit verwendet werden; z.B. Selbsttätigkeit, Aktivierung, eigenverantwortliches Arbeiten und Lernen oder Handlungsorientierung.^[3]

Selbstständigkeit ist keine neue pädagogische Kategorie, sondern eine Zielperspektive für die Entwicklung, Bildung und Erziehung von Heranwachsenden wie auch Erwachsenen. Um diese Zielperspektive im Unterricht umzusetzen, stehen dem Lehrer eine Reihe von Unterrichtskonzepten zur Verfügung:^[4]

- der Erfahrungsbezogene Unterricht
- der offene Unterricht
- der Handlungs- und Produktionsorientierte Unterricht
- der Projektunterricht^[5]

Diese Unterrichtskonzepte bieten sich aufgrund ihrer vielfältigen Gestaltungsmöglichkeiten an, methodische Verfahrensweisen anzuwenden, die zum einen die Eigenständigkeit der Schüler und ausgehend davon die Unmittelbarkeit des Lernens fördern, zum anderen einen handelnden Umgang mit Lerngegenständen ermöglichen und einen deutlichen Bezug zur Lebenswelt der Schüler aufweisen.^[6]

2.1 Ziele handlungsorientierter Konzepte

Im Mittelpunkt handlungsorientierter Konzepte steht das eigenverantwortliche Arbeiten und Lernen der Schüler, und zwar mit dem Ziel, Schlüsselqualifikationen bzw. Handlungskompetenzen auf individueller, beruflicher und gesellschaftlicher Ebene zu erreichen.^[7]

Zu diesen Schlüsselqualifikationen zählen:

- die Fachkompetenz, die sich auf die Aneignung von Fachwissen, Strukturwissen, Handlungs- und Problemlösungswissen sowie die Präsentation von Ergebnissen bezieht.
- die Methodenkompetenz, die auf die Beherrschung elementarer Lern- und Arbeitstechniken abzielt
- die Sozialkompetenz, die die Fähigkeit und Bereitschaft zur konstruktiven Zusammenarbeit in Gruppen- und Partnerarbeitsphasen sowie den Aufbau spezifischer Persönlichkeitsstrukturen wie Selbstvertrauen, Eigeninitiative und Durchhaltevermögen umfasst.

Übergeordnetes Ziel des selbstständigen Lernens und Arbeitens ist die Fähigkeit und Bereitschaft zu permanentem Um- und Weiterlernen. Die Schüler sollen befähigt werden, sich eigenständig Wissen anzueignen, Probleme zu lösen, neue Situationen zu bewältigen, ihre Lern- und Lebensumwelt aktiv mitzugestalten und dadurch eine Balance zwischen ihren individuellen Bedürfnissen und den gesellschaftlichen und sozialen Ansprüchen herzustellen.^[8]

2.2 Merkmale eines Selbstständigkeit fördernden Unterrichts

Jeder Unterricht, und damit auch der Mathematikunterricht, der die Förderung des selbstständigen und eigenverantwortlichen Lernens und Arbeitens anstrebt, zeichnet sich dadurch aus, dass der Lernende das Subjekt des Geschehens darstellt und vom Lehrer Raum für sinnlich- unmittelbares Tätigsein erhält. Dabei arbeiten die Schüler überwiegend selbstständig, wobei am Ende der Unterrichtseinheit die Erstellung eines Lernproduktes (z.B. Plakat, Leporello oder Präsentation) steht.^[9] Häufig arbeiten mehrere Lernende in einer Gruppe zusammen, wobei jeder Einzelne eine Verantwortung für den Lernprozess übernimmt. Im Verlauf des Lernprozesses erhält der Lernende verschiedene Möglichkeiten zur Selbstkontrolle, beispielsweise durch Kontrollkarten oder einen Partner, um Rückmeldung über den Lernerfolg zu erhalten. Des Weiteren wird der Lernprozess von einer veränderten Lehrerrolle begleitet.^[10]

2.2.1 Die veränderte Lehrerrolle

Ein die Selbstständigkeit der Schüler fördernder Unterricht zeichnet sich dadurch aus, dass die Lehrkraft die unterrichtlichen Inhalte so wenig wie möglich über die eigene Person an die Schüler heranträgt, sondern diese in vielerlei Hinsicht selbst aktiv werden und den Lerngegenstand eigenständig erkunden, erproben, erörtern und erfahren. Dadurch erfolgt eine Abkehr von der Funktion des Lehrers als Stoffvermittler. Dessen Aufgabe besteht vielmehr in der Anleitung der Schüler, sich selbst Wissen anzueignen.^[11] Der Lehrer wird stärker zum Lernberater respektive Lernorganisator schülerorientierter Lernprozesse. Er zieht sich aus dem Unterrichtsgeschehen weitestgehend zurück. Er steht beratend zur Seite und hilft dem Schüler mit kleineren Tipps, zu dem gewünschten Lernzuwachs zu kommen. Mit dieser veränderten Lehrerrolle geht ein Kontrollverlust einher, dem durch Rahmenvorgaben (Ziel-, Zeit- und Organisationsvorgaben) entgegengewirkt werden muss. Auf diese Weise wird sichergestellt, dass die Schüler lernen können, Ausdauer zu entwickeln und Verantwortung für den eigenen Lernprozess sowie für den Prozess der jeweiligen Gruppe zu übernehmen.^[12]

2.3 Die Gestaltung des Lernprozesses

Im Mittelpunkt des Lernprozesses steht der Schüler, der durch den Lehrer Anregungen zum selbstständigen Lernen und Handeln erhalten soll. Dabei soll der Lehrer bemüht sein, die subjektiven Schülerinteressen zum Ausgangspunkt der unterrichtlichen Arbeit zu machen, indem er an eben diesen Interessen, sowie dem Vorwissen und den Alltagserfahrungen der Schüler anknüpft.^[13] Der Lernprozess zeichnet sich dadurch aus, dass die Schüler die Mitverantwortung für dessen Ausführung und Kontrolle übernehmen, wobei sie seitens des Lehrers Kontrollmöglichkeiten erhalten, inwieweit sie die Lernziele erreicht haben. Im Verlauf des Lernprozesses sollen die Schüler daran arbeiten, ihr Lernhandeln selbstkritisch zu reflektieren. Durch die Anwendung verschiedener Sozialformen soll den Schülern die Möglichkeit zur Individualisierung und Differenzierung gegeben werden, wodurch ein Beitrag zur Persönlichkeitsbildung geleistet wird.

2.4 Kritische Betrachtung eines handlungsorientierten, die Selbstständigkeit fördernden Unterrichts aus didaktisch - methodischer Sicht

Ein handlungsorientierter, die Selbstständigkeit der Schüler fördernder Unterricht zeichnet sich durch eine Reihe für Lehrer und Schüler positive Aspekte aus (vgl. Kapitel 2.2 und 2.3). Bei allen Überlegungen zur Handlungsorientierung sollte vor allem das Recht der Schüler und der Gesellschaft auf eine effektive und zeitgemäße Ausbildung im Vordergrund stehen. Berücksichtigt man die veränderten Lebens- und Berufsperspektiven, das Aufwachsen in einer „Ellenbogengesellschaft“ und die große Konsum- und Medienvielfalt, so kann letztendlich nur eine Gesamtkonzeption wie die Handlungsorientierung den vielfältigen Anforderungen und Erwartungen unserer Gesellschaft gerecht werden.^[14]

Die folgende Tabelle soll die Vor- und Nachteile eines handlungsorientierten Konzeptes aufzeigen:^[15]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Unterrichtspraktischer Teil

Planung, Durchführung und Reflexion der Unterrichtseinheit

„Möglichkeiten und Grenzen des handelnden Umgangs bei der Auseinandersetzung mit optischen Täuschungen, untersucht im Rahmen einer Unterrichtseinheit zu Parallelen und Senkrechten in einem 4. Schuljahr"

3 Planung

3.1 Bedingungsanalyse

3.1.1 Institutionelle Voraussetzungen

Die Johann - Christian - Senckenbergschule ist eine Grund-, Haupt- und Realschule mit Förderstufe mit z. Z. ca. 1245 Schülern, die auf die Standorte Runkel und Villmar verteilt sind. Jeder dieser Standorte verfügt über einen Grundschulzweig. Villmar zudem über eine Eingangsstufe. Während alle Förderstufenklassen seit dem Schuljahr 2002/2003 in Villmar unterrichtet werden, befindet sich der Haupt- und Realschulzweig ab Klasse 7 seit diesem Zeitpunkt am Standort Runkel.

Die vierten Klassen der Grundschule Runkel sind dreizügig. Lediglich die derzeitigen ersten Klassen sind zweizügig.

Der Grundschulbereich ist deutlich von dem Haupt- und Realschulzweig abgegrenzt. Es gibt keinen gemeinsamen Schulhof und somit auch wenig Berührungs-, beziehungsweise Streitpunkte zwischen den Schülern. Die beiden, in dem Gebäude der vierten Klasse untergebrachten Realschulklassen, verlassen pünktlich ihre Räume und „stören“ somit nicht die Grundschüler in ihrem Lern- und Pausenumfeld.

Wie in der Grundschule üblich, verfügt jede Klasse über ihren eigenen Klassenraum, welcher lediglich für Sport- und Musikunterricht verlassen werden muss. Ein Nachteil der zur Verfügung stehenden Räumlichkeiten sind die zwei Fensterseiten. Somit gestaltet es sich als schwierig, Merksätze und Arbeiten der Schüler zu präsentieren. Des Weiteren muss sich diese vierte Klasse einen Overhead-Projektor mit oben genannten Realschulklassen teilen. Dies führt jedoch aufgrund der Flexibilität unter den Kollegen dieser Klassen zu keinen größeren Schwierigkeiten.

Ein Vorteil des Klassenraumes der Klasse 4c ist eine Art Abstellkammer, in welcher Materialien zu Förderzwecken, Kunstutensilien und Computer untergebracht sind. Außerdem bieten zwei Arbeitsbänke an den Fensterseiten Platz für Freiarbeits-, Förder- und Differenzierungsmaterial.

3.1.2 Beschreibung der Lerngruppe

3.1.2.1 Allgemeine Voraussetzungen

Die Klasse 4c der Johann - Christian - Senckenbergschule setzt sich aus 24 Schülern, 15 Jungen und 9 Mädchen, zusammen und ist somit die größte der drei vierten Klassen. Alle Schüler kommen aus den umliegenden Ortschaften. Sie gehören den Jahrgängen 1995 und 1996 an und sind somit etwa 10 Jahre alt.

Seit September 2004 unterrichte ich diese Lerngruppe eigenverantwortlich in dem Fach Mathematik. Hierfür stehen mir 4 Wochenstunden zur Verfügung. Eine weitere Stunde wird durch den Klassenlehrer Herrn Hölper gehalten.

Die Klasse 4c ist eine sehr aufgeschlossene und besonders lernwillige Klasse. Zudem zeichnet sie sich durch eine große Herzlichkeit und Sozialkompetenz aus. Selten gerät dieses Verhalten ins Wanken; sollte dies jedoch einmal geschehen, so sind die Schüler meist selbst in der Lage ihre Konflikte zu lösen. Konflikte innerhalb der Lerngruppe sind selten bis nie auf Aggressionen oder körperliche Attacken zurück zu führen; eher auf einer Ebene der Unzufriedenheit oder im Bereich des „Zickenterrors“. Aber wie bereits erwähnt: dies ist sehr selten der Fall.

Sollte es dennoch zu einer Konfliktsituation kommen, ist deutlich zu erkennen, dass sich das Verhalten der Schüler im Gespräch mit der Klasse oder auch in Einzelgesprächen immer positiv verändert.

Unter Berücksichtigung dieser Voraussetzungen ist es für mich als „neuen“ Lehrkörper recht einfach gewesen, die Schüler an neue Arbeitsformen wie Gruppen- oder Partnerarbeit, heranzuführen. Die Lerngruppe artikuliert mittlerweile immer wieder, dass sie gerne mal wieder an Stationen oder in Gruppen arbeiten möchte (vgl. auch Kapitel 3.5).

Innerhalb eines Sitzkreises zeigt sich eine geschlechterspezifische Gruppenbildung, dennoch gibt es keine Probleme, die darauf schließen lassen, dass Mädchen nicht neben Jungen, und umgekehrt, sitzen möchten. Cliquenbildungen, die den „Klassengeist“ belasten, sind ebenso wenig feststellbar wie Schüler, die eine Außenseiterrolle einnehmen.

3.1.2.2 Mathematikspezifische Voraussetzungen

Im Mathematikunterricht zeigt sich ein sehr großer Lernwille bei allen Schülern. Des Weiteren kann man bei 90% der Klasse von einer schnellen und hohen Auffassungsgabe sprechen, welche sich deutlich in der Erarbeitung von komplexen Aufgabenstellungen zeigt. Selten gibt es Stunden, in welchen sich einzelne Schüler nicht beteiligen. Dies ist dann aber auf ihre allgemeine Tagesform zurück zu führen. Auch bei den restlichen 10% der Schüler zeigt sich nach einer kurzen Einzelarbeitsphase mit dem Lehrer oder einem anderen Schüler schnell die gewünschte Zielerfüllung. Somit kann ich behaupten, dass es möglich ist, allen Schülern einen nahezu gleichwertigen Lernzuwachs zu ermöglichen.

3.1.2.3 Themenspezifische Voraussetzungen

Besonders im Bereich der Geometrie zeigt sich der große Drang zum „Selbst-Entdecken“, „Ausprobieren-wollen“ und vorhandene Erfahrungen dem Unterrichtsverlauf zuträglich zu machen. In vielen Bereichen der Geometrie haben die Schüler bereits große Vorerfahrungen. Aufgrund dieses Wissens stellt der mathematische Bereich der Geometrie für die Schüler immer ein besonders spannendes Feld dar. Sie können sich selbst einbringen und sind begeistert, wenn sie ihr Wissen vertiefen und erweitern können. So kennen sie zum Beispiel viele geometrische Formen und zum Teil auch die Begrifflichkeiten, welche für diese Einheit von Bedeutung sind (parallel, senkrecht, rechter Winkel). Auch mit optischen Täuschungen waren sie vertraut; in der letzten Stunde zeigte sich jedoch, dass ihr Wissen nur rudimentär war und es ergab sich eine lebhafte Diskussion zu den einzelnen Stationen (vgl. Kapitel 4.7).

3.1.2.4 Beschreibung von Schülern, welche eine Differenzierung benötigen oder das Unterrichtsgeschehen beeinflussen

Einige Schüler versuchen jedoch immer mal wieder aus dem gesamt gesehenen arbeitswilligen und konzentrierten Lerngefüge auszubrechen (Heiko, Adrian, Janik); dies kann jedoch immer schnell und problemlos behoben werden, indem man sie ruhig daran erinnert, dass sie sich auf das Unterrichtsgeschehen konzentrieren sollen. Adrian wird seit einiger Zeit mit Ritalin behandelt. Dies zeigt sich positiv im Hinblick auf seine Konzentrationsfähigkeit. Adrian ist kein klassischer Fall eines Kindes mit hyperaktiven Ansätzen. Vielmehr wird ihm durch die medikamentöse Behandlung geholfen sich besser zu organisieren und dem Unterricht besser zu folgen. So ist es ihm möglich ein guter Schüler zu sein, der bisweilen auch zu besonderen Transferleistungen fähig ist.

Heiko wirkt immer etwas abwesend, stört den Unterricht jedoch nicht auffallend durch sein Verhalten. Es zeigt sich jedoch, dass er immer ein wenig länger benötigt um eine Aufgabe zu beginnen. Manchmal gewinnt man den Eindruck, dass es sich um eine Art von Verzögerungstaktik handelt. Dennoch ist Heiko ebenfalls ein guter Schüler. Janik fällt häufiger durch Kommentare auf, welche das Unterrichtsgeschehen stören. Er versucht zeitweise den Klassenclown zu mimen. Eine Schülerin (Selina) weist eine Rechenschwäche auf, welche auch durch die zuständigen Ämter diagnostiziert wurde. Jedoch muss ich sagen, dass sich ihre Mitarbeit in den letzten Monaten immer mehr verbessert hat und sie mit sichtlich mehr Freude konstant am Unterrichtsgeschehen teilnimmt. Um diese konstante Steigerung positiv fortzuführen erfährt Selina unterschiedliche Differenzierungskonzepte (vgl. Kapitel 4.1 und 4.4).

Malte fällt immer wieder dadurch auf, dass er die gestellten Aufgaben in einer Geschwindigkeit erledigt, welche weit über dem Klassendurchschnitt liegt. Er ist sehr ehrgeizig und stellt sich selbst auch immer das Ziel, möglichst als Erster fertig zu sein. Es ist erstaunlich, dass hierbei nicht die Qualität leidet. Lediglich das Schriftbild leidet teilweise unter seinem Willen zur Schnelligkeit. Selten finden sich in seinen Aufgaben Fehler. Über die gesamte Klasse lässt sich sagen, dass sie sich sehr stark mündlich beteiligt. Besonders hervorzuheben sind hier Nina B., Malte, Jonas und Jerry. Sehr ruhig und auch im Unterricht sehr zurückhaltend sind Heiko, Melanie, Xenia, Charlotte und Lea. Sie verfolgen das Unterrichtsgeschehen aufmerksam, beteiligen sich jedoch nicht aktiv daran. Um diese Schüler zur aktiven Teilnahme am Unterricht zu ermutigen und sie in das Unterrichtsgeschehen mit einzubeziehen, rufe ich sie auch dann auf, wenn sie sicht nicht melden, ich aber ihre Antworten antizipieren kann. Dadurch versuche ich ihnen die Angst vor der Äußerung von falschen Antworten zu nehmen und sie zu motivieren, sich auch selbst im Unterricht zu melden. Nuno verfolgt das Unterrichtsgeschehen nur partiell. Er beteiligt sich mündlich kaum und fällt auch dadurch auf, dass er häufiger die Hausaufgaben nicht hat. Dennoch gelingt es ihm, befriedigende Arbeiten zu schreiben. Für mich ist es jedoch wichtig, dass ich ihm häufiger eine gesonderte Aufmerksamkeit zukommen lasse, um zu überprüfen, inwieweit er den Lerngegenstand verinnerlicht hat. Durch die zusätzliche Aufmerksamkeit wird Nuno auch dahingehend motiviert, dem Unterricht wieder vollkommen zu folgen.

Bereits in der ersten Klasse wurden die Schüler an Klassen- und Arbeitsregeln gewöhnt, welche sie selbstverständlich befolgen. Dies zeigt sich auch im Bereich des Sozialverhaltens. Die Schüler helfen sich gerne und bereitwillig gegenseitig und lachen einander bei fehlerhaften Antworten nicht aus.

Mein Verhältnis zur Lerngruppe bezeichne ich als vertrauensvoll. Dies zeigt sich vor allem daran, dass mir einige Schüler auch ihre privaten Belange und Probleme anvertrauen und sich mitteilen möchten. Abgesehen von vereinzelt auftretenden Unruhephasen herrscht eine überwiegend angenehme Arbeitsatmosphäre.

3.1.3 Lernausgangslage

Von den kognitiven Voraussetzungen nach PIAGET befinden sich die Kinder der Klasse 4 in der konkret operationalen Phase, die das Alter von etwa 7 bis 11 Jahren umfasst. Dies bedeutet, dass das Denken der Schüler noch an konkrete Vorstellungen gebunden ist und es ihnen somit schwer fällt, abstrakte Probleme zu bearbeiten. Aus diesem Grund sollen für Schüler dieses Alters anschauliche Materialien mit Problemen aus ihrer Lebensumwelt bereitgestellt werden. Dies fördert das Behalten der Lerninhalte. Ebenso sollte das Angebot an Materialien unterschiedliche Sinne ansprechen und die Schüler unterschiedlich fordern. Also ihre kognitiven, affektiven als auch sozialen Fähigkeiten in Anspruch nehmen.^[16]

Aus diesem Grund möchte ich den Schülern einen möglichst vielfältigen Zugang zu den Themenbereichen Parallelen, Senkrechte und rechter Winkel, beziehungsweise zu den optischen Täuschungen, ermöglichen.

Die gedanklichen Operationen sind zwar weiterhin an anschaulich real erfahrbare Inhalte gebunden, sie zeichnen sich jedoch durch eine größere gedankliche Bandbreite aus. Verschiedene Aspekte eines Gegenstandes oder Vorgangs können gleichzeitig erfasst und transferierend der Bezug erkannt werden. Der Begriff „konkrete Operationen“ meint, dass der Schüler nun in Gedanken mit konkreten Gebilden bzw. deren Vorstellungen operieren kann. Das Kind kann Reihen aufstellen, erweitern, einteilen, unterscheiden. Das Denken besitzt bereits die Eigenschaft der Reversibilität (Umkehrbarkeit). Das kindliche Denken erreicht in dieser Struktur die erste Form eines stabilen Gleichgewichts. Das Kind beschränkt sich beim zielgerichteten konkreten Denken auf das, was faktisch und wirklich ist. Allerdings wird in diesem Alter die "Realität" auch schon oft den kognitiven Schemata untergeordnet bzw. letztere werden bewusst manipuliert (etwa in Phantasien oder Wunschvorstellungen).

Im Mathematikunterricht geht man in den meisten Fällen zudem von den Entwicklungsstufen nach Bruner aus. Dieser hat in Anlehnung an Piaget folgende Struktur entwickelt, nach welcher ein Kind lernt:

- Enaktive Stufe (Das Kind begreift seine Umwelt über den handelnden Umgang mit ihr);
- Ikonische Stufe (Bildhafte Vorstellungen sind der Informationsträger; das Kind ist Gefangener seiner Wahrnehmungen) und
- Symbolische Stufe (Symbolsysteme ersetzen das Handeln ohne Denken und das an die Wahrnehmung gebundene Verständnis; Sprache, Logik und Mathematik spielen nun eine Rolle).

Daraus resultiert, dass man Schülern zunächst einmal die Möglichkeit bietet, den neuen Lerngegenstand handelnd zu erfahren. Anschließend wird dieser weiter abstrahiert und auf eine bildliche Ebene übertragen, in welcher das Erlernte wieder gefunden werden soll. Den Abschluss bildet das Symbolsystem. Hier wird das Erlernte auf einer abstrakten Ebene ohne eine bildliche Darstellung (beispielsweise bei der Multiplikation) ausgeführt. ^[17] In der vierten Klasse werden die enaktive- und die ikonische Stufe nur noch marginal im Vergleich mit der ersten und zweiten Klasse der Grundschule angewendet. Dennoch ist es unabdingbar bei jeder Einführung eines neuen Themas den Schülern die Möglichkeit eines realen Vergleichs zu eröffnen. Somit wird das zu Erlernende einem Realitätsbezug unterzogen. Aus diesem Grund werden sämtliche Inhalte der Einheit anhand von realen Gegenständen innerhalb des Klassenraumes und der schulischen Umgebung durch die Schüler gesucht und erfahren. Die Ausbildung der Lagebezeichnungen „parallel“, „senkrecht zu …“ und der geometrische Begriff „Winkel“ basieren auf den Lerninhalten des Rahmenplans Grundschule und sind dem 3./4. Schuljahr zugeordnet. Aufgrund der Lernvoraussetzungen der Schüler sieht auch der Rahmenplan hier eine Ausbildung des räumlichen Vorstellungsvermögens durch Bewegung und fächerübergreifenden Realitätsbezug vor. Die Schüler sind zu einem sachbezogeneren und differenzierten Vorstellungsvermögen in der Lage. Damit dieses Vorstellungsvermögen jedoch weiter ausgebaut wird, muss weiterhin auf der enaktiven- und ikonischen Ebene gebaut, gefaltet u nd kombiniert werden. ^[18] ( vgl. Kapitel 4.1 und 4.2)

3.2 Sachanalyse

3.2.1 Definitionen

Innerhalb der Unterrichtseinheit werden mehrere Begriffe und Lerninhalte benötigt. Aus diesem Grund möchte ich die einzelnen Begrifflichkeiten unterteilt näher erläutern.

3.2.1.1 Die Gerade

Eine Gerade ist einer der Grundbegriffe der Geometrie. Anschaulich stellt man sich in der euklidischen Geometrie unter Gerade eine unendlich lange, unendlich dünne Linie mit folgender Eigenschaft vor: Liegen zwei voneinander verschiedene Punkte auf dieser Linie so bildet der zwischen ihnen liegende Abschnitt (auch Geradenabschnitt) die kürzeste Verbindung zwischen den Punkten; ein solcher Abschnitt wird als Strecke bezeichnet.

Es ist offensichtlich, dass diese Begriffserklärung dem Exaktheitsanspruch der Mathematik nicht genügt. Beim axiomatischen Aufbau der Geometrie verzichtet man daher auf eine explizite Definition und verwendet stattdessen Punkt und Gerade als undefinierte Grundbegriffe, für die bestimmte Axiome gelten.

3.2.1.2 Die Parallele oder parallel

Die Wortbedeutung von „parallel“ oder „Parallelität“ stammt von den griechischen Wörtern „para“ = entlang, neben und „allélon“ = einander, ab. Es lässt sich also definieren, dass etwas zeitlich oder räumlich neben etwas anderem her verläuft. Nach der euklidischen Geometrie (Geometrie des Raums oder der Ebene) wird dieser Zustand folgendermaßen dargelegt: Zwei Geraden sind parallel, wenn sie in einer Ebene liegen und einander nicht schneiden.^[19]

Die Eigenschaften von parallelen Geraden werden wie folgt beschrieben:

- Zu jeder Geraden und jedem Punkt, der außerhalb der gegebenen Geraden liegt, gibt es genau eine Gerade, die zu der Geraden parallel ist und durch den gegebenen Punkt geht (die Parallele durch diesen Punkt). Diese Aussage wird das Parallelenaxiom genannt, da sie bei einem axiomatischen Aufbau der euklidischen Geometrie als Axiom benötigt wird. In der analytischen Geometrie (Geometrie in euklidischen Vektorräumen) ist sie hingegen beweisbar.

- Bei parallelen Geraden g und h ist der Abstand der Punkte von g zu h (und umgekehrt der Abstand der Punkte von h zu g) konstant, die Geraden sind also immer gleich weit voneinander entfernt.

Das euklidische Axiom drückt es auf diese Weise aus:

Es sei g eine beliebige Gerade und P ein Punkt außerhalb von g: Dann gibt es in der durch g und P bestimmten Ebene höchstens eine Gerade g', die durch P verläuft und g nicht schneidet. Diese Gerade g' heißt Parallele zu g durch P.^[20]

Die mathematische Schreibweise drückt Parallelität folgendermaßen aus: ││

3.2.1.3 Die Senkrechte oder senkrecht zu …

Die Wortbedeutung leitet sich von dem Wort „senken“ (Senklot) und dem Wort „recht“ im Sinne von gerichtet ab.

Die Bedeutung von senkrecht beschreibt das DUDEN Universalwörterbuch folgendermaßen:

In einer geraden Linie von unten nach oben od. von oben nach unten verlaufend, also in einem Winkel von 90 Grad auf die (idealisierte) Erdoberfläche.

Daraus lässt sich für die Elementargeometrie ableiten, dass zwei Geraden senkrecht oder orthogonal (von griechisch: gonos = Winkel und orthos = aufrecht, recht zueinander stehen), wenn sie einen rechten Winkel, also einen Winkel von 90°, einschließen. Die Definition der Senkrechten ist unmittelbar mit der Definition des rechten Winkels verknüpft.

Die mathematische Schreibweise drückt „senkrecht zueinander“ so aus: ┴

3.2.1.4 Rechter Winkel/ 90° Winkel

Einen 90°- Winkel bezeichnet man auch als rechten Winkel. Zwischen zwei sich schneidenden Geraden gibt es vier Winkel. Jeweils zwei nebeneinander liegende Winkel summieren sich dabei zu 180°. Daraus ergibt sich auch die Winkelsumme für einen Vollwinkel von 360°.

Der rechte Winkel hat die Besonderheit, dass die beiden sich gegenüberliegenden Winkel genau gleich sind, also die Winkelsumme von 180° haben und somit ½ Vollwinkel bilden. Zwei Geraden oder Strecken, die sich im rechten Winkel schneiden, nennt man zueinander orthogonal. In einer Zeichnung wird der rechte Winkel durch einen Viertelkreis mit Punkt oder durch ein Quadrat dargestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die gebräuchlichere Schreibweise ist der Viertelkreis mit Punkt und wird somit auch in dieser Einheit eingeführt und verwendet.

Winkel bezeichnet man meist mit kleinen griechischen Buchstaben z.B. α oder β. Alternativ kann man die drei Punkte angeben, welche den Winkel definieren: z.B. Winkel ABC oder Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Folgende Winkelmaße sind zudem gebräuchlich und finden regelmäßig in der Mathematik Anwendung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für diese Einheit wäre noch von sachanalytischer Bedeutung der Komplementärwinkel. Hierbei handelt es sich um zwei Winkel, welche sich zu einem rechten Winkel ergänzen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Begriff Rechtwinkligkeit wird auch zur Definition der Parallelität benutzt: Zwei Geraden heißen parallel, wenn beide zu einer Dritten rechtwinklig sind

3.2.1.5 Das Parallelogramm (Rhomboid)

Ein Parallelogramm ist ein konvexes ebenes Viereck, bei dem

- gegenüberliegende Seiten parallel sind.

Dieser Eigenschaft verdankt das Parallelogramm seinen Namen.

Äquivalent dazu sind zahlreiche andere Eigenschaften, die in der folgenden Charakterisierung zusammengefasst sind: Ein Viereck ist ein Parallelogramm genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

- Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang.
- Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß ( α = γ und β = δ)
- Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
- Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig.

Für jedes Parallelogramm gilt:

- Jede Diagonale teilt es in zwei kongruente Dreiecke.
- Das Zentrum der Symmetrie ist der Schnittpunkt der Diagonalen.

Rechteck, Rhombus (Raute) und Quadrat sind Spezialfälle des Parallelogramms. Parallelogramme sind spezielle Trapeze.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Folgende Bezeichnungen gelten an jedem Parallelogramm:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.2.1.6 Optische Täuschungen

Eine Optische Täuschung oder auch Visuelle Illusion ist eine Wahrnehmungstäuschung des Gesichtssinns. Optische Täuschungen können nahezu alle Aspekte des Sehens betreffen. Es gibt Tiefenillusionen, Farbillusionen, geometrische Illusionen, Bewegungsillusionen und einige mehr. In all diesen Fällen scheint das Sehsystem falsche Annahmen über die Natur des Sehreizes zu treffen, wie sich unter Zuhilfenahme weiterer Sinne oder durch Entfernen der auslösenden Faktoren zeigen lässt.

Innerhalb dieser Einheit beziehe ich mich hauptsächlich auf die Relativität von Geraden. So wird der Bezug zu Parallelen und Senkrechten aufrechterhalten. Nachfolgend zwei kleine Beispiele. Das Beispiel links zeigt eine Störung der Geraden durch helle und dunkle Vierecke. Der zweite und der sechste Balken scheinen sich nach rechts zu verbreitern, der vierte Balken zu verjüngen. In Wahrheit sind alle waagerechten Linien exakt waagerecht und es verjüngt oder verbreitert sich nichts.

In diesem Bild entsteht durch die diagonale Durchkreuzung der Eindruck, dass die senkrechten Linien gekrümmt sind. Die senkrechten Linien sind jedoch exakt gerade und parallel.^{[21] [22]}

3.2.1.7 Konstruktionen von Parallelen, Senkrechen, rechten Winkeln und

Parallelogrammen

Die einfachste Methode um Parallelen, Senkrechte und auch rechte Winkel zu konstruieren ergibt sich mit Hilfe des Geodreiecks. Zur Erläuterung der Begrifflichkeiten des Geodreiecks folgende Zeichnung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zur Konstruktion einer Senkrechten legt man das Geodreieck exakt mit der Mittellinie auf die gegebene Gerade g. Nun zeichnet man an der Grundlinie eine weitere Gerade. Die entstandene Gerade steht senkrecht auf g.

Zur Konstruktion eines rechten Winkels geht man entweder wie gerade beschrieben vor oder man behilft sich mit dem gegebenen rechten Winkel an der Spitze des Geodreiecks. Das Geodreieck wird dann mit einer Seite auf die Gerade g gelegt und anschließend zieht man eine Gerade an der anderen Seite, ausgehend von der Spitze des Geodreiecks. Der entstandene Winkel ist rechtwinklig und die Geraden stehen orthogonal zueinander.

Zur Konstruktion von einer parallelen Geraden h zu g kann man sich die Hilfslinien in der Mitte des Geodreiecks zu Nutze machen. Diese werden in dem gewünschten Abstand auf die Gerade g gelegt. Zeichnet man nun entlang der Grundlinie des Geodreiecks eine Gerade h, so verläuft diese parallel zu der Geraden g.

Winkel lassen sich auch mit dem Zirkel konstruieren. Ebenso wie die Senkrechte. Daraus resultiert die Konstruktion eines 90° Winkels mit dem Zirkel.

Zur Konstruktion einer Senkrechten mit dem Zirkel stellt man den Zirkel auf den gewünschten Abstand ein und zieht sowohl von einem rechten Punkt, als auch von einem linken Punkt ausgehend um den gewünschten Scheitel- oder Mittelpunkt einen Kreis. Hieraus resultiert ein Schnittpunkt. Von diesem Schnittpunkt kann nun eine Senkrechte zu der Geraden g gezeichnet werden. Der Kreis muss nicht vollständig gezeichnet werden. Es reicht jeweils ein Bogenabschnitt aus welchen der Schnittpunkt entsteht.

Ein Parallelogramm lässt sich folgendermaßen konstruieren: Zunächst zeichnet man zwei zueinander parallele Geraden. Die einfache, aber auch nicht ganz genaue Fortführung ist das Zeichnen von zwei weiteren, zueinander parallel liegenden Geraden.

Genau lässt sich ein Parallelogramm nur mit Angabe von drei Werten zeichnen. Hierfür sind Angaben von zwei Seitenlängen und einem Winkel üblich. Eine andere Möglichkeit ist die Angabe der Höhe.

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^[1] Das Wort „Schüler“ steht synonym für Schülerinnen und Schüler; dies gilt für die gesamte Arbeit.

^[2] Die Schreibweise ist aus der Fachliteratur übernommen worden.

^[3] vgl. Bönsch 1981, S. 17ff; Brunnhuber 1991, S.40ff; Gudjons 1994, S. 9; Klafki 2003, S. 20ff; Klippert 2001, S. 41ff; Recktenwald 2004, S. 13ff; Wiechmann 1999, S. 199ff.

^[4] vgl. Gudjons 1994, S. 24ff; Jank/Meyer 1991, S. 294; Lange 2003, S. 4ff.

^[5] die Schreibweise ist aus der Fachliteratur übernommen worden.

^[6] vgl. Gudjons 1994, S. 21

^[7] vgl. Klippert 2001, S. 39; Michel 2002, S. 5

^[8] vgl. ebd. S. 41ff

^[9] vgl. Jank/Meyer 1991, S. 356

^[10] vgl. Jank/Meyer 1991, S. 49; Meyer 2000, S. 415; Recktenwald 2004, S. 14

^[11] vgl. Klippert 2001, S. 43; Jank/Meyer 1991, S. 356

^[12] vgl. Klippert 2001, S. 49

^[13] vgl. Jank/Meyer 1991, S. 357; Sinning 2004, S. 6; Lange 2003, S. 5

^[14] vgl. Klippert 2001, S. 41ff; Jank/Meyer 1991, S. 294ff

^[15] Zusammenstellung der Tabelle in Anlehnung an: vgl. Jank/Meyer 1991, S. 368ff; vgl. Klippert 2001, S. 54ff

^[16] vgl. Steindorf, Gerhard: „Grundbegriffe des Lehrens und Lernens“, 5. Auflage, 2000 S.54.

^[17] vgl. http://arbeitsblaetter.stangl-taller.at/KOGNITIVEENTWICKLUNG/Piagetmodell.shtml ( 12.12.2005)

^[18] vgl. Rahmenplan Grundschule, 1995 S. 164ff

^[19] Parallelität lässt sich auch auf die Ebene beziehen; da dies aber nicht Inhalt der Unterrichtseinheit ist, wird

hier nur die Parallelität der Geraden betrachtet.

^[20] die Formulierung wurde aus der Fachliteratur übernommen. Vgl. Fußnote am Ende dieses Absatzes

^[21] vgl. für die Ausführungen 3.2.1.1 - 3.2.1.6 www.wikipedia.de ( 17.12.05)

^[22] vgl. Natura: Biologie für Gymnasien