Eines der größten Probleme der Graphentheorie ist das (Ecken)-Färbungsproblem. Mathematiker haben großes Interesse daran, Erkenntnisse für die sogenannte chromatische Zahl (G) eines Graphen zu erzielen. Eine der wohl bekanntesten und plausibelsten Abschätzungen besagt, dass wir mindestens die gleiche Anzahl an Farben benötigen, wie wir Knoten in der größtmöglichen Clique des zu färbenden Graphen haben. Nehmen wir nun einmal an, dass uns die chromatische Zahl eines Graphen bereits vorliegt. Die Frage, die sich nun stellt ist: In wie weit kann man dadurch Aussagen über die im Graphen enthaltenen Cliquen machen? Diese und andere Fragen stellte sich der Mathematiker Hugo Hadwiger Mitte des 20. Jahrhunderts und präsentierte sie in Form einer Vermutung der mathematischen Öffentlichkeit. Bis heute gibt es keinen vollständig erbrachten Beweis für die allgemeine Gültigkeit der Vermutung. Dennoch gibt es bis heute eine hohe Zahl an Resultaten bezüglich der Vermutung, die bewiesen werden konnten. Eines dieser Ergebnisse wollen wir in dieser Arbeit behandeln: den Beweis von Hadwigers Vermutung für Kantengraphen.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Grundlagen
- Die Vermutung
- Vorbereitungen
- Mengers Satz
- Vizings Adjazenz-Lemma
- Der Beweis für Kantengraphen
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit beschäftigt sich mit Hadwigers Vermutung in der Graphentheorie. Die Vermutung besagt, dass für jeden einfachen, endlichen Graphen G die chromatische Zahl X(G) größer oder gleich der Anzahl der Knoten im kleinsten vollständigen Graphen Kn ist, der als Minor in G enthalten ist.
- Die chromatische Zahl und ihre Beziehung zur Clique-Zahl
- Hadwigers Vermutung und ihre verschiedenen Beweise
- Die Bedeutung von Kantengraphen und ihre Rolle bei der Verifizierung der Vermutung
- Die verschiedenen Ansätze zur Beweisfindung und die Herausforderungen bei der allgemeinen Gültigkeit
- Wichtige Resultate und Erweiterungen der Vermutung für verschiedene Graphenklassen
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung
Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in die grundlegenden Konzepte der Graphentheorie, insbesondere die chromatische Zahl und die Clique-Zahl. Es wird erläutert, wie die Vermutung von Hadwiger entstanden ist und welche Bedeutung sie für die Graphentheorie hat.
Vorbereitungen
Dieses Kapitel führt wichtige Sätze und Lemmata ein, die für den Beweis von Hadwigers Vermutung für Kantengraphen relevant sind. Hierzu gehören Mengers Satz und Vizings Adjazenz-Lemma.
Schlüsselwörter
Die Arbeit konzentriert sich auf die zentralen Themen der Graphentheorie, insbesondere die chromatische Zahl, Clique-Zahl, Hadwigers Vermutung, Kantengraphen, Minor, Kantenkontraktion und relevante Sätze und Lemmata wie Mengers Satz und Vizings Adjazenz-Lemma.
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- Anonym (Autor), 2017, Graphentheorie. Zum Beweis von Hadwigers Vermutung für Kantengraphen, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/916377
