Fundamentaler Bestandteil mathematischer Modelle zur Bewertung von Optionen auf Basiswerte wie Aktien stellt die Lösung partieller Differentialgleichungen dar, deren Ausgestaltung von spezifischen Annahmen unter anderem hinsichtlich der Verteilung von Renditen, der Konstanz von Modellparametern und der Berücksichtigung von Steuern und Gebühren abhängt. Da die Herleitung des theoretischen Rahmens adäquater Bewertungsmodelle nicht Gegenstand dieser Arbeit ist, soll ohne weitere Kritik der einschneidenden Annahmen analog zur ausgewerteten Literatur die Black- Scholes-Differentialgleichung1 als Ausgangspunkt der Preisbestimmung für Aktienoptionen herangezogen werden.2 Die Notwendigkeit des Einsatzes numerischer Methoden, zu denen neben den Verfahren finiter Differenzen auch Monte-Carlo-, Baum- und Finite-Elemente-Modelle zählen, liegt dann darin begründet, dass die Black-Scholes-Gleichung nur im Fall europäischer Optionen analytisch lösbar ist, so dass für die Menge der übrigen Optionsvarianten nur numerische Verfahren die Generierung eines quantitativen Ergebnisses ermöglichen. Erstmalig von Brennan/Schwartz [1977] auf die Bewertung amerikanischer Optionen angewandt, sieht der Grundgedanke der Finite- Differenzen-Methode die Zerlegung der zugrundeliegenden Differentialgleichung in ein endliches System von Differenzengleichungen vor und liefert infolgedessen eine diskrete Approximation der kontinuierlichen Differentialgleichung.3 Aus der iterativen Vorgehensweise dieses Verfahrens resultiert, dass Optionswerte stets für eine Fläche von Kursen des Basiswertes sowie der Optionsrestlaufzeit ermittelt werden und sich nicht wie in geschlossenen Lösungsansätzen auf die alleinige Optionspreisberechnung zu einem gewissen Kurs und Zeitpunkt beschränkt wird. Ziel dieser Arbeit ist es, die Methodik finiter Differenzen zur Optionspreisbestimmung am Beispiel europäischer Optionen zu entwickeln, auf die praktisch relevantere Bewertung amerikanischer Optionen auszuweiten und durch numerische Beispiele der im Anhang befindlichen Matlab 7.1 Implementierungen zu illustrieren.
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1 Vgl. Black/Scholes, 1973, S.673ff.
2 Vgl. Wilmott et al., 1996, S.262 ; Higham, 2004, S.237 ; Seydel, 2000, S.77.
3 Vgl. Brennan/Schwartz, 1997, S.449ff.; Hull, 2006, S.506; Wilmott et al., 1996, S.261.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Konzeptioneller Rahmen finiter Differenzen zur Optionspreisbestimmung
2.1 Transformation der Black-Scholes-Differentialgleichung
2.2 Finite Differenzen-Approximation
2.3 Diskretisierung mittels finiter Differenzen
3 Verfahren finiter Differenzen
3.1 Das explizite Verfahren
3.1.1 Das Gleichungssystem
3.1.2 Stabilität, lokale Genauigkeit und Konvergenz
3.1.3 Numerisches Beispiel
3.2 Die impliziten Verfahren
3.2.1 Das vollständig implizite Verfahren
3.2.2 Das Crank-Nicolson-Verfahren
3.2.3 Das θ -Verfahren
3.2.4 Numerisches Beispiel
4 Bewertung amerikanischer Optionen mittels finiter Differenzen
4.1 Amerikanische Optionen als freie Randwertprobleme
4.2 Numerisches Beispiel
5 Schlussbetrachtung
Zielsetzung & Themen
Das Hauptziel dieser Arbeit ist die Entwicklung und Anwendung der Methodik finiter Differenzen zur Bewertung von Finanzoptionen, wobei der Fokus auf dem Übergang von europäischen hin zu den komplexeren amerikanischen Optionen liegt. Die Forschungsfrage zielt darauf ab, wie diese numerischen Approximationsverfahren implementiert werden können, um quantitative Ergebnisse dort zu liefern, wo analytische Lösungen an ihre Grenzen stoßen.
- Grundlagen der Black-Scholes-Differentialgleichung und deren Transformation
- Methodische Herleitung expliziter und impliziter Finite-Differenzen-Verfahren
- Analyse der Stabilitäts-, Genauigkeits- und Konvergenzeigenschaften
- Praktische Implementierung mittels Matlab 7.1
- Behandlung amerikanischer Optionen als freie Randwertprobleme
Auszug aus dem Buch
2.3 Diskretisierung mittels finiter Differenzen
Um die Approximation der partiellen Differentialgleichung numerisch handhabbar zu machen, wird dieses kontinuierliche Gleichungssystem diskretisiert, d.h. in ein endliches System von Differenzengleichungen überführt, so dass die Näherung der theoretischen Lösung nur an einer endlichen Menge von Punkten berechnet wird. Zum einen wird daher der unendliche Definitionsbereich von x ∈ (−∞,∞) auf einen endlichen Bereich x ∈ [a, b] mit a<0 und b>0 begrenzt, wobei im Rahmen der Festlegung von a und b auf eine ausreichende Approximationsgüte für die Randbedingungen determinierenden Minimum- und Maximumkurse (ursprünglich S_min = 0 und S_max → ∞) zu achten ist.
Seydel [2000] spricht in diesem Zusammenhang schon auf dem Wertepaar –a=b=5 basierende Rechnungen eine hinreichende Genauigkeit zu. Zum anderen wird die x-Achse in K+1 äquidistante Punkte mit dem Abstand ∆x = (b − a) / K eingeteilt, während der Definitionsbereich von τ ∈ [0, 0.5 * σ^2 * T] durch Z+1 äquidistante Punkte mit dem Abstand ∆τ = 0.5 * σ^2 * T / Z genähert wird. Anhand der Formulierungen xi = a + i∆x für i = 0, ..., K; τj = j∆τ für j = 0, ..., Z lässt sich dann ein zweidimensionales Gitter gemäß Abb.1 beschreiben. Infolgedessen wird die kontinuierliche Funktion U(x,τ) mittels der Methode finiter Differenzen nur an der endlichen Menge Knoten (xi,τj) untersucht.
Hierbei soll ui^j als exakte Lösung von U(xi,τj) und die durch finite Differenzen unter Vernachlässigung des Fehlerterms O(·) approximierte Lösung als vi^j bezeichnet werden, die unter gewissen Voraussetzungen konvergieren, wie noch zu zeigen sein wird. Für den Fall europäischer Optionen ist der Approximationsfehler unmittelbar als Differenz aus analytischer Lösung der Black-Scholes-Gleichung und der Näherung durch Verfahren finiter Differenzen bestimmbar.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung führt in die Notwendigkeit numerischer Methoden zur Optionsbewertung ein, da die Black-Scholes-Gleichung nur für europäische Optionen analytisch lösbar ist.
2 Konzeptioneller Rahmen finiter Differenzen zur Optionspreisbestimmung: Dieses Kapitel erläutert die Transformation der Black-Scholes-Gleichung in die physikalische Diffusionsgleichung und legt die mathematischen Grundlagen für die Diskretisierung des Lösungsraums.
3 Verfahren finiter Differenzen: Es werden explizite sowie implizite Verfahren (wie das vollständig implizite und das Crank-Nicolson-Verfahren) hergeleitet, hinsichtlich ihrer Stabilität untersucht und mittels numerischer Beispiele in Matlab illustriert.
4 Bewertung amerikanischer Optionen mittels finiter Differenzen: Das Kapitel erweitert den Bewertungsansatz auf amerikanische Optionen, indem diese als freie Randwertprobleme modelliert und mittels des Projektions-SOR-Algorithmus gelöst werden.
5 Schlussbetrachtung: Die Arbeit schließt mit einer Würdigung der Finite-Differenzen-Methode als Standardansatz zur numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen im finanzmathematischen Umfeld.
Schlüsselwörter
Finite Differenzen, Black-Scholes-Modell, Optionsbewertung, Diskretisierung, Numerische Mathematik, Amerikanische Optionen, Explizites Verfahren, Implizites Verfahren, Crank-Nicolson, Stabilität, Konvergenz, Matlab, Randwertprobleme, Finanzderivate, Differentialgleichungen.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der numerischen Bewertung von Optionen mittels finiter Differenzen-Verfahren, um Alternativen zu analytisch nicht lösbaren Modellen zu schaffen.
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Die zentralen Themen umfassen die mathematische Transformation von Differentialgleichungen, die Diskretisierung von Variablen, die Stabilitätsanalyse numerischer Algorithmen und die Bewertung amerikanischer Optionen.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das Ziel ist die Entwicklung einer Methodik zur Optionsbewertung, die sowohl europäische als auch amerikanische Optionen abdeckt und durch eigene Implementierungen in Matlab praktisch nachvollziehbar gemacht wird.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit nutzt Methoden finiter Differenzen, insbesondere explizite Verfahren, das vollständig implizite Verfahren, das Crank-Nicolson-Verfahren sowie das θ-Verfahren, ergänzt durch SOR-Algorithmen für freie Randwertprobleme.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die theoretische Fundierung, die detaillierte Darstellung und Stabilitätsprüfung verschiedener numerischer Lösungsverfahren sowie die Anwendung dieser Verfahren auf die spezifische Problematik amerikanischer Optionen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind unter anderem Finite Differenzen, Black-Scholes, Diskretisierung, numerische Stabilität, Konvergenz, amerikanische Optionen und Matlab.
Warum ist die Stabilität bei expliziten Verfahren so kritisch?
Das explizite Verfahren ist nur unter der Bedingung α ≤ 0.5 stabil. Ein Überschreiten dieses Bereichs führt zu explodierenden Rundungsfehlern, die das Ergebnis unbrauchbar machen.
Wie unterscheidet sich die Bewertung amerikanischer von europäischen Optionen in diesem Modell?
Während bei europäischen Optionen die Randbedingungen fest definiert sind, stellen amerikanische Optionen freie Randwertprobleme dar, bei denen der optimale Ausübungszeitpunkt ("Aufsprungpunkt") Teil des zu lösenden Problems ist.
Welche Rolle spielt die Matlab-Implementierung für die Arbeit?
Die Matlab-Codes dienen der praktischen Illustration der theoretischen Lösungsverfahren und ermöglichen die direkte Verifizierung der theoretisch hergeleiteten Konvergenz- und Genauigkeitseigenschaften.
- Quote paper
- Michael Czirr (Author), 2007, Finite Differenzen Methoden, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/71930
