Die Methode der Total Least Squares (TLS) produziert einen korrekten Fit der Daten wenn sowohl der Beobachtungsvector b (m×1) wie auch die Design Matrix A (m×n) Fehler enthalten. Dieser Artikel geht auf die Methode der TLS ein und vergleicht sie mit der Methode der Ordinary Least Squares (OLS). Weiters wird mit Hilfe der Singuar Value Decomposition (SVD) eine genaue Analyse der TLS präsentiert.
Einleitung:
Das Konzept der Total Least Squares (TLS) ist eine Datenschätztechnik, die statistische und numerische Methoden zusammenführt um Probleme zu lösen, die in einer grossen Anzahl von Anwendungen auftauchen. Im Grunde handelt es sich um eine Schätzmethode für lineare Parameter, wie sie in zahlreichen Gebieten der Wissenschaft und Technik auftreten. Dazu zählen unter anderem die Signalverarbeitung, die Systemtheorie, das allgemeine Ingenieurwesen, die Statistik, die Physik wie auch die Ökonomie, die Biologie etc. Die Methode der TLS trägt mehrere Namen und ist je nach Fachbereich auch als Orthogonalregression oder als das „errors-in-variables" Modell bekannt.
Dieser Artikel stellt die Methode der TLS dem bereits bekannten Ansatz zur Schätzung linearer Parameter mittels Regressionsanalyse bzw. Ordinary Least Squares (OLS) gegenüber. Weiters werden mehrere Aspekte des TLS Problems diskutiert und mittels der Singular Value Decomposition (SVD) die Analyse des Problems durchgeführt.
Der Rest dieses Artikels ist wie folgt gegliedert: Abschnitt 2 führt mittels eines Beispiels zu OLS und TLS in die Methoden ein und gibt eine allgemeine Einführung in die lineare Parameterschätzung. In Abschnitt 3 werden die OLS der TLS Methode gegenübergestellt sowie die Prinzipien der TLS besprochen. Mittels der SVD wird eine Lösung der TLS angegeben. Der Autor stützt sich dabei vor allem auf die Beiträge von Golub und Van Loan (1980), Van Huffel und Vandewalle (1991) wie auch Nievergelt (1994). Abschnitt 4 nennt eine Reihe von Anwendungen der TLS, während die Hauptergebnisse dieses Artikels und der durchgeführten Analyse in Abschnitt 5 zusammengefasst werden.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Einführung in die lineare Parameterschätzung
- Ein einfaches Beispiel
- Die Lösung des Beispiels mittels OLS
- Die Lösung des Beispiels mittels TLS
- Ein einfaches Beispiel
- Die Prinzipien des TLS Problems
- Das OLS Problem
- Das TLS Problem und die SVD
- Die Singular Value Decomposition
- Anwendung der SVD auf das Problem der TLS
- Anwendungen der TLS
- Schlusswort und ein letztes Beispiel
- Schlussbeispiel
- Zusammenfassung
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Dieser Artikel vergleicht die Methode der Total Least Squares (TLS) mit der Methode der Ordinary Least Squares (OLS) zur linearen Parameterschätzung. Die Zielsetzung ist es, die Prinzipien von TLS zu erläutern und anhand der Singular Value Decomposition (SVD) eine detaillierte Analyse zu präsentieren. Der Fokus liegt auf der Anwendung von TLS bei fehlerbehafteten Daten sowohl in der Designmatrix als auch im Beobachtungsvektor.
- Vergleich von TLS und OLS
- Anwendung der SVD zur Lösung des TLS Problems
- Analyse des TLS Verfahrens bei fehlerbehafteten Daten
- Einführung in die lineare Parameterschätzung
- Beispiele zur Veranschaulichung von OLS und TLS
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung: Der Artikel führt in die Total Least Squares (TLS) Methode ein, eine Schätztechnik, die statistische und numerische Methoden kombiniert. Er hebt die breite Anwendbarkeit von TLS in verschiedenen wissenschaftlichen und technischen Bereichen hervor und kündigt den Vergleich mit der Ordinary Least Squares (OLS) Methode an. Die Struktur des Artikels und die verwendeten Quellen werden ebenfalls vorgestellt.
Einführung in die lineare Parameterschätzung: Dieses Kapitel legt die Grundlagen der linearen Parameterschätzung, indem es ein allgemeines lineares Modell beschreibt und die Problematik überbestimmter Gleichungssysteme darstellt. Es wird zwischen Modellvariablen und Messwerten unterschieden und der Unterschied zwischen der klassischen OLS-Annahme (fehlerfreie Designmatrix) und der TLS-Methode (fehlerbehaftete Designmatrix und Beobachtungsvektor) erklärt. Der Fokus liegt auf der Darstellung des Problems, bevor im nächsten Kapitel die Lösungsansätze näher beleuchtet werden.
Die Prinzipien des TLS Problems: In diesem Kapitel werden die OLS und TLS Methoden detailliert gegenübergestellt. Es wird erläutert, warum die OLS Methode bei fehlerbehafteten Designmatrizen ungeeignet ist und wie die TLS Methode diese Einschränkung umgeht. Ein wichtiger Aspekt ist die Einführung der Singular Value Decomposition (SVD) als Werkzeug zur Lösung des TLS Problems. Die mathematischen Grundlagen der SVD werden erläutert und deren Anwendung auf das TLS Problem wird skizziert.
Anwendungen der TLS: Dieses Kapitel (mangels detaillierter Information im Ausgangstext nur kurz skizziert) nennt verschiedene Anwendungsbereiche der TLS Methode in unterschiedlichen wissenschaftlichen Disziplinen. Es unterstreicht die Vielseitigkeit und die Bedeutung der TLS Methode für die Datenanalyse.
Schlüsselwörter
Total Least Squares (TLS), Ordinary Least Squares (OLS), lineare Parameterschätzung, Singular Value Decomposition (SVD), Fehleranalyse, Orthogonalregression, errors-in-variables Modell, Datenfitting, Regressionsanalyse.
Häufig gestellte Fragen (FAQ) zu: Vergleich von Total Least Squares (TLS) und Ordinary Least Squares (OLS)
Was ist der Inhalt dieses Artikels?
Der Artikel vergleicht die Methoden der Total Least Squares (TLS) und der Ordinary Least Squares (OLS) zur linearen Parameterschätzung. Er erläutert die Prinzipien von TLS, insbesondere im Kontext fehlerbehafteter Daten in der Designmatrix und im Beobachtungsvektor, und präsentiert eine detaillierte Analyse unter Verwendung der Singular Value Decomposition (SVD). Der Artikel beinhaltet eine Einleitung, eine Einführung in die lineare Parameterschätzung, eine detaillierte Betrachtung des TLS-Problems im Vergleich zu OLS, eine Übersicht über Anwendungen von TLS und abschließende Beispiele und eine Zusammenfassung.
Welche Methoden werden verglichen?
Der Artikel vergleicht die Total Least Squares (TLS) Methode mit der Ordinary Least Squares (OLS) Methode. Beide Methoden dienen der linearen Parameterschätzung, unterscheiden sich aber in ihrer Behandlung von Fehlern in den Daten.
Was ist der Unterschied zwischen TLS und OLS?
OLS geht von einer fehlerfreien Designmatrix aus, während TLS sowohl Fehler in der Designmatrix als auch im Beobachtungsvektor berücksichtigt. Dies macht TLS besonders geeignet für Anwendungen mit fehlerbehafteten Daten.
Welche Rolle spielt die Singular Value Decomposition (SVD)?
Die SVD ist ein wichtiges Werkzeug zur Lösung des TLS-Problems. Der Artikel erläutert die mathematischen Grundlagen der SVD und ihre Anwendung zur Berechnung der TLS-Lösung.
Welche Themen werden im Artikel behandelt?
Die wichtigsten Themen sind: Lineare Parameterschätzung, Vergleich von TLS und OLS, Anwendung der SVD zur Lösung des TLS-Problems, Analyse des TLS-Verfahrens bei fehlerbehafteten Daten, Beispiele zur Veranschaulichung von OLS und TLS.
Welche Kapitel umfasst der Artikel?
Der Artikel gliedert sich in folgende Kapitel: Einleitung, Einführung in die lineare Parameterschätzung (mit Beispielen), Die Prinzipien des TLS Problems (einschließlich SVD), Anwendungen der TLS und Schlusswort mit einem letzten Beispiel und Zusammenfassung.
Für wen ist dieser Artikel relevant?
Dieser Artikel richtet sich an Leser, die sich mit linearen Parameterschätzungsmethoden auseinandersetzen, insbesondere in Kontexten, in denen die Daten fehlerbehaftet sind. Wissenschaftler und Ingenieure, die mit Datenanalyse und -modellierung arbeiten, könnten von diesem Artikel profitieren.
Welche Schlüsselwörter beschreiben den Artikel?
Wichtige Schlüsselwörter sind: Total Least Squares (TLS), Ordinary Least Squares (OLS), Lineare Parameterschätzung, Singular Value Decomposition (SVD), Fehleranalyse, Orthogonalregression, Errors-in-variables Modell, Datenfitting, Regressionsanalyse.
Wo finde ich Beispiele für OLS und TLS?
Der Artikel enthält ein einfaches Beispiel in der Einführung zur linearen Parameterschätzung, um die beiden Methoden zu veranschaulichen. Ein weiteres Beispiel findet sich im Schlussteil.
Wie wird das TLS Problem gelöst?
Das TLS Problem wird mithilfe der Singular Value Decomposition (SVD) gelöst. Der Artikel beschreibt detailliert den Lösungsweg.
- Citar trabajo
- David Stadelmann (Autor), 2007, Eine Analyse des 'Total Least Squares'-Problems, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/73678
