Tests auf Asymmetrie in Zeitreihen. Das asymmetrische Verhalten von Konjunkturzyklen


Seminararbeit, 2009

22 Seiten, Note: 1,0

Anonym


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Symbolverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

1 Einleitung

2 Asymmetrieformen

3 Verfahren zum Test auf Asymmetrie in Zeitreihen

4 Zusammenfassung

5 Literaturverzeichnis

6 Anhang

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abkürzungsverzeichnis

AR - Prozess Autoregressiver Prozess

BIP Bruttoinlandsprodukt

BN Beveridge - Nelson

BNP Bruttonationalprodukt

bzw. beziehungsweise

d.h. das heißt

HP Hodrick – Prescott

KQ Kleinst – Quadrate

z.B. zum Beispiel

1 Einleitung

Für viele ökonomische Fragestellungen ist es wichtig, Kenntnisse darüber zu erlangen, ob sich bestimmte Zeitreihen, wie etwa das Bruttoinlandsprodukt, asymmetrisch über die Zeit verhalten. So kann es beispielsweise sinnvoll sein, theoretische Modelle zu entwickeln, die asymmetrisches Verhalten endogen erzeugen, falls empirisch für bestimmte Zeitreihen tatsächlich Asymmetrie festgestellt wird. In diesem Fall hätten diese neu entwickelten Modelle vermutlich eine höhere Prognosegüte als bereits bestehende Modelle.1 Zudem ist davon auszugehen, dass einige Instrumente zur Beeinflussung ökonomischer Variablen nur mit zeitlicher Verzögerung wirken. Daher sind zum bestmöglichen Einsatz dieser Instrumente Kenntnisse über das Verhalten der zu beeinflussenden Variablen nützlich.

Im Folgenden sollen Ansätze vorgestellt werden, die das Testen von Asymmetrie in Zeitreihen erlauben. Die Ansätze lassen sich wie folgt systematisieren: Einerseits besteht die Möglichkeit, Asymmetrie durch Bestimmung des Schiefekoeffizienten der Zeitreihe zu testen, andererseits können spezielle Modelle entwickelt werden, welche sich auf bestimmte Eigenschaften von Asymmetrieformen beziehen und mit denen auf diese Weise auf Asymmetrie getestet werden kann.2 Des weiteren besteht die Möglichkeit zum Test mittels der verallgemeinerten Momentenmethode.3 Diese Methode soll im weiteren Verlauf aber vernachlässigt werden. Die Motivation zur Entwicklung spezieller Modelle besteht darin, dass der Schiefekoeffizient einige Kritikpunkte aufweist, welche im weiteren Verlauf kurz zu skizzieren sind, und dass dessen Verwendung bei der Existenz serieller Korrelation problematisch sein kann. Aber auch die entwickelten Modelle können auf Grund ihrer restriktiven bzw. möglicherweise unzutreffenden Annahmen kritisiert werden.

Im Folgenden sollen zuerst zwei mögliche Formen von Asymmetrie unterschieden werden und deren unterschiedliche Implikationen dargestellt werden. Danach sollen verschiedene Ansätze zum Test auf Asymmetrie von Zeitreihen vorgestellt werden, welche jeweils mit der Anwendung des Tests auf reale Daten verbunden sind. Dabei liegt der Fokus vor allem auf dem möglicherweise asymmetrischen Verhalten von Konjunkturzyklen. Hierzu werden Testergebnisse mit Zeitreihen vorgestellt, die als Indikatoren für den Konjunkturzyklus gelten können. Neben dem Bruttoinlands- bzw. Bruttonationalprodukt sind dies Beschäftigungszeitreihen sowie Zeitreihen über die industrielle Produktion.

2 Asymmetrieformen

Es werden zwei Formen von Asymmetrie unterschieden, welche im weiteren Verlauf als Tiefe und Steilheit bezeichnet werden. Tiefe wird dadurch gekennzeichnet, dass die Minima betragsmäßig weiter vom Mittelwert entfernt liegen als die Maxima, weshalb diese Asymmetrieform auch „asymmetry of magnitudes“ genannt wird. Gleichzeitig liegen bei dieser Asymmetrieform aber mehr Beobachtungspunkte über als unter dem Mittelwert. Die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert ist nach unten größer als nach oben. Tiefe wird also durch die Ausprägungen der Niveauvariablen bestimmt.

Steilheit hingegen hängt von den Veränderungsraten ab und liegt dann vor, wenn die Ausschläge nach unten kurz und relativ stark, die nach oben dagegen lang und relativ moderat verlaufen. Der Prozess benötigt also von einem Tief zu einem Hoch mehr Zeit als umgekehrt, weshalb diese Asymmetrieform auch als „asymmetry of durations“ bezeichnet wird.4

Da bei Zeitreihen wie beispielsweise dem Bruttoinlandsprodukt stets eine Trendkomponente vorhanden sein dürfte, welche dafür sorgt, dass die Zeitreihe auf Grund des nahezu stetigen Wachstums bereits asymmetrisch ist, muss eine nicht-stationäre Zeitreihe oftmals in Trendkomponente und zyklische Komponente unterteilt werden, um die zyklische Komponente dann auf Asymmetrie zu untersuchen.5 Sichel stellt hierfür drei Kriterien auf, welche die möglichen Verfahren erfüllen müssen, um zyklische und permanente Komponente zu trennen: Es muss sich erstens um einen linearen Filter handeln, da dieser keine Asymmetrie erzeugt, wenn in der Zeitreihe vorher auch keine vorhanden war. Zweitens muss er dafür sorgen, dass Stationarität erreicht wird, und drittens muss er die Komponente liefern, welche zum Test der jeweiligen Asymmetrieform benötigt wird. Hierbei handelt es sich im Fall von Tiefe um , da diese Asymmetrieform durch die Niveauvariablen bestimmt wird. Im Fall von Steilheit muss der Filter liefern, da hier die Veränderungsraten betrachtet werden. Mögliche Verfahren sind nach Sichel der Hodrick - Prescott – Filter und der Beveridge – Nelson – Filter für bzw. die Bildung erster Differenzen für . Um zu erhalten, ist auch eine Kombination aus den beiden Verfahren möglich, d.h. die Anwendung eines Filters und anschließende Bildung erster Differenzen. Diese Vorgehensweise wird zwar von einigen Autoren angewandt, von Sichel aber als redundant bezeichnet.

3 Verfahren zum Test auf Asymmetrie in Zeitreihen

3.1.Schiefekoeffizient bei identisch unabhängig normalverteilten Prozessen

Eine intuitiv einfache Möglichkeit zum Test auf Asymmetrie ist die Bestimmung des Schiefekoeffizienten der betreffenden Zeitreihe.6 Der Schiefekoeffizient für Verteilungen ist definiert als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

also dem dritten zentralen Moment einer Zeitreihe , welche durch normiert wird, sodass die Schiefekoeffizienten von Zeitreihen mit unterschiedlicher Variabilität vergleichbar gemacht werden können. Hierdurch wird der Schiefekoeffizient zu einer „dimensionslosen Vergleichsgröße“.7 Dieser Schiefekoeffizient für Verteilungen kann für Zeitreihen übernommen werden. Eine Zeitreihe ist symmetrisch, wenn gilt. Ist größer als 0, dann liegt eine positive Schiefe vor, und die Verteilung ist linkssteil und rechtsschief. Der Median liegt dann rechts vom Mittelwert. Im umgekehrten Fall, wenn also gilt, ist die Verteilung linksschief und rechtssteil und weist somit eine negative Schiefe auf. Der Median liegt dann folglich links vom Mittelwert. Die beiden vorgestellten Asymmetrieformen liegen dann vor, wenn die zu untersuchenden Komponenten bzw. eine negative Schiefe aufweisen. Im Fall einer positiven Schiefe läge je nach untersuchter Komponente die jeweilige Gegenform zu Steilheit oder Tiefe vor. Ein Schätzer für kann erhalten werden, wenn die Verteilungsmomente durch die Stichprobenmomente ersetzt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nimmt man an, dass die zu untersuchende Zeitreihe identisch unabhängig normalverteilt ist, konvergiert der Schiefekoeffizient in Verteilung gegen die Normalverteilung mit Erwartungswert 0 und Standardabweichung .8 Hierfür liegen kritische Werte vor und somit ist ein Test der Nullhypothese

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gegen die Alternative

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möglich durch Standardisierung von und Vergleich mit dem kritischen Wert des betrachteten Konfidenzniveaus. Viele Zeitreihen und konkret die hier zu betrachtenden makroökonomischen Zeitreihen sind allerdings weder normal- noch unabhängig verteilt, sondern weisen zumindest schwache Abhängigkeit auf. Somit ist der hier vorgestellte Ansatz nicht anwendbar, da keine Verteilung für den Schiefekoeffizienten im Fall seriell korrelierter Daten bekannt ist. Im Folgenden sollen einige Lösungsansätze für dieses Problem vorgestellt werden.

Zudem lässt sich die Anwendung des Schiefekoeffizienten kritisieren, da er zwar die Vorteile besitzt, einfach konstruierbar und verständlich zu sein, allerdings auch mit einigen Nachteilen verbunden ist. Zum einen muss zur Anwendung das 6.Moment einer Verteilung existieren. Beispiel für eine Verteilung, für die das 6. Moment nicht existiert und bei der deshalb der Schiefekoeffizient nicht berechnet werden kann, ist die t(5) – Verteilung. Des weiteren gibt es Fälle, in denen der Schiefekoeffizient 0 ist, aber trotzdem ein asymmetrisches Verhalten vorliegt.9

3.2. Neftcis Ansatz

Der Ansatz von Neftci testet auf Asymmetrie in der Form von Steilheit und basiert auf der Annahme, dass Steilheit dann vorliegt, wenn die Wahrscheinlichkeiten für eine Auf- und Abbewegung nach einer bestimmten Vorgeschichte sich unterscheiden.10 Zur Bestimmung dieser Wahrscheinlichkeiten werden die Veränderungsraten eines stationären Prozesses entsprechend ihrer Vorzeichen auf +1 bei einem Aufschwung und –1 bei einem Abschwung reduziert:

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Die Wahrscheinlichkeiten werden anhand der Anzahl der Auf- und Abbewegungen geschätzt. Zur Schätzung der Wahrscheinlichkeiten aus den vorliegenden Daten wird des weiteren die Annahme getroffen, dass der Prozess einem Markoff – Prozess zweiter Ordnung folgt, sodass die Wahrscheinlichkeit für eine Auf- oder Abbewegung nicht von der gesamten Vorgeschichte, sondern nur von den letzten beiden Realisationen abhängt:

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Auf Grund der Eigenschaft als Markoff – Prozess 2.Ordnung muss zwischen 8 verschiedenen Wahrscheinlichkeiten entschieden werden:

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Hinzu kommen jeweils die vier entsprechenden Gegenwahrscheinlichkeiten. Die Maximumlikelihoodfunktion einer bestimmten Realisation des Prozesses ist auf Grund der Eigenschaft als Markoff – Prozess 2.Ordnung gegeben durch:

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wobei die Ausgangsdichte durch Neftcis Parametrisierung nicht – linear von den oben aufgeführten Wahrscheinlichkeiten abhängt. Falk zeigt allerdings, dass die Punktschätzer mit Berücksichtigung der Ausgangsdichte mit denen im Fall der Vernachlässigung dieser Dichte nahezu identisch übereinstimmen.11 Aus Vereinfachungsgründen wird hier daher auf diese Ausgangsdichte verzichtet. Die Maximumlikelihoodfunktion kann somit als Produkt der Wahrscheinlichkeiten dargestellt werden:

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Die im Exponenten verwendeten Häufigkeiten des Auftretens eines Ereignisses lassen sich aus den realen Daten gewinnen, sodass die Likelihoodfunktion nur noch von den Wahrscheinlichkeiten abhängt. Der Maximumlikelihoodschätzer für die Wahrscheinlichkeiten lässt sich durch Maximierung der logarithmierten Likelihoodfunktion bestimmen:

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Zusätzlich wird die Hessesche Matrix bestimmt, welche approximativ als Varianz-Kovarianz- Matrix für die geschätzten Koeffizienten dient:

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Steilheit liegt nach der gegebenen Definition dann vor, wenn der Prozess stärker fällt als er steigt, gleichzeitig aber mehr positive als negative Veränderungsraten existieren., die Steigungen nach oben also länger sind als die nach unten. Das impliziert, dass aus den vorhandenen, bereits realisierten Daten geschätzt wird, dass die Wahrscheinlichkeit, im Zustand positiver Veränderungsraten +1 zu bleiben, wenn bereits vorher zweimal +1 aufgetreten ist, größer sein muss als die Wahrscheinlichkeit, im Zustand negativer Veränderungsraten zu bleiben, wenn bereits vorher zweimal –1 auftrat. Asymmetrie in Form von Steilheit liegt also dann vor, wenn sich die geschätzten Wahrscheinlichkeiten und signifikant unterscheiden. Es stehen mehrere Möglichkeiten zur Verfügung, um die Nullhypothese gegen zu testen. Bei Ablehnung der Nullhypothese liegt folglich Asymmetrie vor. Eine Möglichkeit zum Test besteht durch den Wald-Test(siehe Anhang)

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Auf Grund der Konsistenz der geschätzten Varianz – Kovarianz – Matrix gilt zumindest approximativ die - Verteilung. Eine weitere Möglichkeit stellt der Likelihoodratiotest dar.12 Hierzu wird die Maximumlikelihoodfunktion zweimal maximiert, und zwar einmal unter der Beschränkung der Nullhypothese und einmal ohne Beschränkung. Die Teststatistik lautet dann

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Neftci führt den Test durch, indem er Konfidenzintervalle bildet und überprüft, ob der Punktschätzer einer der beiden geschätzten Wahrscheinlichkeiten in dem Konfidenzvintervall der anderen geschätzten Wahrscheinlichkeit liegt. Zusätzlich ist es mit diesem Ansatz auch möglich, Tests auf andere Asymmetrieformen durchzuführen, wie z.B. den Test auf Gleichheit von und . Diese stellen Wahrscheinlichkeiten für einen permanenten Wechsel vom Zustand –1 in den Zustand +1 und umgekehrt dar. Ein solcher Test wird von Neftci aber nicht durchgeführt.

Neftci testet auf Asymmetrie der vierteljährlichen aggregierten Arbeitslosenquote der USA im Zeitraum 1948:1 – 1981:4, da diese seiner Ansicht nach eher als Indikator für den Konjunkturzyklen angesehen werden können als Konsumdaten. Zudem weisen diese Daten vermutlich keinen Trend auf, sodass diese Zeitreihen auch ohne Entfernung des Trends untersucht werden können. Es werden drei verschiedene Zeitreihen der Arbeitslosenquote untersucht, von denen hier die Ergebnisse der aggregierten Arbeitslosenquote vorgestellt werden sollen. Es zeigt sich, dass die Wahrscheinlichkeit nicht in dem 80%-Konfidenzintervall der Wahrscheinlichkeit liegt. Unter Berücksichtigung der Kritik Sichels, dass in der Durchführung des Tests von Neftci die beiden Wahrscheinlichkeiten undvertauscht worden sind, wird hier die Nullhypothese abgelehnt und es liegt somit ein Indiz für eine Gegenform zu Steilheit vor.13 Bezogen auf den Konjunkturzyklus bedeutet dies, dass dieser auf Grund der Tatsache, dass er sich antizyklisch zur Arbeitslosenquote verhalten sollte, Steilheit beinhaltet, sofern die Arbeitslosenquote tatsächlich als Indikator für den Konjunkturzyklus angesehen werden kann.

Kritisch anzumerken ist bei dem Ansatz von Neftci, dass die Daten auf Auf- und Abbewegungen in der Form von +1 und –1 reduziert und somit vorhandene Informationen möglicherweise nicht ausgenutzt werden.14 Zudem besteht keine statistische Rechtfertigung dafür, dass ein Markoff – Prozess 2. Ordnung vorliegt. Rothman zeigt, dass die Verwendung eines Markoff – Prozesses 1.Ordnung geeigneter wäre, indem er die Maximumlikelihoodfunktion sowohl unter der Annahme eines Markoff – Prozesses 1.Ordnung als auch 2.Ordnung maximiert und einen Likelihoodratiotest durchführt, bei welchem die Nullhypothese, dass ein Prozess 1.Ordnung vorliegt, nicht abgelehnt werden kann.15 Die Zuverlässigkeit des Ergebnisses hängt also unter anderem davon ab, ob die getroffene Prozessannahme korrekt ist. Bei der aggregierten Arbeitslosenquote kommt Rothman allerdings zu demselben Ergebnis wie Neftci, sodass die Nullhypothese auch dort abgelehnt wird und ein Indiz für Asymmetrie vorliegt.

3.3. Verwendung von Monte Carlo-Simulationen und Bootstrap-Verfahren

Auf Grund der Schwierigkeit der Spezifikation eines Modells wie dem von Neftci ist eine Verwendung des Schiefekoeffizienten wegen der erwähnten Vorteile sinnvoll. Allerdings ist es notwendig, das Problem der seriellen Korrelation und der deshalb nicht bekannten Verteilung des Koeffizienten zu lösen. Eine Möglichkeit hierzu besteht in der Durchführung von Monte Carlo-Simulationen und Bootstrap- Verfahren, wodurch kritische Werte generiert werden sollen, mit denen ein Test auf Asymmetrie verteilungsfrei ermöglicht wird.

Zur Durchführung der Monte Carlo-Simulation werden die Daten einem Modell wie beispielsweise einem AR(3)- Modell zugeordnet und dessen Koeffizienten geschätzt. Anhand dieser Modelle wird eine bestimmte Anzahl von Zeitreihen für die zu betrachtende Periode generiert.16 Hierbei wird die Annahme getroffen, dass die Störterme, welche die Zeitreihen beeinflussen, normalverteilt mit Mittelwert 0 und einer Varianz entsprechend der Varianz des Modells mit den Originaldaten sind. Die generierten Daten müssen dann unter Umständen noch gefiltert werden bzw. erste Differenzen gebildet werden, abhängig davon, welche Asymmetrieform untersucht werden soll. Aus den so künstlich generierten Zeitreihen werden die Schiefekoeffizienten und deren Standardabweichungen berechnet, welche wiederum zur Bestimmung der kritischen Werte dienen.

Beim Bootstrap – Verfahren wird berücksichtigt, dass die Annahme normalverteilter Störterme, wie bei der Monte Carlo – Simulation getroffen, möglicherweise nicht haltbar ist. Um mit Hilfe des Bootstrap – Verfahrens kritische Werte zu gewinnen, wird zunächst ebenfalls ein Modell bestimmt, dessen Parameter durch die Originaldaten geschätzt werden. Aus den Originaldaten und den geschätzten Koeffizienten können die geschätzten Residuen bestimmt werden, welche als Grundgesamtheit dienen, aus der danach mit Zurücklegen gezogen wird. Es wird eine neue Zeitreihe mit einem bestimmten Anfangswert generiert, bei der jeder neue Wert neben den verzögerten Werten von den geschätzten Parametern und von dem gezogenen Residuum abhängt. Auf diese Weise kann eine beliebige Anzahl neuer Zeitreihen generiert werden. Für diese Zeitreihen lassen sich jeweils die Schiefekoeffizienten bestimmen. Bei vielen generierten Zeitreihen ergibt sich aus den Schiefekoeffizienten durch Rangordnung eine Gesamtverteilung, aus welcher die kritischen Werte abgelesen werden können.

Pfann untersucht mit Hilfe von Monte Carlo – Simulationen und Bootstrap – Verfahren sieben verschiedene Beschäftigungszeitreihen aus den USA. Die aggregierte Beschäftigung, deren Ergebnisse hier vorgestellt werden sollen, enthält vierteljährliche Daten aus dem Zeitraum von 1954:1 bis 1990:4. Zur Durchführung der beiden Verfahren verwendet Pfann zwei Modelle, konkret sowie , mit deren Hilfe Zeitreihen simuliert werden. Es zeigt sich, dass Tiefe bei der aggregierten Beschäftigung bei Verwendung der Monte Carlo – Simulationen bei beiden Modellen auf dem 5% - Niveau signifikant ist, während bei Durchführung des Bootstrap – Verfahren bei beiden Modellen keine Signifikanz zu erkennen ist. Steilheit hingegen ist bei Verwendung der Monte Carlo – Simulationen sogar auf dem 1% - Niveau bei beiden Modellen signifikant, während das beim Bootstrap – Verfahren bei beiden Modellen nur auf dem 10% - Niveau der Fall ist. Insgesamt zeigt sich ein Indiz sowohl für Steilheit als auch für Tiefe in der Beschäftigung. Da sich die Beschäftigung im Gegensatz zur Arbeitslosigkeit prozyklisch relativ zum Konjunkturzyklus verhalten sollte, kann man auch die Existenz dieser beiden Asymmetrieformen im Konjunkturzyklus vermuten.

DeLong und Summers testen auf Asymmetrie im Bruttonationalprodukt und der industriellen Produktion der USA unter anderem für den Zeitraum 1949-1983, wobei sowohl ein Test mit jährlichen als auch einer mit vierteljährlichen Daten durchgeführt wird.17 Es wird ausschließlich auf Steilheit getestet, sodass die notwendige Komponente durch Bildung erster Differenzen bestimmt werden kann. Zudem wird ausschließlich das Verfahren der Monte Carlo – Simulation angewandt. Es wird dabei die Annahme getroffen, dass die Zeitreihen einem AR(3) – Prozess folgen. Der Schiefekoeffizient von –1.37 beim Bruttonationalprodukt für jährliche Daten ist bei einer Standardabweichung von 0.74 leicht signifikant. Für vierteljährliche Daten ergibt sich ein Schiefekoeffizient von –0.33, der allerdings nicht signifikant ist. Bei der industriellen Produktion zeigen sich für denselben Zeitraum zwar negative Koeffizienten von –0.55 für jährliche bzw. –0.58 für vierteljährliche Daten, die aber auf einem der üblicherweise gewählten Signifikanzniveaus nicht signifikant sein dürften. Insgesamt wird deutlich, dass es für Steilheit sowohl in der industriellen Produktion als auch im Bruttonationalprodukt kaum Indizien gibt. DeLong und Summers testen zudem noch auf Steilheit in den Wachstumsraten der vierteljährlichen Arbeitslosenquoten in 6 wichtigen OECD – Ländern, unter anderem den USA, im Zeitraum von 1950 – 1979.18 Hier kommen sie zu dem Ergebnis, dass nur für die USA eine signifikante positive Schiefe bei den Arbeitslosenquoten und damit die Gegenform zur Steilheit vorliegt. Das bestätigt die Ergebnisse von Neftci.

[...]


1 vgl. Neftci(1984), S.308

2 Neben dem hier vorgestellten Ansatz von Neftci lassen sich hierzu auch Modelle wie das STAR-(Smooth Transition Autoregressive) bzw. das SETAR(Self - Exciting Threshold Autoregressive) – Modell zählen, vgl. Luukoonen/Teräsvirta(1991), S.129-130

3 vgl. Bai/Ng(2005), S.51-52

4 vgl. Pfann(1991), S.3

5 vgl. Sichel(1993), S. 228-230

6 In der Literatur werden oftmals der Quantilskoeffizient der Schiefe und der Momentenkoeffizient der Schiefe unterschieden. Wird hier der Schiefekoeffizient erwähnt, so ist damit der Momentenkoeffizient der Schiefe gemeint.

7 vgl. Schlittgen(2003), S.154-159

8 vgl. DeLong/Summers(1985), S.169

9 vgl. Bai/Ng(2001), S.229-230

10 vgl. Neftci(1984), S.307-328

11 vgl. Falk(1986), S.1105

12 Rothman(1988), S.13

13 vgl. Sichel(1989), S.1257

14 vgl. DeLong/Summers(1985), S.174

15 vgl. Rothman(1988), S.7

16 vgl. Pfann(1991), S.6-7

17 vgl .DeLong/Summers(1985), S.167-174

18 vgl. DeLong/Summers(1985), S.174-176

Ende der Leseprobe aus 22 Seiten

Details

Titel
Tests auf Asymmetrie in Zeitreihen. Das asymmetrische Verhalten von Konjunkturzyklen
Hochschule
Universität Osnabrück
Note
1,0
Jahr
2009
Seiten
22
Katalognummer
V922097
ISBN (eBook)
9783346226297
ISBN (Buch)
9783346226303
Sprache
Deutsch
Schlagworte
tests, asymmetrie, zeitreihen, verhalten, konjunkturzyklen
Arbeit zitieren
Anonym, 2009, Tests auf Asymmetrie in Zeitreihen. Das asymmetrische Verhalten von Konjunkturzyklen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/922097

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