Schriftliche Rechenverfahren und Fehleranalyse der schriftlichen Addition

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Schriftliche Rechenverfahren
2.1 Argumente für schriftliches Rechnen
2.2. Gefahren des schriftlichen Rechnens

3. Das Normalverfahren der schriftlichen Rechenverfahren
3.1. Vorteile der Normalverfahren
3.2 Nachteile der Normalverfahren

4. Die schriftliche Addition
4.1. Das Normalverfahren der schriftlichen Addition
4.2. Schwierigkeiten bei der schriftlichen Addition
4.3 Vorbeugung und Behebung von Fehlern in der schriftlichen Addition
4.4 Hinweise zur Behandlung im Unterricht

5. Fehleranalyse
5.1 Möglichkeiten der Fehleranalyse

6. Eigenschaften der Testmaterialien
6.1 Erläuterungen zum diagnostischen Test A
6.2 Erläuterungen zum diagnostischen Test A

7. Meine Untersuchungen anhand der diagnostischen Tests zur schriftlichen Addition
7.1 Die Testperson
7.2 Untersuchungsergebnisse zur diagnostischen Testseite A
7.3 Untersuchungsergebnisse zur diagnostischen Testseite A
7.4 Schlußfolgerungen zu den diagnostischen Tests

8. Anregungen zum Fördern und Üben
8.1 Die „Eins plus Eins“ Tafel
8.2 Mögliche Aufgaben zur schriftlichen Addition mit Übertrag

9. Fazit

10. Literaturverzeichnis

1. Einleitung

In meiner wissenschaftlichen Übungsarbeit werde ich mich mit den schriftlichen Rechenverfahren und der Fehleranalyse der schriftlichen Addition beschäftigen. Des weiteren werde ich einen zehnjährigen Jungen aus der dritten Klasse namens Tobias bitten, während des 90 Minutenzeitraumes im Studienkreis, zwei diagnostische Testseiten zur schriftlichen Addition auszufüllen, um so eine Fehleranalyse bei ihm durchzuführen. Diese Fehleranalyse wird mir dabei helfen, den Schüler anschließend, während des Nachhilfeunterrichts speziell zu fördern.

2. Schriftliche Rechenverfahren

Schriftliche Rechenverfahren sind algorithmische Verfahren.

„Algorithmus (nach dem arabischen Mathematiker Al Chwarismi), abgeschlossener Rechenvorgang mit einer zyklisch sich wiederholenden Gesetzmäßigkeit; wichtig bei Rechenautomaten.“¹

Zu ihnen gehören die schriftliche Addition, die -Subtraktion, die -Multiplikation und die schriftliche Division. Sie haben den Vorteil, daß sie zum größten Teil automatisch ablaufen.

Wenn die Schüler die Klasse, den Wohnort oder das Bundesland wechseln, ist es von Vorteil, wenn sie die erlernten Automatismen beibehalten können. Aus diesem Grund wurden die schriftlichen Rechenverfahren durch Beschlüsse der Kultusministerkonferenz (letzte 1976) normiert und für das Bundesgebiet verbindlich vorgeschrieben. Dazu gehört unter anderem auch die Sprechweise bei der schriftlichen Subtraktion und der schriftlichen Addition.² Es wird jedoch heftig darüber diskutiert, ob die schriftlichen Rechenverfahren überhaupt noch Bestandteil der Lehrpläne für die Grundschule sein sollen oder ob sie nur noch von

Schülern der Sonderschule angewandt werden dürfen. Es gibt viele Argumente gegen das Lehren und Lernen der schriftlichen Rechenverfahren. Die meisten hängen mit der Entwicklung der elektrischen Geräte, wie die des Taschenrechners zusammen.³

2.1 Argumente für schriftliches Rechnen

In der heutigen Zeit dienen den Schülern viele elektrische Geräte, wie Taschenrechner, Computer, etc., um Rechenaufgaben zu lösen. Ein Argument für das schriftliche Rechnen ist die Abhängigkeitsminderung von diesen Geräten, welche ihnen ein Gefühl der eigenen Kompetenz und Sicherheit geben kann. Gleichzeitig bekommen die Schüler eine Einsicht in altes Kulturgut.⁴ Die Überschlags- und Kontrollrechnungen der schriftlichen Rechenverfahren helfen dem Kind, die Vorstellungen über die Größenordnung von Zahlen zu entwickeln.⁵ Durch das mehrfache Wiederholen gleichartiger Rechenschritte wird das Kind mit der Zweckmäßigkeit des algorithmischen Vorgehens vertraut.

Die Schwerpunkte des schriftlichen Rechnens liegen im Gegensatz zu früher, nicht mehr auf der knappen und schnellen Durchführung der Rechenaufgaben, sondern auf dem grundsätzlichen Verständnis, der prinzipiellen Verfügbarkeit und der Beherrschung von Überschlags- und Kontrollrechnungen.⁶

2.2. Gefahren des schriftlichen Rechnens

Eine Gefahr des schriftlichen Rechnens ist das Vernachlässigen des Kopfrechnens. Dies bedeutet, daß Schüler durch das erforderliche Üben die Rechenschritte so sicher beherrschen, daß sie nun lieber schriftlich rechnen als im Kopf, weil sie dieses als einfacher empfinden. Außerdem können schriftliche Rechenverfahren ohne Einsicht verwendet werden, da zur Durchführung das „Eins plus Eins“ und das „Ein mal Eins“ genügt. Beim schriftlichen Rechnen wird nur mit Ziffern einzelner Stellenwerte gerechnet, so kann es eicht passieren, daß die Zahlen von den Schülern nicht mehr als Ganzes erfaßt werden und nur noch mit Ziffern manipuliert wird. Daraus folgt, daß völlig unsinnige Ergebnisse überhaupt nicht mehr bemerkt werden, obwohl sie nicht der gesuchten Größenordnung entsprechen. Schriftliches Rechnen trägt dann kaum mehr zur Zahlvorstellungsentwicklung bei. Um dieses zu vermeiden, sollte das schriftliche Rechnen mit der Überschlagsrechnung kombiniert werden.⁷

3. Das Normalverfahren der schriftlichen Rechenverfahren

In der Grundschule wurden die schriftlichen Rechenverfahren durch die Beschlüsse der Kultusministerkonferenz weitestgehend normiert und verbindlich vorgeschrieben. Als Endziel wird ein Normalverfahren angestrebt, das heißt, die Einzelschritte erfolgen nach festgelegten Regeln und in einer bestimmten Reihenfolge. Des weiteren schreiben die Beschlüsse der Kultusministerkonferenz eine Festlegung der Sprech- und Schreibweisen bei den schriftlichen Rechenverfahren vor.⁸

3.1. Vorteile der Normalverfahren

Ein Vorteil der Normalverfahren ist, daß die Schüler durch die schematische und einprägsame Abfolge der Einzelschritte sicherer rechnen und potentielle Fehlerquellen vermeiden können. Dadurch werden sie die Rechenaufgaben stetig schneller durchführen können. Durch eine ansteigende Rechensicherheit wird das Gedächtnis des Schülers entlastet und er kann sich somit auf die Probleme innerhalb der zu lösenden Rechenaufgabe konzentrieren.

Ein weiterer Vorteil ist, daß im Falle eines Orts- oder Schulwechsels durch die Normierung der schriftlichen Rechenverfahren, so gut wie keine Schwierigkeiten auftreten werden, da die Rechenverfahren überall angeglichen sind.⁹

3.2 Nachteile der Normalverfahren

Sollten bei der Einführung der schriftlichen Rechenverfahren zu viele Teilschritte auf einmal durchgeführt werden, könnten die Schüler durch diese Fülle unsicher werden. Dieses könnte eventuell zur Folge haben, daß sie Teilschritte verwechseln, fehlerhaft abändern oder vergessen. Außerdem besteht die Möglichkeit, daß eine zu frühe Automatisierung der Normalverfahren ein mangelhaftes Verstehen der Schüler erzeugen könnte, was zur Folge hätte, daß sie das Verfahren nur sehr schwer nachvollziehen können. Da die Normalverfahren ohne Einsicht durchgeführt werden können, das heißt, die Schüler rechnen streng nach einem bestimmten Schema, kann es passieren, daß sie unverstandene und somit falsche Rechenschritte übernehmen und typische Fehler auftreten. Des weiteren führen Normalverfahren dazu, sie immer anzuwenden, auch wenn andere Wege, wie zum Beispiel das Kopfrechnen, schneller zum Ergebnis führen.

Bevor SchülerInnen das Normalverfahren kennenlernen, sollten die Schüler erstmal selbst verschiedene Lösungswege selbständig erarbeiten und kennenlernen. Normalverfahren sollten also nicht am Anfang eines Unterrichtsthemas stehen, sondern den Abschluß eines längeren Prozesses bilden. Um eine Unsicherheit seitens der Kinder zu vermeiden, sollten die Teilschritte und der Gesamtablauf der schriftlichen Rechenverfahren sowie die sprachlichen Formulierungen sehr sorgfältig entwickelt werden.¹⁰

4. Die schriftliche Addition

Die schriftliche Addition ist das unkomplizierteste der schriftlichen Rechenverfahren. Ein sicheres Beherrschen der Grundaufgaben zur Addition bis 20 und ein ausreichendes Verständnis des Stellenwertbegriffs und des Bündelungsprinzips sind jedoch Voraussetzung.

4.1. Das Normalverfahren der schriftlichen Addition

Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Sprechweise:

Sechs plus sieben gleich dreizehn, schreibe drei, übertrage eins.

Eins plus vier plus drei gleich acht, schreibe acht. Drei plus vier gleich sieben, schreibe sieben.¹¹

Die Summanden werden stellengerecht untereinander angeordnet. Aus der Festlegung der Sprechweise kann man entnehmen, daß beim Normalverfahren der schriftlichen Addition von unten nach oben addiert wird ( es wird bei den Einern begonnen) und die Übertragsziffern (werden meist etwas kleiner am unteren Rand der nächsten, linken Spalte notiert) beim Aufaddieren mitgesprochen werden. Dennoch sollte man die Übertragsziffern nicht notieren und sie beim Aufaddieren nicht mitsprechen, sondern sie lediglich im Kopf dazuzuzählen.

Also nicht: Eins plus vier plus acht, sondern fünf (!) plus acht. So wird es bei der schriftlichen Subtraktion auch gehandhabt und die SchülerInnen kommen dadurch später nicht durcheinander.

In Deutschland gibt es noch eine andere Schreibweise, die sich minimal vom obigen Beispiel unterscheidet. Dort wird auf das Notieren der Übertragszahl ganz verzichtet.¹²

4.2. Schwierigkeiten bei der schriftlichen Addition

Wie diagnostische Tests in zahlreichen Schulklassen zeigten, liegt die durchschnittliche Fehlerquote im 3. bis 6. Schuljahr bei nur 5%.¹³ Bei der schriftlichen Addition zweier Zahlen im Dezimalsystem unterscheidet man zwischen zwei Schwierigkeitsstufen: der Addition mit und ohne Übertrag.¹⁴ Um zu prüfen, ob die SchülerInnen die verschiedenen Anforderungen der schriftlichen Addition beherrschen, ist es günstig, diagnostische Aufgabenblätter einzubeziehen. Diese Aufgabenblätter enthalten verschiedene Anforderungen und Schwierigkeitsmerkmale (siehe Anlage A1 und A2).

1. Die Hälfte der Schülerfehler beim schriftlichen Addieren sind Fehler beim Übertrag. Je mehr Überträge erforderlich werden, desto schwieriger wird die Aufgabe für sie.

Bei diesem Fehlermuster gibt es vier Arten der Übertragsfehler.

- Der „Übertrag in allgemeinen Fällen“ wird nicht berücksichtigt, d. h. der Schüler übersieht die Übertragsziffer, auch, wenn er sie zuvor bereits hingeschrieben hat.

Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Der „Übertrag in besonderen Fällen“ wird nicht berücksichtigt, zum Beispiel, wenn der Schüler kein Übertrag zur Null setzt, weil er Schwierigkeiten mit der Bedeutung der Null hat.

Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Oder aber er ist unsicher im Umgang mit leeren Stellen oder zusätzlichen Stellen, was bedeutet, daß der Schüler die Vorstellung hat, daß eine Summe nicht mehr Stellen als zwei Summanden haben kann, wie im folgenden Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine weitere Möglichkeit, bei der bei rechenschwachen Schülern Schwierigkeiten auftreten können, ist der fehlende Übertrag zur neun. Eine mögliche Ursache für das Auftreten dieses Fehlermusters könnte die Vernachlässigung dieses Sonderfalls in der Einführungs- und Übungsphase sein.

Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Übertragsziffern wurden zuviel eingesetzt. Dies kann passieren, wenn der Schüler sich unsicher ist, ob eine Übertragsziffer eingesetzt werden muß oder nicht.

Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Falsches Umgehen mit einer Übertragsziffer. In diesem Fall berücksichtigt der Schüler zwar die Übertragsziffer, aber er geht falsch mit ihr um.

Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Weitere Möglichkeiten dieses Fehlermusters können entstehen, wenn der Übertrag in der falschen Spalte oder sogar mehrmals berücksichtigt wird.

2. Fehler beim „Eins und Eins“- vor allem bei Abweichungen um ± 1. 45% der Schüler machen diesen Fehlertyp bei der schriftlichen Addition, aufgrund einer nicht ausreichenden Beherrschung des „Eins und Eins“.

3. Fehler mit der Null, zum Beispiel 5 + 0 = 0. Mögliche Ursachen für diesen Fehlertyp sind, daß das Kind denkt, daß die Null nichts ist und aus Nichts wird Nichts. Oder aber in der Einführungsphase wurde nicht ausreichend mit der Null gerechnet, zum Beispiel wurde sie nicht in das Kopfrechnen miteinbezogen. Oft verwechseln die Schüler auch die Rolle der Null beim Addieren, das heißt, der Schüler denkt an das Multiplizieren mit der Null, denn 0+7¹0, aber 0·7=0.

4. Fehler durch unterschiedliche Stellenzahlen (leere Stellen), zum Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hier übersieht der Schüler die vier in der Hunderterstelle. Dieses passiert oft in Lehrgängen, in denen in der Einführung nur Aufgaben mit gleicher Stellenzahl verwendet wurden. „Ziffern ohne Rechenpartner“ sind hier ungewohnt für die Schüler.

5. Fehler beim Übertrag, zum Beispiel, wenn der Summenstrich zu nahe bei den Summanden gezogen wird. Dadurch haben die Übertragsziffern nur zwischen den Spalten Platz und werden gar nicht, beim falschen Stellenwert oder als zusätzliche Ziffer in das Endergebnis geschrieben.¹⁵

6. Es wird von links nach rechts addiert, das heißt die SchülerInnen beginnen nicht bei den Einern, sondern bei den Hundertern.¹⁶

Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

7. Fehler durch inverse Operation, das heißt es wird subtrahiert statt addiert. Dieses Fehlermuster tritt oft beim schriftlichen Addieren auf, wenn dem Schüler auch das schriftliche Subtrahieren bekannt ist. Des weiteren fällt dem Schüler der Unterschied vom Plus- und Minussymbol nicht gleich ins Auge, vor allen Dingen dann nicht, wenn die Aufgaben gemischt gestellt werden.

8. Fehler durch Perseveration, was bedeutet, daß sich ein schon bewußter Inhalt gegenüber einem neu hinzukommendem durchsetzt.

Perseverationserscheinungen entstehen zum Beispiel durch Aufmerksamkeitsund Konzentrationsmangel seitens des Schülers.¹⁷

4.3 Vorbeugung und Behebung von Fehlern in der schriftlichen Addition

Wie in Kapitel 4.2. bereits erwähnt, ist es sehr effektiv, wenn spezielle Fehlermuster des Schülers anhand von diagnostischen Tests genau aufgezeigt werden, um eventuelle Lernschwierigkeiten anhand von gezielten Fördermaßnahmen beheben zu können. Laut Hans - Dieter Gerster zeigte eine Auswertung solcher diagnostischer Tests zur schriftlichen Addition, daß spezielle Aufgaben des „Eins und Eins“ und Aufgaben mit „Überträgen in besonderen Fällen“ die Hauptprobleme der Schüler darstellen.¹⁸

Um Fehlern vorzubeugen, sind folgende Maßnahmen wichtig:

1. Das kleine „Eins und Eins“ muß abrufbar und geläufig sein, das heißt, die Schüler müssen aus dem Gedächtnis (ohne leises Weiterzählen, die Finger zur Hilfe zu nehmen oder Nachbaraufgaben zu bilden) unmittelbar die Lösungen nennen können.¹⁹

2. Die „Eins und Eins“- Aufgaben können anschließend anhand der Kolonnenaddition ausgeweitet werden. Diese muß ebenso trainiert werden, damit dem Kind bewußt wird, daß es einfacher ist, Zehnerpäckchen zu addieren.

3. Additionsaufgaben sollten immer klar dargestellt werden, das heißt, es sollte Karopapier zum Rechnen benutzt und in jedes Kästchen jeweils nur eine Ziffer geschrieben werden. Um Fehler durch unterschiedliche Stellenzahlen zu vermeiden, sollte das Pluszeichen nicht zu dicht bei den Ziffern gesetzt werden. Des weiteren sollten die Übertragsziffern konsequent notiert werden, das heißt entweder nie oder immer. Dieses vermeidet sowohl Verunsicherungen bei den Schülern als auch Übertragsfehler.

Außerdem sollten die Schüler beim Vorrechnen an der Tafel immer die Sprechweise einbehalten und laut kommentieren, was sie rechnen. Dadurch können ebenfalls Übertragsfehler vermieden werden.

Der Summenstrich sollte immer eine halbe Kästchenzeile unter den Aufgaben gezogen werden, damit Übertragsziffern notiert werden können. Außerdem sollten letztere immer in die Spalten geschrieben werden und nicht dazwischen, damit man diese in der richtigen Spalte und nicht mehrmals berücksichtigt.

Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4. Überschlagsrechnungen sollten stets durchgeführt werden. Hier werden die gegebenen Zahlen auf volle Hunderter, Tausender, Hunderttausender usw. gerundet.

Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

5. Auch Kontrollrechnungen sollten so oft wie möglich durchgeführt werden. Hierzu wird spaltenweise von oben nach unten addiert, um die Lösung zu kontrollieren.

4.4 Hinweise zur Behandlung im Unterricht

Um den Schülern verständlich zu machen, weshalb man bei der schriftlichen Addition mit den Einern anfängt zu rechnen, wäre es günstig, in der Einstiegsphase eine Anwendungssituation, wie das Verkaufen oder das Einkaufen zu wählen, in welcher der Zehner überschritten wird.²⁰

Beispiel:

„Beim Schulfest der Südschule verkaufen die Schüler der vierten Klasse für 457 DM Würstchen und für 236 DM Getränke. Wieviel Geld nehmen sie zusammen ein?“²¹

- In die Stellenwerte zerlegen (halbschriftlich):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Kinder mit Rechengeld, Mehrsystemblöcken oder Zählmarken arbeiten lassen.

Des weiteren ist das Rechenbrett oder das Einsetzen zeichnerischer Symbole ( für die Hunderter, für die Zehner und · für die Einer) ein häufig benutztes Veranschaulichungsmittel für den Unterricht.²²

5. Fehleranalyse

Die Fehleranalyse beinhaltet sozusagen das Ergebnis der Vermittlung des Lernstoffes vom Lehrer zum Schüler. Schon zu Beginn des 19. Jahrhunderts wurden Analysen seitens der Deutschen (Ranschburg 1904, Hylla 1916), der Amerikaner (Phelps 1913, Thorndike 1917) und auch der Russen durchgeführt.²³ Die Methode der Fehleranalyse spielt nicht nur in der Mathematikdidaktik eine wesentliche Rolle, sondern auch in den sprachlichen Unterrichtsfächern, wie in der Rechtschreibung, der Grammatik und dem Fremdspracherwerb.²⁴ Sie hilft, Lernschwierigkeiten einzelner Schüler beim Lösen mathematischer Aufgaben zu erkennen und dient der Lehrkraft, Informationen zu erhalten, um gezielt Förder- und Differenzierungsmaßnahmen einzuleiten.

5.1 Möglichkeiten der Fehleranalyse

Wie bereits erwähnt, gibt es verschiedene Fehlerstrategien, die sich ein Schüler aneignen kann. Es entstehen nur selten Fehler zufällig oder durch simples Verrechnen. Fehlermuster können in den unterschiedlichen Phasen des Unterrichtsprozesses auftreten, zum Beispiel in der Vorbereitungs-, der Erarbeitungs- oder in der Übungsphase.

Dennoch sind Fehler unverzichtbar in einem Lernprozeß, denn: „Aus Fehlern lernt man“, wie der Volksmund sagt. Dieses sollte man den Schülern auch vermitteln, um ihnen die Angst und somit den Druck, Fehler zu machen, zu nehmen. Ansonsten kann es dazu führen, daß sie kniffligen Aufgaben aus dem Weg gehen, beziehungsweise, sich nicht trauen mit der Aufgabe zu experimentieren, um das Ergebnis zu finden.²⁵

Um Schülerfehler zu analysieren, bieten sich bereits schriftlich vorhandene Lösungen aus Tests, Klassenarbeiten, Übungsaufgaben, Hausaufgaben usw. an. Um diese Fehleranalyse zu ergänzen, wäre es sinnvoll, den Schüler anhand eines diagnostischen Gesprächs mit einzubeziehen. Somit kann man seinen Rechenweg analysieren und die Fehlerstrategie korrigieren. Eine weitere Möglichkeit wäre, das laute Vorrechnenlassen einer Aufgabe, um den Rechenweg des Schülers nachvollziehen zu können. Außerdem gibt es zu beinahe jedem Themenkreis des Mathematikunterrichts diagnostische Aufgabensätze, die eigens für die Fehleranalyse entwickelt worden sind.

6. Eigenschaften der Testmaterialien

6.1 Erläuterungen zum diagnostischen Test A1

Dieser Test zur schriftlichen Addition kann ab dem 3. Schuljahr zur Fehleranalyse eingesetzt werden. Er benutzt den Zahlenraum bis Tausend und in ihm nehmen die Schwierigkeitsmerkmale, wie die Anzahl der Überträge, in den Aufgaben von oben nach unten zu.²⁶

6.2 Erläuterungen zum diagnostischen Test A2

In diesem Test wird der Zahlenraum bis zu einer Million verwendet. Er kann ab dem 4. Schuljahr eingesetzt werden und soll dabei helfen, die speziellen Probleme der Schüler bei der Kolonnenaddition aufzudecken. Auch hier nehmen die Schwierigkeitsmerkmale der Aufgaben von oben nach unten hin zu.²⁷

7. Meine Untersuchungen anhand der diagnostischen Tests zur schriftlichen Addition

7.1 Die Testperson

Die Testperson, die den diagnostischen Test zur schriftlichen Addition bearbeiten soll, heißt Tobias, ist 10 Jahre alt und gerade in die vierte Klasse gekommen. Seit über einem Jahr besucht er zweimal wöchentlich den Studienkreis in Sarstedt und nimmt dort einmal die Woche den Nachhilfe- und Förderunterricht in Mathematik wahr. Seine Leistungen in Mathematik haben sich innerhalb dieser Zeit vom ausreichenden bis mangelhaften Bereich in den befriedigenden bis guten Bereich gesteigert.

Tobias hat einen zwei Jahre älteren Bruder, der auch zu Hause lebt. Dieser wohnt im unteren Bereich des Hauses, bei seinen Eltern, und Tobias wohnt im oberen Bereich bei seiner Oma. Diese wiederum bezahlt ihm den Unterricht im Studienkreis, solange er daran teilnehmen möchte, was seine Mutter ihm nicht ermöglichen könnte. Von daher ist es auch seinem Bruder nicht mehr möglich am Unterricht des Studienkreises teilzunehmen. Tobias bekommt demnach mehr Dinge als sein Bruder und deswegen haben die beiden des öfteren Streit.

Im Studienkreis ist Tobias oft sehr aufgedreht und hat immer viel zu erzählen. Selbst wenn er seine Hausaufgaben macht, muß er stets in irgendeiner Form verbal auf sich aufmerksam machen. Daraus läßt sich folgern, daß er sich oft nur während eines kurzen Zeitraumes auf seine Aufgaben konzentrieren kann. Anhand seines Hausaufgabenheftes kann man sehen, daß sich Tobias oft unsicher ist, da er viel durchstreicht oder wegkillt.

Ich habe die Gruppe (bestehend aus drei Schülern der (jetzt) vierten Klasse) vor einem Jahr übernommen. Sie gehen alle in die gleiche Klasse der Grundschule in Sarstedt. An dem Tag, als ich sie den diagnostischen Test bearbeiten lassen habe, waren nur zwei von ihnen anwesend.

Vor den Sommerferien hat Tobias hauptsächlich in seinem Schulbuch²⁸ gearbeitet. In der Übungsphase der schriftlichen Addition hatte er zunächst keine Probleme, doch nachdem die schriftliche Subtraktion eingeführt wurde, hat er mehrmals subtrahiert, statt ergänzt.

Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Als schließlich die Sachaufgaben zur Addition hinzukamen, schrieb er die Zahlen meistens nebeneinander statt untereinander, weil er der Meinung war, daß dies der einfachere Lösungsweg wäre. Des öfteren kam es jedoch so zu Rechenfehlern, die ihn schnell deprimierten.

Beispiel:

22 + 16 = 38

Während der Testphase habe ich Tobias so viel Zeit gelassen, wie er benötigte (ca. 40 Minuten).

7.2 Untersuchungsergebnisse zur diagnostischen Testseite A 1

Den ersten Fehler auf Blatt A 1 hat Tobias bei der Aufgabe 16 gemacht:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das heißt, bei einem, beziehungsweise keinem Übertrag hatte er keinerlei Probleme. In der Aufgabe 16 müssen zwei Überträge gemacht werden, sie hat keinen Stellenunterschied und die Null ist nicht mit einbezogen. Tobias´ Fehler lag darin, daß er hier nur einen Übertrag (statt zwei) gemacht hat.

Die Aufgabe 22 ist mit Stellenunterschied, zwei Übergängen und auch hier wird die Null nicht miteinbezogen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In dieser Aufgabe hat Tobias einen Übertragsfehler und einen Stellenwertfehler gemacht. Der Übertragsfehler besteht darin, daß er den Übertrag nicht gesetzt hat. Dennoch scheint er mit der Null in Summanden oder im Ergebnis keine Probleme zu haben, dafür leichte Probleme mit zwei Überträgen und dem Stellenunterschied.

7.3 Untersuchungsergebnisse zur diagnostischen Testseite A 2

Die Kolonnenaddition scheint Tobias noch einige Probleme zu bereiten.

In der Aufgabe zwei hat er einen Übertragsfehler gemacht, indem er einen Übertrag gemacht hat, der dort nicht hingehört.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In der Aufgabe 3 hat er alle Überträge richtig gesetzt, doch hier hat er sich in einer Spalte um einen verzählt. Er hat einen Zählfehler gemacht.

Der nächste Fehler ist in Aufgabe 8. Hier werden fünf Summanden addiert. Die Überträge hat Tobias richtig gesetzt, doch sind hier zwei Zählfehler enthalten. Einmal hat er sich um sieben verrechnet und einmal um fünf.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zwei weitere Fehler hat er in der letzten Aufgabe dieser Seite:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Auch hier werden fünf Summanden addiert und es sind Überträge zu setzen. In dieser Aufgabe hat er sich wieder um einen verzählt und statt drei Zehner nur einen Zehner übertragen.

7.4 Schlußfolgerungen zu den diagnostischen Tests

Alles in allem hat Tobias von 34 Testaufgaben, 9 Fehler gemacht. Davon waren vier Übertragsfehler, ein Stellenwertfehler und drei Zählfehler. Daraus kann man schließen, daß Tobias unsicher wird, wenn er zwei Überträge setzen muß. Des weiteren hat er einige Zählfehler gemacht, was aufzeigt, daß er das „Eins und Eins“ sicherer beherrschen muß. Die Null scheint ihm jedoch absolut keine Probleme zu machen, das heißt, er weiß, was für eine Bedeutung die Null in der Addition hat.

Ich werde Tobias mehr im „Eins und Eins“ fördern und ihm spezielle Aufgaben der schriftlichen Addition mit Übertrag geben. Leider hat er nur einmal die Woche bei mir für neunzig Minuten Unterricht. Oft dauert es nur wenige Wochen und er hat schon wieder ein neues Thema in der Schule, wofür vor- und nachbereitet werden muß.

8. Anregungen zum Fördern und Üben

Um Tobias speziell zu fördern, finde ich es wichtig, daß er das „Eins plus Eins“ sicherer beherrscht, um Zählfehler zu vermeiden. Damit er sich „Eins plus Eins“ - Aufgaben verinnerlicht, werde ich zu Beginn des Mathematikunterrichts im Studienkreis den Schwerpunkt auf Kopfrechenaufgaben legen. Des weiteren werde ich ihm Aufgaben zur schriftlichen Addition geben, in welchen mindestens zwei Überträge gesetzt werden und ihn bitten, mir die Aufgabe laut vorzurechnen. Ich erhoffe mir dadurch, den Grund der auftretenden Rechenfehler zu erkennen und diese mit ihm zusammen mindern zu können. Damit er sich selbst kontrollieren kann, werde ich ihn bitten, zu jeder Aufgabe die Probe zu machen, indem er spaltenweise von oben nach unten addiert.

8.1 Die „Eins plus Eins“ Tafel

²⁹ In der Einspluseinstafel werden die Ergebnisse, beziehungsweise die Summanden, von links nach rechts größer. Sie stellt den operativen Zusammenhang zwischen den Aufgaben dar. Auf der waagerechten Diagonale liegen die Verdoppelungsaufgaben (0+0, 1+1, 2+2, usw.). Die Aufgaben, die die Summe zehn ergeben, liegen auf der senkrechten Diagonalen (10+0, 9+1, 8+2, usw.). Auf den beiden Mittellinien findet man Additionsaufgaben mit der fünf, welche den Kern der Tafel bilden, um die übrigen Aufgaben abzuleiten. In der Tafel lassen sich eine Vielzahl von mathematischen Gesetzmäßigkeiten und Beziehungen erkennen. Zum Beispiel spiegeln sich an der waagerechten Verdoppelungsreihe die kommutativen Aufgaben, wie 6+5=5+6 usw. Des weiteren erkennt man in den senkrechten Spalten, daß die Summe gleich bleibt, obwohl die Summanden unterschiedlich sind, wie 10+6, 9+7, 8+8, usw.

8.2 Mögliche Aufgaben zur schriftlichen Addition mit Übertrag

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

9. Fazit

So gut wie alle Schüler haben durch die pädagogische Arbeit der vorschulischen Einrichtungen, wie Kindergarten oder Vorschule, zu Schulbeginn schon mathematische Vorkenntnisse. Zum Zeitpunkt der Einschulung sind die Kinder also schon auf vielfältige Art und Weise mit Zahlen und mit dem Zählen in Berührung gekommen. Der Begriff „Zahl“ hat sich dabei aus einem Bündel von Erlebnissen, Anwendungen, Gehörtem und Nachgesprochenem gebildet. Sie haben zum Beispiel zu Hause, durch die Medien und durch den Kindergarten, Erfahrungen mit Zahlen gesammelt, wie zum Beispiel mit dem Lebensalter, Hausnummern, Telefonnummern, usw.

Regeln erfassen und beachten ist demnach schon vor der Schule in vielfältigen Beziehungen gelernt worden. Die Kinder haben dabei gelernt, daß Zahlen auf verschiedene Art und Weise verwendet werden.

Dennoch haben viele Grundschüler nur wenig Handlungserfahrungen und Vorstellungen aus Sachsituationen, die den mathematischen Operationen dienen. Das ist eine Folge der Vernachlässigung des Umgangs mit diversen Materialien. Zum Schulanfang sollten die Kinder für mathematische Begriffe und Verfahren sensibilisiert werden. Für die Einführung in die Addition dienen dem Schüler additive Handlungen, wie:

Wachsen, Gewinnen, Weitermachen, Zusammenlegen, Zusammenkleben, Zusammensetzen, Hinzukommen, Hinzufügen, Hinzukaufen, Verlängen, Vergrößern, Verdoppeln, usw.³⁰

Der Mathematikunterricht sollte nicht lehrgangsmäßig aufgebaut, sondern in spielerische Aktivitäten und fächerübergreifende Sachzusammenhänge eingebettet werden. Schüler sollten Handlungsorientiert (Enaktiv) über die Ikonische Ebene zur symbolischen gelangen, um mathematische Operationen zu verinnerlichen.

10. Literaturverzeichnis

Abele, Albrecht, Gerster, Hans- Dieter u.a. (1994): Handbuch zur Grundschulmathematik, Stuttgart, Klett, Band 2: 3. Und 4. Schuljahr.

Gerster, Hans- Dieter (1982): Schülerfehler bei schriftlichen Rechenverfahren, Freiburg, Herder.

F. A. Brockhaus (1973): Lingen Lexikon, Freiburg i. Br., Lingen Verlag.

Lorenz, Jens- Holger (1984): Lernschwierigkeiten: Forschung und Praxis, Köln, Aulis- Verlag Deubner, Band 10.

Lorenz, Jens- Holger /Radatz, Hendrik (1993): Handbuch des Förderns im Mathematikunterricht, Hannover, Schroedelverlag.

Padberg, Friedhelm (1992): Didaktik der Arithmetik, 2. Vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage, Mannheim, BI- Wissenschaftsverlag.

Radatz, Hendrik (1980): Fehleranalyse im Mathematikunterricht, Braunschweig, Vieweg.

Schmidt, Roland (1994): Denken und Rechnen 3 (Nord), Braunschweig, Westermann.

Wittmann, E. Ch. /Müller, G. N. (1990): Handbuch produktiver Rechenübungen, Stuttgart, Klett, Band 2.

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¹ Lingen Lexikon, (1973)

² Vgl. Gerster, H.-D. / Abele, A. u.a. (1994), S. 52

³ Vgl. Lorenz, J. -H. /Radatz, H. (1993), S. 155

⁴ Vgl. Gerster, H.-D. / Abele, A. u.a. (1994), S. 51

⁵ Vgl. Gerster, H.-D. (1982), S. 13

⁶ Vgl. Gerster, H.-D. / Abele, A. u.a. (1994), S. 52

⁷ Vgl. Gerster, H.-D. / Abele, A. u.a. (1994), S. 52

⁸ Vgl. Padberg, F. (1992), S.156

⁹ Vgl. Padberg, F. (1992), S.156

¹⁰ Vgl. Padberg, F. (1992), S.158

¹¹ Vgl. Gerster, H.-D. / Abele, A. u.a. (1994), S. 220

¹² Vgl. Padberg, F. (1992), S.158

¹³ Vgl. Gerster, H.-D. (1982), S. 28

¹⁴ Vgl. Padberg, F. (1992), S. 161

¹⁵ Vgl. Gerster, H.-D. / Abele, A. u.a. (1994), S. 55

¹⁶ Vgl. Lorenz, J. -H. /Radatz, H. (1993), S. 156

¹⁷ Vgl. Gerster, H.-D. (1982), S. 28fff.

¹⁸ Vgl. Gerster, H.-D. (1982), S. 35

¹⁹ Vgl. Lorenz, J. -H. (1984), S. 66

²⁰ Vgl. Gerster, H.-D. / Abele, A. u.a. (1994), S. 56f.

²¹ Schmidt, R. (1994), S.45

²² Vgl. Padberg, F. (1992), S. 162

²³ Vgl. Radatz, H. (1980), S. 16

²⁴ Vgl. Radatz, H. /Lorenz, J. -H. (1993), S.59

²⁵ Vgl. Radatz, H. /Lorenz, J. -H. (1993), S.59f.

²⁶ Vgl. Gerster, H. -D. (1982), S. 24

²⁷ Vgl. Gerster, H. -D. (1982), S. 26

²⁸ Vgl. Schmidt, R. (1994), S.44f.

²⁹ Wittmann, E. Ch. /Müller, G. N. (1990), S. 43

³⁰ Vgl. Radatz, H. /Lorenz, J. -H. (1993), S. 127