In hyperbolischen Differentialgleichung, wie etwa bei den Erhaltungsgleichungen, können Lösungen oft sogenannte shocks - zu deutsch etwa Sprünge - enthalten.
Wünschenswert war und ist daher eine Art der Methode zur numerischen Berechnung von Lösungen zu finden, die mit diesen auftretenden Unstetigkeiten umzugehen, vermag. Die spezielle Art der Problemformulierung in der Discontinuous Galerkin Methode erlaubt Unstetigkeiten entlang einzelner Elementkanten und sie unterstützt damit die Verwendung allgemeiner, unstrukturierter Gitter.
Man kann wohl sagen, dass sich die Motivation, daher auch Anfänge und Schwerpunktsgebiete der Discontinuous Galerkin Methode in Arbeiten zu der numerischen Untersuchung von Lösungen der hyperbolischen Probleme wiederfinden. [..]
In dieser Arbeit wollen wir unser Augenmerk speziell auf die Theorie der Discontinuous Galerkin Methode für elliptische Differentialgleichungen lenken. Dabei orientiert sich die Ausarbeitung hauptsächlich an Arnold, Brezzi, Cockburn, Marini, Castillo, Perugia, Manzini, Pietra und Russo [2],[3],[4]. [..]
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
2 Vorteile der Discontinuous Galerkin Methoden
3 Discontinuous Galerkin Methoden für elliptische Probleme
3.1 Ausgangsproblem
3.2 Fluss-Formulierung
3.3 Primale Formulierung
3.4 Beispiele
3.4.1 Die Methode von Bassi und Rebay [5]
3.4.2 Die LDG-Methode [17]
3.4.3 Die klassische IP-Methode [18]
3.4.4 Die Methode von Baumann und Oden [7]
3.4.5 Die Methode von Brezzi et al. [13]
3.4.6 Die Methode von Bassi et al. [6]
3.4.7 Methode von Babuška-Zlámal [4]
3.5 Konsistenz
3.6 Beschränktheit, Stabilität und Approximationseigenschaften
3.6.1 Beschränktheit
3.6.2 Stabilität
3.6.3 Approximationseigenschaften
3.7 Fehlerabschätzung
3.7.1 Unterscheidung für stabile, vollständig konsistente Methoden
3.7.2 Untersuchung für inkonsistente Methoden und verschärfte Strafterme
3.7.3 Untersuchung für schwach-stabile Methoden
4 Discontinuous Galerkin Methoden für hyperbolische Probleme
4.1 Ausgangsproblem und Variationsformulierung
4.2 Konsistenz und Stabilität
4.3 A priori Fehlerabschätzung
5 Die DG- Methode für Elastizitätsprobleme in der Sattelpunktformulierung
5.1 Einführung
5.2 Ausgangsproblem
5.3 Schwache Formulierung
5.4 Existenz und Eindeutigkeit
5.4.1 Stabilität
5.4.2 Inf- Sup- Bedingung
5.5 Fehlerabschätzung
6 Notation
Zielsetzung & Themen
Die Diplomarbeit liefert einen umfassenden theoretischen Rahmen für Discontinuous Galerkin (DG) Methoden zur numerischen Lösung verschiedener partieller Differentialgleichungen. Ziel ist die einheitliche Herleitung der Theorie für elliptische Probleme sowie deren Erweiterung und Anwendung auf hyperbolische Probleme und Elastizitätsprobleme in der Sattelpunktformulierung.
- Grundlagen und Vorteile der Discontinuous Galerkin Methoden
- Methodenentwicklung für elliptische Differentialgleichungen
- Anwendung auf hyperbolische Advektions-Diffusions-Probleme
- Sattelpunktformulierung bei Elastizitätsproblemen zur Vermeidung von Locking-Effekten
- Theoretische Stabilitäts- und Konvergenzanalyse sowie Fehlerabschätzungen
Auszug aus dem Buch
3.4.1 Die Methode von Bassi und Rebay [5]
Die einfachste und natürlichste Wahl der numerischen Flüsse wird erreicht, indem die Koeffizienten c22, c11 und c12 gleich Null gesetzt werden. Diese naheliegende Wahl der numerischen Flüsse verstößt jedoch gegen unsere gestellte Bedingung, dass c11 stets positiv gewählt werden muss. Es überrascht daher auch nicht, dass diese Art der scheinbar einfachen Besetzung der numerischen Flüsse, später Probleme - nämlich bezüglich Stabilitätseigenschaften - aufweisen wird. Da es uns aber, wie später in Abschnitt 3.7.3 für Sonderfälle gezeigt wird, möglich ist, auch für diese Methode optimale Fehlerordnungen zu ermitteln, wurde die Methode von Bassi und Rebay, trotz Verletzung zuvor gestellter Voraussetzungen an die Konstanten, in unsere Beispielliste aufgenommen.
Man erhält nun
u^ = {uh} auf Γ0,
u^ = 0 auf ∂Ω,
q^ = {qh} auf Γ.
Besonderes Augenmerk sollte man auf die Wahl von u^ legen. Die Wahl ist nämlich besonders trickreich:
Lemma 2. Wird u^ als Durchschnitt gewählt, folgt für den Sprung [u^] = 0.
Beweis: Aus u^ = {uh} = 1/2(u+h + u−h) ergibt sich, dass [u^] = [{uh}] = 1/2(u+h + u−h) · n+ + 1/2(u+h + u−h) · n−. Da n+ = −n− gilt, ist [u^] = 0. Das heisst, obwohl nicht notwendigerweise stetige Funktionen benutzt werden, kann man dennoch bewirken, dass keine Sprünge auftreten. Man könnte diese Eigenschaft als Pseudostetigkeit bezeichnen.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einführung: Diese Einleitung stellt die Motivation für Discontinuous Galerkin Methoden dar und gibt einen Überblick über den Aufbau der Arbeit hinsichtlich elliptischer, hyperbolischer und Elastizitätsprobleme.
2 Vorteile der Discontinuous Galerkin Methoden: Hier werden die Flexibilität bei Gitterwahlen, die Eignung für h-, p- und hp-Adaptivität sowie die elementweise Erhaltung physikalischer Größen als zentrale Vorteile diskutiert.
3 Discontinuous Galerkin Methoden für elliptische Probleme: Dieses Kapitel bildet den Hauptteil der Arbeit, in dem die Theorie der DG-Methoden für elliptische Differentialgleichungen detailliert hergeleitet, verschiedene methodische Beispiele (Bassi-Rebay, LDG, IP, etc.) verglichen und Stabilitätseigenschaften analysiert werden.
4 Discontinuous Galerkin Methoden für hyperbolische Probleme: Die theoretischen Ansätze werden hier auf skalare, stationäre hyperbolische Gleichungen übertragen, wobei besonders die Stabilitätsanalyse durch Sprungstrafterme im Vordergrund steht.
5 Die DG- Methode für Elastizitätsprobleme in der Sattelpunktformulierung: Es wird untersucht, wie DG-Methoden bei der linearen Elastizität eingesetzt werden können, um numerische Locking-Effekte bei fast inkompressiblen Materialien zu vermeiden.
6 Notation: Eine übersichtliche Liste der in der Arbeit verwendeten mathematischen Symbole und Bezeichnungen.
Schlüsselwörter
Discontinuous Galerkin Methoden, Elliptische Probleme, Hyperbolische Probleme, Elastizitätstheorie, Sattelpunktformulierung, Finite-Element-Methoden, Numerische Stabilität, Fehlerabschätzung, Konvergenzordnung, h-p-Adaptivität, Konsistenz, Locking-Effekte, Variationsformulierung, Numerische Flüsse, Sobolev-Räume.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Diplomarbeit befasst sich mit der mathematischen Theorie und Anwendung von Discontinuous Galerkin (DG) Methoden zur numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen in verschiedenen Problemstellungen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zentrale Themen sind die einheitliche Formulierung von DG-Methoden für elliptische und hyperbolische Probleme sowie deren spezielle Anwendung in der Elastizitätstheorie zur Vermeidung von Locking-Effekten.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das primäre Ziel ist es, einen allgemein gültigen Rahmen für verschiedene DG-Methoden zu schaffen und deren Konsistenz sowie Stabilitätseigenschaften systematisch zu analysieren.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit nutzt Variationsformulierungen und analysiert die Stabilität und Konvergenz der numerischen Lösungen mittels funktionalanalytischer Methoden wie der Lax-Milgram-Theorie und Inf-Sup-Bedingungen.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die theoretische Herleitung der DG-Methoden für elliptische Gleichungen, die Behandlung hyperbolischer Advektions-Diffusions-Probleme sowie die Sattelpunktformulierung für Elastizitätsprobleme.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit lässt sich primär durch Begriffe wie Discontinuous Galerkin Methoden, numerische Stabilität, Fehlerabschätzung, Konvergenz und Variationsformulierung charakterisieren.
Wie unterscheidet sich die Methode von Bassi und Rebay von der IP-Methode?
Die Methode von Bassi und Rebay zeichnet sich durch eine spezielle, "trickreiche" Wahl der numerischen Flüsse aus, die zwar stetige Ergebnisse bewirken kann, aber ohne zusätzliche Stabilisierung instabil ist, während die IP-Methode (Interior Penalty) explizite Strafterme nutzt.
Warum wird die Sattelpunktformulierung bei Elastizitätsproblemen betrachtet?
Die Sattelpunktformulierung wird genutzt, um bei nahezu inkompressiblen elastischen Materialien das sogenannte "Locking" zu vermeiden, das bei Standard-Finite-Element-Methoden zu ungenauen oder entarteten numerischen Ergebnissen führt.
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- Dipl. Math. Stefanie Winter (Author), 2004, Discontinuous Galerkin Methods, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/80765
