Fairness in Spielen

80634 München

Lehrstuhl: Prof. Sven Rady

Schwerpunktseminar Sommersemester 2000:

Die Nachfahren des Homo Oeconomicus - Neue Modelle ökonomischen Verhaltens

Seminararbeit zum Thema:

Fairness in Spielen

Von Niels Straub

Volkswirtschaftslehre 6. Semester

Inhaltsverzeichnis

1. Berücksichtigung von psychologischen Faktoren in Spielen
2. Das Ultimatum-Spiel
2.1. Beschreibung des Experiments
2.2. Ergebnisse
2. Feststellungen
3. Fairness-Gleichgewichte
3.1. Der Kampf der Geschlechter - Eine intuitive Betrachtung
3.2. Die Freundlichkeitsfunktion
4.2.1 Die eigene Freundlichkeit
4.2.2 Die Freundlichkeit des Mitspielers
3.3. Nutzenfunktion mit integrierter Fairness
3.4. Bedingungen für ein Fairness-Gleichgewicht
3.5. Analytische Betrachtung des Kampfs der Geschlechter
3.6. Weitere Beispiele
4.6.1 Das Gefangenen-Dilemma
4.6.2 Das Chicken-Spiel
4. Allgemeine Aussagen
5.1 Nash-Gleichgewichte als Fairness-Gleichgewichte
5.2 Symmetrisches Verhalten in Fairness-Gleichgewichten
5.3 Fairness-Gleichgewichte in Abhängigkeit der Auszahlung
5. Anwendung in der Wirtschaft
6.1 Akzeptanz von Preisveränderungen
6.2 Zahlungsbereitschaft von Konsumenten
6.3 Anwendung der Freundlichkeitsfunktion im Monopol
6. Anhang
7. Literaturverzeichnis

1. Berücksichtigung von psychologischen Faktoren in Spielen
In der klassischen Spieltheorie wird davon ausgegangen, dass jeder Spieler immer versucht seine eigene Auszahlung zu maximieren, um so seinen höchstmöglichen Nutzen zu erreichen.
Allerdings verhalten sich die Menschen in der Realität oft anders als in der Theorie beschrieben. Bei der Durchführung verschiedener Experimente konnte festgestellt werden, dass die Teilnehmer auch andere Ziele neben der Maximierung der persönlichen Auszahlung verfolgen. So berücksichtigen sie auch das Ergebnis der anderen Mitspieler und beziehen es in ihr Entscheidungskalkül mit ein.
Dies geschieht aber nicht unbedingt nur aus reiner Uneigennützigkeit, sondern vor allem aus Gründen des persönlichen Gerechtigkeitsempfindens. Das bedeutet, dass nicht darauf geachtet wird, dass es den Anderen grundsätzlich auch gut geht, sondern vielmehr, dass die Anderen fair behandelt werden.
Diese Fairness beruht auf Gegenseitigkeit, nur wer sich seinen Mitspielern gegenüber fair verhält, wird seinerseits von den Anderen auch wieder fair behandelt. Wer sich dagegen unfair behandelt fühlt, versucht seine Gegenüber dafür zu bestrafen.
Die Auszahlung eines Spielers hängt also nicht nur davon ab, was ein Spieler tut, sondern auch davon, was er denkt, dass die Mitspieler glauben, und was er denkt, was sie glauben, was er glaubt, und so weiter.
Durch die Berücksichtigung von psychologischen Faktoren, der Einbindung von Emotionen, wie Rache, Enttäuschung oder Sympathie können Ergebnisse in Spielen als Gleichgewichte gestützt werden, die in der konventionellen Spieltheorie nicht möglich sind.
Diese Arbeit soll nun vor allem dazu dienen, den Fairness-Aspekt des menschlichen Verhaltens in die Spieltheorie zu integrieren, und bezieht sich dabei hauptsächlich auf den Artikel von Matthew Rabin (1993). Des Weiteren wird der experimentelle Beweis dieses Einflusses von psychologischen Faktoren im Beispiel des Ultimatum-Spiels betrachtet (Güth, Schmittberger, Schwarze, 1982) und die Anwendung in der Wirtschaft, im Fall der Preissetzung im Monopol (Thaler, 1992).
Insgesamt soll gezeigt werden, wie sich die Ergebnisse ökonomischer Modelle durch Einbeziehung der individuellen Einschätzung von Fairness der handelnden Wirtschaftssubjekte verändern.

2. Das Ultimatum-Spiel
2.1 Beschreibung des Experiments
Um zu überprüfen, ob sich der Mensch in der Realität tatsächlich so verhält, wie es das Idealbild des Homo Oeconomicus vorschreibt, entwickelten die deutschen Wissenschaftler Werner Güth, Rolf Schmittberger und Bernd Schwarze 1978 das Ultimatum-Spiel, das sie als Laborexperiment mit ihren Wirtschaftsstudenten durchführten.
Die Studenten wurden in zwei gleich große Gruppen aufgeteilt, in Anbieter und Empfänger. Jeder der Anbieter bekam den Auftrag, einen bestimmten Geldbetrag c (4-10 DM) nach eigenem Ermessen zwischen sich selbst und einem ihm per Zufall ausgewählten Empfänger aufzuteilen. Der Empfänger hatte dann die Wahl, den Vorschlag des Anbieters entweder anzunehmen, woraufhin beide Spieler dem Vorschlag entsprechend ausgezahlt wurden, oder abzulehnen, was dazu führte, dass beide Spieler nichts bekamen.
In der Theorie ist die Lösung dieses Aufteilungsproblems ganz offensichtlich. Der Empfänger sollte jeden positiven Betrag annehmen, da er dadurch bessergestellt würde als bei einer Ablehnung, und der Anbieter sollte den kleinsten möglichen Betrag anbieten, hier 1 Pfennig, da der Empfänger zustimmen würde und der Anbieter so seine eigene Auszahlung maximiert hätte.

2.2 Ergebnisse
In dem Experiment, bei dem die Teilnehmer die ausgezahlten Beträge auch tatsächlich behalten durften und so einen echten Anreiz hatten, sich realistisch zu verhalten, ergaben sich allerdings stark abweichende Ergebnisse:¹
In 7 von 21 Spielen wurde jeweils die Hälfte des Betrags c angeboten und im Durchschnitt betrug das Angebot für den Empfänger 0,35 c. Ein Angebot von 1,20 DM bei einem Betrag von 6 DM wurde abgelehnt und von zwei Angeboten in Höhe von 0 DM wurde eins abgelehnt.
Als das gleiche Experiment mit denselben Studenten eine Woche später wiederholt wurde waren die Angebote im Durchschnitt etwas niedriger (0,31 c) und es wurden diesmal sechs Angebote abgelehnt, die alle größer Null waren. Außerdem konnte festgestellt werden, dass in den Fällen, in denen der aufzuteilende Betrag c eher klein war, häufiger abgelehnt wurde. So wurden zum Beispiel bei c = 4 DM bzw. 5 DM je 2 Angebote abgelehnt, während bei c = 9 bzw. 10 DM jeweils alle Aufteilungen angenommen wurden.
Durch weitere, kompliziertere Experimente² konnte gezeigt werden, dass die Teilnehmer noch großzügigere Angebote machten, wenn sie sowohl Anbieter als auch Empfänger waren und dass sie nicht von der rationalen Lösung abgewichen sind, weil sie Schwierigkeiten hatten das optimale Ergebnis zu erkennen, sondern wohl eher Aspekte der sozialen Gerechtigkeit oder Fairness in ihre Entscheidungen mit einbezogen.

3. Feststellungen
Aus diesen Untersuchungen lassen sich die drei folgenden Feststellungen herleiten:
- I.) Menschen sind bereit, materiellen Wohlstand zu opfern, um diejenigen zu bestrafen, die sich ihnen gegenüber unfreundlich verhalten.
- II.) Menschen sind bereit, materiellen Wohlstand zu opfern, um diejenigen zu belohnen, die sich ihnen gegenüber freundlich verhalten.
- III.) Die beiden Überlegungen I. und II. haben stärkere Auswirkungen, je geringer die Kosten des Opferns sind.

Feststellung I bedeutet im Ultimatum-Spiel, dass Individuen ein Angebot ablehnen und damit auf einen positiven Anteil des Betrages c verzichten, da sie den Vorschlag des Anbieters als unfair ansehen und ihm seinen Anteil nicht gönnen.
Feststellung II bedeutet, dass die Anbieter statt ihrem maximal möglichen Anteil etwas weniger für sich beanspruchen, damit der Empfänger zufrieden ist und den Vorschlag annimmt.
Feststellung III in Experimenten zu beweisen ist relativ kostspielig, aber es ist intuitiv klar, dass ein Angebot in Höhe von 1% von c sehr viel öfter abgelehnt wird, wenn c = 10 DM beträgt, als wenn c = 10.000.000 DM.

4. Fairness-Gleichgewichte
4.1 Der Kampf der Geschlechter - Eine intuitive Betrachtung
Durch Einbeziehung des Fairness-Gedankens in die Entscheidungen der Individuen und der damit verbundenen Motivationen für Belohnung oder Bestrafung lassen sich neben den Nash-Gleichgewichten andere Ergebnisse als Gleichgewicht stützen, die Fairness-Gleichgewichte.

In dem Beispiel des Kampfs der Geschlechter (siehe Abbildung 1) bevorzugen beide Spieler, etwas gemeinsam zu unternehmen, anstatt getrennt, wobei Spieler 1 lieber in die Oper geht und Spieler 2 einen Boxkampf präferiert. In diesem Modell gibt es zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien, (Oper, Oper) und (Boxen, Boxen).
Um die Fairness-Gleichgewichte zu finden, müssen nun neben den tatsächlichen Strategien auch die Einschätzungen der Spieler betrachtet werden.
Angenommen Spieler 1 glaubt, dass a) Spieler 2 Boxen spielt und b) Spieler 2 glaubt, dass Spieler 1 Boxen spielt. Dann folgert Spieler 1 daraus, dass Spieler 2 versucht, für beide die höhere Auszahlung zu erreichen. Spieler 2 verhält sich damit weder großzügig noch unfair gegenüber Spieler 1, der deshalb weder belohnen noch bestrafen will und deshalb nur auf seine eigenen Auszahlung achtet und diese maximiert, indem er auch Boxen spielt. Dies führt zu dem bekannten Nash-Gleichgewicht (Boxen, Boxen).
Allerdings lassen sich auch andere Gleichgewichte finden. Angenommen diesmal glaubt Spieler 1, dass a) Spieler 2 Boxen spielen wird und b) Spieler 2 glaubt, dass Spieler 1 Oper spielt. In diesem Fall folgert Spieler 1, dass Spieler 2 dessen Auszahlung freiwillig verringert, um ihm damit zu schaden. Spieler 1 ist deshalb verärgert und Spieler 2 gegenüber feindlich gestimmt und will ihn nun bestrafen. Wenn dieser emotionale Aspekt der Feindschaft stark genug ist, wird Spieler 1 bereit sein, seine eigene materielle Auszahlung zu opfern, und Oper wählen statt Boxen. Falls Spieler 2 nun genauso emotional reagiert, ist in dieser feindseligen Stimmung das Ergebnis (Oper, Boxen) mit der materiellen Auszahlung (0,0) ein Gleichgewicht, denn keiner der beiden wird nachgeben und seine Strategie ändern wollen, obwohl er sich selbst dadurch auch materiell besser stellen würde.
Hier erkennt man, dass die oft beschriebene Annahme, alle immateriellen Faktoren, wie diese Emotionen, seien bereits in den Auszahlungsvektoren integriert, nicht richtig sein kann. Die entscheidende Rolle spielen die Erwartungen der Individuen. Im ersten Fall spielt Spieler 1 im Gleichgewicht Boxen, im zweiten Fall wählt er im Gleichgewicht Oper, obwohl die Auszahlungen unverändert sind. Das Ergebnis hängt also nicht nur von den Auszahlungen ab, sondern auch von den "Beliefs" der Spieler, d.h. davon, was der Eine glaubt, dass der Andere tut, und davon, was er glaubt, dass der Andere glaubt, dass er tut.
Um die Präferenzen eines Spielers analytisch feststellen zu können, benötigt man also ein Modell, in das diese Beliefs mit einbezogen werden.

4.2 Die Freundlichkeitsfunktion
In dem folgenden Modell von Matthew Rabin wird ein einfaches Zwei-Personen-Spiel in Normalform mit vollständiger Information und den reinen Strategieräumen S und Sfür die Spieler 1 und 2, und den materiellen Auszahlungen _: S SR des Spielers i mit i = 1,2 betrachtet.
Der subjektive erwartete Nutzen eines Spielers bei der Wahl seiner Strategie hängt von drei Faktoren ab:
- seiner gewählten Strategie:
a S
- seinem Belief über die Strategie des anderen Spielers:
b S, mit b als Belief von Spieler 2, welche Strategie Spieler 1 wählt und umgekehrt
- seinem Belief über den Belief des anderen Spielers über seine gewählte Strategie: c S, mit c als Belief von Spieler 1 über den Belief von Spieler 2 über die Strategie von Spieler 1 und umgekehrt.

4.2.1 Die eigene Freundlichkeit
Um zu messen, wie freundlich sich der eine Spieler gegenüber dem Anderen verhält, wird eine "Freundlichkeitsfunktion" definiert. Es wird davon ausgegangen, dass beide Spieler symmetrische Vorstellungen von Fairness haben.
Wenn Spieler i glaubt, dass Spieler j die Strategie b spielt, entscheidet Spieler i mit seiner Strategie anicht nur über seine Auszahlung _(a,b), sondern auch über die des Anderen, _(b,a) aus dem Auszahlungsraum ( b).
Sei die höchste Auszahlung von Spieler j in( b) und die niedrigste pareto-effiziente Auszahlung in ( b).
Des Weiteren sei + die "gerechte Auszahlung", die als Anhaltspunkt dafür dient, wie großzügig sich Spieler i verhält.
Außerdem sei die niedrigste mögliche Auszahlung in ( b).

Definition 1: Die Freundlichkeit von Spieler i gegenüber Spieler j ist gegeben durch

Falls -=0, dann sei = 0.
fist nur dann genau Null, wenn Spieler i versucht, Spieler j die gerechte Auszahlung zu geben, bzw. wenn =, denn dann bekommt Spieler j unabhängig vom Verhalten von Spieler i immer die gleiche Auszahlung und es gibt keine Freundlichkeit.
f< 0 bedeutet, dass Spieler i unfreundlich ist und dem Anderen weniger als die gerechte Auszahlung zugesteht. Dies tut er entweder dadurch, dass er einen größeren Anteil aus der pareto-effizienten Auszahlung für sich selbst wählt, oder durch die Wahl einer Auszahlung, die nicht pareto-effizient ist.
f> 0 bedeutet, dass Spieler i sich freundlich verhält und Spieler j mehr als die gerechte Auszahlung zugesteht. Dies ist nur möglich, wenn es mehr als eine pareto-effiziente Auszahlung gibt, da sonst ==.

4.2.2 Die Freundlichkeit des Mitspielers
Für die Wahl einer Strategie und dem damit verbundenen Ausmaß an Freundlichkeit ist entscheidend, wie ein Spieler die Freundlichkeit des Anderen einschätzt.

Definition 2: Der Belief von Spieler i über die Freundlichkeit von Spieler j ist gegeben durch

,
Falls , dann sei = 0
zeigt, wie Spieler i glaubt, von Spieler j behandelt zu werden, und ist damit im Fairness-Gleichgewicht äquivalent zu , der Freundlichkeit von Spieler j gegenüber Spieler i.
Durch Umformung lässt sich zeigen, dass die Werte der Freundlichkeits-Funktion und in dem Intervall [-1,] liegen.³

4.3 Nutzenfunktion mit integrierter Fairness
Die Präferenzen der Spieler können anhand einer Nutzenfunktion ermittelt werden, die sowohl die materiellen Auszahlungen, als auch die Fairness (anhand der Freundlichkeits-funktion) berücksichtigt. Jeder Spieler versucht, durch die Wahl seiner Strategie a seine eigene Nutzenfunktion zu maximieren.

Definition 3: Die Nutzenfunktion ist gegeben durch

In dieser speziellen Nutzenfunktion sind alle drei Feststellungen aus Punkt 3 impliziert :
I) Wenn sich Spieler i von Spieler j unfair behandelt fühlt , also < 0, versucht er seinen Nutzen zu maximieren, indem er seine Strategie a so wählt, dass möglichst niedrig oder negativ ist, was bedeutet, dass er sich Spieler j gegenüber auch unfreundlich verhält.
II) Wenn sich Spieler i freundlich behandelt fühlt, > 0, wird auch er sich freundlich gegenüber Spieler j verhalten ( möglichst groß), um zu maximieren.
III) Die Individuen werden dabei immer abwägen zwischen ihrer materiellen Auszahlung und ihrer Vorstellung von Fairness. Da die Freundlichkeitsfunktionen nach oben und unten begrenzt sind, verliert der Fairness-Aspekt mit steigenden materiellen Auszahlungen an Einfluss.
Außerdem kann man aus dieser Nutzenfunktion erkennen, dass ein Spieler, der von seinem Gegenüber unfair behandelt wird, immer an Nutzen verliert und dies durch seine "Rache" nur teilweise wieder ausgleichen kann, da falls < 0 .

4.4 Bedingungen für ein Fairness-Gleichgewicht
In einem Fairness-Gleichgewicht maximieren die Spieler ihren eigenen Nutzen und wählen die Strategie, mit der sie ihr höchstes Nutzenniveau erreichen, gegeben das Verhalten des Mitspielers.
Wie in einem Nash-Gleichgewicht, in dem die gewählten Strategien beste Antworten auf die Strategie des jeweils Anderen sein müssen, so werden auch im Fairness-Gleichgewicht die
Gleichgewichtsstrategien als "Common Knowledge" angesehen, was bedeutet, dass die Beliefs mit den tatsächlich gewählten Strategien übereinstimmen.⁴

Definition 4: Ein Strategienpaar () () ist ein Fairness-Gleichgewicht, wenn für , gilt:

(1)
(2)

4.5 Analytische Betrachtung des Kampfs der Geschlechter
Betrachtet man nun erneut den Kampf der Geschlechter, mit leicht veränderten Auszahlungen (s. Abb. 1a), wobei X eine positive Skalenvariable darstellt, die nur dazu dient, die materiellen Auszahlungen in ihrer Höhe zu variieren, so läßt sich das Fairness-Gleichgewicht (Oper, Boxen) analytisch überprüfen.

Im Gleichgewicht müssen die Beliefs konsistent sein mit den tatsächlichen Strategien, also = Oper und = Boxen.
Die Freundlichkeit, mit der sich Spieler 1 von Spieler 2 behandelt fühlt, berechnet sich als
=,
da und == 0.
Spieler 1 versucht, seinen Nutzen =- zu maxi-mieren. Falls er sich unfreundlich verhält und Oper wählt, = -1, erreicht er einen Nutzen von Null. Falls er sich fair verhält und Boxen wählt, = 0, beträgt sein erreichter Nutzen X - 1. Für X < 1 wird Spieler 1 deshalb Oper wählen und Spieler 2 wird sich symmetrisch verhalten. Daher ist (Oper, Boxen) für X < 1 ein Fairness-Gleichgewicht, beide Spieler verhalten sich unkooperativ und niemand wird dem Anderen eine höhere Auszahlung zugestehen, da die Emotionen überwiegen.
Auch das Ergebnis (Boxen, Oper) ist für X < ein Fairness-Gleichgewicht. Die niedrigere Beschränkung kommt daher, dass in diesem Fall die Spieler 2X aufgeben, um den Anderen zu bestrafen, und die materielle Auszahlung deshalb früher dominiert.
Die Nash-Gleichgewichte (Boxen, Boxen) und (Oper, Oper) sind für alle Werte von X Fairness-Gleichgewichte, da sich hier die Spieler fair verhalten und darum niemand bestrafen will.

4.6 Weitere Beispiele
4.6.1 Das Gefangenen-Dilemma
Andere Beispiele, wie das Gefangenen-Dilemma (siehe Abb. 2), zeigen, dass durch die Be-rücksichtigung von Fairness auch Gleichgewichte möglich sind, in denen die Spieler ihre materiellen Auszahlung verringern, um sich gegenseitig zu helfen, vgl. Feststellung II.

Das einzige Nash-Gleichgewicht im Gefangenen-Dilemma ist (Verrat, Verrat). Es ist auch gleichzeitig ein Fairness-Gleichgewicht, da es Common Knowledge ist, dass beide Verrat spielen und damit keiner bereit ist, seine eigene Auszahlung zu opfern, um den Anderen besser zu stellen.
Wünschenswert wäre aber das Ergebnis (Kooperation, Kooperation), das normalerweise nicht zu stützen ist. Wenn es allerdings bekannt ist, dass dieses Ergebnis gespielt wird, weiß jeder Spieler, der Andere wählt eine niedrigere eigene Auszahlung, um ihm zu helfen. Deshalb behandeln sie sich gegenseitig freundlich und spielen Kooperation, solange das materielle Opfer, das sie dafür erbringen müssen, nicht zu hoch ist (hier: falls X < ).
Wichtig zu beachten ist auch, dass Individuen unterscheiden, ob sich ihr Gegenüber freiwillig so großzügig verhält, oder ob er gar keine andere Wahl hat. Falls im Gefangenen-Dilemma zum Beispiel Spieler 2 gezwungen ist zu kooperieren, weil die Möglichkeit Verrat für ihn überhaupt nicht besteht, wird Spieler 1 dies nicht als großmütig ansehen und keine Rücksicht auf die Auszahlung von Spieler 2 nehmen. Das Ergebnis (Kooperation, Kooperation) ist dann nicht mehr als Gleichgewicht haltbar, sondern (Verrat, Kooperation) wird gespielt.

4.6.2 Das Chicken-Spiel
Während in den bisherigen Beispielen durch die Einbeziehung von Fairness nur neue Gleichgewichte zu den bereits bekannten Nash-Gleichgewichten hinzukamen, soll nun ge-zeigt werden, dass Fairness auch Nash-Gleichgewichte eliminieren kann.

Im sogenannten "Chicken-Spiel" (siehe Abb. 3) möchte jeder gerne kämpfen, wenn der Andere aufgibt, allerdings ist es das schlechteste Ergebnis, wenn beide kämpfen, da sie dann beide eine negative Auszahlung erhalten. Aus dieser Konstellation ergeben sich die zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien, (Kämpfen, Aufgeben) und (Aufgeben, Kämpfen).
In beiden Fällen ist es Common Knowledge, dass Einer den Anderen schlechter stellt, um für sich selbst eine höhere Auszahlung zu erreichen. Der Spieler, der Aufgeben wählt, fühlt sich deshalb unfair behandelt und ist bei kleinen materiellen Auszahlungen bereit, von dieser Gleichgewichtsstrategie abzuweichen, sich selber schlechter zu stellen und auch Kämpfen zu spielen, um seinen Mitspieler zu bestrafen.
Wenn X ausreichend klein ist, sind die beiden Nash-Gleichgewichte daher keine Fairness-Gleichgewichte. Die Ergebnisse (Kämpfen, Kämpfen) und (Aufgeben, Aufgeben) sind dagegen bei kleinem X durch Fairness als Gleichgewichte zu stützen.

5. Allgemeine Aussagen
5.1 Nash-Gleichgewicht als Fairness-Gleichgewicht
In den vorherigen Beispielen wurden Fairness-Gleichgewichte gefunden, die entweder durch gegenseitige Bestrafung oder Hilfsbereitschaft zustande kamen.
Die Nash-Gleichgewichte (in reinen Strategien) in den Beispielen Kampf der Geschlechter und Gefangenen-Dilemma waren die Ergebnisse von wechselseitiger Maximierung bzw. Minimierung der Auszahlungen der Mitspieler. Im Chicken-Spiel dagegen maximiert im Nash-Gleichgewicht der eine Spieler die Auszahlung des anderen, während der die Auszahlung des ersten minimiert.
Der Zusammenhang zwischen Fairness-Gleichgewichten und Nash-Gleichgewichten wird im Folgenden dargelegt.

Ein Strategienpaar ist ein wechselseitig maximales Ergebnis, wenn gilt: , mit i = 1,2 ; ij
Ein Strategienpaar ist ein wechselseitig minimales Ergebnis, wenn gilt:
, mit i = 1,2 ; ij

Satz 1: Ist ein Nash-Gleichgewicht entweder ein wechselseitig maximales oder ein wechselseitig minimales Ergebnis, dann ist es auch ein Fairness-Gleichgewicht.

Beweis: In einem Nash-Gleichgewicht maximieren beide Spieler ihre eigenen materiellen Auszahlungen. Wenn sie zusätzlich die Auszahlung des Anderen maximieren, fühlen sich beide fair behandelt und keiner hat einen Grund abzuweichen. In einem wechselseitig minimalem Ergebnis fühlen sich beide unfair behandelt, weshalb sie an der Gleichgewichts-strategie festhalten, in der sie den Anderen möglichst schlecht behandeln, während sie ihre eigene Auszahlung maximieren.

5.2 Symmetrisches Verhalten in Fairness-Gleichgewichten
Die Ergebnisse eines Spiels werden in Abhängigkeit von der Freundlichkeit, mit der sich die Spieler behandeln, folgendermaßen unterschieden:
- Ein Ergebnis heißt strikt (schwach) positiv, wenn gilt: > 0 (0); mit i = 1,2
- Ein Ergebnis heißt neutral, wenn gilt: = 0; mit i = 1,2
- Ein Ergebnis heißt strikt (schwach) negativ, wenn gilt: < 0 (0); mit i = 1,2
- Ein Ergebnis heißt gemischt, wenn gilt: < 0; mit i = 1,2;
Mit diesen Bezeichnungen läßt sich die folgende Voraussetzung für Fairness-Gleichgewichte formulieren:

Satz 2: Jedes Ergebnis eines Fairness-Gleichgewichts ist entweder strikt positiv oder

schwach negativ.

Beweis: Ein Spiel, in dem sich ein Spieler freundlich verhält ( > 0) und der Andere nicht (0), kann kein Fairness-Gleichgewicht sein, da Spieler i einen höheren Nutzen erreichen könnte, indem er seine materielle Auszahlung maximiert und sich damit auch unfreundlich verhält. In einem Fairness-Gleichgewicht müssen also entweder und größer Null sein oder keine der beiden.

Im Gleichgewicht besteht also immer eine symmetrische Freundlichkeitsverteilung.

5.3 Fairness-Gleichgewichte in Abhängigkeit der Auszahlungen
In den Beispielen wurde gezeigt, dass manche Fairness-Gleichgewichte nur dann zu stützen sind, wenn die materiellen Auszahlungen niedrig sind.
Während es relativ kompliziert und nur mit Einschränkungen möglich ist⁵, Aussagen aufzu-stellen, welche Ergebnisse Fairness-Gleichgewichte darstellen und welche Nash-Gleichge-wichte eliminiert werden, wenn die Auszahlungen klein sind, wird nun gezeigt, dass nur Nash-Gleichgewichte als Fairness-Gleichgewichte möglich sind, wenn die materiellen Auszahlungen groß sind.
Die materiellen Auszahlung seien abhängig von der positiven Skalenvariable X und haben den Ergebnisraum (X(a, a), X(a, a)).

Satz 3a: Ist das Ergebnis (a, a) ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien, so existiert ein , so dass für alle X > gilt, (a, a) ist ein Fairness-Gleichgewicht.

Satz 3b: Ist das Ergebnis (a, a) kein Nash-Gleichgewicht, so existiert ein , so dass für alle X > gilt, (a, a) ist kein Fairness-Gleichgewicht.

Beweis: Da mit steigendem X auch der Unterschied zwischen der materiellen Auszahlung eines Nash-Gleichgewichts und der bei einer Abweichung steigt, wird der Fairness-Aspekt ab einem gewissen Wert von X immer dominiert, denn die Werte der Freundlichkeitsfunktionen sind auf das Intervall [-1,] beschränkt und unabhängig von X.

5.4 Schieflage zu Gunsten von Unfairness
Es kann gezeigt werden, dass in jedem Spiel mindestens ein Fairness-Gleichgewicht existiert⁶. Falls nur eins existiert, dann muss es sich um ein negatives handeln.

Satz 4: In jedem Spiel existiert ein schwach negatives Fairness-Gleichgewicht.

Beweis: Wenn ein Spieler seine materielle Auszahlung maximiert, kann er sich nicht gleichzeitig freundlich gegenüber seinem Mitspieler verhalten, da dies eine Aufgabe von materiellem Wohlstand bedeutet. Während der materielle Aspekt einen Spieler dazu bringen kann, dass er sich unfreundlich gegenüber einem freundlichen Spieler verhält, ist es nie möglich, dass er sich aus materiellen Überlegungen freundlich gegenüber einem unfreundlichen Spieler verhält.

Daher kommt diese Verzerrung zu Gunsten der negativen Gleichgewichte.
6. Anwendung in der Wirtschaft
6.1 Akzeptanz von Preisveränderungen
Diese Berücksichtigung von Fairness spielt auch in der Praxis, im alltäglichen Wirtschaften der Menschen eine wichtige Rolle. In diesem Abschnitt wird nun die Anwendung am Beispiel der Preissetzung im Monopol betrachtet.
In der klassischen Mikroökonomie wird davon ausgegangen, dass ein Monopolist, der seinen Gewinn maximiert, einen relativ hohen Preis für sein Gut setzen kann, wenn die Zahlungsbereitschaften der Konsumenten weit über den Grenzkosten des Produzenten liegen.
Wenn perfekte Preisdiskriminierung technisch möglich ist, kann der Monopolist sogar den gesamten Wohlfahrtsüberschuss erhalten und die Rente der Konsumenten ist Null.
In einer Studie überprüften Kahnemann, Knetsch und Thaler die Akzeptanz solcher Preis-setzungen eines Monopolisten, indem sie verschiedene Szenarien von den Teilnehmern bewerten ließen. Unter anderem stellten sie ihnen diesen Fall vor⁷:
Ein Eisenwarengeschäft verkauft Schneeschaufeln für $15. Am Morgen nach einem starken Schneesturm erhöht der Laden den Preis auf $20.
Diese Erhöhung des Preises wurde von 82% der 107 Teilnehmer als unfair oder sehr unfair eingestuft. Mikroökonomisch betrachtet ist es dagegen rational, auf die veränderte Nachfragefunktion mit einem höheren Preis zu reagieren.
Wenn Individuen, die sich unfair behandelt fühlen, nun wie vorher beschrieben möglicherweise auf eigenen Wohlstand verzichten, um den Anderen zu bestrafen, dann ist es also möglich, dass Kunden darauf verzichten die Schneeschaufel zu kaufen, obwohl ihre Wertschätzung über $20 liegt, nur um dem Ladenbesitzer zu schaden.
Die Menschen betrachten es als unfair, wenn der Monopolist seine Position ausnützt und trotz gleich gebliebener Kosten einen höheren Preis verlangt.

6.2 Zahlungsbereitschaft der Konsumenten
In einem Experiment bestätigt Thaler⁸, dass sich ein Konsument tatsächlich an der Kostenstruktur eines Verkäufers orientiert, wenn er darüber entscheidet, welchen Preis für ein Produkt er als fair ansieht.
Bei dieser Untersuchung bekamen zwei verschiedene Teilnehmergruppe das folgende Problem gestellt. Die eine Gruppe erhielt die Version mit den Textpassagen in runden Klammern, die andere die mit dem Text in eckigen Klammern:
Sie liegen an einem heißen Tag am Strand und haben nur Wasser zu trinken. Die letzte Stunde haben Sie darüber nachgedacht, wie sehr Sie jetzt eine schöne kalte Flasche ihres Lieblings-Biers genießen würden. Ein Freund steht auf, um zum Telefonieren zu gehen und bietet Ihnen an, ein Bier mitzubringen vom einzigen Ort in der Nähe, wo Bier verkauft wird (einer vornehmen Hotelanlage) [einem kleinem heruntergekommenen Lebensmittelgeschäft]. Er sagt, dass das Bier teuer sein könnte und fragt deshalb, wieviel Sie bereit sind, für das Bier zu bezahlen. Er sagt, dass er das Bier kauft, wenn es genau soviel oder weniger kostet als sie bereit sind zu zahlen. Wenn es aber mehr kostet, kauft er es nicht. Sie vertrauen ihrem Freund und es gibt keine Möglichkeit mit dem (Barkeeper) [ Ladenbesitzer] zu verhandeln. Welchen Preis sagen Sie Ihrem Freund?
In der Version mit der Hotelanlage lag der Mittelwert der Antworten bei $2.65, während er bei der Lebensmittelgeschäft-Version $1.50 betrug.
Die Individuen wählen also unterschiedliche Reservationspreise für das gleiche Produkt, da sie von unterschiedlichen Kosten des Verkäufers ausgehen.
Ein Monopolist kann aus diesem Grund nicht jeden möglichen Preis wählen, insbesondere nicht den, der der Wertschätzung des Konsumenten entspricht, wenn der Kunde diesen für ungerechtfertigt hoch hält.

6.3 Anwendung der Freundlichkeitsfunktion im Monopol
Angenommen der Monopolist hat die Kosten c und der Konsument die Wertschätzung v. Der Monopolist wählt einen Preis p[c,v] und der Konsument wählt gleichzeitig einen Reser-vationspreis r[c,v]. Wenn ein r p gewählt wird, maximiert der Konsument dadurch die Auszahlungen von beiden und seine Freundlichkeit beträgt (r, p) = 0. Bei r < p minimiert der Konsument die Auszahlung des Monopolisten und (r, p) = - 1.
Da sich der Konsument nie freundlich verhält, wird auch der Monopolist nie die freundliche Strategie p < r wählen, die deshalb kein Fairness-Gleichgewicht sein kann.
Die einzige Möglichkeit für ein Fairness-Gleichgewicht, bei dem ein Kauf stattfindet, ist also r = p z, mit (z, z) = 0 und (z, z) = 0, für z[c, v]
Jetzt muss noch anhand der Nutzenfunktion überprüft werden, ob es sich für den Konsumenten lohnt von dieser Strategie abzuweichen und r < z zu wählen, um den Monopolisten zu bestrafen.
Nutzen bei r < z : = 0 +(z, z)= 0
Nutzen bei r = z : = v - z +(z, z) = v - z +
Durch Gleichsetzen⁹ ergibt sich der Preis, bei dem der Konsument gerade indifferent ist:
=
Dieser Preis ist der höchste, der in einem Fairness-Gleichgewicht möglich ist, da der Konsument bei einem höheren Preis von der Gleichgewichtsstrategie abweichen würde.
Zu beachten ist, dass für v > c, strikt kleiner ist als v.
Daraus ist die Schlussfolgerung möglich, dass ein Monopolist, der seinen Gewinn maximiert, nicht den theoretischen Monopolpreis in Höhe der kompletten Wertschätzung verlangen wird, sondern einen niedrigeren, da er den Fairness-Gedanken der Konsumenten in sein Kalkül mit einbezieht.

7. Anhang
A) Die Einzel-Ergebnisse aus dem Ultimatum-Experiment von Güth (1982)

B) Beweis der Beschränkung der Freundlichkeitsfunktionen:
Der Beweis wird durchgeführt für , bei ist er analog.
=
1) Am freundlichsten verhält sich Spieler i, wenn er Spieler j die höchste mögliche Auszahlung zukommen lässt:
= = =
, da --

2) Am unfreundlichsten verhält sich Spieler i, wenn er Spieler j die niedrigste mögliche Auszahlung zukommen lässt:
= = = -1, da +
C) Rechnungen zur Freundlichkeitsfunktion im Monopol
Die Freundlichkeitsfunktion des Monopolisten berechnet sich aus
= = v - z ; = v - c ; = 0
= = =
für z[c, v]: c - z 0 0

Gleichsetzen der Nutzenfunktion:
v - z + = 0 2(v - c) (z - v) = c - z 2vz - 2cz - 2v+ 2vc - c + z = 0
z (2v - 2c + 1) = 2v- 2vc + c z=

8. Literaturverzeichnis

- Geanakoplos, John und Pearce, David und Stacchetti, Ennio
"Psychological Games and Sequential Rationality",

Games and Economic Behavior 1, 1989, 60-79

- Güth, Werner und Schmittberger, Rolf und Schwarze, Bernd

"An Experimental Analysis of Ultimatum Bargaining",
Journal of Economic Behavior and Organization 3, 1982, 367-88

- Kahnemann, Daniel und Knetsch, Jack L. und Thaler, Richard H.

"Fairness as a Constraint on Profit Seeking: Entitlements in the Markets",
American Economic Review 76, 1986, 728-41

- Rabin, Matthew

"Incorporating Fairness in Game Theory and Economics",
American Economic Review 83, 1993, 1281-1302

- Thaler, Richard H.

"The Winner′s Curse: Paradoxes and Anomalies of Economic Life",
Princeton University Press, 1992

1 Die Tabellen mit den ausführlichen Ergebnissen befinden sich in Anhang A

2 siehe Güth, Schmittberger, Schwarze (1982), S. 377 ff

3 Beweis siehe Anhang B

4 vgl. Geanakoplos, Pearce, Stacchetti (1989), S.62

5 vgl. Rabin (1993), S. 1291

6 vgl. Rabin (1993), S. 1295

7 vgl. Kahnemann, Knetsch und Thaler (1986), S. 729

8 vgl. Thaler (1992), S. 29

9 Rechnungen im Anhang C)