Markowitz Portfolio Selection und Estimation Risk

Inhaltsverzeichnis

1 Verzeichnisse
1.1 Tabellenverzeichnis
1.2 Abbildungsverzeichnis
1.3 Symbolverzeichnis

2 Einleitung

3 Diskussion der Mean-Variance-Problematik in der Literatur

4 Herleitungen
4.1 Herleitung der Markowitz Portfolio-Optimierung für n Wertpapiere
4.2 Herleitung Nutzenfunktion und Teststatistik

5 Simulationsdesign

6 Ergebnissynthese
6.1 Variation der Wertpapieranzahl
6.2 Variation des Risikoaversionsparameters
6.3 Variation der Kovarianz
6.4 Variation der Varianzen
6.5 Variation von µ

7 Ausblick

8 Literaturverzeichnis

9 Anhang
9.1 Matlab* -Code

1 Verzeichnisse

1.1 Tabellenverzeichnis

Tabelle 1 Varianz-Kovarianz-Matrix 10x10

Tabelle 2 Portfolio-Gewichte der WP

Tabelle 3 Varianz-Kovarianz-Matrix 5x5

Tabelle 4, CEL, a=4,n=5.

Tabelle 5, CEL, a=4, n=30

1.2 Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1 Schritte einer MC-Simulation

Abbildung 2, CEL, a=4, n=

Abbildung 3, CEL, a=4, n=10

Abbildung 4, CEL, a=4, n=30

Abbildung 5, CEL, a=4, n=100

Abbildung 6, CEL, a=2, n=5.

Abbildung 7, CEL, a=3, n=5

Abbildung 8, CEL, a=4, n=5

Abbildung 9, CEL, COV, a=[2,4], n=5

Abbildung 10, CEL, VAR, a=[2,4], n=5

Abbildung 11, CEL, Mean, a=[2,4], n=5

1.3 Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2 Einleitung

„Die Börse ist ein Monte-Carlo ohne Musik.“ (Georg von Siemens 1893 – 1903)

Wie schon Georg von Siemens andeutete, ist der Wertpapierhandel mit vielen unvorhersehbaren Variablen verbunden, was die Vermutung für den Laien nahe legt, dass eine Anlage in Wertpapieren mit einer Wette im Casino vergleichbar ist. Doch bestehen Unterschiede, ob man sein Geld an einem Rouletttisch einsetzt oder sein Vermögen in strukturierten Depots anlegt. Regiert im Casino der reine Zufall, so kann man bei einer Anlage in Wertpapieren auf verschiedene Daten zurückgreifen, auf Basis derer sich Kursprognosen anstellen lassen. Dabei ist die Anzahl der verwendeten Modelle so vielfältig wie die Anzahl der Händler an der Börse. Genannt seien hier zum Beispiel die Chartanalyse, Fundamentalanalyse, Value Strategien und Dividenden-strategien. Als Gegensatz zu diesen eher „weichen“ Modellen ist das Portfolio-Optimierungsmodell von Harry M. Markowitz zu sehen. Hier werden die technischen Beziehungen der Wertpapiere untereinander verwendet, um ein effizientes Portfolio, auf Basis der Varianzen, Kovarianzen und erwarteten Wertpapierrenditen, zu kreieren. Auf diese Weise lassen sich für gegebene Renditeerwartungen varianzminimale Portfolios realisieren bzw. ein effizienter Rand sowie das varianzminimale Portfolio darstellen. Das grundlegende Problem der Portfolio-Optimierung nach Markowitz liegt nicht in der Berechnung, sondern wie bei den meisten Modellen, in den Daten, mit denen man dieses Modell ausrüstet. Verwendet man zum Beispiel historische Daten, um die Erwartungswerte der Varianzen, Kovarianzen und Renditen zu schätzen, unterläuft man immer einem Schätzfehler, da man erwartet, dass historische Daten Aussagekraft für die Zukunft besitzen. Dementsprechend begeht man systematische Fehler bzgl. der Schätzung dieser Werte. Doch wie wirken sich diese Fehler aus, welche Fehler sind besonders schwerwiegend oder sind diese Fehler alle von gleichem Gewicht für den Investor? Dieser Frage werden wir uns im weiteren Verlauf dieser Arbeit widmen und mithilfe von Monte-Carlo-Simulationen die Auswirkungen der Fehler separat voneinander aufzeigen und in ein Verhältnis setzen. Um die, aus den Schätzfehlern entstehende Fehlallokationen bzgl. der Gewichtung einzelner Wertpapiere innerhalb eines Portfolios bewerten zu können, werden wir anhand der Nutzenfunktion eines spezifischen Investors Sicherheitsäquivalente auf Basis der in den Simulationsschritten ermittelten Portfolios herausarbeiten. Die so festgestellten Sicherheitsäquivalente werden in einem weiteren Schritt in Relation zu der Ausgangsallokation und dessen Sicherheitsäquivalent gesetzt. Der so ermittelte Cash-Equivalent-Loss (CEL) wird uns als Maß für den potentiellen Verlust dienen, welchen der repräsentative Investor durch die Fehleinschätzung der wahren aber unbekannten Werte für Varianzen, Kovarianzen und die Renditen tragen muss.

3 Diskussion der Mean-Variance-Problematik in der Literatur

Harry M. Markowitz erhielt im Jahre 1990 für sein Optimierungsmodell den Nobelpreis in Wirtschaftswissenschaften. Seine Arbeit war zum Erscheinungsdatum revolutionär und wird heute als der Beginn der modernen Portfoliotheorie gesehen. Eine der Kernaussagen ist, dass alle Marktteilnehmer einen Teil des Marktportfolios halten (Sharpe 1964) und das alle Marktteilnehmer ihr Anlagevermögen in gut diversifizierten Portfolios investiert haben sollten.

Im Kontext der Portfolio-Optimierung tauchen jedoch einige praktische Probleme, unter anderem das Mean-Variance-Problem, auf. Dieses wurde bereits intensiv in der Literatur von Best und Grauer (1991), Mischaud (1989), Klein und Vijay (1975) und Chopra,Vijay und Ziemba (1993) diskutiert, wobei wir hier im Weiteren genauer auf die Artikel von Best und Grauer sowie Chopra,Vijay und Ziemba eingehen werden. Außerdem möchten wir kurz auf Freund (1956) bzgl. der hier verwendeten Nutzenfunktion verweisen.

Best und Grauer untersuchen in ihrer Arbeit aus dem Jahr 1991, wie sich die Zusammensetzung eines effizienten Portfolios verändert, wenn die Erwartungswerte der Renditen einzelner Aktien verändert werden. Als Datengrundlage verwendeten sie historische Datensätze, um die Returns sowie die Varianz-Kovarianz-Matrix zu schätzen. Sie setzen den Fokus nun im Weiteren auf die spezifischen Gewichte der einzelnen Wertpapiere innerhalb des Portfolios. Dabei ermitteln sie, welche Auswirkungen eine Verzerrung von E(µi), also eine Verzerrung einzelner erwarteter Wertpapierrenditen auf die Selektion des optimalen Portfolios hat. Hier zeigen sie:

„… that small changes in the mean of an asset generate large changes in the portfolio weights. For example,asset 1's (4's) weight increases (decreases) at a rate of 228 (131) times the rate of increase in the mean of asset 1.” (Best & Grauer, The Review of Financial Studies, Vol. 4, No. 2.,1991, S.332)

Also, dass ein verzerrt geschätzter Erwartungswert der Renditen bereits bei der Selektion und Gewichtung der Wertpapiere innerhalb eines Portfolios zu extremen Auswirkungen führen kann. Im obigen Beispiel führt eine ein-prozentige Änderung der erwarteten Rendite eines Wertpapieres, hier µ1 zu einer 228% Veränderung in der Gewichtung dieses Titels innerhalb des betrachteten Portfolios. Entsprechend würde sich somit natürlich, um Bezug auf unsere Arbeit zu nehmen, auch eine starke Auswirkung auf unsere unten angesprochene Testgröße ergeben, was bereits hier die Bedeutung eines verzerrt geschätzten Erwartungswertes von µ unterstreicht.

Das für diese Arbeit ausschlaggebende Werk stammt von Chopra aus dem Jahr 1991 „The Effect of Errors in Means, Variances, and Covariances on Optimal Portfolio Choice“, das sich mit den relativen Auswirkungen von Schätzfehlern in Mittelwerten, Varianzen und Kovarianzen beschäftigt. Chopra will den gesonderten Einfluss dieser Faktoren aufzeigen und verwendet hierfür als relativen Vergleichsmaßstab den Cash-Equivalent-Loss, der sich aus der Nutzenfunktion und dem daraus resultierendem Sicherheitsäquivalent, beziehungsweise der Veränderung des Sicherheitsäquivalentes, ergibt. Bei der Bestimmung der Nutzenfunktion bezieht sich Chopra auf eine Untersuchung von Kallberg and Ziemba (1984), die sich mit der Missspezifikation von Nutzenfunktionen, Erwartungswertvektor und Varianz-Kovarianz-Matrix beschäftigt haben. Aus dieser Untersuchung ging hervor, dass Nutzenfunktionen mit ähnlichen absoluten Arrow-Pratt Risikomaßen zu fast identischen optimalen Portfolios gelangen. Aus diesem Grund wollen wir im Weiteren dieser Arbeit von einer negativen exponentiellen Nutzenfunktion ausgehen, da diese, wie im 3. Abschnitt beschrieben wird, alle für uns nötigen Eigenschaften besitzt.

Chopra stellt in ihrer Arbeit die grundsätzlich stärkere Auswirkung der Schätzfehler der Mittelwerte im Vergleich zu denen der Varianzen und Kovarianzen dar. Sie legt Wert darauf, zwischen den Fehlern in Varianzen und Kovarianzen zu unterscheiden und nicht wie Kallberg und Ziemba (1984) diese gemeinsam zu betrachten. Chopra verwendet als Datengrundlage historische Kursdaten von Januar 1980 bis Dezember 1989, bestehend aus zehn zufällig gezogenen Wertpapieren aus dem Dow Jones Industrial Average Securities Index. Aus diesen Daten schätzte sie die nötigen Daten für die Optimierung und legte diese als wahre Welt fest. Hiervon ausgehend wurden die wahren Werte der Verteilung ersetzt und durch einen Störparameter 1+k*zi verzerrt. Aus dieser verzerrten Verteilung zieht Chopra für jedes k 100 Werte und berechnet für das resultierende optimale Portfolio das zugehörige Sicherheitsäquivalent und den daraus entstandenen Cash-Equivalent-Loss, welcher aus dem Vergleich mit den Ergebnissen für das Sicherheitsäquivalent aus dem ursprünglichen Portfolio ohne Schätzfehler ermittelt wird. Für die formale Darstellung verweisen wir auf den dritten Abschnitt dieser Arbeit. Chopra stellt bei ihrer Untersuchung fest, dass der CEL bei einem verzerrten Mittelwert elfmal höher liegt als bei verzerrten Varianzen und zwanzig mal höher bei verzerrten Kovarianzen. Sie untersucht jedoch den CEL nur für eine spezifische Art von Investor, also mit einem festen Risikoaversionskoeffizienten. Hier ist einer der Ansatzpunkte, um herauszufinden, ob zum Beispiel unterschiedliche Risikoeinstellungen einen Unterschied auf den Fehler bzw. den CEL, bei verzerrten Daten haben.

4 Herleitungen

4.1 Herleitung der Markowitz Portfolio-Optimierung für n Wertpapiere

Portfolio-Optimierungsprobleme benötigen stets einen Bezugsrahmen, sprich: eine theoretische Welt mit bestimmten Annahmen, um in diesem Kontext zu optimalen Lösungen gelangen. Es werden daher die nachfolgenden Annahmen getroffen:

1. Es gibt keine risikolose Anlagemöglichkeit.
2. Die Wertpapierrenditen sind Normalverteilt mit Erwartungswert µ und Varianz δ².
3. Investoren sind risikoavers, der Risikoaversionskoeffizient a ist > 0.
4. Die Summe der Portfolio-Gewichte der Wertpapiere = 1.
5. Der Investor wählt stets das varianzminimale Portfolio.
6. Der Investor bewertet seinen Nutzen aus dem varianzminimalen Portfolio mittels einer Risikonutzenfunktion.
7. Keine Unteilbarkeitsprobleme von Wertpapieren.
8. Keine Transaktionskosten, Steuern, etc.

Da wir in einem Anlageuniversum mit n Wertpapieren agieren, werden wir im Folgenden stets in Vektor, respektive Matrixschreibweise, arbeiten. Unser grundlegendes Optimierungsproblem liegt in der Minimierung der Portfolio-Varianz, also der Minimierung der Summe aller Varianzen der einzelnen Wertpapiere i innerhalb des Portfolios, sowie der Kovarianzen der Wertpapiere untereinander. Mathematisch: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten(1)

Wobei xi das Gewicht, σi² die Varianz des Wertpapieres i und σij die Kovarianz der Wertpapiere i und j im Portfolio p darstellen. In Matrixschreibweise lässt sich dies wie folgt darstellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hier stellen ∑ die Varianz-Kovarianzmatrix, x den Anteilsvektor xT den transponierten Anteilsvektor und 1 den Einheitsvektor dar. Unter obigen Bedingen ergibt sich daraus der Anteilsvektor der Wertpapiere xMVP im Minimum-Varianz-Portfolio:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch die Gewichte der Aktien im Portfolio lässt sich die erwartete Rendite des Portfolios errechnen. Diese setzt sich aus dem Anteilsvektor xMVP multipliziert mit dem transponierten Erwartungswertvektor der Renditen µ, der Aktien i zusammen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Portfolio Varianz σ²MVP, welche wir zur Ermittlung des Sicherheitsäquivalentes benötigen, ergibt sich aus dem transponierten Anteilsvektor xMVP multipliziert mit der Varianz-Kovarianz-Matrix und dem Anteilsvektor xMVP :

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4.2 Herleitung Nutzenfunktion und Teststatistik

In unserem Modellkontext benötigen wir außer der oben bereits hergeleiteten Portfolio-Optimierung noch eine Nutzenfunktion und daraus abgeleitet eine Teststatistik.

Im Kontext der Portfolio-Optimierung wird im Allgemeinen von quadratischen oder exponentiellen Nutzenfunktionen ausgegangen. Chopra (1993) erwähnt, dass sofern die Wertpapierrenditen normalverteilt sind, prinzipiell alle konkaven Nutzenfunktionen zur Anwendung kommen können. Chopra geht in ihrer Arbeit von einer negativ exponentiellen Nutzenfunktion folgenden Typs aus,

U (W) = - exp (-aW), (6)

wobei a für den Risikoaversionskoeffizienten und W für das Ausgangsvermögen des Investors stehen. Mathematisch gesehen sind Nutzenfunktionen U, strikt konkave, streng monoton wachsende Funktionen, welche auf dem Inneren ihres Definitionsbereiches stetig differenzierbar sind. Des Weiteren ist die konkave Gestalt der Funktion durch den abnehmenden Grenznutzen des Investors bedingt.

In Anlehnung an Freund (1956) und Chopra (1993), gehen wir im Weiteren von einer negativ exponentiellen Nutzenfunktion aus. Spezifischer ausgedrückt, geht Freund grundlegend von der Funktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Maximiert man nun den erwarteten Nutzen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Was sich vereinfacht laut Freund durch die Maximierung folgender Funktion darstellen lässt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

So ergibt sich als Nutzenfunktion in unserem Fall:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten die erwartete Portfolio-Rendite E(µ), U(Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) σ² die erwartete Portfolio-Varianz und a der Risikoaversionskoeffizient ist. Das Sicherheitsäquivalent Φ einer Investition P stellt per Definition für einen Investor mit Nutzenfunktion U die Höhe einer sicheren Zahlung mit identischem Erwartungsnutzen dar:

[...]