Die Geschichte der Astronomie nahm in 16. Jahrhundert in Folge der Beiträge des Astronomen Nikolaus Kopernikus (1473-1543) eine dramatische Wende. Nach seinen Studien an der Universität Krakau, die damals ein weltberühmtes Zentrum für mathematische Fächer war, ging er nach Italien und setzte in seinen Theorien anstelle der Erde die Sonne als Zentralgestirn.
Diese angezweifelte Theorie, das sogenannte heliozentrische System setzte sich erst nach der Einführung der Ellipsenbahnen durch Johannes Kepler (1571-1630) durch. Weiter untermauerte der italienische Mathematiker Galileo Galilei (1564-1642) mit Hilfe des Teleskops die heliozentrische bzw. die kopernikanische Theorie, indem er anhand seiner Beobachtungen beweisen konnte, dass sich einzelne Planeten nicht um die Erde sondern um die Sonne drehen.
Den endgültigen physikalischen Beweis für die elliptischen Planetenbahnen um die Sonne lieferte der Physiker Sir Isaac Newton (1643-1727) mit seinem sogenannten Newton’schen Gravitationsgesetz. Dies legte den Grundstein für die moderne Astronomie.
Besonders die sphärische Astronomie beschäftigt sich noch heute mit der scheinbaren Bewegung der Himmelskörper infolge der täglichen Drehung der Erde um sich und der jährlichen Bewegung der Erde um die Sonne. Dieses Phänomen liegt dieser Arbeit zu Grunde, die sich thematisch mit dem Nautischen Dreieck und seinen Anwendungen beschäftigt, welches die Bestimmung der Koordinaten eines Gestirns berechenbar macht.
In der Astronomie spielt die Beobachtung von Sternen eine fundamentale Rolle. Um Sterne beobachten zu können muss man zuerst ihre genaue Himmelsposition ermitteln, ebenso wie den Zeitpunkt zu dem sie dort anzutreffen sind. Ihre genaue Position zu ermitteln ist ohne die Mathematik, genauer die Kugelgeometrie (auch sphärische Trigonometrie genannt) kaum realisierbar. Mit Hilfe der Sätze der sphärischen Trigonometrie kann man die Position eines Gestirns, unter Berücksichtigung der genauen Koordinaten des Beobachtungsortes, bestimmen.
Um alle relevanten Angaben des Gestirns erhalten zu können braucht man zusätzlich
noch den Greenwichen Stundenwinkel, mit dem man die ”Mittlere Greenwich-Zeit” des Gestirns bestimmen kann. Aus dieser lässt sich die genaue Ortszeit bestimmen und somit auch der zeitliche Verlauf des Gestirns an einem Tag.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Sphärische Trigonometrie mit gerichteten Winkeln
2.1 Die Sätze der sphärischen Trigonometrie in Eulerschen Dreiecken
2.2 Die Sätze für Eulersche Dreiecke mit gerichteten Winkeln
2.3 Die Sätze für beliebige Dreiecke mit gerichteten Winkeln
3 Das Nautische Grunddreieck
3.1 Die Himmelskugel
3.2 Das Äquatorsystem
3.3 Das Horizontsystem
3.4 Das Nautische Dreieck
4 Auf- und Untergang von Gestirnen
4.1 Die Bewegungsgleichungen der Fixsterne
4.2 Praktische Anwendung
5 Zusammenfassung
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit befasst sich mit der mathematischen Herleitung und dem Beweis der Sätze der sphärischen Trigonometrie für Dreiecke mit gerichteten Winkeln, um diese auf das Nautische Dreieck anwendbar zu machen und Fixstern-Koordinaten präzise bestimmen zu können.
- Grundlagen der sphärischen Trigonometrie mit gerichteten Winkeln
- Analyse und Gültigkeitsnachweis für nicht-Eulersche Dreiecke
- Definition astronomischer Koordinatensysteme (Äquator- und Horizontsystem)
- Herleitung der Bewegungsgleichungen von Fixsternen
- Praktische Anwendungsrechnung am Beispiel des Sterns Sirius
Auszug aus dem Buch
2.3 Die Sätze für beliebige Dreiecke mit gerichteten Winkeln
Es bleibt die Gültigkeit der Sätze der sphärischen Trigonometrie für nicht Eulersche Dreiecke mit gerichteten Winkeln zu zeigen. Die Winkeldefinition sei mit der in Kapitel 2.2 eingeführten identisch. Es seien weiterhin drei Punkte A, B und C auf der Kugel gegeben, die nicht auf einem gemeinsamen Großkreis liegen. Die drei Großkreise durch je zwei dieser Punkte teilen die Kugel in acht Gebiete. Ein sphärisches Dreieck besteht aus diesen drei Punkten A, B und C und den in Kapitel 2.2 definierten Großkreisbögen a', b' und c'. Diese Definition liefert acht verschiedene Dreiecke auf der Sphäre.
Der Zusammenhang der Daten dieser Dreiecke mit den Daten der Eulerschen Dreiecke lässt eine Überprüfung der Sätze der sphärischen Trigonometrie für die acht vorhandenen Fälle zu. Man kann diese acht Fälle auf vier Fälle reduzieren, da die Einträge (2),(3),(4) und die Einträge (5),(6),(7) durch zyklische Vertauschung ineinander überführt werden können. Was auch in Abb. 4 zu sehen ist.
Der erste Fall, also Eintrag (1), muss nicht überprüft werden, da dieses Dreieck ein Eulersches Dreieck ist.
Beginnend beim zweiten Fall, stellvertretend für die Einträge (2),(3),(4), wird aus dem Sinussatz: Somit bleiben die Sätze der sphärischen Trigonometrie für die Einträge (2),(3),(4) erhalten.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Die Einleitung beleuchtet die historische Entwicklung der Astronomie und identifiziert die Notwendigkeit, Formeln der sphärischen Trigonometrie für gerichtete Winkel im Nautischen Dreieck herzuleiten.
2 Sphärische Trigonometrie mit gerichteten Winkeln: Dieses Kapitel liefert den mathematischen Beweis, dass die Standardformeln der sphärischen Trigonometrie ihre Gültigkeit auch für Dreiecke mit gerichteten Winkeln bis 2π behalten.
3 Das Nautische Grunddreieck: Hier werden die astronomischen Koordinatensysteme definiert und die geometrischen Zusammenhänge im Nautischen Dreieck als Verbindung zwischen Äquator- und Horizontsystem beschrieben.
4 Auf- und Untergang von Gestirnen: Basierend auf den vorherigen Kapiteln werden Bewegungsgleichungen abgeleitet und am Beispiel des Sirius die Bestimmung von Auf- und Untergangszeiten berechnet.
5 Zusammenfassung: Die Arbeit schließt mit der Feststellung, dass die mathematischen Grundlagen für eine präzise Orts- und Zeitbestimmung von Gestirnen erfolgreich bewiesen wurden.
Schlüsselwörter
Sphärische Trigonometrie, Nautisches Dreieck, Himmelskugel, Fixsterne, Äquatorsystem, Horizontsystem, Gerichtete Winkel, Bewegungsgleichungen, Kulmination, Eulersche Dreiecke, Deklination, Stundenwinkel, Azimut, Zenitdistanz, Astronomie
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Bachelorarbeit grundsätzlich?
Die Arbeit untersucht die mathematischen Voraussetzungen, um das Nautische Dreieck zur präzisen Bestimmung von Fixstern-Koordinaten korrekt anzuwenden.
Welche zentralen Themenfelder werden abgedeckt?
Die Schwerpunkte liegen auf der sphärischen Trigonometrie, astronomischen Koordinatensystemen und der Herleitung von Bewegungsgleichungen für Himmelskörper.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist der mathematische Nachweis, dass die Sätze der sphärischen Trigonometrie auch für gerichtete Winkel (bis 2π) gültig sind, was für astronomische Berechnungen unerlässlich ist.
Welche wissenschaftliche Methode kommt zum Einsatz?
Es wird eine deduktive mathematische Herleitung verwendet, die auf den Grundsätzen der Kugelgeometrie und der sphärischen Trigonometrie basiert.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil widmet sich dem Beweis der Gültigkeit von Trigonometrie-Sätzen für verschiedene Dreieckstypen auf der Sphäre sowie der praktischen Anwendung dieser Formeln.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind Nautisches Dreieck, sphärische Trigonometrie, Himmelskugel und die Berechnung von Auf- und Untergangszeiten.
Warum war der Beweis für gerichtete Winkel notwendig?
Übliche Lehrbücher betrachten meist nur ungerichtete Winkel unter 180°. Da jedoch Stundenwinkel und Azimut im Nautischen Dreieck bis zu 360° annehmen können, war eine Erweiterung der Beweisführung zwingend.
Welches Fallbeispiel wird zur praktischen Verdeutlichung genutzt?
Die Arbeit berechnet exemplarisch die Position und die Auf- bzw. Untergangszeiten des Sterns Sirius für den Beobachtungsort Bochum.
Welches astronomische Koordinatensystem ist für die Bestimmung der geographischen Breite relevant?
Sowohl das Äquatorsystem als auch das Horizontsystem verknüpfen die Lage des Zenits bzw. des Pols mit der geographischen Breite des Beobachtungsortes.
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- Bachelor of Arts Gregor Gruschka (Author), 2006, Das Nautische Dreieck und seine Anwendungen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/85729
