Georg Cantors „Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre“ bilden den fünften Teil einer Serie von sechs Artikeln, die unter dem gemeinsamen Titel „Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten“ zwischen 1879 und 1884 in den Mathematischen Annalen abgedruckt wurden.
Innerhalb dieser Serie gebührt den „Grundlagen“ eine besondere Stellung: Sie sind als geschlossene Darstellung derjenigen Ergebnisse konzipiert, die den Kern der zwischen 1871 und 1884 geschaffenen Cantorschen Mengenlehre bilden. 1883, also noch vor ihrer Publikation in den Annalen, wurden sie – um den Untertitel „Ein mathematisch-philosophischer Versuch in die Lehre des Unendlichen“ und ein Vorwort erweitert – als Separatdruck bei Teubner herausgegeben.
Dazu Cantor (im in der Gesamtausgabe seiner Werke nicht abgedruckten Vorwort): „Since the present essay carries the subject much further, and since its main thesis is independent of the earlier articles, I decided to publish it separately under a title that corresponds more closely to its contents.“ Ausdrücklich wendet er sich dabei an ein doppeltes Publikum, den mit den aktuellen mathematischen Entwicklungen vertrauten Philosophen, sowie den philosophisch vorgebildeten Mathematiker.
Der erste Abschnitt liefert einige Angaben über die bewegte Biographie von Georg Cantor. Im Anschluss daran betrachte ich den Gang der Arbeiten, die den jungen Privatdozenten zu den ersten Arbeiten über die Mengenlehre führt. Abschnitt 4 konzentriert sich auf die „Grundlagen“. Sie dienen mir als Ausgangspunkt zur Untersuchung wichtiger Punkte in Cantors Werk: Mengenlehre, die Grundlegung der reellen Zahlen, transfinite Grössen sowie philosophische Betrachtungen der Mathematik.
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
2 Biographische Angaben
3 Der Weg zur Mengenlehre
4 Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre
4.1 Der Mengen-Begriff
4.2 Die Einführung irrationaler Zahlen
4.3 Mächtigkeit der reellen Zahlen
4.4 Der Streit mit Kronecker
4.5 Das Kontinuum
4.6 Transfinite Ordinalzahlen
4.7 Das Eigentlich-Unendliche: Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit
5 Schlussbetrachtungen
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht Georg Cantors Werk „Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre“ und analysiert dessen zentrale Bedeutung für die Entstehung der modernen Mengenlehre, die Begründung der reellen Zahlen sowie den philosophischen Umgang mit dem Unendlichen.
- Biographische Einordnung Georg Cantors und sein akademischer Werdegang.
- Die Entwicklung der Mengenlehre aus der Theorie trigonometrischer Reihen.
- Die Auseinandersetzung um das Unendliche und der mathematische Streit mit Leopold Kronecker.
- Untersuchung der Kontinuumshypothese und transfiniter Ordinalzahlen.
- Die philosophische Auffassung einer „freien Mathematik“.
Auszug aus dem Buch
4.4 Der Streit mit Kronecker
Untersuchungen zu den reellen Zahlen, wie sie Weierstrass, Heine und Cantor betrieben, weckten das Misstrauen Kroneckers, dessen Ziel die Arithmetisierung der gesamten Mathematik war. Insbesondere wollte er „die Hinzunahme der irrationalen sowie continuirlichen Grössen wieder abstreifen. . .“ . Nicht-konstruktive Existenzbeweise über den Satz des ausgeschlossenen Dritten, angewendet auf unendliche Mengen, wie Cantor sie bei der Nichtabzählbarkeit der reellen Zahlen führte, lehnte er nicht nur ab; er wollte gar zeigen, „dass die Ergebnisse der modernen Funktionentheorie und Mengenlehre von keiner realen Bedeutung seien“.
Unklar ist, wann der Streit zwischen Cantor und Kronecker offen ausbrach: Folgen Purkert und Ilgauds dem Jahre später von Cantor geäusserten Verdacht über Kroneckers Wirken als Grund für die Verzögerungen bei der Publikation des „Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre“ im Jahre 1877, sieht Ferreirós keine direkte Konfrontation zwischen den beiden bis in die 80er Jahre hinein. Im Ton eher noch um Versöhnung bemüht, geht Cantor in §4 der „Grundlagen“ auf die unterschiedliche Position zwischen ihm und seinem ehemaligen Lehrer ein:
„Im Gegensatz zu den erwähnten Versuchen über das Unendlichkleine und zu der Verwechslung der beiden Erscheinungsformen des Unendlichen findet sich eine Ansicht über das Wesen und die Bedeutung von Zahlgrössen vielfach vertreten, nach welcher keine anderen Zahlen als wirklich existierend aufgefasst werden als die endlichen realen ganzen Zahlen unsrer Zahlenklasse (I). [...] Mit dieser Auffassung der reinen Mathematik, obgleich ich ihr hier nicht zustimmen kann, sind unstreitig gewisse Vorzüge verbunden, die ich hier hervorheben möchte; spricht doch für ihre Bedeutung auch der Umstand, dass zu ihren Vertretern ein Teil der verdienstvollsten Mathematiker der Gegenwart gehört.“
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einführung: Die Arbeit führt in Cantors Werk ein, das als geschlossene Darstellung der Mengenlehre konzipiert ist und sowohl an Mathematiker als auch an Philosophen adressiert war.
2 Biographische Angaben: Dieser Abschnitt zeichnet Cantors Lebensweg von St. Petersburg über seine Studienzeit in Berlin bis zu seiner Lehrtätigkeit in Halle nach.
3 Der Weg zur Mengenlehre: Hier wird erläutert, wie Fragestellungen zur Eindeutigkeit trigonometrischer Reihen Cantor zur intensiven Beschäftigung mit Punktmengen führten.
4 Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre: Dieses Kernkapitel analysiert den Mengenbegriff, die reellen Zahlen, transfinite Ordinalzahlen sowie Cantors philosophisches Verständnis der Mathematik.
4.1 Der Mengen-Begriff: Es wird die Entwicklung von Cantors Definition der Menge aufgezeigt, wobei Bezüge zu Bolzano und Dedekind hergestellt werden.
4.2 Die Einführung irrationaler Zahlen: Das Kapitel behandelt Cantors Methode der Vervollständigung zur Definition reeller Zahlen im Kontext trigonometrischer Reihen.
4.3 Mächtigkeit der reellen Zahlen: Es wird der Übergang zum Vergleich unendlicher Mengen durch die „Mächtigkeit“ und die Korrespondenz mit Dedekind beschrieben.
4.4 Der Streit mit Kronecker: Das Kapitel beleuchtet den tiefgreifenden fachlichen und persönlichen Konflikt mit Kronecker, der die Anerkennung der Mengenlehre erschwerte.
4.5 Das Kontinuum: Hier werden Cantors Versuche zur Charakterisierung des Kontinuums und die ungelöste Kontinuumshypothese erörtert.
4.6 Transfinite Ordinalzahlen: Es wird erklärt, wie durch sukzessive Ableitungen von Mengen und deren Verallgemeinerung transfinite Ordnungszahlen entstehen.
4.7 Das Eigentlich-Unendliche: Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit: Das Kapitel schließt mit Cantors philosophischer Rechtfertigung des aktual Unendlichen als notwendiges Element einer freien Mathematik.
5 Schlussbetrachtungen: Das Fazit würdigt Cantors schöpferische Leistung und seine nachhaltige Bedeutung als Fundament für die moderne Mathematik.
Schlüsselwörter
Georg Cantor, Mengenlehre, Mannigfaltigkeitslehre, Unendlichkeit, Reelle Zahlen, Transfinite Zahlen, Ordinalzahlen, Kontinuumshypothese, Leopold Kronecker, Mathematikgeschichte, Mathematische Philosophie, Wohlordnung, Punktmenge, Mächtigkeit, Trigonometrische Reihen
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der Entstehungsgeschichte und dem Inhalt von Georg Cantors „Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre“.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Zentrale Themen sind die mathematische Begründung der Mengenlehre, die Behandlung des Unendlichen, der Aufbau der reellen Zahlen und die philosophische Grundhaltung der „freien Mathematik“.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist es, Cantors grundlegende Konzepte in ihren wissenschaftshistorischen Kontext zu setzen und die Bedeutung seiner Arbeit für die moderne Mathematik darzulegen.
Welche wissenschaftliche Methode verwendet der Autor?
Der Autor stützt sich auf eine detaillierte Auswertung historischer Primärtexte, Briefwechsel (insb. mit Dedekind) und zeitgenössischer Sekundärliteratur zu Cantor.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die Analyse spezifischer mathematischer Konzepte Cantors, wie den Mengenbegriff, die Mächtigkeit unendlicher Mengen und transfinite Zahlen, sowie die Aufarbeitung des Konflikts mit Kronecker.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit wird durch Begriffe wie Mengenlehre, Unendlichkeit, Transfinite Zahlen, Kontinuumshypothese und Mathematikgeschichte charakterisiert.
Wie stand Cantor zum mathematischen Streit mit Leopold Kronecker?
Cantor sah sich aufgrund seiner theoretischen Ansätze zum aktual Unendlichen immer wieder Intrigen von Kronecker ausgesetzt, versuchte jedoch zeitweise, auf persönlicher Ebene eine Versöhnung herbeizuführen.
Warum konnte Cantor seine Kontinuumshypothese zu Lebzeiten nicht beweisen?
Aus heutiger Sicht ist dies erklärbar, da die Kontinuumshypothese in der Standard-Axiomatik (ZFC) der Mengenlehre nicht entscheidbar ist, was Cantor damals noch nicht wissen konnte.
- Quote paper
- Daniel Burckhardt (Author), 1998, Georg Cantor - Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/96325
