Das Nautische Dreieck und seine Anwendungen

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Sphärische Trigonometrie mit gerichteten Winkeln
2.1 Die Sätze der sphärischen Trigonometrie in Eulerschen Dreiecken
2.2 Die Sätze für Eulersche Dreiecke mit gerichteten Winkeln
2.3 Die Sätze für beliebige Dreiecke mit gerichteten Winkeln

3 Das Nautische Grunddreieck
3.1 Die Himmelskugel
3.2 Das Äquatorsystem
3.3 Das Horizontsystem
3.4 Das Nautische Dreieck

4 Auf- und Untergang von Gestirnen
4.1 Die Bewegungsgleichungen der Fixsterne
4.2 Praktische Anwendung

5 Zusammenfassung

6 Quellenverzeichnis

7 Abbildungsverzeichnis

1 Einleitung

Die Geschichte der Astronomie nahm in 16. Jahrhundert in Folge der Beiträge des Astrono- men Nikolaus Kopernikus (1473-1543) eine dramatische Wende. Nach seinen Studien an der Universität Krakau, die damals ein weltberühmtes Zentrum für mathematische Fächer war, ging er nach Italien und setzte in seinen Theorien anstelle der Erde die Sonne als Zentralge- stirn. Diese angezweifelte Theorie, das sogenannte heliozentrische System setzte sich erst nach der Einführung der Ellipsenbahnen durch Johannes Kepler (1571-1630) durch. Weiter unter- mauerte der italienische Mathematiker Galileo Galilei (1564-1642) mit Hilfe des Teleskops die heliozentrische bzw. die kopernikanische Theorie, indem er anhand seiner Beobachtungen be- weisen konnte, dass sich einzelne Planeten nicht um die Erde sondern um die Sonne drehen¹. Den endgültigen physikalischen Beweis für die elliptischen Planetenbahnen um die Sonne lieferte der Physiker Sir Isaac Newton (1643-1727) mit seinem sogenannten Newton’schen Gravitationsgesetz. Dies legte den Grundstein für die moderne Astronomie².

Besonders die sphärische Astronomie beschäftigt sich noch heute mit der scheinbaren Bewegung der Himmelskörper infolge der täglichen Drehung der Erde um sich und der jährlichen Bewegung der Erde um die Sonne. Dieses Phänomen liegt dieser Arbeit zu Grunde, die sich thematisch mit dem Nautischen Dreieck und seiner Anwendung beschäftigt, welches die Bestimmung der Koordinaten eines Gestirns berechenbar macht.

In der Astronomie spielt die Beobachtung von Sternen eine fundamentale Rolle. Um Sterne beobachten zu können muss man zuerst ihre genaue Himmelsposition ermitteln, ebenso wie den Zeitpunkt zu dem sie dort anzutreffen sind. Ihre genaue Position zu ermitteln ist ohne die Mathematik, genauer die Kugelgeometrie (auch sphärische Trigonometrie genannt) kaum realisierbar. Mit Hilfe der Sätze der sphärischen Trigonometrie kann man die Position eines Gestirns, unter Berücksichtigung der genauen Koordinaten des Beobachtungsortes, bestim- men. Um alle relevanten Angaben des Gestirns erhalten zu können braucht man zusätzlich noch den Greenwichen Stundenwinkel, mit dem man die ”MittlereGreenwich-Zeit”desGe- stirns bestimmen kann. Aus dieser lässt sich die genaue Ortszeit bestimmen und somit auch der zeitliche Verlauf des Gestirns an einem Tag.

Bei der Einführung des Nautischen Dreiecks tritt jedoch ein mathematisches Problem auf, welches in vielen Büchern und selbst im Buch von H.-G. Bigalke, welches die Grundlage meiner Arbeit darstellt, ignoriert wird: Bei den üblicherweise in der sphärischen Trigonometrie betrachteten Eulerschen Dreiecken sind nur ungerichtete Winkel, also Winkel die kleiner als π sind, zugelassen. Azimut und Stundenwinkel im Nautischen Dreieck sind jedoch gerichtete Winkel, also Winkel die kleiner als 2 π sind. Somit müssen die Formeln der sphärischen Geometrie für die gerichteten Winkel hergeleitet werden.

Der Schwerpunkt meiner Arbeit liegt im mathematischen Beweis und der Herleitung der Sätze der sphärischen Trigonometrie für Dreiecke mit gerichteten Winkeln, wobei das Nautische Dreieck ein solches Dreieck ist und der Beweis eine Notwendigkeit darstellt, mit diesem speziellen Dreieck arbeiten zu können.

Im weiteren Verlauf wird das Nautische Dreieck eingeführt und die, in diesem Zusammenhang relevanten mathematischen Sätze hergeleitet. Mit dem Einführen der Sätze lassen sich nun die Bewegungsgleichungen der Sterne aufstellen, die die genaue Bewegung der Sterne am Himmel vollständig beschreiben. Zum Schluss wird die oben genannte Theorie an einem Beispiel, der Sirius über Bochum, praktisch verdeutlicht.

2 Sphärische Trigonometrie mit gerichteten Winkeln

2.1 Die Sätze der sphärischen Trigonometrie in Eulerschen Dreiecken

Gegeben sind drei Punkte A, B und C auf der Kugel, die nicht auf einem gemeinsamen Großkreis liegen. Die drei Großkreise durch je zwei dieser Punkte zerlegen die Kugel in acht Gebiete. So bilden die drei kürzeren Großkreisbogen AB, BC und CA, wobei hier die kürzeste Kurve von jeweils zwei Punkten zueinander gemeint ist, das Kugeldreieck ABC. Seine Innen- winkel, α, β und γ, sind die, die von jeweils zwei seiner Seiten eingeschlossen werden und < 180 o sind. Die Dreiecksseiten, a, b und c, haben nach der Definition der Großkreisebogen als kürzeste Kurve zweier Punkte zueinander eine Länge von ≤ 180 o. Diese Länge wird im Folgenden ebenfalls mit a, b und c bezeichnet. Ein Kugeldreieck, bei dem also die Winkel < 180 o und die Seitenlängen jeweils ≤ 180 o sind, wird Eulersches Dreieck genannt.

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Abbildung 1: Das Eulersche Dreieck (aus Bigalke, 1984. S. 16)

In einem solchen Eulerschen Dreieck gelten die folgenden Zusammenhänge zwischen Seiten und Winkeln³:

Sinussatz:

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Kotangenssatz:

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Durch Vertauschen der Seiten und Winkel folgen die weiteren Kotangenssätze. Diese werden im weiteren Verlauf der Arbeit jedoch nicht benötigt.

2.2 Die Sätze für Eulersche Dreiecke mit gerichteten Winkeln

Für Anwendungen der sphärischen Trigonometrie in der Astronomie ist es zweckmäßig, Drei- ecke mit gerichteten Winkeln zur Verfügung zu haben. Dazu ist eine Orientierung der Kugel- oberfläche notwendig. In der Astronomie ist die gebräuchliche Konvention - im Gegensatz zu der in der Mathematik üblichen - dass ein Winkel im Uhrzeigersinn gemessen wird, wenn man von außen auf die Kugeloberfläche schaut. Ein sphärisches Dreieck besteht nun aus drei Punk- ten A, B und C und (möglicherweise nicht kürzesten) Großkreisbögen a ′ , b ′ , c ′: [0 , 1] → S ² mit

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Betrachtet man das Eulersche Dreieck unter diesen Vorgaben so sind zwei Varianten dieses Dreiecks möglich. Abhängig von der Orientierung der, durch die Punkte A, B und C definierten Kurve, sind die neu eingeführten gerichteten Winkel entweder die Innenwinkel des Dreiecks oder aber deren Komplemente.

Für den ersten Fall, bei dem die gerichteten Winkel die Innenwinkel sind, vgl. Abb. 2, besteht kein Unterschied zu dem in Kapitel 2.1 besprochenen Eulerschen Dreieck.

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Abbildung 2: Das Eulersche Dreieck mit gerichteten Winkeln 1

Beim zweiten Fall, bei dem die gerichteten Winkel die jeweiligen Komplemente der Innenwinkel sind muss beachtet werden, dass bei jedem beliebigen Winkel ein Vorzeichenwechsel stattfindet, also x → − x, vgl. Abb. 3. Dieser Vorzeichenwechsel hat jedoch keine Auswirkungen auf die Sätze der sphärischen Trigonometrie. Dies hängt mit den Identitäten

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zusammen.

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Abbildung 3: Das Eulersche Dreieck mit gerichteten Winkeln 2

Unter genauerer Betrachtung der Sätze für Eulersche Dreiecke fällt auf, dass die Vorzeichenwechsel sich jeweils gegenseitig aufheben:

- Beim Sinussatz steht auf beiden Seiten der Gleichung ein Minuszeichen, so dass dieses gekürzt werden kann.
- Beim Seiten-Kosinussatz kommt nur der Kosinus eines Winkels vor, so dass sich dort ebenfalls nichts ändert.
- Beim Kotangenssatz steht auf der linken Seite der Gleichung ebenfalls der Kosinus, dieses führt jedoch zu keiner Änderung. Auf der rechten Seite der Gleichung kommen nur im letzten Term Winkel vor. Aber sowohl der Sinus als auch der Kotangens bewirken einen Vorzeichenwechsel, so dass sich auch dort nichts ändert.

- Die unterschiedliche Orientierung der Dreiecke hat also keinen Einfluss auf die Gültigkeit der Sätze der sphärischen Trigonometrie.

2.3 Die Sätze für beliebige Dreiecke mit gerichteten Winkeln

Es bleibt die Gültigkeit der Sätze der sphärischen Trigonometrie für nicht Eulersche Dreiecke mit gerichteten Winkeln zu zeigen. Die Winkeldefinition sei mit der in Kapitel 2.2 eingeführten identisch. Es seien weiterhin drei Punkte A, B und C auf der Kugel gegeben, die nicht auf einem gemeinsamen Großkreis liegen. Die drei Großkreise durch je zwei dieser Punkte teilen die Kugel in acht Gebiete. Ein sphärisches Dreieck besteht aus diesen drei Punkten A, B und C und den in Kapitel 2.2 definierten Großkreisbögen a ′, b ′ und c ′. Diese Definition liefert acht verschiedene Dreiecke auf der Sphäre. Sie sehen wie folgt aus:

Abbildung 4: Darstellung der acht verschiedenen Dreiecke auf der Sphäre

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