Alice – Hinter den Spiegeln. Erarbeitung eines Zusammenhangs zwischen der Achsensymmetrie des Funktionsgraphen und der Funktionsgleichung mithilfe eines Handspiegels

Inhalt

1. Längerfristige Unterrichtszusammenhänge
1.1 Bezeichnung des zugehörigen Unterrichtsvorhabens und Curriculare Legitimation
1.2 Angestrebte Kompetenzerwartungen des Unterrichtsvorhabens
1.3 Lerngruppenanalyse und Lernausgangslage
1.4 Darstellungen zum Reihenkontext
1.3 Tabellarische Übersicht über die Stunden der Unterrichtsreihe

2. Unterrichtsstunde
2.1 Kompetenzorientierte Zielsetzungen der Stunde
2.2 Erläuterungen zu didaktisch-methodischen Entscheidungen
2.3 Geplanter Unterrichtsverlauf

3. Quellen- und Literaturverzeichnis

4. Anhang
4.1 Arbeitsblatt 1 – Übungsanwendung des Handspiegels
4.2 Arbeitsblatt 2 - Achsensymmetrie zur y-Achse von ganzrationalen Funktionen
4.3 Sprinteraufgabe
4.4 Tippkarten
4.5 Powerpoint

1. Längerfristige Unterrichtszusammenhänge

1.1 Bezeichnung des zugehörigen Unterrichtsvorhabens und Curriculare Legitimation

Das Unterrichtsvorhaben „Beschreibung der Eigenschaften von Funktionen und deren Nutzung im Kontext“ ist durch den kompetenzorientierten Kernlehrplan für die Sekundarstufe II an Gymnasien und Gesamtschulen in Nordrhein-Westfalen legitimiert. Es ist Teil des Inhaltsfelds „Funktionen und Analysis“ und des inhaltlichen Schwerpunkts „Grundlegende Eigenschaften von Potenz-, Exponential- und Sinusfunktionen“ (GOSt 2014:24). Das schulinterne Curriculum sieht die Behandlung des Themas „Beschreibung der Eigenschaften von Funktionen und deren Nutzung im Kontext“ für den Anfang der Einführungsphase vor.

1.2 Angestrebte Kompetenzerwartungen des Unterrichtsvorhabens

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In der Reihe beschäftigen sich die Lernenden erstmals mit Funktionen, welche nicht-linear oder quadratisch sind. Daher liegt der Schwerpunkt der Reihe auf der prozessbezogenen Kompetenz des Argumentierens. So müssen die Lernenden häufig Darstellungswechsel zwischen Funktionsgleichung, Wertetabelle, Graphen und verbale Beschreibung des Graphens erbringen, um die Eigenschaften der Funktion und des Graphens zu beschreiben.

1.3 Lerngruppenanalyse und Lernausgangslage

Der Kurs EF-G besteht aus 22 Schülerinnen und Schülern, davon 8 Mädchen und 14 Jungen. Im Folgenden möchte ich insbesondere auf drei Merkmale vordergründig eingehen: Leistungsheterogenität, Problemorientierung und Umgang mit digitalen Werkzeugen.

Die EF-Stufe ist durch die Zusammensetzung neuer Kurse aus vorherig unterschiedlichen Klassen der Sekundarstufe I von einer besonders ausgeprägten Leistungsheterogenität betroffen. Verstärkend auf diese Heterogenität übt sich auch der massive Unterrichtsausfall im Schuljahr 2019/2020 im Rahmen der Covid-19-Krise aus, der dazu führte, dass nur vereinzelt unterrichtliche Aktivitäten durchgeführt werden konnten, da der Fokus der Schule auf der Ermöglichung des Unterricht der Sekundarstufe II lag.

In der Unterrichtsreihe „Beschreibung der Eigenschaften von Funktionen und deren Nutzung im Kontext“ zeigte sich dies bei manchen SuS in dem Fehlen von Kenntnissen hinsichtlich der Grundeigenschaften von Funktionen, wie beispielsweise dem Anfertigen einer Wertetabelle oder dem Zeichnen des Graphen, sodass eine grundlegende Wiederholung hier von Nöten war. Dem gegenüber stehen mehrere leistungsstarke SuS, welche während der Wiederholung des Grundwissens aus der Sekundarstufe I unterfordert waren.

Im Unterricht wird daher auf binnendifferenzierende Maßnahmen in Form von beispielsweise Tippkarten und Sprinteraufgaben geachtet. Hierbei zeigte sich jedoch, dass die leistungsschwächeren SuS Tippkarten eher vermeiden und somit wiederholt auf diese verwiesen werden muss. Um gleichwertiges Basiswissen zum Thema Funktionen für alle SuS zu erzielen, wurde ein Glossar in Form eines kleinen Buches angelegt, um das bisherige Erarbeitete Wissen zu Funktionen zu sichern.

Da insbesondere der Einstieg in das Thema „Funktionen und ihre Eigenschaften“ auf einer rein mathematischen Bildsprache basiert, wurde das Szenario einer adaptierten Welt von Lewis Carrolls „Alice im Wunderland“ angewendet. In dieser werden die Funktionen in Form von „Kartenfunktionen“ zum Leben erweckt. Durch die fiktionale Geschichte können die SuS den rein mathematischen Inhalt des Themas problemorientiert lösen. So mussten sie beispielsweise mit den Funktionskarten „tanzen“, was bedeutet, dass sie den Graphen einer Potenzfunktion nachahmen bzw. skizzieren können müssen.

Die Lerngruppe hat größtenteils noch wenig Erfahrung mit dem System des problemorientierten Unterrichts. Manchen Lernenden fehlt in diesem Kontext noch die Einsicht, dass die selbstständige Erschließung des neuen Lerngegenstandes Teil des Lernprozesses ist. Insofern neigen insbesondere die leistungsschwächeren Schülerinnen und Schüler des Kurses dazu diesen Prozess abkürzen zu wollen und direkt die Regel oder das Gesetz präsentiert zu bekommen. Eine weitere Herausforderung für ungefähr die Hälfte der Schülerinnen und Schüler stellt die mögliche Frustration während des problemorientierten Unterrichts dar, die zutage kommen kann, wenn falsche Hypothesen oder Lösungswege als Teil des Lernprozesses ausprobiert wurden.

Da an der Schule der grafikfähige Taschenrechner (GTR) in der EF-Stufe erst nach den Herbstferien eingeführt werden wird und die erste Klausur ohne diesen geschrieben werden muss, wurde zur Veranschaulichung von Funktionen auf das Computerprogramm GeoGebra gesetzt. Dabei hatten zwei Drittel der Klasse keinerlei Vorerfahrungen mit dem Programm. Mit GeoGebra können Funktionen sehr leicht geplottet und somit verglichen werden. Die Lernenden konnten sich so eigenständig viele Kenntnisse zu Potenzfunktionen selbstständig, wie das Verhalten im Unendlichen und der Verlauf der Potenzfunktion erarbeiten. GeoGebra ermöglich eine enaktive Darstellungsebene durch den Verschiebe- und Zugmodus den Schülerinnen und Schülern Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen zu erkunden. Des Weiteren ist durch GeoGebra das EIS-Modell von Bruner anwendbar, da die enaktive Ebene durch den Verschiebe- und Zugmodus erreicht wird, die ikonische Ebene durch die Veranschaulichung des Graphen und die symbolische Ebene in Form der Funktionsgleichung (Bruner 1971). Leistungsschwächen zeigten sich beim Begründen von weiterführenden mathematischen Kenntnissen, Folgerungen und Zusammenhängen zu Potenzfunktionen. Durch die Problemorientierung wird das Erforschen mit Hilfe des Computerprogramms GeoGebra gefördert, sodass die Schülerinnen und Schüler selbstständig die Zusammenhänge ermitteln können und zielgerichtet die Software benutzen.

1.4 Darstellungen zum Reihenkontext

Das Themengebiet der Funktionen setzt auf das Spiralprinzip von Jérôme Bruner, welches besagt, dass jeder Lehrgegenstand immer wieder auf unterschiedlichen Entwicklungsstufen des Lernenden aufgegriffen werden sollte (Büchter 2014). So baut diese Reihe in der EF auf dem Wissen um Funktionen aus den Klassenstufen 7 (lineare Funktionen) und Klassenstufe 8/9 (quadratische Funktionen) auf. Das Spiralprinzip Bruners versucht den mathematischen Lerngegenstand passend an den Entwicklungsstand des Jugendlichen anzupassen und diesen aus seinen Augen erlernen zu lassen (Bruner 1973:44). In dieser Unterrichtsreihe sollen somit die mathematischen Begriffe zu linearen und quadratischen Funktionen aus der Sekundarstufe I wieder aufgegriffen werden und zu den der Potenzfunktionen bzw. Sinus- oder Exponentialfunktion weiterentwickelt werden. Die Lernenden können so auf ihr bisher erlerntes Wissen, wie beispielsweise „Nullstelle“ oder „parabelförmig“, aufbauen und dieses zu den Potenzfunktionen bis zu den Exponentialfunktionen und der Sinusfunktion spiralförmig erweitern. Zusätzlich wird hier das genetische Prinzip angewendet, da die Schülerinnen und Schüler von dem Wissensstand über quadratische Funktion zu den allgemeinen Potenzfunktionen (Vollrath 2007:160) auf natürlichem Wege weiterschreiten. So können die SuS mit Hilfe von Funktionsplottern und Wertetabellen selbst entdecken, was passiert, wenn der Exponent einer Potenzfunktion weiter erhöht wird und somit forschendes Lernen betreiben. Forschendes Lernen findet hier statt, da die Schülerinnen und Schüler selbstständig die Welt der Potenzfunktionen erkunden sowie Zusammenhänge erkennen und strukturieren (Roth, Weigand 2014).

Die Schülerinnen und Schüler müssen bei der Reihenplanung zu den Eigenschaften von Funktionen anfangs tragfähige Grundvorstellungen zu Funktionen aufbauen, welche jedoch über die der bisher bekannten linearen und quadratischen Funktionen hinaus gehen. Erst dann können Regeln systematisiert und automatisiert werden (Henn 2015:63). Daher entschied ich mich für das abstrakte Szenario „Alice im Funktionen-Wunderland“, um problemorientiert diese Grundvorstellungen aufbauen zu können. Sind die Grundvorstellungen einmal vorhanden, können Probleme aus der Umwelt modelliert werden (Henn 2015:64). Sind die Grundvorstellungen zu den ganzrationalen Funktionen aufgebaut, kann darauf aufbauend der Themenbereich zur Ermittlung der Nullstellen einer Funktion über realistische Szenarien modelliert werden.

Durch das fiktive Märchenszenario anfangs kann auch das Basiswissen zu Potenzfunktionen als Problem dargestellt werden. Beim Lernen durch Problemlösen steht am Anfang ein aufbereitetes Problem und die Lernenden erschließen sich das neue Themenfeld selbstständig. Das Problem beschreibt jeweils eine mathematische Schwierigkeit, für deren Lösung der Erwerb neuen Wissens notwendig ist (Reusser 2005). Allerdings benötigt die Lerngruppe dafür eine Kultur des problemorientierten Unterrichts, welchen ich neu eingeführt habe und an den sich die Lerngruppe erst schrittweise gewöhnen muss. Insbesondere in den vertiefenden Aufgaben nach der Lösung eines Problems kann die prozessbezogene Kompetenz des Argumentierens und Begründens noch weiter ausgebaut werden.

Des Weiteren soll das funktionale Denken bei den Lernenden gefördert werden. So wurde der Zuordnungscharakter der Funktion und der Unterschied zwischen einer nicht-funktionalen Zuordnung und einer Funktion herausgearbeitet. Dementsprechend müssen die SuS häufig die Definitions- und Wertemenge angeben. Das Änderungsverhalten mussten die SuS bei ihren Erkundungen ausformulieren, wodurch die prozessbezogene Kompetenz des Kommunizierens gefördert wurde. Die Sicht als Ganzes auf die Funktion sollten die Schülerinnen und Schüler durch verbale Beschreibungen des Verlaufs des Graphens immer wieder anwenden (Vollrath S.140). Ebenfalls wurde auf das didaktische E-I-S Prinzip von Bruner (Bruner 1971:21) gesetzt, da bei den Funktionen ein ständiger flexibler Darstellungswechsel der Funktion verlangt wird. So kann mit dem Computer-Werkzeug GeoGebra die enaktive Ebene des Funktionsgraphen durch selbstständiges Verändern des Graphen (Verschiebe- und Zugmodus) genutzt werden. Die ikonische Ebene wird durch das Plotten des Funktionsgraphen erreicht. Die symbolische Ebene durch die Funktionsgleichung und die Wertetabelle. Des Weiteren sollten diese drei Darstellungsformen verbal beschrieben werden, wodurch es noch darüber hinaus zu einer weiteren Darstellungsebene kommt. Dabei sollte darauf geachtet werden, dass die Darstellungsebenen auch immer wieder in jede mögliche Richtung umgekehrt werden können, also Lernende sollen beispielsweise von der symbolischen Ebene der Funktionsgleichung auf die ikonische Ebene des Graphen wechseln können.

1.3 Tabellarische Übersicht über die Stunden der Unterrichtsreihe

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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