Die Methode der Total Least Squares (TLS) produziert einen korrekten Fit der Daten wenn sowohl der Beobachtungsvector b (m×1) wie auch die Design Matrix A (m×n) Fehler enthalten. Dieser Artikel geht auf die Methode der TLS ein und vergleicht sie mit der Methode der Ordinary Least Squares (OLS). Weiters wird mit Hilfe der Singuar Value Decomposition (SVD) eine genaue Analyse der TLS präsentiert.
Einleitung:
Das Konzept der Total Least Squares (TLS) ist eine Datenschätztechnik, die statistische und numerische Methoden zusammenführt um Probleme zu lösen, die in einer grossen Anzahl von Anwendungen auftauchen. Im Grunde handelt es sich um eine Schätzmethode für lineare Parameter, wie sie in zahlreichen Gebieten der Wissenschaft und Technik auftreten. Dazu zählen unter anderem die Signalverarbeitung, die Systemtheorie, das allgemeine Ingenieurwesen, die Statistik, die Physik wie auch die Ökonomie, die Biologie etc. Die Methode der TLS trägt mehrere Namen und ist je nach Fachbereich auch als Orthogonalregression oder als das „errors-in-variables" Modell bekannt.
Dieser Artikel stellt die Methode der TLS dem bereits bekannten Ansatz zur Schätzung linearer Parameter mittels Regressionsanalyse bzw. Ordinary Least Squares (OLS) gegenüber. Weiters werden mehrere Aspekte des TLS Problems diskutiert und mittels der Singular Value Decomposition (SVD) die Analyse des Problems durchgeführt.
Der Rest dieses Artikels ist wie folgt gegliedert: Abschnitt 2 führt mittels eines Beispiels zu OLS und TLS in die Methoden ein und gibt eine allgemeine Einführung in die lineare Parameterschätzung. In Abschnitt 3 werden die OLS der TLS Methode gegenübergestellt sowie die Prinzipien der TLS besprochen. Mittels der SVD wird eine Lösung der TLS angegeben. Der Autor stützt sich dabei vor allem auf die Beiträge von Golub und Van Loan (1980), Van Huffel und Vandewalle (1991) wie auch Nievergelt (1994). Abschnitt 4 nennt eine Reihe von Anwendungen der TLS, während die Hauptergebnisse dieses Artikels und der durchgeführten Analyse in Abschnitt 5 zusammengefasst werden.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Einführung in die lineare Parameterschätzung
2.1 Ein einfaches Beispiel
2.1.1 Die Lösung des Beispiels mittels OLS
2.1.2 Die Lösung des Beispiels mittels TLS
3 Die Prinzipien des TLS Problems
3.1 Das OLS Problem
3.2 Das TLS Problem und die SVD
3.2.1 Die Singular Value Decomposition
3.2.2 Anwendung der SVD auf das Problem der TLS
4 Anwendungen der TLS
5 Schlusswort und ein letztes Beispiel
5.1 Schlussbeispiel
5.2 Zusammenfassung
Zielsetzung und Themen der Arbeit
Die vorliegende Arbeit zielt darauf ab, die Methode der Total Least Squares (TLS) als Datenschätztechnik einzuführen und sie der klassischen Ordinary Least Squares (OLS) Regression gegenüberzustellen. Die zentrale Forschungsfrage untersucht dabei, wie mathematische Probleme gelöst werden können, wenn sowohl die Beobachtungsdaten als auch die Designmatrix Fehler enthalten.
- Vergleich zwischen OLS- und TLS-Methodik bei linearer Parameterschätzung.
- Analyse der Singular Value Decomposition (SVD) zur Lösung von TLS-Problemen.
- Geometrische Interpretation von Schätzverfahren bei verrauschten Daten.
- Diskussion der Anwendungsfelder für TLS in Wissenschaft und Technik.
- Numerische Implementierung der TLS-Algorithmen.
Auszug aus dem Buch
2 Einführung in die lineare Parameterschätzung
Jede lineare Methode zur Parameterbestimmung beginnt mit einem Modell, dass durch eine lineare Gleichung beschrieben werden kann: 1x1 + ... + nxn = β (1). Hier bezeichnen 1, ..., n und β die Variablen und x = [x1, ..., xn]^T ∈ R^n stellt einen Vektor von Parametern dar, der das System charakterisiert.
Das Basisproblem für die angewandte Mathematik ist es nun, die wahren aber unbekannten Parameter aufgrund von bestimmten Messungen der Variablen zu finden. Dies ergibt im Regelfall ein überdeterminiertes System von m linearen Gleichungen (m > n). Dieses System schreiben wir wie folgt: Ax ≈ b oder Ax + ε = b (2). Die i-te Spalte der Daten- oder Designmatrix A ∈ R^m×n und der Vektor b ∈ R^m enthalten die Messungen der Variablen 1, ..., n respektive β.
In der klassischen OLS-Methode wird angenommen, dass die Messungen aij der Daten- beziehungsweise Designmatrix aus (2) fehlerfrei sind. Damit werden alle Fehler in den Daten im Vektor der Beobachtungen b beziehungsweise im Fehlervektor ε aufgefangen. Diese Annahme über die Fehler ist allerdings oft unrealistisch: Modellfehler, menschliche Fehler, Fehler im Datensampling, Messprobleme, usw. können auch zu Ungenauigkeiten der Designmatrix A führen.
Das TLS Verfahren ist eine angemessene Fittingmethode, wenn sowohl die Beobachtungen b als auch die Designmatrix A Fehler enthalten. Es handelt sich dabei darum, den „besten“ Teilraum zu den Datenmessungen (aT_i, bi), i = 1, ..., m und aT_i der i-te Zeilenvektor von A. Im einfachsten Basismodell der OLS werden die Fehler εi mit Erwartungswert Null und konstanter Varianz realisiert, also E(εi) = 0 und Var(εi) = σ^2. Im Falle der TLS gilt für die Statistik auf ähnliche Weise E[b - Ax|A realisiert] = 0 und E((b - Ax)^2|A realisiert) = σ^2 (3).
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Dieses Kapitel motiviert die Notwendigkeit von TLS und skizziert die wissenschaftliche Herangehensweise des Artikels.
2 Einführung in die lineare Parameterschätzung: Es werden grundlegende mathematische Modellierungen vorgestellt und der fundamentale Unterschied zwischen OLS und TLS bei fehlerbehafteten Designmatrizen erläutert.
3 Die Prinzipien des TLS Problems: Dieses Kernkapitel führt die SVD als Werkzeug ein, um das TLS-Problem mathematisch präzise zu formulieren und zu lösen.
4 Anwendungen der TLS: Hier werden praktische Einsatzgebiete wie EIV-Modelle und Signalverarbeitung diskutiert, in denen eine symmetrische Fehlerbetrachtung erforderlich ist.
5 Schlusswort und ein letztes Beispiel: Ein numerisches Beispiel veranschaulicht die theoretischen Ausführungen, gefolgt von einer abschließenden Synthese der Erkenntnisse.
Schlüsselwörter
Total Least Squares, Ordinary Least Squares, Parameterschätzung, Singular Value Decomposition, Orthogonalregression, Errors-in-Variables Modell, lineare Gleichungssysteme, statistische Modellierung, numerische Analyse, Frobenius-Norm, Residuenanalyse, Datenmodellierung.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die Total Least Squares (TLS) Methode als Alternative zur herkömmlichen OLS-Regression für Szenarien, in denen Messfehler nicht nur in den Beobachtungsvariablen, sondern auch in der Designmatrix auftreten.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zentral sind die lineare Algebra, numerische Optimierungsverfahren, statistische Fehlermodellierung und die Anwendung der SVD in der angewandten Mathematik.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Ziel ist es, die mathematischen Prinzipien der TLS-Methode darzulegen, ihre Vorteile gegenüber der OLS-Methode aufzuzeigen und die notwendigen Algorithmen für eine exakte Berechnung zu präsentieren.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit nutzt Methoden der Matrixanalysis, insbesondere die Singular Value Decomposition (SVD), sowie das Eckart-Young-Mirsky-Theorem zur Matrixapproximation.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil analysiert die mathematischen Bedingungen der TLS-Lösung, die Einbettung in überdeterminierte Gleichungssysteme und die geometrische Interpretation der orthogonalen Minimierung.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind TLS, OLS, SVD, Fehlervektoren, Orthogonalregression und lineare Parameterschätzung.
Wie unterscheidet sich TLS von OLS in Bezug auf die Datenqualität?
Während OLS davon ausgeht, dass die Designmatrix fehlerfrei ist, berücksichtigt TLS Fehler in sämtlichen Variablen, was zu realistischeren Schätzergebnissen führt, wenn die Daten verrauscht sind.
Was ist die Bedeutung der Singular Value Decomposition in diesem Kontext?
Die SVD ist essenziell, um das TLS-Problem durch eine Rangreduktion der Matrix zu lösen und die Korrekturterme zur Optimierung der Parameter zu bestimmen.
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- David Stadelmann (Author), 2007, Eine Analyse des 'Total Least Squares'-Problems, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/73678
