Zwei- und dreiphasige Strömungsberechnung zur Optimierung eines Ölbekämpfungsschiffes

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung
1.1 Übersicht
1.2 Ziel der Arbeit

2 Fluiddynamische Grundlagen
2.1 Stufen der Modellbildung
2.2 Grundgleichungen der Strömungsmechanik
2.3 Die RANS Gleichungen für Strömungen inkompressibler Fluide
2.4 Turbulenzmodelle
2.5 Wandfunktion
2.6 Generierung der freien Oberfläche
2.6.1 Allgemeine Methoden
2.6.2 VOF Methode zur Berücksichtung der freien Oberfläche
2.7 Euler-Langrange-Methode zur Ölmodellierung
2.8 Numerische Aspekte
2.8.1 Lösungsalgorithmen
2.8.2 Differenzenquotienten (differencing schemes)
2.8.3 Zeitschrittweite

3 Geometriemodellierung
3.1 Bearbeitung der Geometrie
3.2 Vorbereitung der Ölskimmergeometrie zur Gittergenerierung

4 Gittergenerierung
4.1 Qualitätskriterien
4.2 Gittertopologie
4.3 Methoden der Gittergenerierung
4.4 Festlegung der Blockstruktur
4.4.1 Festlegung der Zellaufteilung
4.4.2 Definition der Randbedingungen
4.4.3 Formatiertes abspeichern des Gitters
4.5 Exportieren des Gitters mit der GID-CFD Schnittstelle

5 Numerische Strömungsberechnungen
5.1 Randbedingungen
5.2 Anfangsbedingungen
5.3 Stationäre Strömung (einphasig)
5.3.1 Eingabeparameter der stationären Strömung
5.3.2 Auswertung und Ergebnisdiskussion der stationären Strömung
5.4 CFD Analyse und Validation der instationären Strömung (zweiphasig)
5.4.1 Festlegung der Parameter der numerischen Simulation
5.4.2 Ergebnisse und Gittersensitivität
5.4.3 Vergleich der Ergebnisse mit experimentellen Daten
5.5 Untersuchung des Ölskimmers ohne Hinterschiff (zweiphasig)
5.6 Untersuchung des Ölskimmers mit Hinterschiff
5.6.1 Gittergenerierung des Ölskimmers mit Hinterschiff
5.6.2 Ergebnisse bei unterschiedlichen geometrischen Verhältnissen
5.7 Instationäre Strömung (mit Öl)
5.7.1 Eingabeparameter der dreiphasigen Strömung
5.7.2 Ergebnisse mit verschieden Öl-Sorten
5.8 3D-Strömung mit Schiff (tiefgetaucht)
5.9 Gittergenerierung der 3D-Strömung
5.9.1 Gittersensitivität
5.9.2 Auswertung der Berechnungen

6 Zusammenfassung und Ausblick

7 Literaturverzeichnis

8 Nomenklatur

9 Abbildungsverzeichnis

10 Tabellenverzeichnis

Anhang A - Untersuchungen im Wellenkanal für die 2D Plexiglasversuche

Anhang B - Viskosität, Temperaturdiagramm

Anhang C - Rand und Anfangsbedingungen für den Ölskimmer

Anhang D - Star-CD-Command-File

1 Einleitung

1.1 Übersicht

Trotz verstärkter Sicherheitsvorschriften und moderner Navigationssysteme für Tankerschiffe hört man immer wieder von Tankerunglücken, sei es in der Nordsee oder woanders. Spätes­tens seit dem Unglück der Pallas im Herbst 1998 ist klar geworden, dass die in der Nordsee stationierten herkömmlichen Ölabschöpfungssysteme [11] nur unzureichend in der Lage sind, erfolgreich insbesondere im nahen Küstenbereichen und in hohem Seegang zu operieren. Am Institut für Land- und Seeverkehr „ILS“ im Fachgebiet Meerestechnik der TU Berlin wird das Problem der Seegangstauglichkeit von Ölbekämpfungssystemen umfassend diskutiert und zur Zeit im Rahmen eines BMBF Projektes ein neues seegangunabhängiges Abschöpfungsprinzip erarbeitet. Das Funktionsprinzip (Abb. 1.1) basiert darauf, dass die Ölschicht durch den Skimmerbug nach unten gedrückt wird (also verwirbelungsarm), um dort abgesaugt zu wer­den. Über eine justierbare Separationsklinge wird das ölhaltige Wasser in das Innere des Skimmers geleitet und einer weiteren Separation zugeführt. Um eine Optimierung für die Se­parationsklinge und die Skimmerbugsform zu ermöglichen, muss eine Methode gefunden werden, die das gesamte Strömungsgebiet numerisch beschreibt.

Eine Methode, die die Wasseroberfläche, die Ölschicht und das hydrodynamische Verhalten des neuen Ölbekämpfungssystems beschreibt, ist eine CFD-Methode (Computational Fluid Dynamics). Die numerischen Simulationen mit der CFD-Methode bieten hier Ansätze, die auf den RANS-Gleichungen (Reynolds-Averaged Navier-Stokes Equations) und der VOF- Methode (Volume of Fluid Methods) basieren. Zwar sind CFD-Methoden noch nicht so weit, dass sie die traditionellen Schl eppver suche der Versuchanstalten gänzlich ersetzen können, was auch in absehbarerer Zeit wohl nicht geschehen wird, aber sie bieten zusätzlich zu den Modellversuchen die Chance, zeitaufwendige Modellversuche zum Teil zu ersetzen.

Mit Hilfe der CFD-Methoden ist es heute möglich, verschiedene Formvariationen zu verglei­chen, so dass im späteren Versuch nur noch die beste errechnete Form untersucht wird, um exakte Ergebnisse zu erhalten. Mit den CFD-Methoden kann man lokale Strömungserschei­ nungen, die mit Messungen nur schwer oder überhaupt nicht zu erfassen sind, im Detail un­tersuchen.

Die CFD-Berechnungsverfahren unterscheiden sich in ihren physikalischen Ansätzen. Einige Verfahren lösen lediglich die vereinfachten Strömungsgleichungen und vernachlässigen dabei die Zähigkeit und Turbulenz der Strömung:

- Potentialtheoretische Methoden (reibungsfrei)

Andere Methoden, die hier verwendet werden, lösen zur Ermittlung der Strömungszustands­größen die zeitlich gemittelten Navie-Stokes Gleichungen (RANSE: Reynolds Averaged Na- vier Stokes Equations) und berechnen somit turbulente viskose Strömungen:

- Navier-Stokes-Löser (viskos)

Eine neue Methode, die mit der Berechnung von viskosen Strömungen gekoppelt wird und zur Berechnung der freien Oberflächen dient, ist die VOF-Methode, die zur Berücksichtigung von Ölpartikel zusätzlich mit einer sog. Euler-Langrange-Methode gekoppelt werden kann.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.2: Ölbekämpfungsschiff MPOSS mit integriertem Skimmer

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.3: Studie eines neuartigen Ölbekämpfungsschiffes

1.2 Ziel der Arbeit

In dieser Arbeit soll ein Verfahren, das im gesamten Strömungsgebiet die gekoppelten RANS Gleichungen löst, verwendet werden. Mit Hilfe dieses Verfahrens wird das neue Skimmings- verfahren mit und ohne den Einfluss der freien Oberfläche untersucht.

Ziel der Diplomarbeit im Bereich der numerischen Strömungssimulation ist, verschiedene 2D Skimmerformen zu untersuchen, die später in ein geeignetes Trägersystem (z.B. Multi- Purpose-Oil-Skimming-System - MPOSS Abb. 1.2 oder Katamaran) eingebaut werden. Die Informationen, die von den CFD-Berechnungen gewonnen werden, sind nicht nur die Um­strömung des Ölabschöpfsystems sondern auch lokale Strömungsphänomene in der Einlauf­und Ablaufzone. Durch diese Informationen kann das Verhältnis zwischen Einlauf- und Ab­lassöffnung mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten systematisch variiert werden, um einen hohen Wirkungsgrad der Ölabschöpfung zu erzielen. Anschließend werden innerhalb des Strömungsgebiets Ölpartikel (Euler-Langrange-Verfahren) definiert, die die Bahn des Ölfil­mes beschreiben. Darüber hinaus wird der Ölskimmer in einem 3D Trägersystem (tiefge­taucht) untersucht, um das hydrodynamische Verhalten des ganzen Systems zu studieren.

Es wird hinterfragt, ob und wie exakt viskose Strömungslöser im Vergleich zu Messungen das Wellenbild und die Wirbelbildung vor und hinter dem Ölskimmerssystem bei der praktischen Anwendung wiedergeben können. Dabei kommt als viskoser Löser das kommerzielle Pro­gramm Star-CD (Version 3100A) zum Einsatz.

In der vorliegenden Diplomarbeit werden die Erfahrungen und die Ergebnisse bei der Geo­metriemodellierung, der Gittergenerierung und der Berechnung mit und ohne freie Oberfläche dargestellt. Es wird gezeigt, dass die Geometrie des untersuchten Ölskimmers mit blockstruk­turiertem Gitter einfach und schnell mit Hilfe eines Gittergenerierungsprogramms nachgebil­det werden kann. Weiterhin wird dargestellt, wie die Anzahl der Knoten und die Dichtevertei­lung des Gitternetzes die Ergebnisse beeinflussen.

2 Fluiddynamische Grundlagen

2.1 Stufen der Modellbildung

Die zentrale Aufgabe dieser Arbeit ist die Möglichkeit, eine exakte Beschreibung des Skim- mingsverfahrens mit Hilfe numerischer Simulation (CFD) besser verstehen zu können und damit Erkenntnisse über das Verhalten des Systems unter bestimmten Rahmenbedingungen (Glattwasser, mit Ölpartikel und ohne Ölpartikel) zu erlangen.

Die numerische Simulation hat sich in letzter Zeit neben dem praktischen und dem theoreti­schen Ansatz als dritter, die beiden Wege verbindende Herangehensweise, herausgebildet. Dabei sind die folgenden Stufen der Modellierung zu charakterisieren, in die die Eigenschaf­ten und die Numerik eines Strömungsproblems eingehen.

Die Stufen der Modellbildung sind:

- Physikalisches Modell

Eigenschaften des Mediums, Strömungstyp, Konfiguration, physikalische Randbedin­gungen aus der Beobachtung der Realität

- Analytisches Modell

Zustandsgleichungen (z. B. Navier-Stokes Gleichungen), analytische Randbedingun­gen

- Numerisches Modell

Diskretisierung, Algebraisierung, Interpolation, Randbedingungs-Prozeduren

- Rechnerbezogenes Modell

Zahlendarstellung, numerische Stabilität, Algorithmen

Die oben genannten Modelle werden in den nächsten Zeilen im Bezug auf das Strömungs­problem genauer beschrieben.

2.2 Grundgleichungen der Strömungsmechanik

Die Erhaltungsgleichungen für Masse (skalar), Impuls (vektoriell) und Energie (skalar) in einem Strömungsfeld bilden die Grundlage für die numerische Simulation des strömungsme­chanischen Vorgangs.

Die Erhaltungsgleichungen in vektorieller Form lassen sich folgendermaßen schreiben:

Kontinuitätsgleichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

p kennzeichnet den Druck, f den Beschleunigungsvektor auf Grund einer externen Volumen­kraft, e steht für die innere Energie, q für den Wärmeflussvektor, Q für die Wärmeproduktion und Φ bezeichnet die Dissipationsfunktion.

Aus den drei Erhaltungsgleichungen werden die sogenannten Navier-Stokes Gleichungen (NSG) gebildet. Die Navier-Stokes Gleichungen beschreiben im Prinzip alle kontinumsme- chanischen Strömungen. Für kompressible instationäre Strömung, in kartesischen Koordina­ten, lauten die Navier-Stokes Gleichungen [6] in allgemeiner Form:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wobei f die spezifische Volumenkraft und σ der Spannungstensor sind. Nach der Stokes­Hypothese kann für ein homogenes, isotropes NEWTON-Fluid folgendes angenommen wer­den:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei p der statischen Druck und η die dynamische Viskosität sind. δ, der sogenannte Fun­damentaltensor (oder auch als KRONEKER-Symbol bezeichnet), ist ein Tensor zweiter Stufe und ist im kartesischen Koordinatensystem folgendermaßen definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

D der Deformationstensor, ist eine lineare Funktion des Geschwindigkeitsgradienten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei gradV ein Tensor ist und der Index T transponiert bedeutet.

Es ist jedoch nur in wenigen Fällen möglich, turbulente Strömungen mit der erforderlichen Genauigkeit zu beschreiben. Die numerische Berechnung einer Grenzschicht verlangt eine hohe Anzahl von Punkten, was die Kapazität der meisten heutigen Hochleistungsrechner aus­schöpft. Daher werden die Navier-Srokes Gleichungen nur zur Beschreibung laminarer Strö­mungen eingesetzt. Beispiel dafür ist die Beschreibung des gesamten Strömungsfeldes durch die Prandtlischen Grenzschichtgleichungen [5]. Dieses hat allerdings die Nachteile, dass die Grenzschichtgrößen nur bis zur Grenzschichtablösung berechenbar sind und es gilt nur für dünne Grenzschichten.

Um turbulente Strömungen und Grenzschichtablösung zu erfassen und deren rechnerische Behandlung zu ermöglichen, werden die Zustandsgleichungen von Geschwindigkeit und Druck jeweils in einen zeitlichen Mittelwert und eine stochastische Schwankungsgröße aufge­teilt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.1: Im Mittel stationäre Strömung (a), und im Mittel instationäre Strömung (b)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hier ist zu beachten, dass der zeitliche Mittelwert einer Größe u definiert ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für das Rechnen mit den Mittelwerten gelten folgende Regeln :

Es ist also zwar [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], aber [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist im allgemeinen ungleich Null.

Mit diesen Annahmen werden die Navier-Stokes Gleichungen in die sogenannten Reynolds­Gleichungen überführt [6].

2.3 Die RANS Gleichungen für Strömungen inkompressibler Fluide

Die oben genannten Gleichungen gelten im allgemeinen für kompressible Strömungen. Bei Strömungen kompressibler Fluide wird die Dichte mittels Massenerhaltungsgleichung und der Druck mittels Zustandgleichung berechnet.

Bei Strömungen inkompressibler Fluide ist die Dichte konstant, daher ist die zeitliche Ände­rung der Dichte in der Massenerhaltungsgleichung gleich Null, und damit tritt nur kleine Druckänderung im Strömungsgebiet auf. Bei diesen sogenannten inkompressiblen Fluide werden die Geschwindigkeitsverteilungen aus den entsprechenden Impulsgleichungen be­rechnet und die Druckverteilung entweder mit Hilfe einer modifizierten Kontinuitätsgleichung oder durch eine gekoppelte Lösung der Impulsgleichungen und der Kontinuitätsgleichung bestimmt. Dadurch entsteht das Problem, dass Zeitschrittverfahren durch die Entkopplung der Geschwindigkeit und des Druckes nicht mehr anwendbar sind. Die Lösungsmethoden für Strömungen inkompressibler Fluide sind im Abschnitt (2.8.1) genauer beschrieben.

Bei der Berechnung einer inkompressiblen Strömung kann die Energiegleichung nach der Bestimmung des Druck- und des Geschwindigkeitsfeldes entkoppelt gelöst werden. Durch die oben genannte Annahme, dass die Dichte ρ des Fluids konstant ist, also weder vom Druck noch von der Temperatur abhängt, lässt sich die Navier-Stokes Gleichung wie folgt beschrei­ben:

Kontinuitätsgleichung bei inkompressibler Strömung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Auf der linken Seite stehen die substantialen Ableitungen der Geschwindigkeiten. Auf der rechten Seite folgen die partiellen Ableitungen des Druckes p, μ ist die dynamische Viskosi­tät, die Terme mit der zweifachen partialen Ableitung beschreiben die Diffusion, f ist ein Beschleunigungsvektor aus einer Volumenkraft (Beispielsweise würde die Erdbeschleunigung bei Berechnungen mit freier Oberfläche als fZ berücksichtigt.).

Mit der Annahme, dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], lauten die zeitlich gemittelten Navier-Stokes Gleichungen (RANSE) bei inkompressibler Strömung mit der vereinfachten Schreibweise:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die Vereinfachung der Schreibweise werden die Ableitungen wie folgt abgekürzt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wie man hier sieht, unterscheiden sich die Reynolds-Gleichungen von der Navier-Stokes Gleichungen durch die zusätzlichen sogenannten turbulenten Scheinspannungen oder Rey­nolds-Spannungen Terme:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die sogenannten Reynolds-Spannungen sind zusätzliche Unbekannte, die am Fluidelement zusätzliche Spannungen aufbringen. Das System der Differentialgleichungen ist daher nicht mehr geschlossen und es müssen zur Bestimmung der Reynolds-Spannungen weitere Glei­chungen aufgestellt werden, die diese mit den zeitlich gemittelten Größen verknüpfen.

2.4 Turbulenzmodelle

Für die Berechnung turbulenter Strömungen gelten die zeitlich gemittelten Navier-Stokes Gleichungen (RANSE). Darin werden die Auswirkungen der turbulenten Schwankungsbewe­gungen auf die gemittelte Strömung und nicht die Turbulenzen selbst durch Turbulenzmodelle modelliert. Die Turbulenzmodelle können in zwei verschiedene Gruppen mit unterschiedli­chen Ansätzen zur Turbulenzmodellierung eingeteilt werden:

- Wirbelviskositätsmodelle
- Reynolds-Spannungsmodelle (RSM)

Bei den sogenannten Reynolds-Spannungsmodellen werden die Komponenten des Tensors der turbulenten Scheinspannungen in der RANS-Gleichung gelöst, d.h. bei einem RSM treten sechs zusätzlichen Variablen auf, die modelliert werden müssen und zwar durch Differential­gleichungen (Differentialgleichungsmodelle) oder durch algebraische Ansätze (algebraische Reynoldsspannungsmodelle). Der Vorteil der RSM ist, dass insbesondere der Anistotropie der Turbulenz-Rechnung getragen wird, die in Wandnähe oder in Ablösungsgebieten eine Rolle spielt. Auf der anderen Seite braucht das RSM durch die zusätzlichen aufgetretenen Variablen erheblich mehr Rechenzeit und Speicherbedarf gegenüber den Wirbelviskositätsmodellen.

Die Wirbelviskositätsmodelle basieren auf dem Wirbelviskositätsprinzip von Boussinesq (1877), bei dem die molekulare Viskosität durch eine turbulente Wirbelviskosität μτ ersetzt wird. Die Wirbelviskosität μτ ist keine Stoffgröße, sondern hängt nur von der Turbulenz­struktur ab.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei:

VT : charakteristische Geschwindigkeit l : Längenmaß

Die turbulenten Scheinspannungen werden durch eine scheinbare skalare turbulente Viskosi­tät (Wirbelviskosität) mit den Geschwindigkeitsgradienten in Beziehung gesetzt.

Annahme:

Isotrope Turbulenz: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in jeder Raumrichtung Boussinesq-Ansatz für Reynoldstensor:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die in der Gleichung auftretende mittlere turbulente kinetische Energie k ist als Summe der turbulenten Normalspannungen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

definiert. Zur Bestimmung der turbulenten Wirbelviskosität werden zum einen algebraische Beziehungen (Null-Gleichungsmodelle) wie beim Prandtlischen Turbulenzmodell (1925) oder den Turbulenzmodellen von Cebeci und Smith (1974) verwendet. Diese Methode ist allerdings nur für einfache Strömungen, also ohne Ablösung und bei dünnen Grenzschichten gut anwendbar.

Zum zweiten werden Ein-Gleichungs-Modelle eingesetzt, bei denen die Wirbelviskosität mit der die Turbulenz charakterisierenden Größe verknüpft wird, für die eine modellierte Trans­portgleichung gelöst wird.

Zum dritten werden Zwei-Gleichungs-Modelle eingesetzt. Am meisten verbreitet ist das so­genannte Standart-k-8-Modell, in dem k, wie bereits erwähnt, die mittlere turbulente kineti­sche Energie ist und ε die Dissipationsrate von k.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Änderung von k = Diffusion von k + Erzeugung von k - Dissipation von k

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Änderung von ε = Diffusion von ε + Erzeugung von ε - Dissipation von ε

Die in diesem Modell auftretenden Konstanten wurden durch analytische Überlegungen [6, 9], über Computeroptimierung und Vergleich mit Experimenten bestimmt.

Da das k-ε-Standard-Modell auf die Boussinesq-Hypotese (Strömung sei Isotrope) aufgebaut ist, wird die Genauigkeit der Ergebnisse bei gekrümmten Stromlinien und rotierender Strö­mung stark beeinflusst. Daher ist ein verbessertes k^-Modell für die Genauigkeissteigerung notwendig.

Es wurde eine Reihe von neuen Turbulenzmodellen entwickelt, die je nach Anwendungsfall eine gezielte Genauigkeitserhöhung ermöglichen. Zu erwähnen sind hier beispielsweise das RNG-k-ε- oder das Realizable-k-ε-Modell.

Dabei ist zu beachten, dass bei den neuen Modellen die Rechenzeit sich gegenüber dem Stan- dard-k-ε-Modell um 15% - 20% erhöht. Für die Ölskimmer-Untersuchung wurden das Stan- dard-k-ε-Modell und RNG-k-ε-Modell verwendet.

Das RNG-k-s-Modell, wie auch das k-s-Standard-Modell, gelten im allgemeinen nur für die vollturbulente Schicht, d.h. in der Nähe fester Wände ist das k-s-Turbulenzmodell selbst nicht mehr gültig. Zum einen liegt dies an der geringen Geschwindigkeit des Fluids in Wandnähe (niedrige lokale Reynoldszahl). Das k-s-Modell besitzt jedoch nur Gültigkeit für große Rey­noldszahlen. Zum andern werden in der Nähe fester Wände die turbulenten Schwankungen senkrecht zur Wand gedämpft, so dass eine weitere Voraussetzung des k-s-Modells, die oben genannte Annahme isotroper Turbulenz, ebenfalls nicht mehr erfüllt ist. Daher wird hier in der Nähe von reibungsbehafteten Wänden eine Wandfunktion eingefügt.

2.5 Wandfunktion

Die Modellierung des Wandnahbereichs basiert auf der Struktur der turbulenten Grenzschicht. An festen Wänden bildet sich in turbulenten Strömungen eine dünne Grenzschicht aus (Abb. 2.2), die meist aus drei prinzipiellen Bereichen besteht. Direkt an der Wand ist die Strö­mungsgeschwindigkeit aufgrund der Haftung des Fluids an der Wand sehr gering. Die Strö­mung in der Grenzschicht ist in diesem Bereich annähernd laminar (viskose Unterschicht). Darüber liegt eine Übergangszone (Buffer-Schicht) zwischen viskoser Unterschicht und voll­turbulenter Schicht, in der die Strömung lokal instabil wird. Noch weiter weg von der Wand liegt dann die vollturbulente Schicht.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.2: Der Umschlag laminar - turbulent

Aus genäherten Berechnungen des Strömungsprofils im Wandbereich sowie aus experimen­tellen Daten werden auf empirischem Weg sogenannte Wandfunktionen ermittelt, die das Verhalten der Strömung im wandnahen Bereich beschreiben. Damit lässt sich die viskose Un­terschicht aus dem Berechnungsgebiet eliminieren und statt dessen mittels der Wandfunktio­nen in den Randbedingungen modellieren. In der Buffer-Schicht und der vollturbulenten Schicht wird die Strömung diskretisiert und berechnet.

In der viskosen Unterschicht wird die Strömungsgeschwindigkeit mit einer Wandfunktion, dem logarithmischen Wandgesetzt, berechnet. Hierbei wird ein logarithmischer Zuwachs der Geschwindigkeit nach außen angenommen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das logarithmische Wandgesetzt wird in der numerischen Berechnung in der innersten Zell­schicht an einer reibungsbehafteten Wand angewendet. Außerhalb dieses Bereich wird mit dem verwendeten Turbulenzmodell gerechnet. Deshalb ist die Zelldicke an der Wandoberflä­che von besonderer Bedeutung.

Bei der Berechnung des Strömungsprofils entstehen allerdings zusätzliche Probleme. Insbe­sondere ist nicht klar, wie groß die Zelldicke in der Wandnähe sein muss. Als Kontrolle für eine ausreichend kleine Zelldicke dient der dimensionslose Wandabstand y+. Dieser ist wie folget definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hierbei sind ν die kinematische Viskosität [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und y der Wandabstand.

Der dimensionslose Wandabstand ist keine von vornherein bestimmbare geometrische Größe, da die Wandschubspannungsgeschwindigkeit mit eingeht. Aus diesem Grund kann man erst nach einer durchgeführten Berechnung bewerten, ob der Wandabstand klein oder groß genug gewählt war. Zu beachten ist insbesondere, dass die konstant zu haltenden Werte für den di­mensionslosen Wandabstand dazu führen, dass der geometrische, dimensionsbehaftete Wand­abstand für Berechnungen bei steigender Reynoldszahl kleiner werden muss. Deshalb müssen für Berechnungen von Großausführungen, bei denen deutlich größere Reynoldszahlen auftre­ten, aufwendige Netze generiert werden.

2.6 Generierung der freien Oberfläche

2.6.1 Allgemeine Methoden

Im vorherigen Abschnitt wurden Strömungen nur in fest vorgegebenen Gebieten berechnet, bei denen die Zustandgleichungen von Geschwindigkeit und Druck ohne freie Oberfläche ermittelt werden. Um zusätzlich die Berechnung der Verformung der freien Oberfläche und deren Einfluss auf den Ölfilmpartikel und auf den Ölskimmer in einem turbulent viskosen Lösungsverfahren zu ermöglichen, gibt es unterschiedliche Lösungsansätze. Eine Möglichkeit sind die sogenannten Marker-Partikeln Methoden [18], wie z. B. MAC-Marker (marcer-and- cell). Zweite Möglichkeit sind die sogenannten Moving Boundary Methoden (Mitbewegter Gitterrand). Die Idee dabei ist die Formulierung einer Randbedingung an der Phasengrenzflä­che (PGF), an der die folgenden zwei Bedingungen zu erfüllen sind:

- kinematische Randbedingung

- Die Normalgeschwindigkeit der Phase ist gleich der Normalgeschwindig­keit der Phasengrenzfläche.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mPGF : die zeitliche Änderung der Phasengrenzfläche

- dynamische Randbedingung

- Die an der PGF angreifenden Kräfte befinden sich im Gleichgewicht, d.h. die Normalkräfte auf beiden Seiten der PGF sind gleich groß aber entge­gengesetzt gerichtet.
- Auf beiden Seiten sind die Tangentialkräfte gleich groß und gleich gerich­tet.

Diese Methode ist allerdings nur bei der freien Oberfläche ohne Ölfilmpartikel (Zwei­Phasenströmung) gut geeignet und hat eine scharfe Darstellung an der PGF.

In dieser Arbeit besteht das besondere Interesse darin, die freie Oberfläche mit Ölfilm oder Ölpartikeln zu untersuchen. Deshalb ist die Moving Boundary Methode für diese Aufgabe nicht gut geeignet.

Ein anderer Ansatz ist die Volume of Fluid-Methode (VOF). Auf diese Methode wird hier näher eingegangen, da sie im Strömungslöser (STAR-CD) die Standardmethode für die Be­rechnungen von turbulenten Strömungen mit freier Oberfläche ist.

2.6.2 VOF Methode zur Berücksichtung der freien Oberfläche

Die Möglichkeit, die die VOF-Methode uns bietet ist, zwei oder drei Phasen in einem Strö­mungsgebiet bzw. eine freie Oberfläche zu berechnen. Auf diese Weise wird gegenüber der Rechnung mit nur einem Medium eine neue Variable, die Volumen-Fraktionszahl q’, einge­führt. Diese Variable beschreibt die Phasenanteile eines Fluids in einer Zelle i:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.3: Verschiedene Größen der Variablen in Berechnungsgitterzellen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Zelle, die die Phasengrenze enthält, muss eine freie Oberfläche enthalten. Als zusätzliches Kriterium dafür wird angegeben, dass sie mindestens eine Nachbarzelle besitzen muss, die leer ist, d.h. das Verfahren soll eine scharfe Trennschicht für die freie Oberfläche ermitteln. Weiterhin wird an der Grenzoberfläche innerhalb dieser Zelle angenommen, dass die beiden Fluide gleiche Geschwindigkeit, gleiche Temperatur und gleichen Druck haben.

Die VOF-Methode ist sehr rechenintensiv, da man besonders an der Grenzoberfläche den Zel­len eine geringe Dicke zuordnet, so dass die Dichte und die Zähigkeit sich zwar stark aber kontinuierlich ändern (Abb. 2.4). Demzufolge vervielfacht sich die Anzahl der Zellen inner­halb des Rechengebietes, welches den Rechenaufwand erhöht. Nicht zu Vergessen bei der VOF-Methode ist, dass diese gegenüber anderen Methoden (siehe oben) die Möglichkeit bie­tet, beispielsweise brechende Wellen oder Öl-Wasser-Gemische zu erfassen. Die VOF- Methode wird heute schon in vielen Bereichen wie z. B. in der Verfahrenstechnik, eingesetzt, da sie sehr universell anwendbar ist und mehrere, evtl. auch miteinander reagierende Phasen innerhalb eines Berechnungsgebietes gestattet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.4: Kontinuierlicher Übergang Wasser (rot) zu Luft (Blau)

2.7 Euler-Langrange-Methode zur Ölmodellierung

Wie bereits im Abschnitt (2.6.2) erwähnt wurde, kann man mit der VOF-Methode zwei- oder dreiphasige Strömungen berechnen. In Star-CD ist es leider nicht möglich, die dritte Phase innerhalb der VOF-Methode zu definieren. Dagegen bietet Star-CD die Möglichkeit, die Be­rechnung der dritten oder vierten Phase durch die Euler-Langerage-Methode zu modellieren.

In dieser Methode wird das Fluid in einer primären und einen sekundären Phase beschrieben. Die primäre Phase (eulerische Betrachtungsweise) wird als Wasser oder Luft definiert und die eine oder mehreren sekundären Phasen (langrangische Betrachtungsweise) werden in der Form von Partikeln (z.B. Tröpfchen für Flüssigkeiten und Blasen für Gase) definiert.

Im allgemeinen wird die Bewegung der sekundären Phase (Abb. 2.5) durch die primäre Phase beeinflusst und umgekehrt. Die Wechselwirkungen zwischen der primären und sekundären Phase werden durch die Wärme-, Massen- und Impulsflusse wie folgt berechnet:

Kräftegleichgewicht des Tröpfchens

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hier sind:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ad die Oberfläche des Tröpfchens, Cd die Reibkoeffizienten, U Geschwindigkeit des Fluides, ud Geschwindigkeit des Tröpfchens.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Vd das Volumen des Tröpfchens, Vp der Druckgradient im Fluid, p beinhaltet alle hydrostati­sche Komponenten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.5: Bewegung eines Tröpfchens

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Cam der virtuelle Massenkoeffizient.

4. Fb ist die Schwerkraft

Fb = md -[g+ω x (ω x r)+2-(ω x ûd)] (2.30)

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g die Erdbeschleunigung, ω die Winkelgeschwindigkeit, r der Abstandsvektor der Rotati­onsachse.

In der Grafik aufgetretene Größen sind: d Index für Tröpfchen (droplet), [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Geschwindigkeit, Dd Durchmesser, md Massenfluss. Koeffizienten, Wärmefluss und Energiegleichung sind in der Literatur [9] beschrieben.

2.8 Numerische Aspekte

2.8.1 Lösungsalgorithmen

Der nächste Schritt der numerischen Strömungsberechnung besteht aus der Diskretisierung der Gleichungen, die zur mathematischen Modellierung des Strömungsproblems ausgewählt werden. Bei den Grundgleichungen der Strömungslehre handelt es sich in der Regel um par­tielle Differentialgleichungen. Durch Diskretisierung des Rechengebiets liegt das nichtlineare gekoppelte Gleichungssystem der Strömungszustandsgrößen in Form von algebraischen Fini- te-Volumen-Gleichungen vor. Dieses Gleichungssystem hat im allgemeinen eine sehr große, aber nur dünn besetzte Systemmatrix. Zur Lösung derartiger Gleichungssysteme sind ver­schiedene Lösungsalgorithmen entwickelt worden. Die Lösungsalgorithmen [6, 3] für Strö­mungen inkompressibler Fluide sind:

- Poisson-Gleichung für den Druck, ersetzt die Massenerhaltungsgleichung
- Druckkorrekturverfahren
- Methode der künstlichen Kompressibilität.

In dieser Arbeit wird auf das Druckkorrekturverfahren, das in vielen Srömungslöser- Programmen verwendet wird, eingegangen. Das Druckkorrekturverfahren erfordert äußere und innere Iterationen. Die äußeren Iterationen dienen der Lösung der Impulserhaltungsglei­chungen, die inneren dienen der Druckkorrektur (aus Gründen der Übersichtlichkeit werden

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.6: Eindimensionales Problem

die folgenden Ausführungen für eindimensionale Probleme formuliert).

Das Druckkorrekturverfahren arbeitet mit dem sogenannten Prediktor-Korrektor Verfahren, in denen durch Aufspaltung der Operatoren die Strömungsgleichungen vorübergehend vonein­ander entkoppelt werden, so dass sie einzeln gelöst werden können. Im Prediktor-Schritt wird zuerst ein provisorisches (geschätztes) Druckfeld P* ermittelt. Danach wird P* benutzt, um die Geschwindigkeit u aus den Impulserhaltungsgleichungen zu bestimmen. Da das Druckfeld P* provisorisch ermittelt wird, ergebt sich zuerst die vorläufige Geschwindigkeit u*. Diese vor­läufige Geschwindigkeit erfüllt allerdings nicht die Massenerhaltungsgleichung, deshalb wird ein Druckkorrektor P’ berechnet, so dass

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

die Massenerhaltungsgleichung erfüllt wird. Anschließend werden Geschwindigkeitskorrekto­ren

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

aus P’ berechnet. In einem oder mehreren Iterationsschritten werden mit Hilfe der Beziehun­gen (2.31 und 2.32) der Drück und die Geschwindigkeit korrigiert, bis P’ und u’ zu Null wer­den. Die Druckkorrekturverfahren unterscheiden sich hinsichtlich der Berücksichtigung von Geschwindigkeitskorrektoren an den Nachbarpunkten und der Diskretisierung der konvekti­ven und diffusiven Terme.

Ein gängiges Verfahren, das das Programm Star-CD anbietet, ist die sogenannte SIMPEL­Methode (semi implicit pressure linked equations). Diese Methode ist besonders für stationäre Berechnungen geeignet, obwohl auch instationäre Berechnungen durch mehrere Iterationen in einem Zeitschritt vorgenommen werden können. Die SIMPEL-Methode ist eine schnelle Me­thode, sie hat dagegen die folgende Nachteile:

- Vernachlässigung der Geschwindigkeiten an den Nachparpunkten
- Unvollständige Druck-Geschwindigkeitskopplung
- Empfindlich bei ungünstig gewählten Netzen

Das zweite Druckkorrekturverfahren, welches das Star-CD Programm anbietet, ist die PISO- Methode. Bei dieser Methode werden zusätzlich 2. Druckkorrekturgleichungen gelöst. Die PISO-Methode führt mehrere Korrekturschritte durch und ist daher numerisch stabiler und besser für instationäre Berechnungen geeignet als die SIMPEL-Methode. Im Rahmen dieser Arbeit wird für die stationäre Strömung die SIMPEL-Methode verwendet und für die instatio­näre Strömung die PISO-Methode.

2.8.2 Differenzenquotienten (differencing schemes)

Bei der Finite Volumen Methode werden die Erhaltungsgleichungen auf jede einzelne Zelle in integraler Form angewandt, wodurch die Erhaltung von Masse und Impuls auch im gesamten Berechnungsgebiet sichergestellt wird. Da die Erhaltungsgleichungen in integraler Form vor­liegen, ist es notwendig, die Strömungszustandsgrößen an den Berechnungsflächen der ein­zelnen Kontroll-Volumen zu kennen. Um die Werte an den Grenzflächen der Zellen zu be­rechnen, müssen die Strömungszustandsgrößen aus Finiten Differenzen (FD) ermittelt wer­den. In Finiten Differenzen Methoden (FDM) werden die Zustandgrößen in den Gitterknoten berechnet. Die auftretenden Ableitungen (Differentialquotienten) müssen durch Differenzen­quotienten, die durch eine Taylor-Reihenentwicklung hergeleitet werden können, approxi­miert werden. Dies geschieht mit Hilfe verschiedener Interpolationsmethoden (differencing scheme). Am weitesten verbreitet sind das Up-wind differencing scheme (UD) sowie das Central differencing scheme (CD).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beim UD-Verfahren werden die Zustandsgrößen aus dem Wert in der stromauf gelegenen Zelle bestimmt. Der sogenannte Abbruchfehler, der ein Maß für die mögliche Genauigkeit eines Verfahrens darstellt, ist bei UD-Verfahren von erster Ordnung:

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Der Vorteil des Verfahrens ist die numerisch Stabilität. Dem entgegen stehen die Nachteile einer relativ großen numerischen Diffusion, was dazu führt, dass starke Änderungen in den Ableitungen „verschmiert“ wiedergegeben werden. Dieses Verfahren wird meist für die kon­vektiven Terme benutzt.

Das CD-Verfahren bildet den Differenzquotienten aus der stromauf- und stromabwärts gele­genen Zelle. Sein Abbruchfehler ist von zweiter Ordnung:

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Damit ist dieses Verfahren genauer als das UD-Verfahren, kann jedoch oszillierende Lösun­gen (numerisch instabiler) liefern und benötigt auch etwas mehr Rechenzeit.

Es gibt noch viele andere Interpolationsverfahren [3, 4, 5]. Diese werden hier jedoch nicht weiter erläutert, da sie in dieser Arbeit keine Anwendung finden.

2.8.3 Zeitschrittweite

Oft hängt die numerische Stabilität der Berechnungen von der ausgewählten Zeitschrittweite Δΐ ab, denn Stabilität kann nur dann vorliegen, wenn für die Zeitschrittweite eine obere und eine untere Grenze eingehalten wird. Eine Abschätzung, ob die gewählte Zeitschrittweite dem Problem angepasst ist, liefert die Courant-Zahl (Co):

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mit V = Geschwindigkeit des Fluides, ΔΧ = Zellengröße in betrachteter Bewegungsrichtung. Die Courant-Zahl beschreibt das Verhältnis zwischen pro Zeitschritt zurück gelegtem Weg und der Gitterweite. Es wird darauf geachtet, dass die Courant-Zahl bei den Berechnungen im Normalfall < 1 bleibt. Für die folgenden Berechnungen wird Co = 0,3 gewählt. Die Zeit­schrittweite Δΐ wird dann durch die Co-Zahl, die Geschwindigkeit V und die Zellengröße ΔΧ berechnet. Allerdings wird die Zeitschrittweite nochmals während der Berechnung au­tomatisch in Star-CD an die Zellgröße angepasst.

Eine zu große Zeitschrittweite (also großer als Zellgröße ΔΧ ) kann Änderungen in den Zu­standsvariablen nicht hinreichend erfassen und führt schnell zu divergierenden Ergebnissen, so dass die Rechnung abbricht.

3 Geometriemodellierung

Die geometrische Beschreibung der Oberfläche eines umgeströmten Körpers oder durch­strömten Hohlkörpers bezeichnet man als Geometriedefinition. Je nachdem, ob es sich um einfache oder komplexe Geometrien handelt, wählt man eine entsprechende Methode [1] zur Geometriedefinition.

Um die Strömungsberechnungen mit der Finite-Volumen-Methode durchzuführen, muss die Geometrie mit einem virtuellen Gitter überzogen werden. Die Geometrie muss sorgfältig und maßgenau durch das generierte Netz wiedergegeben werden, damit alle wesentlichen Effekte, die eine Wirkung auf die Lösung des Problems haben, berücksichtigt werden. Bei diesen Un­tersuchungen wurde das Programm GID verwendet. Mit diesem Programm hat man die Mög­lichkeit, nicht nur die Geometrie zu erstellen, sondern hierfür auch ein entsprechendes Re­chengitter (siehe Abschnitt 3) zu erzeugen.

Wenn die beschriebene Oberfläche komplex ist, sollte die Definition zweckmäßigerweise mit Hilfe eines CAD-System (computer aided design, computerunterstützte Konstruktion) oder einem anderen geeigneten Geometriemodellierungsprogramm erfolgen. Das untersuchte neu­artige Skimmingsverfahren stellt eine solche komplexe Geometrie dar. Mit Hilfe des Pro­gramms GID [8], welches die Oberfläche durch einfache räumliche Flächen (Ebene, Kugel, Rechtsecke, Kreise, usw.) oder durch punktweise Definition darstellt, wird die Ölskimmerge­ometrie (Abb. 3.1) erstellt.

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Technische Modelldaten: Länge über alles:

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Die Vorteile der Geometriemodellierung durch das Programm GID liegen nicht nur in der Möglichkeit, schnell auf bereits vorhandene Geometriedaten (Abb. 3.2) zugreifen zu können, um die Geometrie zu verändern oder zu verbessern, sondern auch die hohe Flexibilität zwi­schen den Gitterblöcken und den Geometrien (wenn man die Geometrie innerhalb des Strö­mungsgebietes ändert, ändert sich das Gitter automatisch).

Die Konturdaten vom Innenraum des Ölskimmers wurden vom Forschungsprojekt „Entwick­lung eines Ölskimmingverfahrens zur seegangsunabhängigen Ölbekämpfung“ (ILS, TU- Berlin) als CAD-Zeichnung (Abb. 3.2) bereitgestellt.

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Abb. 3.2: CAD-Zeichnung für verschiedene Innenraumformen

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