Schätzung von Volatilitäten und Korrelationen

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

1 Vorwort

2 Hintergrund
2.1 Volatilität als Standardabweichung
2.2 Ansätze zur Berechnung der Volatilität
2.3 Merkmale von Volatilitätszeitreihen
2.3.1 Clustering-Effekt
2.3.2 Leverage-Effekt
2.3.3 Mean-Reversion-Effekt

3 Volatilitätsmodelle
3.1 Schätzung der Volatilität anhand historischer Daten
3.1.1 Das ARCH(p)-Modell
3.1.2 Das GARCH(p,q)-Modell
3.1.3 Das EWMA-Modell
3.1.4 Beispiele zur Schätzung und Prognose von Volatilitäten
3.1.4.1 EWMA-Modell
3.1.4.2 GARCH(1,1)-Modell
3.1.4.3 Prognose zukünftiger Volatilitäten
3.1.5 Ausblick
3.2 Schätzung der Volatilität anhand von Optionspreisen

4 Korrelationen
4.1 Bedeutung der Korrelation für Finanzmärkte
4.2 Fortschreibung der Korrelation
4.2.1 Beispiel zur Schätzung der Korrelation

5 Empirische Analyse
5.1 Modellierung der Renditen
5.2 Die Renditezeitreihen
5.3 Varianzschätzung mit EWMA und GARCH(1,1)
5.4 Schlussfolgerungen aus den empirischen Ergebnissen

6 Anhang
6.1 Tabellen
6.2 Abbildungen

7 Quellenverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Entwicklung der Handelsumsätze an der EUREX

Abbildung 2: Volatilität des DAX

Abbildung 3: Typische Charakteristika von Finanzmarktzeitreihen (DAX)

Abbildung 4: Leverage-Effekt

Abbildung 5: CAC(40)

Abbildung 6: DAX(30)

Abbildung 7: FTSE(100)

Abbildung 8: logarithmierte Renditezeitreihe CAC(40)

Abbildung 9: logarithmierte Renditezeitreihe DAX(30)

Abbildung 10: logarithmierte Renditezeitreihe FTSE(100)

Abbildung 11: Volatilität CAC(40)

Abbildung 12: Volatilität DAX(30)

Abbildung 13: Volatilität FTSE(100)

Abbildung 14: Renditeverteilung CAC(40)

Abbildung 15: Renditeverteilung DAX(30)

Abbildung 16: Renditeverteilung FTSE(100)

Abbildung 17: Autokorrelation CAC(40)

Abbildung 18: Autokorrelation DAX(30)

Abbildung 19: Autokorrelation FTSE(100)

Abbildung 20: Korrelogramm MA-3-Modell CAC(40)

Abbildung 21: Korrelogramm AR-6-Modell DAX(30)

Abbildung 22: Korrelogramm MA-2, 3, 8-Modell FTSE(100)

Abbildung 23: Autokorrelation der quadrierten Residuen CAC(40)

Abbildung 24: Autokorrelation der quadrierten Residuen DAX(30)

Abbildung 25: Autokorrelation der quadrierten Residuen FTSE(100)

Abbildung 26: EWMA- und GARCH(1,1)-Modellierung CAC(40)

Abbildung 27: EWMA- und GARCH(1,1)-Modellierung DAX(30)

Abbildung 28: EWMA- und GARCH(1,1)-Modellierung FTSE(100)

Abbildung 29: Vergleich des EWMA- Modells bei verschieden gewählten Gewichten

Abbildung 30: Prognose der zukünftigen Volatilität mit GARCH(1,1)

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Auswertung der Verteilungsformen

Tabelle 2: Q-Statistik in Abhängigkeit der zeitlichen Ordnung

Tabelle 3: Q-Statistik und Jarque-Bera-Test

Tabelle 4: ARCH-LM Test

Tabelle 5: Parameter der Modelle und Schwarz-Kriterium

Tabelle 6: GARCH(1,1)-Prozess (Normalverteilung)

Tabelle 7: GARCH(1,1)-Prozess (t-Verteilung)

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Vorwort

Die Bedeutung von Volatilitäten und Korrelationen erlangt seit einigen Jahren eine immer größer werdende Relevanz in der Finanzwelt. Die internationalen Finanzmärkte sind heute stärker korreliert als noch vor einigen Jahren. Dies zeigt beispielsweise der in Shanghai ausgelöste Kursrutsch Ende Februar, der sich an allen anderen internationalen Börsenplätzen fortsetzte. Dies liegt vor allem daran, dass Investoren heutzutage global agieren und Volkswirtschaften stärker vernetzt und damit abhängiger voneinander sind als es in der Vergangenheit der Fall war.

Die Korrelation beschreibt die statistische Beziehung zwischen verschiedenen Variablen. Anhand dieser Maßzahl ist es beispielsweise möglich, Aussagen über die Abhängigkeit von verschieden Märkten oder Basiswerten zu machen. Eine zunehmende Korrelation macht die Diversifikation von Portfolios und damit auch die Risikosteuerung zunehmend schwieriger. Deshalb setzen vor allem institutionelle Anleger verstärkt auf derivative Finanzinstrumente, das heißt Finanzprodukte deren Wert vom Kurs eines Basiswertes abhängig ist. Mit solchen Produkten ist es möglich auf jede denkbare Situation an einem Finanzmarkt zu reagieren und verschiedenste Handelsstrategien zu verfolgen. Auch Hedgefonds die überdurchschnittlich hohe Renditen versprechen, machen einen starken Gebrauch von Derivaten, da hier die Möglichkeit besteht, Hebeleffekte zu nutzen und dadurch höhere Erträge zu generieren. Gerade diese Anlageklasse hat in den letzten Jahren einen großen Zuwachs an Anlegergeldern verzeichnen können und verfügt damit über ein hohes Maß an Liquidität. All diese Gründe führen dazu, dass Derivate immer populärer werden, was sich schließlich auch in den Handelsvolumen der Terminbörsen widerspiegelt, die in den letzten Jahren stark gestiegen sind (Abbildung 1).

Die Basis für die Preisberechnung von Derivaten bilden verschiedene Preisberechnungsmodelle. Dabei ist die Volatilität, das heißt die Schwankungsintensität des jeweiligen Basiswerts, ein zentraler Bestandteil und demnach von enormer Bedeutung. Im berühmten Black-Scholes-Modell wurde implizit angenommen, dass relative Aktienkursschwankungen mit konstanter Varianz schwanken und normalverteilt sind.^[1] Allerdings lässt sich empirisch feststellen, dass starke Kursbewegungen häufiger auftreten als die Normalverteilungsannahme suggeriert. Diese Tatsache macht es notwendig die Volatilitäten in der Zukunft möglichst genau zu schätzen, damit eine faire Bewertung der Optionen möglich wird und das zukünftige Risiko abgeschätzt werden kann. Somit ist die Schätzung der Volatilität von großer Bedeutung für das Risikomanagement und die Optionsbewertung.

Die Volatilität gibt allerdings keinen Aufschluss über die zukünftige Rendite des Basiswertes, sondern vielmehr über deren Flatterhaftigkeit, also wie stark der Basiswert in einem bestimmten Zeitraum um seinen Mittelwert schwankt. Allerdings konnte beobachtet werden, dass in Zeiten von Kursverlusten die Volatilität steigt,^[2] das heißt die Volatilität ist negativ mit der Rendite korreliert. Deshalb scheint sich ein Investment in einen Volatilitätsindex, wie beispielsweise in den VDAX, zusätzlich zum bestehenden Depot zur Diversifikation zu eignen.

In den nachfolgenden Kapiteln werden zunächst Hintergrundinformationen zusammengefasst, die für das Verständnis über die Wirkungsweise von Volatilitäten hilfreich sind. In Kapitel 2 werden verschiedenen Volatilitätsmodelle vorgestellt, wobei der Schwerpunkt auf Volatilitätsmodellen auf Basis historischer Daten liegt. Anschließend folgt eine abrissartige Darstellung über Korrelationen und deren Prognostizierbarkeit. Im dritten Teil werden exemplarisch drei Renditezeitreihen europäischer Aktienindizes empirisch auf typische Charakteristika von Finanzmarktzeitreihen hin untersucht und beschrieben. Schließlich soll versucht werden verschiedene Renditemodelle für jede der drei Zeitreihen zu schätzen, dessen Güte dann anhand bestimmter statistischer Maßgrößen beurteilt und verglichen werden soll.

2 Hintergrund

Das bekannteste in der Praxis benutze Modell zur Berechnung von Optionspreisen ist die Black–Scholes-Formel.^[3] Diese Formel geht auf die zwei Wissenschaftler Fisher Black und Myron Scholes zurück, die 1973 auf Grundlage früherer Untersuchungen von Merton ein Modell zur Bewertung von Optionen entwickelten.

Nach diesem Modell sind entscheidende Parameter für die Optionsprämie: die Restlaufzeit, der Kurs des Basiswertes, der Zins, der Basispreis und die Volatilität.^[4] Im Gegensatz zu den ersten vier Einflussgrößen kann die Volatilität nicht am Markt beobachtet oder selbst festgelegt werden. Die Volatilität muss für die Restlaufzeit geschätzt werden, bleibt aber dennoch eine Unbekannte.^[5] Bevor die unterschiedlichen Methoden zur Berechnung der Volatilität erläutert werden, wollen wir vorher auf das Wesen und die Eigenschaften der Volatilität eingehen.

2.1 Volatilität als Standardabweichung

Die Volatilität (lat. Volare = flattern) beschreibt die Standardabweichung der Rendite eines Basisobjekts (z.B. Aktie, Index, Anleihe), wenn diese Rendite mit stetiger Verzinsung ausgedrückt wird.^[6] Das heißt, sie ist ein Maß für die durchschnittlichen Abweichungen vom Mittelwert innerhalb eines bestimmten Zeitraumes. Die Volatilität ist umso größer, je stärker die Rendite schwankt. Sie ist also ein Maß für die Flatterhaftigkeit eines Basiswertes. Wie bereits erwähnt, kann aber keine Aussage über die Richtung der Schwankung oder die Profitabilität des Basiswertes ausgesagt werden.^[7] Die Standardabweichung, also die Volatilität, wird mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bezeichnet und in der Regel durch folgende Formel definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wobei p die Anzahl der Beobachtungen und (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) die stetige Rendite aus den Schlusskursen (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) von Tag i und vom Vortag (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) ergibt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diskret wird die Rendite folgendermaßen bestimmt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das arithmetische Mittel aus der stetigen Renditeänderung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist wie folgt definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Volatilität wird im Allgemeinen für die Optionspreisbildung in Jahren angegeben.^[8] Wenn man von 252 Handelstagen pro Jahr ausgeht, ist eine Hochrechnung der Volatilitäten auf das Jahr daher durch folgende Formel möglich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Anhand der annualisierten Standardabweichung ist es möglich die Schwankung verschiedener Basiswerte miteinander zu vergleichen. Je höher diese Schwankungen sind, umso höher ist das Risiko in diesen Basiswert zu investieren, da extreme Kursschwankungen wahrscheinlicher sind. Allerdings bergen hohe Volatilitäten nicht nur Risiken, sondern bieten zugleich Chancen auf höhere Renditen, da ein höheres systematisches Risiko nach dem Capital Asset Pricing Modell (CAPM) mit einer höheren Risikoprämie kompensiert wird.^[9]

Ein Grund für das Auftreten kurzfristiger Renditeänderungen, und damit auch Volatilität, ist das Bekanntwerden von unvorhergesehenen, bewertungsrelevanten Informationen, die dazu führen, dass Marktteilnehmer den Wert eines Basispreises überdenken. Dadurch verändert sich der Kurs, was die Ursache für Volatilität ist.^[10]

Die Frage nach der Ursache für Volatilitäten ist jedoch nicht eindeutig geklärt. Im Allgemeinen kann man jedoch sagen, dass in Zeiten hoher Unsicherheit die Volatilität steigt. Ein gutes Beispiel hierfür sind die Anschläge auf das World Trade Center vom 11. September 2001, worauf sich die Sicherheitslage weltweit drastisch verändert hat (Abbildung 2). Die Volatilität ist nach diesem Ereignis sprunghaft angestiegen.

2.2 Ansätze zur Berechnung der Volatilität

Wie bereits erwähnt muss die Volatilität für die Restlaufzeit einer Option geschätzt werden. Grundsätzlich nimmt die Güte der Schätzung bei einem steigendem Prognosezeitraum ab. Das bedeutet, je weiter entfernt der Zeitpunkt für die Volatilitätsschätzung in der Zukunft liegt, desto ungenauer kann sie prognostiziert werden. Grundsätzlich bieten sich dafür zwei verschiedene Schätzverfahren an.

Zum einen ist es möglich die Volatilität anhand historischer Daten zu schätzen, zum anderen kann die implizite Volatilität aus den Preisen aktuell gehandelter Optionen ermittelt werden. Dabei unterscheidet man zwischen der historischen und der impliziten Volatilität. Charakteristisch für die erstgenannte ist, dass sie vergangenheitsorientiert ist und sich, wie der Name schon sagt, an historischen Daten orientiert und dadurch ein Bild von der Vergangenheit liefert. Man geht bei diesem Ansatz davon aus, dass die Zukunft sich nicht wesentlich anders verhalten wird, als es die Vergangenheit getan hat. Typische Modelle, die historische Daten als Basis für die Schätzung zukünftiger Volatilitäten nutzen, sind Modelle der ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)-und GARCH (Generalized-ARCH)- Familie zu erwähnen, die unter Punkt 3.2 ausführlich besprochen werden.

Die implizite Volatilität dagegen liefert einen Blick in die Zukunft, indem als Basis für die Berechnung der Volatilität die beobachteten Marktpreise von Optionen benutzt werden.
Dabei wird die Volatilität über numerische Approximationsverfahren ermittelt. Als Ergebnis erhält man die vom Markt erwartete Durchschnittsvolatilität für die Restlaufzeit der Option. Die implizite Volatilität kann erheblich von der tatsächlich realisierten Volatilität abweichen. Gründe dafür werden in Punkt 3.3 diskutiert.

Empirisch ist noch nicht zweifelsfrei geklärt welches dieser grundsätzlich verschiedenen Modelle die besseren Prognosen liefert. Allerdings wird vermutet, dass implizite Volatilitäten näher an die tatsächlich realisierten Volatilitäten herankommen als Berechnungen auf Basis historischer Daten.^[11] Am Optionsmarkt ist daher die Kenntnis über die Wirkungsweise der Volatilität auf den Optionspreis immanent wichtig, da die Bewertung von Optionen mit der Schätzung der Volatilität steht oder fällt.

2.3 Merkmale von Volatilitätszeitreihen

Als Voraussetzung für die Berechnung nach dem Black-Scholes-Modell wird angenommen, dass die Volatilität konstant und normalverteilt ist. Dies lässt sich allerdings empirisch nicht bestätigen. Anhand von Zeitreihenuntersuchungen ist erkennbar, dass die Volatilität nicht konstant ist und auch der Normalverteilungsannahme nicht genügt. Bei der Analyse von Tagesrenditen sind zudem mehrere Effekte zu beobachten, auf die im Folgenden eingegangen wird, bevor die Prognosemodelle vorgestellt werden.

2.3.1 Clustering-Effekt

Der Clustering- Effekt beschreibt eine Häufung von extremen Renditeveränderungen (Abbildung 3). Anhand der Abbildung 2 ist zu erkennen, dass große Renditeänderungen nicht isoliert auftreten. Vielmehr kommen Extreme häufiger vor als es die Normalverteilungsannahme suggeriert. Das heißt, hohe Volatilitäten verweilen nach einem raschen Anstieg eine Weile auf hohem Niveau und nach einem raschen Verfall auf einem niedrigen. Tendenziell folgt einer großen Kursänderung wieder eine große Kursänderung, mit gleichem oder entgegengesetztem Vorzeichen, was als Leptokurtosis bezeichnet wird. Dieser Effekt wurde bereits 1963 von Mandelbrot beschrieben.

Eine mögliche Erklärung für dieses Phänomen liegt in der Hysteriehypothese, die besagt dass auf eine neue Information im Markt eine Überreaktion folgt. Dieser ersten Überreaktion folgt eine genau entgegengesetzte Überreaktion. Dies wiederholt sich einige Male bis sich ein Gleichgewicht einstellt.^[12]

2.3.2 Leverage-Effekt

Dieser Effekt wurde schon 1976 von Black beobachtet. Black fand heraus, dass Volatilität und Rendite negativ korreliert sind. Mit andren Worten: wenn Aktienrenditen steigen, sinken Volatilitäten. Das liegt vor allem daran, dass sinkende Aktienkurse eine Verringerung des Eigenkapitals in Relation zu den Verbindlichkeiten nach sich ziehen. Daher ist das Unternehmen in Bezug auf das Eigenkapital gehebelt. Da nun die relative Verlustgefahr für das Unternehmen gestiegen ist, vergrößert sich auch das Risiko für den Anleger. Im Allgemeinen bedeutet ein sinkender Aktienkurs einen höheren Hebel, wodurch sich das Risiko erhöht und sich in der Volatilität ausdrückt. Dies kann man empirisch nachweisen, indem man die Korrelation von historischen Volatilitäten und DAX betrachtet (Abbildung 4).

2.3.3 Mean-Reversion-Effekt

Die Volatilität tendiert nach Extremen immer wieder zu einem langfristigen Durchschnittswert (Abbildung 3). Das heißt, starke Renditeänderungen werden sich auf Dauer nicht behaupten können, sondern auf ihren langfristigen Durchschnitt zurückkehren. Mean-Reversion bildet das Gegenstück zur Random-Walk-Annahme, nach der Zeitreihen einem Zufallsprozess folgen.^[13] Wenn Zeitreihen einem solchen Prozess folgen, entsteht ein weißes Rauschen (White Noise).

Modelle der ARCH-und GARCH-Familie beziehen einige oder alle drei Effekte in ihre Berechnung mit ein und sollten daher zumindest theoretisch brauchbare Ergebnisse für die Prognose der Volatilität liefern.

[...]

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^[1] Vgl. Hull (2006), S. 348.

^[2] Dieser Effekt wird als Leverage-Effekt bezeichnet und wird in Kapitel 2.3 diskutiert.

^[3] Vgl. Schmidt (2002), S. 219.

^[4] Vgl. Dartsch (1999), S. 67.

^[5] Vgl. Bolek (1999), S. 31.

^[6] Vgl. Hull (2006), S. 351.

^[7] Vgl. Goldman Sachs (2006), S. 7.

^[8] Vgl. Hull (2006), S. 529.

^[9] Vgl. Spremann (2003), S. 253.

^[10] Vgl. Bolek (1999), S. 49 ff.

^[11] Vgl. Goldmann Sachs (2006), S.15.

^[12] Vgl. Bolek (1999), S. 58 ff.

^[13] Vgl. Schira (2003), S. 409 ff.