Zur Anwendung heuristischer Hilfsmittel beim Lösen von Sachaufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Sachrechnen
2.1 Begriffsklärung
2.1.1 Historischer Überblick
2.1.2 Neues Sachrechnen
2.2 Aspekte des Sachrechnens
2.2.1 Sachrechnen als Lernstoff
2.2.2 Sachrechnen als Lernprinzip
2.2.3 Sachrechnen als Lernziel
2.3 Ziele des Sachrechnens
2.4 Einteilung von Aufgaben zum Sachrechnen
2.4.1 Traditionelle Einteilung
2.4.2 Einteilung nach Franke
2.5 Lösungsprozess beim Sachrechnen
2.6 Voraussetzungen zum Lösen von Sachaufgaben
2.7 Schwierigkeiten und Fehlerursachen
2.7.1 Sachstruktur
2.7.2 Sprachlich-syntaktische Struktur
2.7.3 Mathematische Struktur
2.7.4 Prozessstruktur

3. Heuristik
3.1 Begriffsklärung
3.2 Was sind heuristische Strategien und Prinzipien?
3.2.1 Analogiebildung
3.2.2 (Systematisches) Probieren
3.2.3 Begrenzung des Suchraumes
3.2.4 Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten
3.2.5 Ziel-Mittel-Analyse
3.2.6 Zerlegen
3.3 Heuristische Hilfsmittel
3.3.1 Verbal-abstrakte Hilfsmittel
3.3.2 Konkrete Hilfsmittel
3.3.3 Grafische Hilfsmittel
3.4 Zur Lehrbarkeit heuristischer Hilfsmittel
3.4.1 Handlungsorientierungen
3.4.2 Üben von Teilhandlungen
3.4.3 Reflektion über die Lösung und den Lösungsweg
3.5 Verwenden Schüler heuristische Hilfsmittel?

4. Fallbeispiel - Analyse von Aufgabenblättern
4.1 Beschreibung der Klasse
4.2 Versuchsbeschreibung
4.3 Auswertung hinsichtlich der Fehler
4.4 Auswertung hinsichtlich der verwendeten heuristischen Hilfsmittel
4.5 Zusammenfassung

5. Aufgabenbeispiele
5.1 Klassenstufe 1/2
5.2 Klassenstufe 3/4
5.3 Klassenstufe 5/6

6. Schlussbetrachtung

Literaturverzeichnis

1. Einleitung

In vielen deutschen Grundschulen herrscht trotz langjähriger reformpädagogischer Bemühungen ein Unterricht vor, der geprägt ist vom gleich bleibenden monotonen Versuch, die vier Rechenarten zu automatisieren und aus den Schülern^[1] „menschliche Taschenrechner“ zu machen. Der eigentliche Reiz der Mathematik, neue mathematische Zusammenhänge und Regeln zu entdecken und erforschen, geht dabei verloren, die Suche der Kinder nach eigenen Ideen und Lösungswegen wird durch gelehrte Algorithmen oft schon im Keim erstickt.

Während meines Blockpraktikums an einer Berliner Grundschule konnte ich selbst beobachten, dass das Trainieren der Rechenfertigkeit durch das Bearbeiten von Rechenblöcken^[2] im Vordergrund des Mathematikunterrichts stand. Sachaufgaben wurden nur sehr selten und dann stets im Anschluss an ein Themengebiet beziehungsweise auf eine Rechenart bezogen bearbeitet. Mit Problemaufgaben wurden die Schüler gar nicht konfrontiert.

Diese ergebnisorientierte Routine, bei der nur das Produkt der rechnerischen Tätigkeit zählt, könnte durch häufigere Vergabe von Sachaufgaben^[3] durchbrochen werden. Bei Sachaufgaben steht der Lösungsprozess im Vordergrund, der durch die geschickte Verknüpfung von bereits Erlerntem mit neuen Ideen charakterisiert ist und bei allen Schülern individuell verschieden sein kann.

Die folgende Examensarbeit kann und soll also als Plädoyer für den verstärkten Einzug von Sach- und vor allem Problemaufgaben in den Mathematikunterricht der Grundschule verstanden werden. Nur durch den Umgang mit diesen Aufgaben können Kinder eine eigene Problemlösefähigkeit entwickeln, die - nicht nur im mathematischen Bereich - lebenslang notwendig und von Bedeutung ist.

Sowohl Grundschulkinder als auch ältere Schüler und Erwachsene stehen dem Thema „Sachrechnen“ allerdings oft ablehnend gegenüber oder zeigen Verständnisschwierigkeiten gegenüber diesem mathematischen Gebiet.

Dabei ist es gerade das Sachrechnen, das den direktesten Bezug zur Lebensumwelt der Kinder herstellen kann und ihnen durch die Bewältigung von Problemaufgaben zeigt, dass Schule wirklich – wie immer gefordert – auf das Leben vorbereitet und ihnen die Mathematik Erleichterung im Alltag verschafft.

Woher kommt nun diese negative Einstellung gegenüber dem Sachrechnen?

Einerseits bergen Sachaufgaben an sich unterschiedliche Schwierigkeiten in sich, die den Schülern das Finden einer Lösung erschweren. Andererseits − und das ist vielleicht das Hauptproblem – lässt sich das Bearbeiten von Sachaufgaben nicht wie andere Bereiche der Mathematik durch ständiges Üben und Wiederholen automatisieren und endet daher nicht immer schnell und sicher mit einem richtigen Ergebnis. Der Lösungsprozess ist hier komplexer und anspruchsvoller. Es kann keinen Algorithmus zum Lösen aller Sachaufgaben geben, da sich zwar Aufgabentypen einteilen lassen, trotzdem aber keine Sachaufgabe ganz genau einer anderen gleicht.

Um die Abneigung der Schüler, die oft aus Schwierigkeiten und Misserfolgen entstanden ist, abzubauen, ist es wichtig, ihnen Hilfsmittel an die Hand zu geben, die ihnen die Bearbeitung dieser Aufgaben erleichtern, und ihnen somit den Spaß und die Motivation beim Problemlösen zu erhalten. Diese heuristischen Hilfsmittel in ihrer Verschiedenheit, Anwendung und vor allem auch Lehrbarkeit sollen den Schwerpunkt der vorliegenden Examensarbeit bilden.

Dazu muss zunächst eine Klärung des Begriffes „Sachrechnen“ aus historischer und heutiger Sicht sowie ein Aufzeigen seiner Funktionen und Ziele erfolgen, um zu erkennen, welchen Wert dieses oft „stiefmütterlich behandelte[…] Thema“ (Guder 1991, S. 4) in sich trägt. Die Verbindung vom theoretischen Hintergrundwissen zur praktischen Arbeit in der Schule soll beginnend mit der Einteilung der verschiedenen Aufgaben zum Sachrechnen gefunden werden. Verschiedene Kategorisierungsmöglichkeiten zeigen nicht nur die vielfältigen Formen von Sachaufgaben, sondern können dem Lehrer auch Hinweise auf individuelle Fehlerursachen und daraus resultierende Förderangebote geben. Der anschließend erläuterte Problemlöseprozess zeigt, welche Phasen für das Bearbeiten einer Aufgabe durchlaufen werden müssen und verdeutlicht ebenso wie die dargestellten notwendigen Voraussetzungen zum Lösen von Sachaufgaben die damit verbundenen möglichen Schwierigkeiten der Kinder.

An diesen ersten großen Themenkomplex anknüpfend, soll im zweiten Teil nun der Bereich der Heuristik näher beleuchtet werden. Nach einer kurzen Begriffsklärung werden heuristische Strategien, Prinzipien und vor allem heuristische Hilfsmittel, ihre Vorzüge, aber auch Nachteile vorgestellt, die teilweise das Verstehen einer Aufgabe, teilweise das Finden einer Lösung erleichtern (oder auch behindern). Teilweise sollen hier durch die Beschäftigung mit der Lehrbarkeit heuristischer Hilfsmittel und deren Verwendung durch die Schüler die Kernfragen vorliegender Arbeit beantwortet werden, nämlich erstens:

Verwenden Kinder heuristische Hilfsmittel zur Lösung von Sachaufgaben? Und zweitens: Auf welche Art und Weise können heuristische Hilfsmittel gelehrt werden?

Noch genauere Antworten sollen schließlich das 4. und 5. Kapitel liefern, die zusammengenommen den dritten großen Abschnitt der Arbeit bilden. In diesem sollen zunächst die Analyse von Aufgabenblättern, die von Schülern einer 3. Klasse bearbeitet wurden, als Fallbeispiel das Lösungsverhalten von Kindern repräsentieren und anschließend Aufgaben gebildet werden, die sich besonders zur Vermittlung heuristischer Hilfsmittel eignen. Durch das Vorstellen geeigneter Sachaufgaben soll der Bezug zur Praxis des Unterrichtsgeschehens gefunden und die Nützlichkeit der in dieser Arbeit vorgestellten heuristischen Hilfsmittel für den Schulunterricht unmittelbar veranschaulicht werden. Da mit dem Sachrechnen nicht erst in der 3. oder 4. Klasse begonnen werden darf, handelt es sich um Aufgaben, die – jeweils eine Doppeljahrgangsstufe umfassend – von der 1. bis zur 6. Klasse ein schrittweises Erlernen und Festigen der Hilfsmittel ermöglichen. Die einzelnen Aufgaben werden dabei kurz mit ihrer Lösung genannt und den Themenbereichen des Rahmenplanes zugeordnet. Des Weiteren erfolgen teilweise Hinweise zu möglichen heuristischen Strategien und vor allem zum nützlichen Einsatz heuristischer Hilfsmittel.

2. Sachrechnen

2.1 Begriffsklärung

Bei der Betrachtung des zusammengesetzten Substantivs „Sachrechnen“ zeigt sich, dass der Begriff „Sache“ hier im weiteren Sinne gedeutet werden muss und nicht unbedingt das direkte Handeln mit Objekten gemeint ist. „Sachen“ können viel mehr Gegenstände, Themen und Situationen aus dem Leben der Kinder sein, die zum Rechnen anregen.

Franke fasst den Begriff folgendermaßen zusammen: „Im Allgemeinen wird unter dem Sachrechnen das Bearbeiten von Aufgaben verstanden, die eine Situation aus dem Erfahrungsbereich der Schüler oder aus dem realen Leben beschreiben (auch wenn dies der Schüler noch nicht erfahren oder davon gehört, gelesen oder gesehen hat)“ (Franke 2003, S. 5). Sachrechnen hat also im Gegensatz zu Rechenblöcken oder bloßen Zahlenreihen immer mit konkreten Gegenständen, authentischem Material oder Situationen als Repräsentanten der Zahlen zu tun. Den Kindern kann dadurch bewusst gemacht werden, welche Rolle die Mathematik im „wirklichen“ Leben spielt und in welchen Bereichen sie benötigt wird. Dieser Vorteil, der dem Sachrechnen innewohnt, wurde jedoch nicht immer entsprechend genutzt und wird auch heute noch oft übersehen, wie im Folgenden durch einen kurzen historischen Überblick gezeigt werden soll.

2.1.1 Historischer Überblick

Während die alten Griechen das Rechnen noch als Beitrag zur „Umwelterschließung“ (ebd. S. 6) ansahen und die Mathematik zur Bewältigung von Alltagssituationen nutzten, wurde diese Erkenntnis im Schulalltag der neueren Zeit in Deutschland lange ignoriert. Auch wenn vom Sachrechnen gesprochen wurde, so lag doch das Hauptaugenmerk eher auf dem Ausbau der rechnerischen Fähigkeiten als auf dem Lösen eines sachlichen Problems. Der Inhalt der Aufgaben war meist streng an den gerade behandelten arithmetischen Stoff gekoppelt, so dass Sachaufgaben jeweils am Ende eines Themengebietes auf dem Lehrplan standen. Wurde beispielsweise gerade die Multiplikation und Division eingeführt, so waren im Anschluss daran unzählige Sachaufgaben zu rechnen, die das Verteilen von unterschiedlich vielen Gegenständen an eine bestimmte Anzahl Kinder zum Inhalt hatten (vgl. ebd. S. 6f.).

Diese Form des Sachrechnens, die der bloßen Anwendung der mathematischen Kenntnisse diente, hatte zur Folge, dass die Kinder den Inhalt der Aufgabe teilweise völlig vernachlässigten und sich nur noch daran orientierten, „wie die Zahlen zusammen passen, welche Rechenoperation gerade geübt wurde und wo schöne (glatte) Ergebnisse herauskommen“ (Franke 2003, S. 7).

Die eigentlichen Ziele des Sachrechnens, wie beispielsweise das Verstehen von alltäglichen Problemen mit Hilfe der Mathematik, wurden dabei vollständig außer Acht gelassen. Durch das Aneinanderreihen von unterschiedlichen Sachverhalten, die alle nur dem Üben einer bestimmten Rechenoperation dienten, waren die Schüler so auf die bloßen Zahlen fixiert, dass „ein Interesse am Sachlichen, eine Vertiefung in irgend ein Gebiet des wirtschaftlichen Lebens völlig ausgeschlossen“ (ebd.) war.

Dank der Reformpädagogen kam es zu Beginn des 20. Jahrhunderts auch zu Veränderungsvorschlägen den Mathematikunterricht und besonders das Sachrechnen betreffend. Die Besinnung auf kindliche Interessen und Bedürfnisse brachte Forderungen nach kindgemäßen Themen und Inhalten beim Sachrechnen mit sich. Sachunterricht und Mathematikunterricht sollten in enger Verbindung zueinander stehen, so dass die Schüler sich intensiver mit einem Problem beschäftigen und dieses unter verschiedenen Gesichtspunkten betrachten können. Die unterschiedlichsten Befürworter (vgl. ebd. S. 9ff) dieser reformpädagogischen Bemühungen einte die neue Interpretation des Begriffes „Sachrechnen“: Sein Wert liegt demnach nicht in der bloßen Anwendung der Mathematik und dem mechanischen Üben bestimmter Rechenoperationen, vielmehr entsteht sein Vorzug dadurch, „dass die Sache im Mittelpunkt steht und die Zahl lediglich als Werkzeug dient“ (ebd. S. 13).

In der Nachkriegszeit wurde versucht, auf die oben beschriebenen Forderungen einzugehen und den Mathematikunterricht zu verändern. Es entstand ein systematischer Rechenunterricht, der die Schüler zum besseren Bewältigen von Aufgaben befähigen sollte. Im Bereich des Sachrechnens sollte das „Isolieren und Thematisieren von Schwierigkeiten“ (ebd. S. 14) die Problemlösefähigkeit der Schüler verbessern. Dazu wurden Methoden wie die Verwendung von Simplex-Komplex-Verfahren, Rechenbäumen oder verbalen Lösungsanweisungen als Hilfsmittel^[4] entwickelt, die den Lösungsprozess unterstützen und den Schülern mehr Sicherheit im Umgang mit Sachaufgaben geben sollten (vgl. ebd. S. 14ff).

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass all diese Hilfsmittel eher an ungeeigneten Aufgaben geübt wurden, die die Lebenswirklichkeit der Kinder nicht aufgriffen und die reformpädagogische Forderung nach intensiverer Beschäftigung mit der Sache missachteten. Franke, die weitere Nachteile der verschiedenen Hilfsmittel nennt, kommt abschließend zu dem Fazit, dass „die Wende beim Sachrechnen trotz umfangreicher Bemühungen zum Lernen […] nicht eingetreten“ (Franke 2003, S. 19) ist.

Diese Aussage unterstützen auch Radatz u.a., die (allerdings 1983) davon ausgingen, dass das traditionelle Sachrechnen „in nahezu allen Schulbüchern noch aktuell ist“ (Radatz u.a. 1983, S. 137).^[5] Die Bemühungen zur Veränderung sollen im nächsten Kapitel kurz beschrieben werden.

2.1.2 Neues Sachrechnen

Wiederum an reformpädagogische Ideen anknüpfend entstand in den 80er Jahren eine Bewegung, die den Sachrechenunterricht verbessern wollte und dafür den Begriff des „Neuen Sachrechnens“ prägte. Die Kritik am herkömmlichen Unterricht bezog sich vor allem auf „die für Kinder wenig motivierende Themenwahl für Sachaufgaben […], de[n] häufigen Themenwechsel bei Sachaufgaben, das Vernachlässigen der Sache und damit mangelnde[n] Realitätsbezug, das Einengen der Kinder auf einen Lösungsweg [und] die Bindung der Inhalte von Sachaufgaben an den gerade behandelten arithmetischen Stoff“ (Franke 2003, S.19) – alles Punkte, die bereits von den Reformpädagogen zu Beginn des 20. Jahrhunderts angesprochen worden waren.

Dementsprechend lag die Betonung nun eher auf dem ersten Wortteil, der „Sache“ an sich, das Rechnen wurde vor allem als Mittel zum Zweck gesehen. Das neue Sachrechnen sollte Alltagserfahrungen der Kinder und aktuelle Situationen aufgreifen und mittels der Mathematik verständlich machen. Des Weiteren sollten Verknüpfungen zu anderen Fächern geschaffen werden, indem beispielsweise an Sachtexten gearbeitet und gerechnet wird, Verbindungen zum Sport-, Kunst- oder auch Deutschunterricht gesucht werden. Auch Projekte, in denen sich die Kinder über einen bestimmten Zeitraum mit einem Thema beschäftigen, waren Teil der Ideen zum neuen Sachrechnen. Ergänzend dazu sollten auch Fantasiegeschichten, Knobel- und Kapitänsaufgaben^[6] angeboten werden, um die Problemlösefähigkeit der Kinder zu stärken (vgl. Franke 2003, S. 20.)

Radatz u.a. fassten diese Forderungen durch das Aufzählen von Eigenschaften, die dem neuen Sachrechnen zugeschrieben werden, zusammen. Dieser neue Umgang mit Sachaufgaben sollte „kreativ, anwendungsorientiert, wirklichkeitsbezogen, fächerübergreifend […] usw.“ (Radatz u.a. 1983, S. 137) sein. Einige dieser Eigenschaften zeigen schon die Schwierigkeiten, die sich beim Umsetzen der Reformbemühungen ergeben können und vielleicht auch Gründe dafür sind, dass sich Lehrer bis heute gegen das neue Sachrechnen sträuben: kreative, anwendungsorientierte Aufgaben finden sich nur selten in Lehrbüchern. Das bedeutet, dass der Lehrer selbst gefragt ist, authentische Materialien besorgen und mit einem größeren Arbeitsaufwand rechnen muss. Fächerübergreifendes Arbeiten setzt größere Kenntnisse und „ein besonderes schulfachintegrierendes Wissen auf seiten der Lehrer“ (ebd.) voraus, das sich manche Lehrer eventuell erst erarbeiten müssten.

Trotz aller Hoffnungen auf besseres Sachrechnen, das den Kindern die Anwendbarkeit von Mathematik im Alltag verdeutlicht, konstatiert Franke, dass „neues Sachrechnen […] die traditionellen Formen nicht ablösen können [wird]“ (ebd.), was bedeutet, dass es vermutlich eine Ausnahmeerscheinung im Mathematikunterricht bleiben wird.

Zur genaueren Erklärung des Begriffes „Sachrechnen“, werden im Folgenden die verschiedenen Aspekte beziehungsweise Funktionen dieses mathematischen Gebietes untersucht und vorgestellt. Daraus lassen sich anschließend direkt die Ziele des Sachrechnens ableiten (vgl. Kapitel 2.3).

2.2 Aspekte des Sachrechnens

Winter unterscheidet drei „didaktische[…] Sinngebungen“ (Winter 1985, S. 15), die das Sachrechnen bestimmen und sich in unterschiedlicher Ausprägung in den einzelnen Aufgaben wieder finden: Sachrechnen als Lernstoff, als Lernprinzip und als Lernziel (vgl. ebd.).

2.2.1 Sachrechnen als Lernstoff

Sachrechnen wird als der Teil der Mathematik beschrieben, der das Verstehen der Umwelt mit mathematischen Mitteln am eindruckvollsten leisten kann. Dabei ist es vor allem der Umgang mit verschiedenen Größen, der Sachsituationen im Alltag kennzeichnet. Durch das Sachrechnen können Schüler die unterschiedlichsten Größen wie „Stückzahlen, Geldbeträge, Längen, Zeitspannen, Gewichte, Temperaturen und (in ersten Ansätzen) Flächen- und Rauminhalte“ (ebd.) kennen lernen, mit ihnen rechnen und somit auf den alltäglichen Umgang vorbereitet werden. Hinzu kommen in letzter Zeit einfache Verfahren der Statistik und Kombinatorik, mit denen Schüler Daten gewinnen, darstellen und verarbeiten. Winter betont diesbezüglich besonders die Tätigkeit des Schätzens, „die in der Schulpraxis bisher kaum in ihrer Bedeutung gewürdigt worden“ (ebd. S. 18) sei, für die Bewältigung unzähliger Alltagsprobleme jedoch sehr wichtig ist. Ob es um die benötigte Fahrzeit zum Kino, die Kosten für den Wochenendeinkauf oder die Vorhersage des Schokoladenverbrauchs während der Hausaufgaben geht – „im Alltag ist Schätzenkönnen äußerst wertvoll“ (ebd.) und sollte daher schon in der Schule hinreichend an authentischen Beispielen geübt werden.

Jeglicher Stoff wird „in Sachsituationen integriert behandelt“ (Franke 2003, S. 28), so dass die Schüler stets die Verbindung von Umwelt und Mathematik vor Augen haben und das eigentliche Rechnen in den Hintergrund tritt.

2.2.2 Sachrechnen als Lernprinzip

Sachrechnen soll anwendungsorientiert und kindgerecht sein, da trifft es sich gut, dass „fast jede mathematische Beziehung, die Kinder in der Grundschule kennen lernen, […] in realen Situationen verkörpert werden [kann]“ (ebd. S. 29). Egal ob es um die Kleinerrelation, den Begriff der Primzahl oder des Stellenwertsystems geht, es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, Aufgaben zu stellen, in denen auf das Alltagswissen und die bisher gemachten Erfahrungen der Kinder zurückgegriffen wird und neue Kenntnisse vermittelt werden. Sachsituationen können somit als „Ausgangspunkt für neues mathematisches Wissen“ (Franke 2003, S. 29) genutzt werden, so dass jedes Kind mit Hilfe seiner eigenen Erfahrungen auf seinem individuellen Wissen aufbauen und seine Fertigkeiten erweitern kann.

Als zusätzliche positive Begleiterscheinungen dieser Verwendung von Alltagssituationen können die Thesen angesehen werden, dass man ein „höheres Maß an emotionaler Beteiligung (Motivation), an Einsicht und nicht zuletzt an gedächtnismäßiger Verankerung erwarten“ (Winter 1985, S. 29) darf, als wenn neue Regeln, Begriffe und Operationen schlicht durch den Lehrer vorgegeben werden.

Da in Sachaufgaben verschiedene Rechenoperationen zum Einsatz kommen, müssen die Schüler immer auf schon Erlerntes zurückgreifen und damit arbeiten. Sachrechnen dient demnach nicht nur dem Erwerb von neuen Fähigkeiten, sondern auch der „Anwendung für bereits erworbenes mathematisches Wissen“ (Franke 2003, S. 29). Insofern wäre Sachrechnen dazu geeignet, als Lernprinzip den gesamten Unterricht zu durchziehen, sowohl in Erarbeitungs-, als auch in Arbeits- und Übungsphasen.

2.2.3 Sachrechnen als Lernziel

Der wohl wichtigste Aspekt des Sachrechnens besteht darin, dass die Schüler lernen „umweltliche Phänomene durch mathematisches Modellieren besser zu verstehen, bewusster zu erleben und kritischer zu sehen“ (Franke 2003, S. 29). Das bedeutet, dass die Schüler zunächst die Situation erkennen und verstehen müssen, um anschließend an einem Modell die Informationen verarbeiten zu können und zu einer Lösung zu gelangen. Diese gefundene Lösung muss dann auf die ursprüngliche Situation zurück übertragen und interpretiert werden (vgl. Müller / Wittmann 1984, S. 253). In diesen komplexen Lösungsprozessen erwerben die Schüler neben mathematischem und teilweise sachkundlichem Wissen auch fachunabhängige Kompetenzen wie Problemlösefähigkeiten, Ausdauer und Beharrlichkeit. Zu diesen Problemlösefähigkeiten, die im „späteren Leben“ in unterschiedlichster Art und Weise gefordert werden, zählt auch der Erwerb von Heurismen, die die Suche nach einer Lösung erleichtern.^[7] Insofern ist die zu Beginn gestellte Frage nach dem Einsatz heuristischer Hilfsmittel bei Kindern auch immer gleichbedeutend mit einer Untersuchung darüber, welchen Platz der Lehrer dem Sachrechnen im Mathematikunterricht einräumt und inwieweit er es als bedeutendes und anzustrebendes Lernziel betrachtet. Im Umkehrschluss bedeutet dies: Verkennt ein Lehrer den Wert des Sachrechnens und sieht es nicht als Lernziel an, sind Probleme der Kinder beim Lösen von Sachaufgaben und der Verwendung von heuristischen Hilfsmitteln vorprogrammiert.

Ein wichtiger Bestandteil des Lösungsprozesses liegt in der ersten Stufe des Verstehens der Aufgabe und des Entwickelns eigener Fragen. Es ist notwendig für den gesamten Verstehensprozess, dass die Kinder nicht immer nur vorgegebene Fragen beantworten, sondern selbst nach Fragen und Problemen in der Aufgabe suchen oder auch eigene Rechengeschichten entwickeln. Winter zitiert Kühnel, der bereits 1922 die „Erziehung zur Fragestellung“ (Winter 1984, S. 32) fordert, da „nichts so wichtig ist für alle intellektuelle und ethische Bildung, als daß das Kind sich selbst Aufgaben stellen, selbst Probleme suchen, finden, formulieren und zerlegen lerne“ (Kühnel zitiert nach Winter 1984, S. 32). Dementsprechend sollen auch die selbst gebildeten Aufgabenbeispiele Anregungen bilden, eigene Fragen zu stellen.

„Von Natur aus ist umwelterschließendes Sachrechnen fächerübergreifend“ (ebd. S. 34) und kann am ehesten in Projekten umgesetzt werden. Dies erfordert vom Lehrer einerseits ein größeres Allgemeinwissen und fachspezifisches Wissen, andererseits aber auch mehr Arbeitsaufwand durch die veränderte Organisation des Mathematik-Unterrichts und aller anderen beteiligten Fächer. Als Projektthemen bieten sich unzählige Bereiche des täglichen Lebens wie Schulweg, Geschwister, Spielen, Sport, Freizeit, Einkaufen, Post, Telefonieren, Ferien usw. an, die je nach regionaler und lokaler Besonderheit und den Interessen der Schüler spezifiziert werden können (vgl. ebd. S. 33f).

2.3 Ziele des Sachrechnens

Das offensichtlichste, wenn auch nicht bedeutendste Ziel, das sicherlich viele Lehrer bei der Auswahl von Sachaufgaben vor Augen haben, ist die Schulung der Rechenfertigkeit^[8] durch Anwendung erlernter Rechenverfahren. Dazu werden einfache, kurze Sachaufgaben gestellt, die einzig dem Zweck dienen, zu „arithmetischen Aufgaben modelliert werden [zu] können“ (Franke 2003, S. 21) und damit als Voraussetzung für komplexere Aufgaben, bei denen das Modellieren als Teilleistung auszuführen ist, dienen. Diese Texte sind meist sehr kurz und enthalten nur wenig Sachinformationen, um vor dem Rechnen nicht lange über die Aufgabe reden zu müssen. Außerdem ist ihre Beziehung zur Arithmetik oft so durchschaubar, dass viele Schüler ohne zu Überlegen formal modellieren und alle vorhandenen Zahlen in die gerade behandelte Rechenoperation einfügen, ohne den Sachkontext zu beachten. Um diese Kritikpunkte zu umgehen, schlägt Franke „lustige Aufgaben […], die keiner ernst nimmt und hinterfragt […] mit Riesen, Zwergen und anderen Märchenfiguren“ (ebd. S. 23) vor.

Ein weitaus wichtigeres Ziel, das laut Naudersch „nicht hoch genug eingeschätzt werden kann“ (Naudersch 1989, S. 14), ist die Erschließung der Lebenswelt, die die Schüler durch das Sachrechnen erfahren sollen. Während das Üben von Rechenfertigkeiten auch mit anderen Aufgaben geschehen kann, lässt sich das Erschließen der Umwelt im Mathematikunterricht fast ausschließlich durch Sachsituationen, die dann in die Sprache der Mathematik übersetzt und mit ihrer Hilfe gelöst werden, gewährleisten. Dazu müssen die geschilderten Situationen realitätsnah, komplex und ausführlich beschrieben werden, „damit den Schülern bei deren Bearbeitung die Beziehungen zwischen ihrem mathematischen Wissen und dem Sachwissen deutlich werden“ (Franke 2003, S. 25). Allerdings gehen die meisten Autoren davon aus, dass im Unterricht kaum echte Sachsituationen zur Anwendung kommen, da sie „den Rahmen des Mathematikunterrichts hinsichtlich der Anforderungen, der zum Bearbeiten notwendigen Zeit und auch des vertretbaren Vorbereitungsaufwandes sprengen“ (ebd.). So fällt es beispielsweise deutlich schwerer, geeignete Sachaufgaben für die 1. und 2. Klassenstufe zu finden, da nur im Zwanziger- bzw. Hunderterraum gerechnet werden kann und schriftliche Rechenverfahren erst in späteren Klassenstufen erarbeitet werden. Trotz dieser Widrigkeiten darf nicht auf das Lösen von echten Sachsituationen aus dem Alltag verzichtet werden, da sie „für den Schüler Einsichten und Wertungen in sein tägliches Leben von unschätzbarem Wert“ (Naudersch 1989, S. 14) bedeuten.

Authentische Problemaufgaben sind aber auch wichtig, um den Schülern neben der Umwelterschließung die Möglichkeit zur Entwicklung allgemeiner Problemlösefähigkeiten zu geben. Traditionelle Sachaufgaben, die die Kinder schnell durchschauen und deren Zahlen sie lediglich zum Erstellen einer Rechenaufgabe nutzen, sind dazu nicht geeignet. Aufgaben, für deren Bearbeitung die Schüler jedoch nicht sofort einen vorher besprochenen und schon mehrmals geübten Lösungsweg parat haben, regen zu intensiverer Beschäftigung mit dem Sachverhalt und längerem Nachdenken an. Schon „das Erfassen des Textes und der darin enthaltenen sachlichen und rechnerischen Probleme verlangt problemlösendes Denken“ (ebd.). Nur solch komplexe Aufgaben, die Rasch als „Problemaufgaben“ (Rasch 2001, S. 26) bezeichnet^[9], überzeugen Schüler auch von der Notwendigkeit und Nützlichkeit heuristischer Hilfsmittel, da der Lösungsweg hier – im Gegensatz zu traditionellen Aufgaben – noch nicht bekannt ist und durch genaues Lesen und Analysieren der Aufgabe gefunden werden muss. Hierbei kann „das Anwenden heuristischer Arbeitsweisen wie Skizzieren oder Umformulieren des Textes“ (Franke 2003, S. 24) hilfreich sein, während es bei einfachen Aufgaben mit schnell gefundener Rechenaufgabe eher „umständlich“ (ebd.) erscheint. In Kapitel 7 werden also genau solche Problemaufgaben vorgestellt, die die Lehrbarkeit heuristischer Hilfsmittel belegen.

Weitere Ziele, die durch das Sachrechnen verfolgt werden können, sind die „ Möglichkeit des komplexen und kreativen Denkens “ (Radatz u.a. 1983, S. 131), die eng mit dem problemlösenden Denken verbunden sind und nur an wirklichen Sachproblemen entfaltet werden können. Da - wie bereits beschrieben - Sachaufgaben vor allem vom Umgang mit Größen gekennzeichnet sind, ist ein wichtiges Ziel ihrer Verwendung auch der „ Aufbau von Größenvorstellungen “ (ebd.). Auch personale und soziale Kompetenzen können beim Sachrechnen geschult werden. Da die Lösung nicht immer sofort gefunden wird, ist Ausdauer, Beharrlichkeit und die Diskussion über verschiedene Lösungswege notwendig, um ans Ziel zu gelangen.

2.4 Einteilung von Aufgaben zum Sachrechnen

Im sich anschließenden Kapitel wird zunächst die traditionelle Einteilung vorgestellt, wobei jeweils eine Beispielaufgabe aus einem Schulbuch, eine selbst erdachte Aufgabe oder schlichte Aufgabenanregung die typischen Merkmale verdeutlicht. Da Franke diese Kategorisierung für nicht mehr aktuell hält und sie selbst eine neue Systematisierung vorgenommen hat, soll auch auf diese kurz eingegangen werden.

2.4.1 Traditionelle Einteilung

Traditionell werden Aufgaben zum Sachrechnen meist in drei Kategorien eingeteilt: eingekleidete Aufgaben, Textaufgaben und Sachaufgaben. Dabei handelt es sich bei eingekleideten Aufgaben um „in Worte gefasste Aufgabenkonstruktionen bzw. Rechenoperationen ohne Realitätsbezug“ (Radatz u.a. 1983, S. 130), die vor allem dem Anwenden bestimmter Rechenverfahren und der Schulung der Rechenfertigkeit dienen. Der sachliche Inhalt ist unwichtig und beliebig austauschbar.

Beispiel: Zahline kauft ein Buch für 12 €. Nun hat sie noch 28 €. Wie viel € hatte sie vorher? (Welt der Zahl, Kl. 3)

Auch bei Textaufgaben, die den Schwerpunkt des traditionellen Sachrechnens bilden, ist die Sache an sich relativ nebensächlich, die Aufgaben wirken konstruiert, da sie „die Vielfalt und Komplexität des Sachkontextes in der Realität“ (Franke 2003, S. 33) nicht berücksichtigen. Aus einem Text müssen die für eine mathematische Zeichenreihe nötigen Zahlen gewonnen werden, so dass die Textstruktur in eine mathematische Struktur übertragen wird.

Beispiel: Addiere zu 32 noch 29. Subtrahiere von dem Ergebnis 15.

(Welt der Zahl, Kl. 3)

Anders als bei oben beschriebenen Aufgabentypen steht bei Sachaufgaben oder Sachrechenproblemen die Sache an sich im Mittelpunkt. Die Mathematik ist dabei „nur“ das Hilfsmittel, mit dem die Probleme gelöst werden können. Radatz u.a. bezeichnen Sachaufgaben als „echte Anwendung mathematischen Wissens in realistischen Sachsituationen“ (Radatz u.a. 1983, S. 130).

Beispiel: Frau und Herr Sonne waren mit ihren beiden Kindern 20 Tage in Spanien.

a) Sie hatten sich ein Haus gemietet. Für das Haus mussten sie 1449 € Miete bezahlen. Wie hoch war die Miete pro Tag?
b) Wie hoch war die Miete pro Person?
c) Hin und zurück sind sie 3877 km gefahren. Zusammen haben Hin- und Rückfahrt 4 Tage gedauert. Wie viele Kilometer fuhren sie im Durchschnitt pro Tag?
d) 1 l Benzin kostete durchschnittlich 1,08 €. Insgesamt haben sie 350 l Benzin verbraucht. Wie viel bezahlte die Familie insgesamt für den Aufenthalt und die Fahrt?
e) Für Lebensmittel benötigte die Familie 865 €. Wie viel Euro waren es pro Person? (Primo Mathematik, Kl. 4)

Eine weitere Kategorie eröffnet Rasch in Anlehnung an Winter, wenn sie den Begriff „ Problemaufgaben [oder] problemhaltige Textaufgaben “ (Rasch 2001, S. 26) verwendet. Anhand der von ihr vorgestellten Merkmale, die im Folgenden kurz genannt werden sollen, wird deutlich, dass Problemaufgaben die höchste Stufe von Aufgaben zum Sachrechnen bilden und noch über Sachaufgaben anzusiedeln sind. Ähnlich wie Sachaufgaben knüpfen Problemaufgaben zwar oft an den Erfahrungsbereich der Kinder an, jedoch werden in Verbindung dazu „ungewohnte mathematische Zusammenhänge“ (ebd.) beschrieben, die die Schüler zur intensiveren Reflexion anregen. Dies als auch die Tatsache, dass „die mathematische Struktur [teilweise] in anspruchsvolle sprachliche Formulierungen eingebettet“ (ebd.) ist, zeigt, dass Problemaufgaben längere Zeit beanspruchen, da oftmals wiederholt gelesen und länger nachgedacht werden muss, um den eigentlichen Sachverhalt auch wirklich zu verstehen. Das Auftauchen mehrerer voneinander abhängiger Bedingungen, die alle berücksichtigt werden müssen, um zur Lösung zu gelangen, ist ein weiteres Merkmal, das auf Problemaufgaben nicht selten zutrifft. Außerdem wird der „Aspekt der Offenheit“ (Rasch 2001, S. 26) betont, wobei sich Offenheit auf die Fragestellung, auf die enthaltenen Daten, aber auch auf die Möglichkeit mehrerer oder keiner Lösung beziehen kann. Als vielleicht wichtigstes Merkmal nennt Rasch den Punkt, dass Problemaufgaben nicht durch das bloße Abrufen von Wissen gelöst werden können. Vielmehr sind sie „so strukturiert, dass vorhandenes Wissen vom Aufgabenlöser neu strukturiert werden muss, um als Lösungswissen eingesetzt werden zu können“ (ebd.).

[...]

^[1] In der gesamten Arbeit verzichte ich auf geschlechtsspezifische Personenbezeichnungen. „Schüler“, „Lehrer“ etc. benennen immer sowohl den weiblichen als auch männlichen Vertreter dieser Gruppe.

^[2] Unter Rechenblöcken werden Aufgaben verstanden, die ohne sachlichen Kontext das schlichte Ausführen bestimmter Rechenoperationen erfordern.

^[3] Dieser Begriff bezieht sich im Folgenden in Anlehnung an Franke auf Aufgaben, die sowohl den mathematischen Inhalt als auch die Sache an sich berücksichtigen (vgl. Franke 2003, S. 35).

^[4] Auf diese Hilfsmittel soll hier nicht näher eingegangen werden, da eine ausführliche Beschäftigung mit diesem Thema im Kapitel 3.3 erfolgt.

^[5] Wie viel sich in den letzten 20 Jahren in den Mathematikbüchern verändert hat, müsste durch eine genaue Lehrwerkanalyse untersucht werden, die jedoch den Rahmen vorliegender Arbeit sprengen würde.

^[6] Kapitänsaufgaben sind Aufgaben, die zwar Zahlen enthalten, jedoch nicht zu einer sinnvollen Rechnung führen. (Beispiel: Am Wandertag macht die Klasse 3a eine Dampferfahrt. Es sind 25 Kinder, 2 Lehrer und noch 15 weitere Personen an Bord. Wie alt ist der Kapitän?)

^[7] In einem späteren Kapitel soll näher auf diese Hilfsmittel eingegangen werden, da sie den Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit bilden (vgl. Kapitel 3.3).

^[8] Die einzelnen Ziele sind kursiv gedruckt, um einen schnellen Überblick zu ermöglichen.

^[9] Eine genauere Definition soll im Kapitel 2.4 erfolgen, wenn es um die Einteilung von Sachaufgaben geht.