Georg Cantors „Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre“ bilden den fünften Teil einer Serie von sechs Artikeln, die unter dem gemeinsamen Titel „Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten“ zwischen 1879 und 1884 in den Mathematischen Annalen abgedruckt wurden.
Innerhalb dieser Serie gebührt den „Grundlagen“ eine besondere Stellung: Sie sind als geschlossene Darstellung derjenigen Ergebnisse konzipiert, die den Kern der zwischen 1871 und 1884 geschaffenen Cantorschen Mengenlehre bilden. 1883, also noch vor ihrer Publikation in den Annalen, wurden sie – um den Untertitel „Ein mathematisch-philosophischer Versuch in die Lehre des Unendlichen“ und ein Vorwort erweitert – als Separatdruck bei Teubner herausgegeben.
Dazu Cantor (im in der Gesamtausgabe seiner Werke nicht abgedruckten Vorwort): „Since the present essay carries the subject much further, and since its main thesis is independent of the earlier articles, I decided to publish it separately under a title that corresponds more closely to its contents.“ Ausdrücklich wendet er sich dabei an ein doppeltes Publikum, den mit den aktuellen mathematischen Entwicklungen vertrauten Philosophen, sowie den philosophisch vorgebildeten Mathematiker.
Der erste Abschnitt liefert einige Angaben über die bewegte Biographie von Georg Cantor. Im Anschluss daran betrachte ich den Gang der Arbeiten, die den jungen Privatdozenten zu den ersten Arbeiten über die Mengenlehre führt. Abschnitt 4 konzentriert sich auf die „Grundlagen“. Sie dienen mir als Ausgangspunkt zur Untersuchung wichtiger Punkte in Cantors Werk: Mengenlehre, die Grundlegung der reellen Zahlen, transfinite Grössen sowie philosophische Betrachtungen der Mathematik.
Inhaltsverzeichnis
- Einführung
- Biographische Angaben
- Der Weg zur Mengenlehre
- Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre
- Der Mengen-Begriff
- Die Einführung irrationaler Zahlen
- Mächtigkeit der reellen Zahlen
- Der Streit mit Kronecker
- Das Kontinuum
- Transfinite Ordinalzahlen
- Das Eigentlich-Unendliche: Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit
- Schlussbetrachtungen
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die „Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre“ von Georg Cantor bilden den fünften Teil einer Serie von sechs Artikeln über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten. Die Arbeit dient als eine geschlossene Darstellung der Cantorschen Mengenlehre, die zwischen 1871 und 1884 entwickelt wurde.
- Entwicklung der Mengenlehre
- Grundlegung der reellen Zahlen
- Transfinite Grössen
- Philosophische Betrachtungen der Mathematik
- Das Unendliche in der Mathematik
Zusammenfassung der Kapitel
- Einführung: Der Text stellt Georg Cantors „Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre“ als Teil einer grösseren Serie von Artikeln über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten vor. Er hebt die Bedeutung des Werks als geschlossene Darstellung der Cantorschen Mengenlehre hervor und erläutert die Herausgabe als Separatdruck mit einem Vorwort für ein breiteres Publikum.
- Biographische Angaben: Dieser Abschnitt gibt einen Überblick über Cantors Leben, seine Ausbildung und seine frühen wissenschaftlichen Arbeiten. Er beschreibt seine Studienzeit in Zürich und Berlin, seine Promotion und seine Tätigkeit als Privatdozent in Halle.
- Der Weg zur Mengenlehre: Der Abschnitt beleuchtet die Entwicklung von Cantors Werk im Kontext seiner frühen Forschungen, insbesondere in der Zahlentheorie. Er beschreibt die Bedeutung seiner Begegnung mit Eduard Heine in Halle für die Richtung seiner späteren Arbeit.
- Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre: Dieser Abschnitt stellt die zentralen Elemente von Cantors Mengenlehre vor, darunter den Mengenbegriff, die Einführung irrationaler Zahlen, die Mächtigkeit der reellen Zahlen, das Kontinuum, transfinite Ordinalzahlen und die philosophische Bedeutung des Unendlichen in der Mathematik.
Schlüsselwörter
Die „Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre“ von Georg Cantor behandeln zentrale Themen der Mengenlehre, darunter der Mengenbegriff, die Mächtigkeit von Mengen, transfinite Zahlen, das Kontinuum und das Wesen des Unendlichen in der Mathematik. Darüber hinaus beleuchtet das Werk die philosophischen Grundlagen der Mathematik und die Auseinandersetzung mit Kritikern wie Leopold Kronecker.
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- Daniel Burckhardt (Autor), 1998, Georg Cantor - Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/96325
