Fundamentaler Bestandteil mathematischer Modelle zur Bewertung von Optionen auf Basiswerte wie Aktien stellt die Lösung partieller Differentialgleichungen dar, deren Ausgestaltung von spezifischen Annahmen unter anderem hinsichtlich der Verteilung von Renditen, der Konstanz von Modellparametern und der Berücksichtigung von Steuern und Gebühren abhängt. Da die Herleitung des theoretischen Rahmens adäquater Bewertungsmodelle nicht Gegenstand dieser Arbeit ist, soll ohne weitere Kritik der einschneidenden Annahmen analog zur ausgewerteten Literatur die Black- Scholes-Differentialgleichung1 als Ausgangspunkt der Preisbestimmung für Aktienoptionen herangezogen werden.2 Die Notwendigkeit des Einsatzes numerischer Methoden, zu denen neben den Verfahren finiter Differenzen auch Monte-Carlo-, Baum- und Finite-Elemente-Modelle zählen, liegt dann darin begründet, dass die Black-Scholes-Gleichung nur im Fall europäischer Optionen analytisch lösbar ist, so dass für die Menge der übrigen Optionsvarianten nur numerische Verfahren die Generierung eines quantitativen Ergebnisses ermöglichen. Erstmalig von Brennan/Schwartz [1977] auf die Bewertung amerikanischer Optionen angewandt, sieht der Grundgedanke der Finite- Differenzen-Methode die Zerlegung der zugrundeliegenden Differentialgleichung in ein endliches System von Differenzengleichungen vor und liefert infolgedessen eine diskrete Approximation der kontinuierlichen Differentialgleichung.3 Aus der iterativen Vorgehensweise dieses Verfahrens resultiert, dass Optionswerte stets für eine Fläche von Kursen des Basiswertes sowie der Optionsrestlaufzeit ermittelt werden und sich nicht wie in geschlossenen Lösungsansätzen auf die alleinige Optionspreisberechnung zu einem gewissen Kurs und Zeitpunkt beschränkt wird. Ziel dieser Arbeit ist es, die Methodik finiter Differenzen zur Optionspreisbestimmung am Beispiel europäischer Optionen zu entwickeln, auf die praktisch relevantere Bewertung amerikanischer Optionen auszuweiten und durch numerische Beispiele der im Anhang befindlichen Matlab 7.1 Implementierungen zu illustrieren.
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1 Vgl. Black/Scholes, 1973, S.673ff.
2 Vgl. Wilmott et al., 1996, S.262 ; Higham, 2004, S.237 ; Seydel, 2000, S.77.
3 Vgl. Brennan/Schwartz, 1997, S.449ff.; Hull, 2006, S.506; Wilmott et al., 1996, S.261.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Konzeptioneller Rahmen finiter Differenzen zur Optionspreisbestimmung
- Finite Differenzen-Approximation
- Diskretisierung mittels finiter Differenzen
- Verfahren finiter Differenzen
- Das explizite Verfahren
- Das Gleichungssystem
- Stabilität, lokale Genauigkeit und Konvergenz
- Numerisches Beispiel
- Die impliziten Verfahren
- Das vollständig implizite Verfahren
- Das Crank-Nicolson-Verfahren
- Das θ-Verfahren
- Numerisches Beispiel
- Das explizite Verfahren
- Bewertung amerikanischer Optionen mittels finiter Differenzen
- Amerikanische Optionen als freie Randwertprobleme
- Numerisches Beispiel
- Schlussbetrachtung
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit befasst sich mit der Anwendung der Finite-Differenzen-Methode zur Preisbestimmung von Optionen. Der Fokus liegt auf der Entwicklung der Methodik für europäische Optionen und der Erweiterung auf die Bewertung von amerikanischen Optionen. Die Arbeit zielt darauf ab, die praktische Anwendung der Methode zu illustrieren und anhand numerischer Beispiele die Funktionsweise zu verdeutlichen.
- Konzeptioneller Rahmen finiter Differenzen zur Optionspreisbestimmung
- Verfahren finiter Differenzen für europäische Optionen (explizit, implizit, Crank-Nicolson)
- Bewertung amerikanischer Optionen mit finiten Differenzen
- Numerische Beispiele zur Veranschaulichung der Methode
- Praktische Anwendung der Finite-Differenzen-Methode in der Optionspreisbestimmung
Zusammenfassung der Kapitel
- Einleitung: Diese Einleitung führt in die Thematik der Optionspreisbestimmung ein und erläutert die Bedeutung der Black-Scholes-Differentialgleichung und die Notwendigkeit numerischer Methoden.
- Konzeptioneller Rahmen finiter Differenzen zur Optionspreisbestimmung: Dieses Kapitel beschreibt die grundlegenden Konzepte der Finite-Differenzen-Methode zur Optionspreisbestimmung, einschließlich der Finite-Differenzen-Approximation und der Diskretisierung mittels finiter Differenzen.
- Verfahren finiter Differenzen: Dieses Kapitel präsentiert die verschiedenen Verfahren finiter Differenzen, darunter das explizite Verfahren, die impliziten Verfahren (vollständig implizit, Crank-Nicolson) und das θ-Verfahren. Die Stabilität, die lokale Genauigkeit und die Konvergenz der Verfahren werden analysiert, und es werden numerische Beispiele für die Berechnung von europäischen Optionen gezeigt.
- Bewertung amerikanischer Optionen mittels finiter Differenzen: Dieses Kapitel befasst sich mit der Bewertung amerikanischer Optionen mit Hilfe der Finite-Differenzen-Methode. Es werden die Besonderheiten amerikanischer Optionen als freie Randwertprobleme erläutert und es wird ein numerisches Beispiel für die Preisberechnung eines amerikanischen Puts präsentiert.
Schlüsselwörter
Die Arbeit konzentriert sich auf die Finite-Differenzen-Methode als numerisches Verfahren zur Optionspreisbestimmung. Sie behandelt die Anwendung der Methode für europäische und amerikanische Optionen, wobei die Black-Scholes-Differentialgleichung als Grundlage dient. Wichtige Schlüsselbegriffe sind: Optionspreisbestimmung, Finite-Differenzen-Methode, explizite Verfahren, implizite Verfahren, Crank-Nicolson, amerikanische Optionen, europäische Optionen, Black-Scholes-Modell.
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- Michael Czirr (Autor), 2007, Finite Differenzen Methoden, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/71930
