In hyperbolischen Differentialgleichung, wie etwa bei den Erhaltungsgleichungen, können Lösungen oft sogenannte shocks - zu deutsch etwa Sprünge - enthalten.
Wünschenswert war und ist daher eine Art der Methode zur numerischen Berechnung von Lösungen zu finden, die mit diesen auftretenden Unstetigkeiten umzugehen, vermag. Die spezielle Art der Problemformulierung in der Discontinuous Galerkin Methode erlaubt Unstetigkeiten entlang einzelner Elementkanten und sie unterstützt damit die Verwendung allgemeiner, unstrukturierter Gitter.
Man kann wohl sagen, dass sich die Motivation, daher auch Anfänge und Schwerpunktsgebiete der Discontinuous Galerkin Methode in Arbeiten zu der numerischen Untersuchung von Lösungen der hyperbolischen Probleme wiederfinden. [..]
In dieser Arbeit wollen wir unser Augenmerk speziell auf die Theorie der Discontinuous Galerkin Methode für elliptische Differentialgleichungen lenken. Dabei orientiert sich die Ausarbeitung hauptsächlich an Arnold, Brezzi, Cockburn, Marini, Castillo, Perugia, Manzini, Pietra und Russo [2],[3],[4]. [..]
Inhaltsverzeichnis
- 1 Einführung
- 2 Vorteile der Discontinuous Galerkin Methoden
- 3 Discontinuous Galerkin Methoden für elliptische Probleme
- 3.1 Ausgangsproblem
- 3.2 Fluss-Formulierung
- 3.3 Primale Formulierung
- 3.4 Beispiele
- 3.4.1 Die Methode von Bassi und Rebay [5]
- 3.4.2 Die LDG-Methode [17]
- 3.4.3 Die klassische IP-Methode [18]
- 3.4.4 Die Methode von Baumann und Oden [7]
- 3.4.5 Die Methode von Brezzi et al. [13]
- 3.4.6 Die Methode von Bassi et al. [6]
- 3.4.7 Methode von Babuška-Zlámal [4]
- 3.5 Konsistenz
- 3.6 Beschränktheit, Stabilität und Approximationseigenschaften
- 3.6.1 Beschränktheit
- 3.6.2 Stabilität
- 3.6.3 Approximationseigenschaften
- 3.7 Fehlerabschätzung
- 3.7.1 Unterscheidung für stabile, vollständig konsistente Methoden
- 3.7.2 Untersuchung für inkonsistente Methoden und verschärfte Straf-terme
- 3.7.3 Untersuchung für schwach-stabile Methoden
- 4 Discontinuous Galerkin Methoden für hyperbolische Probleme
- 4.1 Ausgangsproblem und Variationsformulierung
- 4.2 Konsistenz und Stabilität
- 4.3 A priori Fehlerabschätzung
- 5 Die DG- Methode für Elastizitätsprobleme in der Sattelpunktformulierung
- 5.1 Einführung
- 5.2 Ausgangsproblem
- 5.3 Schwache Formulierung
- 5.4 Existenz und Eindeutigkeit
- 5.4.1 Stabilität
- 5.4.2 Inf- Sup- Bedingung
- 5.5 Fehlerabschätzung
- 6 Appendix
- 7 Zusammenfassung
- 8 Notation
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Diplomarbeit befasst sich mit der Discontinuous Galerkin Methode und ihrer Anwendung auf elliptische und hyperbolische Differentialgleichungen. Die Arbeit verfolgt das Ziel, einen umfassenden Überblick über die Theorie der Discontinuous Galerkin Methode zu bieten und ihre Anwendung auf verschiedene Problemklassen zu untersuchen.
- Die Grundprinzipien der Discontinuous Galerkin Methode
- Die Anwendung der Discontinuous Galerkin Methode auf elliptische Probleme
- Die Anwendung der Discontinuous Galerkin Methode auf hyperbolische Probleme
- Die Untersuchung von Stabilität und Fehlerabschätzung für verschiedene Varianten der Methode
- Die Darstellung der Discontinuous Galerkin Methode in der Sattelpunktformulierung am Beispiel der Elastizitätsgleichung
Zusammenfassung der Kapitel
- Kapitel 1: Einführung in das Thema der Discontinuous Galerkin Methoden und ihre Bedeutung für die numerische Lösung von Differentialgleichungen.
- Kapitel 2: Darstellung der Vorteile der Discontinuous Galerkin Methoden gegenüber anderen numerischen Methoden.
- Kapitel 3: Detaillierte Erläuterung der Discontinuous Galerkin Methoden für elliptische Probleme, einschließlich der verschiedenen Formulierungen, der Konsistenzanalyse und der Stabilitätseigenschaften.
- Kapitel 4: Anwendung der Discontinuous Galerkin Methode auf hyperbolische Probleme, einschließlich der Konsistenzanalyse, der Stabilitätseigenschaften und der A-priori-Fehlerabschätzung.
- Kapitel 5: Darstellung der Discontinuous Galerkin Methode in der Sattelpunktformulierung, am Beispiel der Elastizitätsgleichung, mit Fokus auf die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung sowie die Fehlerabschätzung.
Schlüsselwörter
Discontinuous Galerkin Methode, elliptische Differentialgleichungen, hyperbolische Differentialgleichungen, Stabilität, Fehlerabschätzung, Sattelpunktformulierung, Elastizitätsgleichung, Finite-Elemente-Methode, numerische Mathematik, Erhaltungsgleichungen, shocks.
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- Dipl. Math. Stefanie Winter (Autor), 2004, Discontinuous Galerkin Methods, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/80765
