Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert, Varianz, Binomialverteilung

Mathematik LK 13.1, 2. Klausur

Aufgaben

1. Aufgabe

1.1 X sei eine Zufallsgröße mit dem Erwartungswert 4 und der Varianz 6. Berechnen Sie E(2*X + 3) und V(2*X + 3). Benutzen Sie dabei die Sätze über die Eigenschaften von Erwartungswert und Varianz.

1.2 Beweisen Sie E((X - E(X))²) = E(X²) - (E(X))²

1.3 X sei eine Zufallsgröße mit dem Erwartungswert _ und der Standardabweichung _. Z sei eine weitere Zufallsgröße mit Z = aX + b. Wie müssen die Zahlen a und b gewählt werden, damit Z den Erwartungswert 0 und die Standardabweichung 1 hat? Man spricht dann von einer zu X standardisierten (oder normierten) Zufallsgröße Z".

2. Aufgabe

Bei Routineuntersuchungen auf eine seltene Reaktion kann es zweckmäßig sein, anstatt jede einzelne der r Proben zu untersuchen (Kosten: 1 DM), von jeder der Proben einen Teil zusammenzuschütten, zu untersuchen, und nur, wenn das Gemisch der r Proben positiv reagiert, dann jede der r Proben getrennt zu untersuchen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Probe positiv ist, betrage p. X_r kennzeichne die Anzahl der erforderlichen Untersuchungen.

2.1 Berechnen Sie den Erwartungswert E(X_r) und die durchschnittliche Ersparnis pro Probe.

2.2 Wie groß muss man bei p = 1 % die Gruppengröße r wählen, damit die Ersparnis pro Probe möglichst groß wird?

3. Aufgabe

Eine Firma verpflichtet sich, für ein serienmäßig hergestelltes Gerät ein Jahr lang kostenlos alle Reparaturen auszuführen, die auf Materialfehler zurückzuführen sind. Das Gerät besteht im wesentlichen aus zwei Einzelteilen, die unabhängig voneinander ausfallen. Man kann annehmen, dass ein repariertes Gerät bis zum Ende der Garantiezeit nicht mehr ausfällt.

X kennzeichne die Kosten für Gerät A, Y die Kosten für B. Z = X + Y beschreibe die Gesamtkosten.

3.1 Geben Sie für die Zufallsgrößen X, Y und Z die Wahrscheinlichkeitsverteilungen an.

3.2 Berechnen Sie alle Erwartungswerte und Varianzen.

3.3 Zeigen Sie, dass bei Einführung eines Streuungsmaßes M(X) = E(|X - _|) die Summenregel für unabhängige Zufallsgrößen wie bei der Varianz V(X) nicht gilt.

4. Aufgabe

4.1 Berechnen Sie zur Binomialverteilung B(4;0;2) die Werte und zeichnen Sie ein Histogramm.

4.2 Beweisen Sie die Beziehung bei der Binomialverteilung B(n;p;k) = B(n;1-p;n-k).

4.3 Erläutern Sie die Gleichung B(20;0,8;k) =B(20;0,2;k), ohne die Werte explizit zu berechnen.

5. Aufgabe

Drei Maschinen stellen Glühbirnen her mit den Ausschussquoten q₁, q₂ und q₃. Ihre Anteile an der Produktion betragen p₁, p₂ und p₃.

5.1 Wie groß ist die Ausschussquote an der gesamten Produktion?

5.2 Der Gesamtproduktion wird zufällig eine Glühbirne entnommen, von der sich herausstellt, dass sie fehlerfrei ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt sie von Maschine 1?

6. Aufgabe

6.1 Bestimmen Sie mit Hilfe der Tabelle die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Binomialverteilungen.

6.1.1 P(20 < X < 50) für n = 100 und p = 0,3

6.1.2 P(85 _ X _ 92) für n = 100 und p = 0,9

6.1.3 P(_-2_ _ X _ _+2_) für n = 100 und p = 0,4

6.2 Bestimmen Sie mit Hilfe der Tabelle den Radius r, so dass das Intervall mit der Mitte _ und dem Radius r für n = 100 und p = 0,3 die Wahrscheinlichkeit von ca. 80 % hat. P(_-r _ X _ _+r) = 80 %

7. Aufgabe

38 % der Besucher eines Museums sind Einheimische. Von den Einheimischen sind 55 % Frauen, von den Auswärtigen 48 %.

7.1 Wie groß ist der Anteil der weiblichen Besucher?

7.2 Die 10 000. Besucherin erhält ein Buch. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie von außerhalb?

7.3 Der 20 000. Besucher ist ein Mann. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er ein Einheimischer?

Lösungen

1. Aufgabe

1.1 E(2*X + 3) = 2 * E(X) + 3 = 11 und V(2*X + 3) = 2² * V(X) = 24

1.2 E((X - E(X))²)
= E(X² - 2X*E(X) + E²(X)
= E(X²) - E(2X+E(X)) + E(E²(X))
= E(X²) - 2E(X)*E(X) + E²(X)
= E(X²) - 2E²(X) + E²(X)
= E(X²) - E²(X)

1.3 a₁ = 1/_ und b₁ = -_/_

E(Z) = E(a₁X+b₁) = E(1/_ * X - _/_) = 1/_ * E(X) - _/_ = 0

V(Z) = V(1/_ * X - _/_) = 1/_² * V(X) = 1, da _² = V(X)

Eine zweite Lösung ist a₂ = -1/_ und b₂ = _/_.

2. Aufgabe

2.1 Es sei q := 1 - p

E(X_r) = 1 * q^r + (r + 1)(1 - q^r) = q^r + r - rq^r + 1 - q^r = r + 1 - rq^r

Durchschnittliche Ersparnis = r - (r + 1 - rq^r) = rq^r - 1

Durchschnittliche Ersparnis pro Probe = = q^r -

2.2 p = 1 % und q = 99 %

Die günstigste Gruppengröße liegt bei r = 11.

3. Aufgabe

3.1 Verteilungen

3.2 E(X) = 1 E(Y) = 2 E(Z) = 3

V(X) = 4 V(Y) = 12 V(Z) = 16

3.3 M(X) = E(|X-_|)

Mit diesem Streuungsmaß gilt: M(X) = 1,6 M(Y) = 2 M(Z) = 3,6

Somit ist M(X+Y) = 3,6 _ M(X) + M(Y) = 4,6

4. Aufgabe

4.1  Binomialverteilung

4.2 B(n;p;k)
= p^k(1 - p)^n-k
= (1 - p)^n-kp^k
= (1 - p)^n-kp^n-(n-k)
= B(n;1-p;n-k)

4.3 B(20;0,8;k) =B(20;0,2;k)

Nach 4.2 gilt

5. Aufgabe

A bezeichne das Ereignis ,,Ausschuss". Die Maschinen werden mit I, II und III bezeichnet.

5.1 P(A) = p₁q₁ + p₂q₂ + p₃q₃

5.2 Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P(I|Ã):

P(I|A) = = =

6. Aufgabe

6.1.1 P(20 < X < 50) = P(20 < X _ 49) = F(100;0,3;49) - F(100;0,3;20) = 0,9834

6.1.2 P(85 _ X _ 92) = P(84 < X _ 92) = F(100;0,9;92) - F(100;0,9;84) = 0,7540

6.1.3 _ = 40 und V(X) = 24, also 2_ _ 9,8

P(_-2_ _ X _ _+2_) = P(40-9,8 _ X _ 40+9,8)
= P(30 < X _ 49) = P(X _ 49) - P(X _ 30)
= F(100;0,4;49) - F(100;0,4;30) = 0,9481

6.1 _ = 30

P(30-r _ X _ 30+r) = 0,8

r = 4: P(26 _ X _ 34) = F(100;0,3;34) - F(100;0,3;25) = 0,6740

r = 5: P(25 _ X _ 35) = F(100;0,3;35) - F(100;0,3;24) = 0,7703

r = 6: P(24 _ X _ 36) = F(100;0,3;36) - F(100;0,3;23) = 0,8446

Der Wert r = 5 liefert ein Intervall, dessen Wahrscheinlichkeit absolut näher an der gesuchten Zahl von 80 % liegt.

7. Aufgabe

Bezeichnungen: Einheimische, Auswärtige, Frau, Mann

Gegeben sind P(E) = 0,38; P(F|E) = 0,55; P(F|A) = 0,48

7.1 P(F) = 0,38 * 0,55 + 0,62 * 0,48 = 0,5066

Der Anteil beträgt etwa 51 %.

7.2 Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|F).

P(A|F) = = = 0,5874

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 59 %.

7.3 Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P(E|M).

P(E|M) = = = 0,3466

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 35 %.