Unterrichtsstunde: Achsensymmetrische Figuren - Konstruktion des Umkreises eines Dreiecks unter Verwendung dynamischer Geometriesoftware

1. Lernvoraussetzungen

1.1 Anthropogene und soziokulturelle Voraussetzungen

Die Klasse 7 c der Realschule X. ist zusammengesetzt aus 13 Mädchen und 14 Jungen, die sich derzeit im formal-operativen Stadium nach Piaget befinden [8]. Daher sollten die Lernenden bereits in der Lage sein, Einzelsituationen (hier die Konstruktion eines Umkreises zu einem vorgegebenen Dreieck) als Spezialfälle allgemeiner Situationsklassen (Konstruktion des Umkreises eines beliebigen Dreiecks) zu erkennen und somit zu einer Verallgemeinerung fähig sein [9]. Hierbei werden sie zusätzlich von der dynamischen Geometriesoftware „Euklid-DynaGeo“ unterstützt.

Die Klasse ist mir seit dem Beginn des Schuljahres aus dem selbstständigen Unterricht im Fach Mathematik bekannt, seit dem 2. Halbjahr unterrichte ich die Lerngruppe zusätzlich in Physik.

Da die Schülerinnen und Schüler in den Klassenstufen 5 und 6 in einer kooperativen Orientierungsstufe unterrichtet wurden, wurde die Klasse 7 c zu Schuljahresbeginn neu gebildet. Dabei zeigten sich bereits in den ersten Mathematikstunden erhebliche Leistungsunterschiede, die auf den unterschiedlichen Orientierungsstufenunterricht und natürlich auf die unterschiedlichen mathematischen Begabungen der Schülerinnen und Schüler zurückzuführen sind. Daher sind Differenzierungen, z. B. durch das Bereitstellen von gestaffelten Hilfen, immer wieder notwendig. Zu Beginn des zweiten Halbjahres kamen zwei weitere Schülerinnen hinzu, L. und Sarah R., die sich mittlerweile gut in die Klasse integriert haben. Beide, vom Gymnasium kommenden, Mädchen zeichnen sich durch eine gute Mitarbeit im Unterricht aus; gerade bei L. wird deutlich, dass die Mathematik ihr offensichtlich Freude bereitet. Vor ca. vier Wochen kam T. in die 7 c – ebenfalls ein ehemaliger Gymnasiast. Er ist ein sehr ruhiger Schüler und sicherlich noch nicht optimal in die Klassengemeinschaft integriert. Da er zu P. L. schon seit längerem ein freundschaftliches Verhältnis hat, wurde die Sitzordnung so geändert, dass die Jungen nebeneinander sitzen können.

Neben L. zählen insbesondere M. und K. zu den leistungsstarken Schülern. Es ist auffallend, dass gerade M. nicht nur durch seine positiven Unterrichtsbeiträge, sondern auch durch häufige Unterrichtsstörungen auf sich aufmerksam macht. Durch die bereits ergriffenen pädagogischen Maßnahmen – wie z. B. Zusatzaufgaben, Nachholung der durch Schwätzen versäumten Unterrichtszeit, intensive Gespräche mit dem Schüler und auch mit dessen Mutter, schriftlicher Tadel – konnte noch keine Besserung erzielt werden. Über eine optimale Methode, die zu einer Verhaltensänderung führt, muss gemeinsam mit den Kolleginnen und Kollegen nachgedacht werden.

Insgesamt ist die Anzahl der verhaltensauffälligen Kindern in der Klasse 7 c relativ hoch. M., P. S. und St. sind ADS-Kinder und stehen teilweise unter dem Einfluss von Medikamenten. Gerade bei M. und P. wird ihre Erkrankung durch eine permanente Unruhe deutlich, die das Unterrichtsgeschehen nachteilig beeinflusst. St. wirkt dagegen häufig eher etwas träge.

Der Schüler K. ist am Asperger-Autismus erkrankt. Es handelt sich dabei um eine ausgeprägte Kontakt- und Kommunikationsstörung. Die betroffenen Menschen besitzen meist eine normale, manchmal sogar eine überdurchschnittliche, Intelligenz und eine normale Sprachentwicklung. Ich schätze K.s mathematisches Verständnis als überdurchschnittlich hoch ein. Seine Kenntnisse im Umgang mit dem PC sind dagegen eher gering, weshalb er zusammen mit Ariane – sie zeichnet sich durch vorbildliches, soziales Verhalten aus – gemeinsam an einem Computer arbeitet.

Folgende Schülerinnen und Schüler fallen durch häufiges Schwätzen auf: I., D., P. S., P. L., St., Y., M. und N..

1.2 Methodische Voraussetzungen

Seit der Behandlung des Themenbereichs „Achsenspiegelung und Achsensymmetrie“ wurde mehrfach die dynamische Geometriesoftware „Euklid-DynaGeo“ im Unterricht eingesetzt. Die Schülerinnen und Schüler sollten die Grundfunktionen, wie. z. B. das Zeichnen von Punkten, Schnittpunkten, Strecken, Geraden, Lotgeraden, Dreiecken und Kreisen bereits beherrschen, sowie Spiegelungen und Mittelsenkrechten konstruieren können. Insbesondere die für die geplante Unterrichtsstunde notwendigen Zeichenschritte (Zeichnen von Punkten, Mittelsenkrechten, Schnittpunkten, Kreisen) sollten die Lernenden ohne Schwierigkeiten ausführen können. Zur Konstruktion der Spiegelung einer Figur und der Mittelsenkrechten einer Strecke dürfen die Schülerinnen und Schüler (mittlerweile) das dafür vorgesehene Makro benutzen.

Ebenfalls bekannt ist den Lernenden das Arbeiten mit gestaffelten Hilfen, die sie selbstständig – entsprechend ihren Möglichkeiten – abrufen können. Von der Präsentationssoftware PowerPoint wurde zu diesem Zweck bisher zweimal Gebrauch gemacht. Die Schülerinnen und Schüler wissen daher, dass sie mit der Windows-Taste zwischen einer gestarteten PowerPoint-Präsentation und dem Programm Euklid-DynaGeo wechseln können. Dies ist notwendig, da sonst die Präsentation stets neu gestartet werden müsste.

Einige Schülerinnen und Schüler tun sich mit dem Arbeiten am Rechner nach wie vor schwer. Dies liegt im Wesentlichen daran, dass wichtige Hinweise häufig nicht befolgt, Hilfen nicht genutzt und die Präsentationen immer wieder unterbrochen werden. Hier gilt es, intensiv weiterzuarbeiten und auf die Einhaltung der besprochenen Verhaltensregeln zu achten.

Der Lerngruppe stehen im PC-Saal insgesamt 18 Rechner zur Verfügung, weshalb – bei 27 Schülerinnen und Schülern – mindestens neun Zweiergruppen gebildet werden müssen. Nicht selten fällt ein Computer aus, so dass weitere Paare zu bilden sind. Um in diesem Fall einen größeren Zeitverlust zu vermeiden, sind die Lernenden in Teams zu je zwei Kindern eingeteilt. Fällt der Rechner eines Schülers aus, so arbeitet dieser mit seinem Partner zusammen.

Während der bisherigen Unterrichtseinheit wurde großen Wert auf das Beschreiben und Begründen von Konstruktionsschritten gelegt, wie es auch vom Lehrplan [2] gefordert wird. Aus diesem Grund ist für die Schülerinnen und Schüler die während der Sicherungsphase eingesetzte Methode (ein Schüler führt die Präsentation vor, andere schreiben die Konstruktionsbeschreibung an) nichts Neues.

1.3 Stoffliche Voraussetzungen

Folgende Kompetenzen sollten die Schülerinnen und Schüler bereits erworben haben:

Die Schülerinnen und Schüler sollten

- wissen, dass jeder Punkt der Mittelsenkrechten der Strecke Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten von den Punkten A und B gleich weit entfernt ist.
- wissen, dass alle Punkte, die von A und B gleich weit entfernt sind, sich auf der Mittelsenkrechten der Strecke Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten befinden.
- wissen, dass jeder Punkt einer Kreislinie vom Kreismittelpunkt den gleichen Abstand hat.

2. Begründung der Lernziele

2.1 Sachanalyse

Grundlegend für alle Symmetriebetrachtungen und jegliche Kongruenzabbildung ist die Achsenspiegelung.

Definition: Achsenspiegelung

Unter einer Achsenspiegelung Sa (Spiegelung an der Achse a) versteht man eine orthogonale Kollineation, die jeden Punkt von a fest lässt und ungleich der identischen Abbildung ist.

Jede Kongruenzabbildung lässt sich als Verkettung von maximal drei Achsenspiegelungen darstellen. In der unten stehenden Übersicht ist dies beispielhaft für die Drehung, die Punktspiegelung/ Halbdrehung und die Verschiebung/ Translation dargestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wir nennen eine Figur genau dann symmetrisch, wenn sie durch eine Verkettung von endlich vielen Achsenspiegelungen (Bewegung) auf sich selbst abgebildet werden kann. Je nachdem, durch welche Bewegung die Figur auf sich selbst abgebildet wird, unterscheidet man in punktsymmetrische (zentralsymmetrische), drehsymmetrische (radialsymmetrische) und achsensymmetrische (axialsymmetrische) Figuren.

Bei achsensymmetrischen Figuren existiert also eine Achsenspiegelung, welche die Figur auf sich selbst abbildet. [7]

Eine der einfachsten, denkbaren achsensymmetrischen Figur ist eine Strecke s zwischen zwei Punkten A und B. Jede Strecke Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten besitzt genau zwei Symmetrieachsen; die durch A und B definierte Gerade und die Gerade m, welche die Strecke halbiert und auf ihr senkrecht steht (vgl. Abb.). m wird als Mittelsenkrechte der Strecke Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bezeichnet. Jeder Punkt der Mittelsenkrechten ist von A und B gleich weit entfernt.

Es gilt: P I („inzidiert“, „liegt auf“) m Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da die Spiegelung nach Definition inzidenzerhaltend ist, wird die Strecke Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten auf die Strecke Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten abgebildet und entspricht, wegen P = P’ und A’ = B der Strecke Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Die Mittelsenkrechte der Strecke Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bildet also die Symmetrieachse des gleichschenkligen Dreiecks ABP.

Mit Hilfe der Mittelsenkrechten kann zu einem beliebigen Dreieck der Umkreismittelpunkt konstruiert werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beweis:

Sei ma die Mittelsenkrechte der Strecke Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, mc die Mittelsenkrechte der Strecke Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, mb die Mittelsenkrechte von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und M der Schnittpunkt von ma und mb. Zu zeigen: M I mc.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] = [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (da M I ma) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten=Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten M I mc

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten = Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (da M I mb) w. z. z. w.

Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt der Mittelpunkt des Umkreises M im Dreieck (vgl. Abb. rechts), bei rechtwinkligen Dreiecken auf der Hypotenuse (Thalessatz) und bei stumpfwinkligen Dreiecken außerhalb des Dreiecks (vgl. Abb. unten).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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