Diese Worte vom englischen Physiker James Clerk Maxwell aus dem 19. Jahrhundert entsprechen einem Weltbild, dass bereits Erfahrungen mit Ungewissheiten in der Natur gemacht hat, die sich nur mehr durch stochastische Begriffe formulieren lassen. Die Wahrscheinlichkeitstheorie wurde so seit ihrer Entstehung im 17. Jahrhundert weiterentwickelt und axiomatisiert; sie präsentiert sich heute als reichhaltige Theorie zur Modellierung und Formalisierung von Ungewissheit in verschiedenen Formen.
Im Jahre 1965 veröffentlichte der Elektrotechniker Lofti Zadeh einen Artikel namens „Fuzzy Sets“ indem er die fuzzy Theorie begründete und erstmals das Konzept einer unscharfen Menge vorstellte. Diese Theorie unscharfer Mengen erweist sich heute als nützliches Instrument, Vagheit als spezielle Form von Ungewissheit zu modellieren. Bei der Begründung der fuzzy Theorie durch Zadeh motivierte ihn dabei die Vorstellung diese neue Theorie für die Regelungstechnik nutzbar zu machen und Expertenwissen, das durch umgangssprachliche und oftmals vage Regeln ausgedrückt wird, für Entscheidungen in technischen Bereichen zu verwenden.
Inhaltsverzeichnis
1 VORWORT
2 STRUKTURELLE EINFÜHRUNG IN DIE FUZZY THEORIE
2.1 BEISPIEL KLASSISCHER UND UNSCHARFER MENGEN
3 FORMALE EINFÜHRUNG IN DIE FUZZY THEORIE
3.1 OPERATIONEN AUF UNSCHARFEN MENGEN
3.2 UNSCHARFE TEILMENGEN
3.3 FUZZY LOGIK
4 VAGHEIT ALS SPEZIELLE FORM DER UNGEWISSHEIT
4.1 DIE PARADOXIE DES SORITES
4.2 DREI ARTEN DER VAGHEIT
4.3 ANDERE ARTEN DER UNGEWISSHEIT
4.4 UNTERSCHIEDE ZWISCHEN VAGHEIT UND AUF ZUFALL BASIERENDER UNGEWISSHEIT
4.5 VERSUCHE VAGHEIT ZU FORMALISIEREN
4.5.1 3-wertige Logik
4.5.2 Fuzzy Logik
4.5.3 Problemstellungen, die sich durch den Versuch, Vagheit zu formalisieren, ergeben
5 EIN WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORETISCHER ZUGANG ZUR UNGEWISSHEIT
5.1 LINDLEYS KRITIK AN DER FUZZY THEORIE
6 EIN GEOMETRISCHER ZUGANG ZUR FUZZY THEORIE
6.1 MAßE FÜR FUZZY MENGEN
6.2 TEILMENGIGKEIT
6.2.1 Das Teilmengigkeitsmaß in der geometrischen Deutung
6.3 DAS ENTROPIE-TEILMENGIGKEITSTHEOREM
6.4 TEILMENGIGKEIT UND WAHRSCHEINLICHKEIT
6.4.1 Theoreme der fuzzy Theorie als Axiome der Wahrscheinlichkeitslehre
7 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN WAHRSCHEINLICHKEITSLEHRE UND FUZZY THEORIE
7.1 DAS COXSCHE THEOREM
7.2 FUZZY THEORIE ALS EXTENSION DER WAHRSCHEINLICHKEITSLEHRE?
7.3 WAHRHEITSFUNKTIONALITÄT
8 NACHWORT
Zielsetzung & Themen
Die Diplomarbeit verfolgt das Ziel, das Verhältnis zwischen der Fuzzy-Theorie und der Wahrscheinlichkeitslehre als Theorien zur Modellierung von Ungewissheit zu untersuchen. Im Zentrum steht die Forschungsfrage, ob beide Ansätze äquivalent sind oder ob sie unterschiedliche Arten von Ungewissheit adressieren, wobei insbesondere der philosophische Status von Vagheit analysiert wird.
- Grundlagen der Fuzzy-Theorie und der Mengenlehre
- Analyse von Vagheit als spezifische Form der Ungewissheit
- Geometrische Interpretation von Fuzzy-Mengen
- Vergleich der Formalisierungsansätze von Fuzzy-Logik und Wahrscheinlichkeitstheorie
Auszug aus dem Buch
3.1 Die Paradoxie des Sorites
Eubulides von Milet soll im vierten Jahrhundert v. Chr. den so genannten Sorites eingeführt haben; das griechische Wort sorós bedeutet Haufen. Sorites steht heute noch allgemein für Paradoxien, die durch Verwendung des Kettenschlusses auftreten; der Kettenschluss ist eine wiederholte Anwendung des Schlusses A→B und B→C, ergo A→C. Beim Problem des Sorites wird wesentlich davon Gebrauch gemacht, dass als gültige Antwort auf eine Entscheidungsfrage nur „Ja“ oder „Nein“ zugelassen wird. Umgangssprachliche Zwischenformen wie „Naja“, „eher ja“ oder „eher nein“ sind als Antworten nicht möglich.
Dann präsentiert sich der Sorites in folgender Form:
Frage: Bildet ein Korn einen Haufen?
Antwort: Nein.
Frage: Bilden zwei Körner einen Haufen?
Antwort: Nein.
Frage: Verwandelt also die Zufügung nur eines einzelnen Kornes etwas in einen Haufen?
Antwort: Nein.
Also bildet keine Anzahl an Körnern einen Haufen.
Der Kern des Problems besteht darin, dass „Haufen“ kein klar definierter Begriff ist. Somit macht auch eine exakt bestimmte Grenze, die bestimmt, ab wie vielen Körnern etwas ein Haufen wird, keinen Sinn. Genauso wenig macht es Sinn, auf die Frage „Ab wie wenigen Haaren trägt man eine Glatze?“ eine exakte numerische Antwort zu geben.
Zusammenfassung der Kapitel
VORWORT: Einleitung in die Thematik der Ungewissheit und die historische Begründung der Fuzzy-Theorie durch Lofti Zadeh.
STRUKTURELLE EINFÜHRUNG IN DIE FUZZY THEORIE: Erläuterung der klassischen Mengenlehre und deren Grenzen sowie eine erste Einführung in den unscharfen Mengenbegriff.
FORMALE EINFÜHRUNG IN DIE FUZZY THEORIE: Darstellung der mathematischen Definitionen von Fuzzy-Mengen und grundlegenden Operationen wie Komplement und Schnitt.
VAGHEIT ALS SPEZIELLE FORM DER UNGEWISSHEIT: Analyse des Sorites-Paradoxons sowie die Unterscheidung zwischen verschiedenen Formen von Vagheit und Ungewissheit.
EIN WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORETISCHER ZUGANG ZUR UNGEWISSHEIT: Auseinandersetzung mit der axiomatischen Wahrscheinlichkeitstheorie und der Kritik an der Fuzzy-Theorie.
EIN GEOMETRISCHER ZUGANG ZUR FUZZY THEORIE: Einführung einer geometrischen Interpretation von Fuzzy-Mengen sowie Definition von Maßen wie Entropie und Teilmengigkeit.
ZUSAMMENHANG ZWISCHEN WAHRSCHEINLICHKEITSLEHRE UND FUZZY THEORIE: Untersuchung der Nicht-Äquivalenz beider Theorien hinsichtlich Wahrheitsfunktionalität und Deduzierbarkeit.
NACHWORT: Zusammenfassende philosophische Reflexion über die unterschiedlichen Anwendungsbereiche von Fuzzy-Logik und Wahrscheinlichkeitstheorie.
Schlüsselwörter
Fuzzy-Theorie, Wahrscheinlichkeitslehre, Ungewissheit, Vagheit, Sorites-Paradoxon, unscharfe Mengen, Fuzzy-Logik, Zugehörigkeitsfunktion, Entropie, Teilmengigkeit, Axiome, Wahrheitsfunktionalität, stochastische Begriffe, Extensionalität, Mengenlehre.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Diplomarbeit?
Die Arbeit analysiert das Verhältnis zwischen Fuzzy-Theorie und Wahrscheinlichkeitslehre als unterschiedliche theoretische Ansätze zur Modellierung von Ungewissheit.
Welche zentralen Themenfelder werden bearbeitet?
Die Schwerpunkte liegen auf der philosophischen Analyse von Vagheit, den Grundlagen der Mengenlehre, der Fuzzy-Logik und dem Vergleich mit dem klassischen Wahrscheinlichkeitskalkül.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist zu klären, ob Fuzzy-Theorie und Wahrscheinlichkeitstheorie äquivalent sind oder ob sie unterschiedliche Arten von Ungewissheit adressieren.
Welche wissenschaftliche Methode wird angewendet?
Der Autor wählt einen rein logisch-philosophischen Analyseansatz, um die Konzepte und Theoreme beider Theorien auf ihre Konsistenz und Anwendbarkeit zu prüfen.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil umfasst die formale Einführung in Fuzzy-Theorien, die detaillierte Behandlung des Sorites-Paradoxons sowie geometrische Interpretationen zur Quantifizierung von Unschärfe.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die zentralen Begriffe sind Fuzzy-Theorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Vagheit, Entropie, Teilmengigkeit und die formale Unterscheidung zwischen verschiedenen Formen der Ungewissheit.
Wie unterscheidet sich die Fuzzy-Theorie von der Wahrscheinlichkeitsrechnung bei der Behandlung von Ungewissheit?
Die Fuzzy-Theorie adressiert die Vagheit von Begriffen (Grad der Zugehörigkeit), während die Wahrscheinlichkeitstheorie die Unsicherheit über das Eintreten von Ereignissen (Zufall) modelliert.
Warum hält der Autor den Modus Ponens in der Fuzzy-Logik für problematisch?
Die Arbeit diskutiert, dass bei Anwendung auf nicht-ganzzahlige Wahrheitswerte der Modus Ponens in der Fuzzy-Logik an Gültigkeit verliert, was als notwendiger Preis zur Lösung des Sorites-Paradoxons akzeptiert wird.
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- Mag. Bernhard Brunnsteiner (Author), 2007, Fuzzy Logik und Wahrscheinlichkeitslehre als Theorien der Ungewissheit, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/88166
